一、数列的概念选择题
1.数列{}n a 满足 112a =,11
1n n
a a +=-,则2018a 等于( )
A .
1
2
B .-1
C .2
D .3
2.已知数列{}n a 满足12a =,11
1n n
a a +=-,则2018a =( ). A .2
B .
12 C .1-
D .12
-
3.已知数列{}n a 的前n 项和2
23n S n n =-,则10a =( )
A .35
B .40
C .45
D .50
4.设{}n a 是等差数列,且公差不为零,其前n 项和为n S .则“*n N ?∈,1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件
5.已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
,则该数列第2019项是( ) A .
10
19892 B .
10
2019
2
C .
11
1989
2
D .
1120192
6.设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*
123n n a a n n N
++=+∈且1300n
S
=,若
23a <,则n 的最大值为( )
A .49
B .50
C .51
D .52
7.已知数列{}n a 满足1n n n a a +-=,则20201a a -=( ) A .20201010?
B .20191010?
C .20202020?
D .20192019?
8.数列{}n a 满足()1
1121n n n a a n ++=-+-,则数列{}n a 的前48项和为( )
A .1006
B .1176
C .1228
D .2368
9.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数,且对任意的实数x 、y R ∈,都有
()()()f x f y f x y ?=+,若112
a =
,()()
*
n a f n n N =∈,则数列{}n a 的前n 项和n S 应满足( ) A .
1324
n S ≤< B .
3
14
n S ≤< C .102
n S <≤
D .
1
12
n S ≤< 10.在数列{}n a 中,已知11a =,25a =,()
*
21n n n a a a n N ++=-∈,则5a 等于( )
A .4-
B .5-
C .4
D .5
11.已知数列{}n a 满足00a =,()11i i a a i +=+∈N ,则20
1
k
k a
=∑的值不可能是( ) A .2
B .4
C .10
D .14
12.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是( )
A .()2
1n a n n =-- B .2
1n a n =-
C .()12
n n n a +=
D .()
12
n n n a -=
13.已知数列{}n a 满足()()*
6
22,6,6
n n p n n a n p
n -?--≤=∈?
>?N ,且对任意的*
n ∈N 都有
1n n a a +>,则实数p 的取值范围是( )
A .71,4?? ???
B .101,
7??
???
C .()1,2
D .10,27??
???
14.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为( ) A .174
B .184
C .188
D .160
15.已知数列{}n a 满足111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =,则{}n a 的前2021项之积为( ) A .
23 B .
13
C .2-
D .3-
16.已知数列{}n a 满足:11a =,145n n a a +=+,则n a =( ) A .8523
3n
?- B .1
852
3
3n -?- C .8543
3
n
?-
D .1
854
3
3
n -?- 17.大衍数列,来源于《乾坤普》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两翼数量总和,是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,……则此数列的第40项为( ). A .648
B .722
C .800
D .882
18.已知数列{}n a 满足2122
1
1
1,16,2n n n a a a a a ++===则数列{}n a 的最大项为( ) A .92
B .102
C .
81
82
D .112
19.已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
,若{}n a 为周期数列,则1a 的
可能取到的数值有( ) A .4个
B .5个
C .6个
D .无数个
20.已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,则( )
A .63243a a a ≤-
B .2736+a a a a ≤+
C .7662)4(a a a a ≥--
D .2367a a a a +≥+
二、多选题
21.意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数:
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始,每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他,就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是( ) A .1055a = B .2020a 是偶数
C .202020182022
3a a a =+
D .123a a a +++…20202022a a +=
22.若不等式1
(1)(1)2n n
a n
+--<+对于任意正整数n 恒成立,则实数a 的可能取值为( ) A .2- B .1- C .1 D .2
23.已知数列{}n a 的前4项为2,0,2,0,则该数列的通项公式可能为( ) A .0,2,n n a n ?=?
?为奇数
为偶数
B .1(1)1n n a -=-+
C .2sin
2
n n a π= D .cos(1)1n a n π=-+
24.已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠,且满足140(2)n n n a S S n -+=≥,114
a =,则下列说法错误的是( ) A .数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B .数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =
+
C .数列{}n a 为递增数列
D .数列1n S ??
????
