2019年上海高考·高三数学 第一轮复习

1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔= 64.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-()()()()card A B card B C card CA card ABC ---+.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M N f x +--<⇔()0()f x NM f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a bk +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+. 9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}min m a xmax()(),()(),()2bf x f f x f pf q a=-=；[]q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p abx ,2∈-=，则{}m i n ()m i n (),()f x f p f q =，若[]q p abx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=- ()()f a b mx f mx ⇔+-=.24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.。

2019年上海高考数学·第一轮复习（第26讲 排列组合）[基础篇]一、知识梳理1、乘法原理与排列乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，……，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有123n N m m m m =⋅⋅⋅种不同的方法。

乘法原理的核心：分步在乘法原理的应用中，首先要正确分清做一件事的步骤，其次要搞清楚每一个步骤的方法数。

排列的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。

排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数。

【说明】如果两个排列相同，那么必须满足：1、元素完全相同；2、元素的排列次序相同。

排列数：从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n P 表示。

排列数公式：!(1)(2)(1)()!m n n P n n n n m n m =--⋅⋅⋅-+=-；规定：0!1= 2、加法原理与组合做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法。

【说明】计数原理⎩⎨⎧乘法原理（分步）且加法原理（分类）或组合的概念：从n 个不同元素中任取m 个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，组合的个数叫组合数，用C mn 表示.组合数公式C mn =!)!(!m m n n -. 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -； （2）C m n 1+=C m n +C 1-m n . 排列与组合的区别与联系：都是从n 个不同元素中取出m 个不同的元素，都是研究无重复元素问题，但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。

第26讲 数学归纳法[基础篇]一、用数学归纳法证明命题的步骤：（1）证明当n 取初始值0n ，0n ∈*N 时命题成立；（2）假设当n ＝k ，k ∈*N ，k ≥0n 时命题成立，证明n ＝k+1时命题也成立；在完成上述两个步骤后，就可以断定命题对于从0n 开始的所有正整数都成立二、归纳—猜想—论证：“归纳—猜想—论证”的数学思想方法的应用：检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，而后用数学归纳法证明所猜想的结论正确[技能篇]例题1 已知222222212)1(21)(+++++++++= n n n n f ，则=)1(f _______________。

