§1.4、光在球面上的反射与折射
1.4.1、球面镜成像
（1）球面镜的焦距球面镜的反射仍遵从反射定律，法线是球面的半径。一束近主轴的平行光线，经凹镜反射后将会聚于主轴上一点F （图1-4-1），这F 点称为凹镜的焦点。一束近主轴的平行光线经凸面镜反射后将发散，反向延长可会聚于主轴上一点F （图1-4-2），这F 点称为凸镜的虚焦点。焦点F 到镜面顶点O 之间的距离叫做球面镜的焦距f 。可以证明，球面镜焦距f 等于球面半径R 的一半，即
2R
f =
（2）球面镜成像公式 根据反射定律可以推导出球面镜的成像公式。下面以凹镜为例来推导：（如图1-4-3所示）设在凹镜的主轴上有一个物体S ，由S 发出的射向凹镜的光线镜面A 点反射后与主轴交于S '点，半径CA 为反射的法线，S '即S 的像。根据反射定律，
AC S SAC '∠=∠，则CA 为S SA '角A 的平分线，根据角平分线的性质有
图1-4-1
图
1-4-2
S C CS
S A AS '=
' ①
由为SA 为近轴光线，所以O S S A '='，SO AS
=，①式可改写为
S C CS
S O OS '=
' ②
②式中OS 叫物距u ，S O '叫像距v ，设凹镜焦距为f ，则
f u OC OS CS
2-=-=
υ-='-='f S O OC S C 2
代入①式
υ
υ
--=
f f
u u
22
化简
f u 111=+υ 这个公式同样适用于凸镜。使用球面镜的成像公式时要注意：凹镜焦距f 取正，凸镜焦距f 取负；实物u 取正，虚物u 取负；实像v 为正，虚像v 为负。
f u 111=+υ
上式是球面镜成像公式。它适用于凹面镜成像和凸面镜成像，各量符号遵循“实取正，虚取负”的原则。凸面镜的焦点是虚的，因此焦距为负值。在成像中，像长 和物长h 之比为成像放大率，用m 表示，
u h h m υ='=
由成像公式和放大率关系式可以讨论球面镜成像情况，对于凹镜，如表Ⅰ所列；对于凸镜，如表Ⅱ所列。
表Ⅰ 凹镜成像情况
表Ⅱ 凸镜成像情况
（3）球面镜多次成像 球面镜多次成像原则：只要多次运用球面镜成像公式即可，但有时前一个球面镜反射的光线尚未成像便又遇上了后一个球面镜，此时就要引进虚像的概念。
如图1-4-4所示，半径为R 的凸镜和凹镜主轴相互重合放置，两镜顶点O 1 、 O 2 相距2.6R ，现于主轴上距凹镜顶点O 1为0.6R 处放一点光源S 。设点光源的像只能直接射到凹镜上，问S 经凹镜和凸镜各反射一次后所成的像在何处？
O 图1-4-4
S 在凹镜中成像，
R
u 6.01=，R f 2
11=
111111f u =+υ
R R 2
16.011=
+υ
可解得 R 31=υ R O O 6.221=,
根据题意：所以凹镜反射的光线尚未成像便已又被凸镜反射，此时可将凹镜原来要成像1S 作为凸镜的虚物来处理， R R R u 4.0)36.2(2
-=-=，2
2R f -
= 2
22111f u =+υ
R R 2
14.012-=+-
υ
可解得 R 22=υ
说明凸镜所成的像2S 和S 在同一位置上。 1.4.2、球面折射成像 （1）球面折射成像公式 （a ）单介质球面折射成像
如图1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分别为1和n ，S '为S 的像。因为i 、r 均很小，行以
n r
i
r i ==sin sin ① 因为 αθ+=i ，βθ-=r
代入①式可有
)(βθαθ-=+n r ②
对近轴光线来说，α、θ、β同样很小，所以有
u x =
α，R x =θ，υβx =
代入②式可得
R n n u 11-=
+υ
图1-4-5
当∞→u 时的v 是焦距f ，所以
n n R f ⋅-=
1
（b ）双介质球面折射成像
如图1-4-6所示，球形折射面两侧的介质折射率分别n 1和n 2，C 是球心，O 是顶点，球面曲率半径为R ，S 是物点，S '是像点，
对于近轴光线
2211i n i n =
βα+=1i ， θβ-=2i ，
u A 0=α，R A 0
=
β，v A 0=θ 联立上式解得
r n n v
n u n 1
221-=
+ 这是球面折射的成像公式，式中u 、υ的符号同样遵循“实正虚负”的法则，
对于R ；则当球心C 在出射光的一个侧，（凸面朝向入射光）时为正，当球心C 在入射光的一侧（凹面朝向入射光）时为负。
若引入焦点和焦距概念，则当入射光为平行于主轴的平行光（u=∝）时，出射光（或其反向延长线）的交点即为第二焦点，（也称像方焦点）
，此时像距
图1-4-6
即是第二焦距
2
f ，有1
222n n R
n f -=。当出射光为平行光时，入射光（或其延长线）的交点即第一焦点（即物方焦点）
，这时物距即为
第一焦距1f ，有1
211n
n R
n f -=，将
1f 、2f 代入成像公式改写成
121=+u f
u f
反射定律可以看成折射定律在12n n -=时的物倒，因此，球面镜的反射成像公式可以从球面镜折射成像公式中得到，由于反射光的行进方向逆转，像距υ和球面半径R 的正负规定应与折射时相反，在上述公式中令12
n n -=，υυ-→，R R -→，即可得到球
面镜反射成像公式R u 211=+υ，对于凹面镜0>R ，
221R f f ==，对于凸面镜01R f f ==，厚透镜成像。 （C ）厚透镜折射成像
设构成厚透镜材料的折射率为n ，物方介质的折射率为1n ，像方介质的折射率为2n ，前后两边球面的曲率半径依次为1r 和2r ，透
镜的厚度为t o o ='，当物点在主轴上的P 点时，物距OP u =，现在来计算像点P '的像距。P O S '='，首先考虑第一个球面AOB 对入射光的折射，这时假定第二个球面AOB 不存在，并认为球AOB 右边，都为折射率等于n 的介质充满，在这种情况下，P 点的像将成在P ''处，其像距P O ''='υ，然后再考虑光线在第二个球面的折射，对于这个球面来说，P ''便是虚物。
图1-4-7
A