为递增数列
25.已知数列{}2
n
n a n +是首项为1,公差为d 的等差数列,则下列判断正确的是( ) A .a 1=3 B .若d =1,则a n =n 2+2n C .a 2可能为6
D .a 1,a 2,a 3可能成等差数列
26.已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且1
5
11
0,20,a a a 则( )
A .80a <
B .当且仅当n = 7时,n S 取得最大值
C .49S S =
D .满足0n S >的n 的最大值为12
27.无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,则下列结论正确的是( ) A .数列{}n a 单调递减 B .数列{}n a 有最大值 C .数列{}n S 单调递减
D .数列{}n S 有最大值
28.等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若10a >,717S S =,则( ) A .0d < B .120a > C .13n S S ≤
D .当且仅当0n
S <时,26n ≥
29.设{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,且56S S <,678S S S =>,则下列结论正确的是( ) A .0d > B .70a =
C .95S S >
D .6S 与7S 均为n S 的最大值
30.已知数列{}n a 为等差数列,则下列说法正确的是( ) A .1n n a a d +=+(d 为常数)
B .数列{}n a -是等差数列
C .数列1n a ??
????
是等差数列
D .1n a +是n a 与2n a +的等差中项
31.在数列{}n a 中,若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数),则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是( ) A .若{}n a 是等差数列,则{}n a 是等方差数列 B .{(1)}n -是等方差数列
C .若{}n a 是等方差数列,则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D .若{}n a 既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列 32.数列{}n a 满足11,121
n
n n a a a a +=
=+,则下列说法正确的是( ) A .数列1n a ??
?
???是等差数列 B .数列1n a ???
???
的前n 项和2
n S n = C .数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D .数列{}n a 为递减数列
33.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知535S =,411a =,则( ) A .45n a n =-
B .23n a n =+
C .2
23n S n n =-
D .2
4n S n n =+
34.在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是( )
A .n a kn b =+(k ,b 为常数,*n N ∈);
B .2n n a a d +-=(d 为常数,
*n N ∈);
C .(
)
*
2120n n n a a a n ++-+=∈N ; D .{}n a 的前n 项和2
1
n S n n =++(*n N ∈).
35.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,1385a a S +=,则下列结论一定正确的是( ) A .100a = B .当9n =或10时,n S 取最大值 C .911a a <
D .613S S =
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一、数列的概念选择题 1.B 解析:B 【分析】
先通过列举找到数列的周期,再求2018a . 【详解】
n=1时,234511
121,1(1)2,1,121,22
a a a a =-=-=--==-
==-=- 所以数列的周期是3,所以2018(36722)21a a a ?+===-. 故选:B 【点睛】
本题主要考查数列的递推公式和数列的周期,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
2.B
解析:B 【分析】
利用递推关系可得数列{}n a 是以3为周期的周期数列,从而可得2018a . 【详解】 在数列{}n a 中,
11
1n n
a a +=-
,且12a =,
211112
a a ∴=-
=, 32
1
1121a a =-
=-=- , ()413
1
1112a a a =-
=--== ∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列,
201867232=?+,
201821
2
a a ∴==.
故选:B 【点睛】
本题考查了由数列的递推关系式研究数列的性质,考查了数列的周期性,属于基础题.
3.A
解析:A 【分析】
利用()n n n a S S n 12-=-,根据题目已知条件求出数列的通项公式,问题得解.
【详解】
223n S n n =-,
n 2∴≥时,1n n n a S S -=-
22(23[2(1)3(1)]n n n n )=-----=45n
1n = 时满足11a S = ∴ =45n a n ,∴ 10a =35
故选:A. 【点睛】
本题考查利用n a 与n S 的关系求通项. 已知n S 求n a 的三个步骤: (1)先利用11a S =求出1a .
(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系,利用()n n n a S S n 12-=-便可求出当n 2
≥时n a 的表达式.
(3)对1n =时的结果进行检验,看是否符合n 2≥时n a 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写;如果不符合,则应该分1n =与n 2≥两段来写. .
4.A
解析:A 【分析】
根据等差数列的前n 项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】
{}n a 是等差数列,且公差d 不为零,其前n 项和为n S ,
充分性:
1n n S S +>,则10n a +>对任意的n *∈N 恒成立,则20a >,
0d ≠,若0d <,则数列{}n a 为单调递减数列,则必存在k *∈N ,使得当n k >时,
10n a +<,则1n n S S +<,不合乎题意;
若0d >,由20a >且数列{}n a 为单调递增数列,则对任意的n *∈N ,10n a +>,合乎题意.