例题2 设1312111)(++++++=n n n n f ，那么=-+)()1(k f k f __________ 例题3 用数学归纳法证明：*1111(,1)2321n n n N n +++⋅⋅⋅+<∈>-时 ,第一步验证不等式 成立；在证明过程的第二步从k n =到1+=k n 成立时，左边增加的项数是例题4 若命题P(n)对一切的n=2成立，且由P(k)成立可以推证P(k+2)也成立，则一定有 （ ）A 、P(n)对所有正整数都成立B 、P(n)对所有大于等于2的正整数都成立C 、P(n)对所有正偶数都成立D 、P(n)对所有正奇数都成立例题5 设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”．那么，下列命题总成立的是 （ ）.A 若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立.B 若(5)25f ≥成立，则当5k ≤时，均有2()f k k ≥成立.C 若49)7(<f 成立，则当8k ≥时，均有2)(k k f <成立.D 若25)4(=f 成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立例题6 正数数列{}n a 前n 项和为n S ，若11()2n n nS a a =+，猜测通项n a ，并用数学归纳法证明例题7 设无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对于任意自然数n ∈N*，n ≥3，都有1()2n n n a a S +=，用数学归纳法证明{}n a 是等差数列例题8 用数学归纳法证明：21(1)*410()4,5n n n N -+⋅<∈例题9 是否存在自然数m ,使得 ()(27)39n f n n =+⋅+ 对于任意*n N ∈都能被m 整除,若存在,求出m ;若不存在,请说明理由．例题10 数列{}{},n n a b 中，112,4a b ==，且1,,n n n a b a +成等差数列，11,,n n n b a b ++成等比数列（*n N ∈），求234,,a a a 及234,,b b b ，由此猜测{}{},n n a b 的通项公式，并证明你的结论．[竞技篇]一、填空题：1、用数学归纳法证明22111...(1)1n n a a a a a a++-++++=≠-，在验证n ＝1时，左端计算所得项为 2、利用数学归纳法证明“对任意偶数n （n ∈N*），n n a b -能被a b +整除”时，其第二步论证应该是3、若1111...(*)23n S n N n =++++∈，用数学归纳法证明21(2,*)2n n S n n N >+≥∈，n 从k 到k+1时，不等式左边增加的项为4、若21*718,,n m m n N -+=∈，则21718n m ++=+ 5、利用数学归纳法证明22n n >，第一步应该论证6、若 1＝1；1－4＝－（1＋2）；1－4＋9＝1＋2＋3；1－4＋9－16＝－（1＋2＋3＋4）；……找出一般规律的数学表达式：7、数学归纳法证明：111111111......234212122n n n n n-+-++-=+++-++（n ∈N*）时，当n 从k 到k+1时等式左边增加的项为 ；等式右边增加的项为8、设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且只有两条互相平行，任意三条直线不过同一点，若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当n ＞4时，()f n ＝9、观察以下等式：211=，22343++=，2345675++++=，……，将上述等式推广到一般情形： 对n N *∈，有等式： 10、 设平面内有n 条直线（3n ≥），其中有且只有两条互相平行，任意三条直线不过同一点， 若用()f n 表示这n 条直线交点的个数，则(4)f = ；当4n >时，()f n ＝ ．11、若)(n f 为12+n 所表示的数字的各位数字之和，(n 为正整数)，例如：因为1971142=+，17791=++，所以17)14(=f ，)()(1n f n f =，[])()(2n f f n f =， ，[])()(1n f f n f k k =+(k 为正整数)，则)11(2010f =12、设*n N ∈，用()N n 表示n 的最大奇因数，如：()()33,105N N ==，设 ()()()()()123212n n n S N N N N N =++++-+L ，则数列{}()12n n S S n --≥的前n 项和的表达式 为二、选择题：13、利用数学归纳法证明不等式“1111 (2321)n n ++++<-，2,n n N ≥∈”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了 （ ）A ． 1项B ． k 项C ． 12k -项D ． 2k 项．14、数列2,0,4,0,6,0,...的一个通项公式是 （ ）A ． [1(1)]2n n n a +-=B ． (1)[1(1)]2n n n a ++-=C ． 1[1(1)]2n n n a ++-= D ． 1(1)[1(1)]2n n n a +++-=．15、等式22222574123...2n n n -+++++= （ ） A ． n 为任何正整数时都成立 B ． 仅n ＝1，2，3时成立C ． n ＝4时成立，n ＝5时不成立D ． n ＝4时不成立，其他成立．16、用数学归纳法证明1－21＋31－)(2121112112141N n nn n n n ∈+++++=--++ ，则从k 到k ＋1时,左边应添加的项为 （ ） (A) 121+k (B) 421221+-+k k (C) －221+k (D) 121+k －221+k三、解答题：17、数列{}n a 中，111111,0,,(*)n n a a a a a a n N a a +≠>=+=-∈，求出234,,a a a 的值，猜测n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明。

第42讲 排列与组合[基础篇]一、乘法原理和加法原理：（1）乘法原理：如果完成一件事需要n 个步骤，第1步有1m 种不同的方法，第2步有2m 种不同的方法，，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =种不同的方法.（2）加法原理：如果完成一件事有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法.二、排列组合：（1）排列的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号mn P 表示. （2）排列数公式：!(1)(2)(1)(,*,)()!m n n P n n n n m m n N m n n m =---+=∈≤-，!n n P n =，规定：0!1=. （3）组合的概念：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素组成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合；从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号mn C 表示. （4）组合数公式：(1)(2)(1)!!!()!m mn nm m P n n n n m n C P m m n m ---+===- （5）组合的两个性质：①m n m n n C C -=；②11m m m n n n C C C -++=[技能篇]例题1(1)将4封信投寄到3个邮箱中，有多少种不同的投寄方法？(2)将4封信投寄到3个邮箱中，每个邮箱至少一封信，有多少种不同的投寄方法？(3)将4封信投寄到3个邮箱中，恰好有一个邮箱没有投递，有多少种不同的投寄方法？例题2 9名身高各不相同的人排队，按下列要求，各有多少种不同的排法？（1）排成一排；（2）排成前排4人，后排5人；（3）排成一排，其中A 、B 两人不相邻；（4）排成一排，其中,C D 两人必须相邻；（5）排成一排，其中E 不在排头，F 不在排尾；（6）排成一排，其中A 必须站在B 的右侧；（7）排成一排，身高最高的人站在中间且向两边递减；（8）排成一排，其中,H I 之间必须间隔2个.例题3 （1）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数的个数.（2）求用1,2,3,4四个数字组成四位数的个数.（3）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字且比2000小的四位数的个数.（4）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数.（5）求用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位数，其中2在3的左边的个数.例题4 (1)22361212x x x C C -+=,求x . (2) 333333345678C C C C C C +++++= .(3) 173213n n n n C C -++= .例题5 有15本不同的书，其中6本是数学书，问：（1）分给甲4本，且都不是数学书；（2）平均分给3人；（3）若平均分为3份；（4）甲分2本，乙分7本，丙分6本；（5）1人2本，1人7本，1人6本.例题6 一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问:(1)从中任取4个球，红球的个数不少于白球的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种？例题7 设A ∠的一边AB 上有4个点，另一边AC 上有5个点，连同A ∠的顶点共有10个点，以这些点为顶点，可以构成 个三角形。

上海市各地市2019-2019学年下学期高考数学最新试题分类大汇编：第3部分 函数与导数一、选择题：1．(上海市十三校2019年高三第二次联考理科) “函数)(x f 在],[b a 上为单调函数”是“函数)(x f 在],[b a 上有最大值和最小值”的（ A ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）非充分非必要条件2．(上海市闵行区2019届高三下学期质量调研文科)设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ D ）(A) 122x x ≥. (B) 1212x x <<. (C) 121x x =. (D) 1201x x <<.3. (上海市杨浦区2019年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( D )(A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）． 4. (上海市卢湾区2019年4月高考模拟理科)已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有 （ B ）A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈二、填空题：5．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)函数()f x =是 ．[10)(0)，，-??6．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?7．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= 1 ．8．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)函数()f x =是 ．[10)(0)，，-?? 9．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?10．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)函数22()log (43)log (2)f x x x =---的定义域是___ ．3(,2)411．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数21(0)()log (0)x a x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩有三个不同零点，则实数a 的取值范围为 ．[1,0)- 12、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a 3 ．13、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 1 ． 14. (上海市五校2019年联合教学调研理科设f x ()的反函数为1()fx -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211fx ()-+=， 则x = 。

高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。

从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。

从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。

2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等； 和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角； 给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。

第25讲 数列的极限[基础篇]一、数列极限的概念：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列不一定有极限 （2）数列是否有极限与数列前面的有限项无关（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数 二、数列极限的运算：（1）3个常见的数列极限是：lim n c c →∞=；1lim 0n n →∞=；lim 0nn q →∞=，1q <（2）只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算（3）仅限定在有限个极限间的四则运算，不能推广到无限个极限间做运算 三、无穷等比数列的各项和：（1）使用的条件：若公比为q ，则q 的范围是01q << （2）常见的应用：循环小数化分数，几何应用[技能篇]例题1 下列命题正确的是 （ ） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；D. 若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。

例题2 若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围______例题3 求下列极限： （1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）．例题4 若12122lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，则b a 的值为例题5 数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限为例题6 若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是例题7 若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________例题8 若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______例题9 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是________例题10 若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 2524例题11 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x=>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=例题12 设无穷等比数列{}n a 满足135218lim(...)3n n a a a a -→∞++++=，求首项1a 的取值范围．例题13 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）A M NEFC B H GS1S 2例题14 如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求： （1）无穷个正方形的周长之和； （2）无穷个正方形的面积之积[竞技篇]一、填空题：1、若lim n n a A →+∞=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *+++∈按照原来的顺序排列而成，则lim n n b →+∞=2、数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 3、32211lim()334n n n n n n →∞-+-=++ 4、1111lim(...)1447710(32)(31)n n n →∞++++=⨯⨯⨯-+ 5、若321lim()03n n an b n n →∞---=+，则a ，b 的值为 6、1lim()1nnn a a →∞-=+ （a ≠－1） 7、若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是8、设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=9、在数列{}n a 中，542n a n =-，2123...n a a a a an bn ++++=+，n ∈N*，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-=+ 10、16248...(2)lim 43927 (3)n n n +→∞-+-++-=+++++ 11、248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++= 12、1111lim(...)123n m n n n n n m→∞-----=++++ （m ∈N*，m 为常数）二、选择题：13、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的 （ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件12、若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 252415、一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第八项之和等于178，第五项与第七项之积等于14，则lim n n S →∞等于 （ ）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）816、设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x ny x →∞-=-A. 1-B. 12-C. 1D. 2三、解答题：17、已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为x （x ＞0），其前n 项和为n S ，求函数1()lim nn n S f x S →∞+=的解析式：18、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n A ；等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，1q <，前n 项和为n B ，记12...n n S B B B =+++，若lim()1nn n A S n→∞-=，求{}n a 、{}n b 的通项公式19、设{}n a 是首项为a ，公比为q （q ＞0）的等比数列，前n 项和为n S ，若22212...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim nn nS G →+∞20、函数2()12f x x =+-n 为正整数），设()f x 在(0,)+∞上取最小值时，自变量x 的取值为n a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n b ，对任意正整数n ，都有2(45)1n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞（3）在点列112233(1,),(2,),(3,),...,(,),...n n A a A a A a A n a 中是否存在两点,i j A A （,i j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（,i j ）；若不存在，说明理由21、已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166n n n n n n nS +++++=-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，求()f n 的表达式。