所以,“*n N ?∈,1n n S S +>”?“{}n a 为递增数列”;
必要性:设10n a n =-,当8n ≤时,190n a n +=-<,此时,1n n S S +<,但数列{}n a 是递增数列.
所以,“*n N ?∈,1n n S S +>”?/“{}n a 为递增数列”.
因此,“*n N ?∈,1n n S S +>”是“{}n a 为递增数列”的充分而不必要条件. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合等差数列的前n 项和公式是解决本题的关键,属于中等题.
5.C
解析:C 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????
? ??? ?????????
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -,注意到101110242201922048=<<=,第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ????????
? ??? ?????????
,可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -,则前11个括号里共有1024项,前12个括号里共有2048项,
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项,第12个括号里的数列通项为11
21
2m -, 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选:C. 【点睛】
本题考查数列的定义,考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项,是一道中档题.
6.A
解析:A 【分析】
对n 分奇偶性分别讨论,当n 为偶数时,可得2+32n n n
S =,发现不存在这样的偶数能满
足此式,当n 为奇数时,可得21+34
2
n n n S a -=+,再结合23a <可讨论出n 的最大值.
【详解】
当n 为偶数时,12341()()()n n n S a a a a a a -=++++???++
(213)(233)[2(1)3]n =?++?++???+-+ 2[13(1)]32n n =?++???+-+?2+32
n n
=,
因为22485048+34850350
1224,132522
S S ?+?====,
所以n 不可能为偶数;
当n 为奇数时,123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++???++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+?++?++???+-+
2134
2
n n a +-=+
因为24911493494
12722S a a +?-=+=+,
25111513514
13752
S a a +?-=+=+,
又因为23a <,125a a +=,所以 12a > 所以当1300n S =时,n 的最大值为49 故选:A 【点睛】
此题考查的是数列求和问题,利用了并项求和的方法,考查了分类讨论思想,属于较难题.
7.B
解析:B 【分析】
由题意可得211a a -=,322a a -=,433a a -=,……202020192019a a -=,再将这2019个式子相加得到结论. 【详解】
由题意可知211a a -=,322a a -=,433a a -=,……202020192019a a -=,
这2019个式子相加可得()
20201201912019123 (2019201910102)
a a +-=++++==?.
故选:B. 【点睛】
本题考查累加法,重点考查计算能力,属于基础题型.
8.B
解析:B 【分析】
根据题意,可知()
1
1121n n n a a n ++--=-,分别列出各项,再整理得出132a a +=,
248a a +=,572a a +=,6824a a +=,
,45472a a +=,4648184a a +=,可知,
相邻的奇数项之和为2,相邻的偶数项之和为等差数列,首项为8,公差为16,利用分组
求和法,即可求出{}n a 的前48项和. 【详解】
解:由题可知,()1
1121n n n a a n ++=-+-,
即:()
1
1121n n n a a n ++--=-,则有:
211a a -=,323a a +=,435a a -=,547a a +=,
659a a -=,7611a a +=,8713a a -=,9815a a +=,
,
474691a a +=,484793a a -=.
所以,132a a +=,248a a +=,572a a +=,6824a a +=,
,
45472a a +=,4648184a a +=,
可知,相邻的奇数项之和为2,相邻的偶数项之和为等差数列,首项为8,公差为16, 设数列{}n a 的前48项和为48S , 则4812345645464748S a a a a a a a a a a =++++++
++++,
()()1357454724684648a a a a a a a a a a a a =++++
+++++++++
1211
1221281611762
?=?+?+
?=, 所以数列{}n a 的前48项和为:1176. 故选:B. 【点睛】
本题考查数列的递推公式的应用,以及利用分组求和法求和,考查归纳思想和计算能力.
9.D
解析:D 【分析】
根据题意得出111
2
n n n a a a a +==
,从而可知数列{}n a 为等比数列,确定该等比数列的首项和公比,可计算出n S ,然后利用数列{}n S 的单调性可得出n S 的取值范围. 【详解】
取1x =,(
)y n n N
*
=∈,由题意可得()()()111
112
n n n a
f n f f n a a a +=+=?==
, 11
2n n a a +∴
=,所以,数列{}n a 是以12为首项,以12
为公比的等比数列, 11112211212n n n S ??