第40讲 三视图与斜二测作图法[基础篇]一、直观图：1、斜二测画图法：画直观图时，规定在铅垂方向和左右方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在前后方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，根据这样的规定，我们可以画出空间图形的直观图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法．二、三视图：如左图，是一个用斜二测方法画的正方体的直观图，y 轴与z 轴方向上的长度等于正方体边长，x 轴方向上的长度等于边长一半【注意】“斜二测”画图法有两条重要性质：① 平行直线的直观图仍是平行直线；② 线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变.（1）常见旋转体的三视图（2）常见多面体的三视图原则常用原则就是在绘制三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．具体在安排方法时，正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．具体图形如下：1、长方体：2、圆锥：3、圆柱：4、四棱锥：5、三棱锥：[技能篇]题型一：直观图：例题1-1 平行六面体111ABCD A B C D -的六个面都是菱形，那么顶点B ，在平面1ACB 上的射影一定是1ACB ∆的 （ ）A 、重心B 、外心C 、内心D 、垂心例题1-2 一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20,5,10m m m ，四棱锥的高为8m ，若按1:500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为 （ ） A 、4,1,2,1.6cm cm cm cm B 、4,0.5,2,0.8cm cm cm cmC 、4,0.5,2,1.6cm cm cm cmD 、2,0.5,1,0.8cm cm cm cm例题1-3 如下图，水平放置的ABC ∆的斜二测直观图是图中的A B C '''∆，已知6A B ''=，6B C ''=，则AB边的实际长度是 ．例题1-4 如图，是△AOB 用斜二测画法画出的直观图，则△AOB 的面积是例题1-5 如图为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是选项中的 （ ）例题1-6 在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC 的直观图不是全等三角形的一组例题1-7 如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，1CD AO ==，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．例题1-8 如图，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中4O A ''=，2O C ''=，则原图形是（ ）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形题型二：三视图：例题2-1 画出如图所示的组合体的三视图例题2-2 根据下列图中所给的三视图，试画出该物体的形状.例题2-3 如图所示,已知几何体的三视图,用斜二测画法画出它的直观图.例题2-4 下图是一个几何体的三视图,请你想象这个几何体的形状,并画出这个几何体.例题2-5 如图为长方体木块堆成的几何体的三视图，则组成此几何体的长方体木块块数共有( )A ．3块B ．4块C ．5块D ．6块俯视图侧视图正视图例题2-6 如图所示的正方体中，M 、N 分别是1AA 、1CC 的中点，作四边形MBN D 1在正方体各个面上的正投影的图形中，不可能出现的是（ ）C DB C A D N D[竞技篇]一、填空题：1、如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．2、已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1方体的正视图的面积等于3、某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是m4、设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m）。

2019年上海高考数学·第一轮复习（第01讲 集合）[基础篇]一 集合的概念1. 把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做 ，简称 。

集合中的各对象叫做这个集合的 。

2．集合中的元素属性具有：(1) ； (2) ； (3) ．二 集合的分类 （1）集合的分类 1. 按照元素的种类： 2.3. 4.1. 按照元素的数量：2.3. （2）常见的数集 自然数集： 正整数集： 整 数 集： 有理数集： 实 数 集：复 数：三 集合的表示方法 （1）列举法：（2）描述法：（3）图像法：备注：有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧四 元素与集合之间的关系 （1）属于：（2）不属于：五 集合与集合之间的关系 1.集合间的关系 （1）包含关系：（2）真包含关系：（3）不包含关系：（4）相等关系：2.子集与真子集的概念子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．注意事项：空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．3.子集数和真子集数的计算若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．六 集合间的运算（1）交集、并集、补集的概念1．交集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝ ． 2．并集：由 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝ ． 3．补集：集合A 是集合S 的子集，由 的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集，记作S C A ，即S C A ＝ ．（2）集合的常用运算性质1．A ∩A ＝ ，A ∩∅＝ ，A ∩B= ，B ∩A ，A ∪A ＝ ， A ∪∅＝ ，A ∪B ＝B ∪A2．U A C A ⋂＝ ，U A C A ⋃＝ ，()U C C A = ． 3．()U C A B ⋃= ，()U C A B ⋂= ，4．A∪B＝A ⇔ A ∩B ＝A ⇔[技能篇]题型一：元素的特征例题1-1 若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭求b-a 的值.例题1-2 设集合2{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.题型二：元素和集合间的关系 例题2-1 用符号∈、∉填空：（1*N ; （2）1 -Z ; （3）-2 R ; （4）2 N;（5（6）1 φ题型三：集合的表示方法例题3-1 用描述法表示下列集合： （1）偶数组成的集合；（2）平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合。