- ???
∴==--,所以,数列{}n S 为单调递增数列,则11n S S ≤<,即
1
12
n S ≤<. 故选:D. 【点睛】
本题考查等比数列前n 项和范围的求解,解题的关键就是判断出数列{}n a 是等比数列,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
10.B
解析:B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知:
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选:B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项,属于简单题
11.B
解析:B 【分析】
先由题中条件,得到2
12
21i i i a a a +-=+,由累加法得到20
2211
221k k a a ==-∑
,根据00a =,
()11i i a a i +=+∈N ,逐步计算出221a 所有可能取的值,即可得出结果.
【详解】
由11i i a a +=+得()2
221121i i i i a a a a +=+=++,
则21221i i i a a a +-=+, 所以2221121a a a -=+, 2232221a a a -=+,
……,
2202022121a a a -=+,
以上各式相加可得:()21120
2
21
0221
2 (20202)
k
k a a a a a a
=-
=+++++=∑,
所以20
22121
1220
k k a a a ==--∑
,
又00a =,所以2
12
0211a a a =++=,则20
2211
221
k k a a ==-∑
,
因为()11i i a a i +=+∈N ,00a =,则0111a a =+=,所以11a =±,则2110a a =+=或
2,
所以20a =或2±;则3211a a =+=或3,所以31a =±或3±;则4310a a =+=或2或
4,所以42a =±或4±或0;则5411a a =+=或3或5,所以51a =±或3±或5±;……,
以此类推,可得:211a =±或3±或5±或7±或9±或11±或13±或15±或17±或19±或
21±,
因此221a 所有可能取的值为222222222221,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,
所以22112
2a -所有可能取的值为10-,6-,2,14,30,50,74,102,134,
170,210;
则
20
1
k
k a
=∑所有可能取的值为10,6,2,14,30,50,74,102,134,170,210,
即ACD 都有可能,B 不可能. 故选:B. 【点睛】 关键点点睛:
求解本题的关键在于将题中条件平方后,利用累加法,得到20
22121
1220
k k a a a ==--∑
,将问题
转化为求221a 的取值问题,再由条件,结合各项取值的规律,即可求解.
12.C
解析:C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =,再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
由题知:410a =,
对选项A ,()2
444113a =--=,故A 错误;
对选项B ,2
44115a =-=,故B 错误;
对选项C ,()
4441102a ?+==,C 正确; 对选项D ,()
444162
a ?-==,故D 错误. 故选:C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式,属于简单题.
13.D
解析:D 【分析】
根据题意,得到数列是增数列,结合通项公式,列出不等式组求解,即可得出结果. 【详解】
因为对任意的*n ∈N 都有1n n a a +>, 则数列{}n a 单调递增;
又()()*622,6,6
n n p n n a n p n -?--≤=∈?>?N , 所以只需6
7201p p a a ->??>??,即21106p p p p
?
>??-,解得1027p <<. 故选:D. 【点睛】
本题主要考查由数列的单调性求参数,属于基础题型.
14.A
解析:A 【分析】
根据已知条件求得11n n n a a -=--,利用累加法求得19a . 【详解】 依题意:
3,4,6,9,13,18,24,1,2,3,4,5,
6,
所以11n n n a a -=--(2n ≥),且13a =,
所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+
()()12213n n =-+-+
+++
()()()1111332
2
n n n n -+--=
+=+.
所以191918
31742
a ?=+=. 故选:A 【点睛】
本小题主要考查累加法,属于中档题.
15.B
解析:B 【分析】
由111n n n n a a a a ++-=+,且113
a =,可得:111n n n a a a ++=-,可得其周期性,进而得出结论. 【详解】
因为111n n n n a a a a ++-=+,且11
3
a =, 所以111n
n n
a a a ++=
-, 21
132113
a +
∴==-,33a =-,412a =-,513a =,??, 4n n a a +∴=.
123411
···2(3)()132
a a a a ∴=??--??=.
则{}n a 的前2021项之积50511
133
=?=.
故选:B 【点睛】
方法点睛:已知递推关系式求通项:(1)用代数的变形技巧整理变形,然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式.(2)通过具体的前几项找到其规律,如周期性等求解.