第23讲数列的概念[基础篇]一、数列的概念：（1）数列的定义：（2）通项公式的定义：说明：①同一个数列的通项公式的形式不一定唯一；②不是每个数列都有通项公式。

（3）从函数观点看，数列实质上是其图像是（4）数列的分类：①按项数是有限还是无限分：②按项与项之间大小关系分：（5）递推公式定义：2、数列的表示方法：3、数列的通项公式与前n项和的转化：二、等差数列：1.定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示），即：d a a n n =-+1（1≥n ，d 为常数）。

特别地；常数数列是特殊的等差数列，它可以看成公差是0的等差数列。

2.通项公式：d n a a n )1(1-+= 通项公式推广：d m n a a m n )(-+= 推导过程：方法一： 方法二：3.几种计算公差d 的方法：① d=n a －1-n a ② d =11--n a a n ③ d =mn a a mn -- 4.等差中项：,,2b a ca b ⇔+=c 成等差数列（或等差数列中的连续三项） 5.前n 项和公式：d n n na S n a a S n n n 2)1(;2)(11-+=+= 推导过程：6.等差数列的性质：（1）对于任意正整数n ，都有121a a a a n n -=-+（2）对于任意的整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，那么s r q p a a a a +=+，特别地，如果q r p 2=+，则q r p a a a 2=+（3）对于任意的正整数n>1，有112-++=n n n a a a（4）对于任意的非零实数b ，数列}{n ba 是等差数列，则}{n a 是等差数列 （5）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列 （6）若通项为n a kn b =+（*n N ∈），则{}n a 为等差数列，反之也成立。

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之命题 ②考纲解读1. 了解一些基本的逻辑关系及其运用，了解集合与命题之间的联系，体会逻辑语言在数学表达和论证中的作用。

理解否命题、逆否命题、明确命题的四种形式及其相互关系，建立命题与集合之间的联系。

体会分类、判断、推理的思想方法。

【解读】对命题的学习，首先理解四种命题之间的关系，即由一种命题形式能够正确地写出其他三种形式，并能够理解他们之间的相互关系，特别是命题之间的等价性。

同时能够建立命题与集合之间的联系，根据集合之间的包含关系判断命题之间的推出关系。

2. 理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义。

能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性或充分必要性。

【解读】这时高考中常考知识点，要求是能够正确判断条件的充分性、必要性和充分必要性。

关键在于正确理解这些条件的意义，如A 是B 的充分条件，那么B 的充分条件是A 。

3. 知道子集与推出关系之间的联系。

初步体会利用集合知识理解逻辑关系。

【解读】从考试要求来看，对本知识点的要求不高，从最近几年的试题分析出现的频率不很高，但学习本知识点的关键在于正确领会集合之间的包含关系和命题之间的推出关系的相关性，构造这方面的题目很容易，主要由集合包含关系转化为命题推出关系再进行条件判断。

复习中关键注意如何由集合之间的包含关系得出命题的推出关系。

知识梳理.一. 命题的形式及等价命题：1. 命题的概念：可以判断真假的语句叫做命题；2. 四种命题形式：原命题，逆命题，否命题，逆否命题； 原命题：若α，则β； 逆命题：若β，则α；否命题：若α，则β；（α表示α的否定，β表示β的否定） 逆否命题：若β，则α；3. 等价命题：如果B A 、是两个命题，A B B A ⇒⇒,，那么B A 、叫等价命题。