16.D
解析:D 【分析】 取特殊值即可求解. 【详解】
当1n =时,11a =,显然AC 不正确,
当2n =时,21459a a =+=,显然B 不符合,D 符合 故选:D
17.C
解析:C 【分析】
由0、2、4、8、12、18、24、32、40、50…,可得偶数项的通项公式:2
22n a n =,即可得
出. 【详解】
由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50…,可得偶数项的通项公式:2
22n a n =.
则此数列第40项为2220800?=. 故选:C
18.B
解析:B 【分析】
本题先根据递推公式进行转化得到21
112n n n n a a a a +++=.然后令1n n n
a b a +=,可得出数列{}n b 是等比数列.即11322n
n n a a +??
= ???
.然后用累乘法可求出数列{}n a 的通项公式,根据通项公式及二
次函数的知识可得数列{}n a 的最大项. 【详解】
解:由题意,可知: 21
112n n n n
a a a a +++=. 令1n n n a
b a +=,则11
2
n n b b +=. 2
11
16a b a =
=, ∴数列{}n b 是以16为首项,
1
2
为公比的等比数列. 1
11163222n n
n b -??
??
∴== ?
???
??
.
∴11322n
n n a a +??= ???
. ∴1
211322a
a ??
= ???
,
2
3
21322a a ??
= ???
,
1
11322n n n a a --??
= ???
.
各项相乘,可得: 1
2
1
11
111(32)222n n n
a a --??????=? ? ? ???????
.
(1)
2
511()22n n n --??
= ?
?? 2115(1)
22
1122n n n ---????= ? ???
??
211
5522
12n n n --+??
= ???
21
(1110)
2
12n n -+??= ???
.
令2()1110f n n n =-+,
则,根据二次函数的知识,可知:当5n =或6n =时,()f n 取得最小值. ()2551151020f =-?+=-,()2661161020f =-?+=-,
()f n ∴的最小值为20-. ∴2
11
(1110)(20)10
2
2
101112222n n -+?--??????=== ? ? ???
??
??
.
∴数列{}n a 的最大项为102.
故选:B . 【点睛】
本题主要考查根据递推公式得出通项公式,构造新数列的方法,累乘法通项公式的应用,以及利用二次函数思想求最值;
19.B
解析:B 【分析】
讨论出当1a 分别取1、2、3、4、6时,数列{}n a 为周期数列,然后说明当19a ≥时,分1a 为正奇数和正偶数两种情况分析出数列{}n a 不是周期数列,即可得解. 【详解】
已知数列{}n a 满足1N a *
∈,1,2
+3,n
n n n n a a a a a +??=???为偶数为奇数
. ①若11a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
②若12a =,则21a =,34a =,42a =,51a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
③若13a =,则26a =,33a =,46a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
④若14a =,则22a =,31a =,44a =,52a =,
,以此类推,可知对任意的
n *∈N ,3n n a a +=,此时,{}n a 为周期数列;
⑤若15a =,则28a =,34a =,42a =,51a =,64a =,,以此类推,可知对任意
的2n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑥若16a =,则23a =,36a =,43a =,
,以此类推,可知对任意的n *∈N ,
2n n a a +=,
此时,{}n a 为周期数列;
⑦若17a =,则210a =,35a =,48a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列; ⑧若18a =,则24a =,32a =,41a =,54a =,,以此类推,可知对任意的2
n ≥且n *∈N ,1n a a <,此时,{}n a 不是周期数列.
下面说明,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
(1)当(
34
12,2a ?∈?
且1N a *
∈时,由列举法可知,数列{}n a 不是周期数列; (2)假设当(
()1
12,23,k k a k k N +*?∈≥∈?
且1N a *∈时,数列{}n a 不是周期数列,那么当(
()1
212
,23,k k a k k N ++*
?∈≥∈?
时. 若1a 为正偶数,则(11
22,22
k k a a +?=
∈?,则数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,从而可知,数列{}n a 不是周期数列; 若1a 为正奇数,则(
(1
213
2132
3,232,2k k k k a a ++++??=+∈++???且2a 为偶数,
由上可知,数列{}n a 从第二项开始不是周期数列,进而可知数列{}n a 不是周期数列.
综上所述,当19a ≥且1N a *
∈时,数列{}n a 不是周期数列.