4. 四种命题形式及其相互关系:►注意：否命题是命题的否定吗？答：不是。

命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论；而命题的否定只否定命题的结论。

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何一、填空、选择题1、（2019年上海高考）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．2、（2019年上海高考）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.3、（2019年上海高考）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________4、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ．5、（闵行区2019届高三二模） 如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 () (A) 2. (B) 1+6、（浦东新区2019届高三二模）已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm .7、（普陀区2019届高三二模）一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为8、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为ABlCαPO9、（长宁、嘉定区2019届高三二模）在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为………………（ ）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1 10、（奉贤区2019届高三上期末）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为11、（黄浦区2019届高三上期末）已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是12、（金山区2019届高三上期末）如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD=2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF=∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是 ▲13、（浦东区2019届高三上期末）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .14、（松江区2019届高三上期末）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．PABCD E15、（宝山区2019届高三上期末）正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于ECDPAB二、解答题 1、（2019年上海高考）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．2、（2019年上海高考）底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123P P P △的各边长及此三棱锥的体积V .P 123、（2019年上海高考）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC的距离.C 11A4、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ．（1）求四棱锥111A BCC B -的体积；（2）求二面角111C C A B --的大小．5、（闵行区2019届高三二模）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．6、（浦东新区2019届高三二模） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan． （1） 求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B 到平面PCD 的距离．A1A 1BD 1A B 17、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小． （结果用反三角函数值表示）8、（长宁、嘉定区2019届高三二模）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．9、（青浦区2019届高三上期末） 如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .E P AC DB10、（松江区2019届高三上期末）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

2019年上海高考数学·第一轮复习（第15讲 等比数列）[基础篇]一 等比数列1．等比数列的定义：)()(＝q （q 为不等于零的常数）． 2．等比数列的通项公式：⑴ a n ＝a 1q n －1 ⑵ a n ＝a m q n －m3．等比数列的前n 项和公式：S n ＝ ⎪⎩⎪⎨⎧=≠)1()1(q q 4．等比中项：如果a ，b ，c 成等比数列，那么b 叫做a 与c 的等比中项，即b 2＝ （或b ＝ ）．5．等比数列{a n }的几个重要性质：⑴ m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则 ．⑵ S n 是等比数列{a n }的前n 项和且S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成 数列．⑶ 若等比数列{a n }的前n 项和S n 满足{S n }是等差数列，则{a n }的公比q ＝ ．二 等差数列、等比数列常用综合性质1．等差数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等差数列， 则{a kn } (k ∈N *，k 为常数)是 数列．⑶ S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．2．在等差数列中，求S n 的最大(小)值，关键是找出某一项，使这一项及它前面的项皆取正(负)值或0，而它后面的各项皆取负(正)值．⑴ a 1> 0，d <0时，解不等式组 ⎩⎨⎧<≥+001n n a a 可解得S n 达到最 值时n 的值． ⑵ a 1<0，d>0时，解不等式组 ⎨可解得S n 达到最小值时n 的值．3．等比数列的常用性质：⑴ m ，n ，p ，r ∈N *，若m ＋n ＝p ＋r ，则有 ．⑵ {a n }是等比数列，则{a 2n }、{na 1}是 数列． ⑶ 若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成 数列．[技能篇]题型一：等比数列定义例题1-2 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a =A ．342n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭B ．243n ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭C ．1342n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭D ．1243n -⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭题型二：等比中项 例题2-1 方程2640x x -+=的两根的等比中项是（ ）A ．3B ．2±C ．D ．2例题2-2 已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,n N ∈*,354657281a a a a a a ++=，则46a a +=_______ 例题2-3 各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ⋅=，则3132310log log log a a a +++=题型三：“方程法”求通项例题3-1 （1）已知{}n a 为等比数列，32a =，24203a a +=，求{}n a 的通项公式。

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018上海高考）记等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.4、（宝山区2018高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()L ，、，、、，满足：n a a a 12<<<L ，则称点n Q Q Q 12L 、、、按横序排列．设四个实数k x x x 123，，， 使得k x x x x2231322()2-，，成等差数列，且两函数y x y x213==+、图象的所有．．交点P x y 111()，、P x y 222()，、P x y 333()，按横序排列，则实数k 的值为 ．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且S n =a ，则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q+>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（ ）． A ．4 B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定7、（虹口区2018高三二模）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______．8、（黄浦区2018高三二模）已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=- ，若1224,51,0k a a a ===，则k = ． 9、（静安区2018高三二模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10、（普陀区2018高三二模）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a = ，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++ 的值为_________.11、（青浦区2018高三二模）在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．12、（青浦区2018高三上期末）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =13、（松江、闵行区2018高三二模）已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅ .14、（松江区2018高三上期末）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S = ▲ ．15、（浦东新区2018高三二模）已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n nn a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T _______________.二、解答题1、（2018上海高考）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||nn b a -≤，则称{}{}n n b a 与“接近”。