因此,若{}n a 为周期数列,则1a 的取值集合为{}1,2,3,4,6. 故选:B. 【点睛】
本题解题的关键是抓住“数列{}n a 为周期数列”进行推导,对于1a 的取值采取列举法以及数学归纳法进行论证,对于这类问题,我们首先应弄清问题的本质,然后根据数列的基本性质以及解决数列问题时常用的方法即可解决.
20.C
解析:C 【分析】
由条件可得出11n n n n a a a a -+-≤-,然后可得
3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-,即可推出选项C 正确.
【详解】
因为*
112(N 3)33n n n n S S S S n n --+≤+∈≥+,,
所以12133n n n n S S S S -+-≤--,所以113n n n n a a a a +-≤++ 所以11n n n n a a a a -+-≤-,
所以3243546576a a a a a a a a a a -≤-≤-≤-≤-
所以()6232435465764a a a a a a a a a a a a -=-+-+-+-≤- 故选:C 【点睛】
本题主要考查的是数列的前n 项和n S 与n a 的关系,解答的关键是由条件得到
11n n n n a a a a -+-≤-,属于中档题.
二、多选题 21.AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,,,,故A 正确;
对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误; 对于C ,,故C 正确; 对于D ,,,, , 各式相加
解析:AC 【分析】
由该数列的性质,逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ,821a =,9211334a =+=,10213455a =+=,故A 正确; 对于B ,由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数,故B 错误;
对于C ,20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=,故C 正确; 对于D ,202220212020a a a =+,202120202019a a a =+,202020192018a a a =+,
32121,a a a a a ???=+=,
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++???+=+++???++, 所以202220202019201811a a a a a a =++???+++,故D 错误. 故选:AC. 【点睛】
关键点点睛:解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
22.ABC 【分析】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有恒成立,当n 为偶数时有恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】
根据不等式对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:恒成立, 由递减
解析:ABC 【分析】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立,即当n 为奇数时有12+a n
-<恒成立,当n 为偶数时有1
2a n
<-恒成立,分别计算,即可得解. 【详解】
根据不等式1(1)(1)2n n
a n +--<+对于任意正整数n 恒成立, 当n 为奇数时有:1
2+a n
-<恒成立,
由12+n 递减,且1
223n
<+≤,
所以2a -≤,即2a ≥-, 当n 为偶数时有:1
2a n
<-
恒成立,
由12n -
第增,且31
222n ≤-<, 所以3
2
a <
, 综上可得:322
a -≤<, 故选:ABC . 【点睛】
本题考查了不等式的恒成立问题,考查了分类讨论思想,有一定的计算量,属于中当题.
23.BD 【分析】
根据选项求出数列的前项,逐一判断即可. 【详解】
解:因为数列的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设; 选项B : ,符合题设; 选项C :, 不符合题设; 选项D : ,符合题设
解析:BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项,逐一判断即可. 【详解】
解:因为数列{}n a 的前4项为2,0,2,0, 选项A :不符合题设;
选项B :0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=,符合题设;
选项C :,12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设; 选项D :1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=,符合题设.
故选:BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题,考查了基本运算求解能力,属于基础题.
24.ABC 【分析】
数列的前项和为,且满足,,可得:,化为:,利用等差数列的通项公式可得,,时,,进而求出. 【详解】
数列的前项和为,且满足,, ∴,化为:,
∴数列是等差数列,公差为4, ∴,可得
解析:ABC 【分析】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =,可得:1140n n n n S S S S ---+=,化为:1114n n S S --=,利用等差数列的通项公式可得1
n
S ,n S ,2n ≥时,()()
111144141n n n a S S n n n n -=-=
-=---,进而求出n a . 【详解】
数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠(),且满足1402n n n a S S n -+=≥(),11
4
a =, ∴1140n n n n S S S S ---+=,化为:
1
11
4n n S S --=, ∴数列1n S ??
????
是等差数列,公差为4,
∴()1
4414n n n S =+-=,可得14n S n
=, ∴2n ≥时,()()
1111
44141n n n a S S n n n n -=-=
-=---, ∴()1
(1)41(2)41n n a n n n ?=??
=??-≥-??
,
对选项逐一进行分析可得,A ,B ,C 三个选项错误,D 选项正确. 故选:ABC. 【点睛】