罗默高级宏观经济学讲义 第一章

四、定量含义
两边同乘s/y*，并用 sf (k *) = (n + g + δ )k * 代 换s，得到：
s ∂y * s f ' (k *) f (k ) = y * ∂s f (k *) (n + g + δ ) − sf ' (k *)
k * f ' (k *) / f (k *) = 1 − [k * f ' (k *) / f (k *)]
y
(n + g + δ )k (t )
f (k (t ))
sf (k (t ))
k*ຫໍສະໝຸດ Baidu
k
二、索洛模型的动态学
•
k (t )
k*
k
二、索洛模型的动态学
3.平衡增长路径 在索洛模型中，无论从任何一点出 发，经济向平衡增长路径收敛，在 平衡增长路径上，每个变量的增长 率都是常数，且是外生决定的。特 别是，在该路径上，人均产出的增 长率仅取决于技术进步率。
∂c * ∂k * ( s, n, g , δ ) = [ f ' (k * ( s, n, g , δ )) − (n + g + δ )] ∂s ∂s
四、定量含义
1.储蓄率变化对产出的长期影响 由 k* = k * (s, n, g , δ ) 可知： 由平衡增长的条件k = 0得到：
sf ( k * ( s, n, g , δ )) = ( n + g + δ )k * ( s, n, g , δ )
∂ k (k ) k ≈( ∂k
•
•
•
k = k * )( k
− k *)
= [α K ( k *) − 1](n + g + δ )
k (t ) ≈ −[1 − α K (k *)](n + g + δ )[k (t ) − k *]
五、评价
1.技术进步 为什么资本差异不能解释经济增长水平 2.技术如何进步没有解答 3.学术地位 是增长理论的基准模型
定义 k * f ' (k*) / f (k*) 为k=k*处的产出的资 本弹性α K (k*) ，它也是资本收入占总收入 s ∂y * α K (k *) s ∂y * = 的份额。因此 y * ∂s 1 − α K (k*) ， 为产 y * ∂s 出的储蓄率弹性。
四、定量含义
2．收敛速度 关键在考察k以多快的速度趋近k*。 • k = k (k ) 的一阶泰勒级数近似值：
∂y * ∂k * ( s, n, g , δ ) = f ' (k *) ∂s ∂s
•
两边对s求导数，解得：
∂k * f (k *) = ∂s (n + g + δ ) − sf ' (k *)
则
f ' (k *) f (k ) ∂y * = ∂s (n + g + δ ) − sf ' (k *)
代入，有：
k (t ) = sf (k (t )) − (n + g + δ )k (t )
•
上式是索洛模型的基本微分方程。 含义说明：人均实际投资 sf (k (t )) 用 于两方面：一是“资本的深化”， • 即 k (t ) ，二是“资本的广化”，即
(n + g + δ )k (t )
二、索洛模型的动态学
一、模型假定
4）资本的增长：
K (t ) = [dK (t ) / dK ] = sY (t ) − δK (t )
•
其中s为储蓄率，为资本折旧率，均为 外生变量 nt 5） (t ) = L(0)e L
A(t ) = A(0)e
gt
二、索洛模型的动态学
1.关键方程
K (t ) k (t ) = A(t ) L(t )
两边取自然对数：
ln k (t ) = ln K (t ) − ln A(t ) − ln L(t )
对t求导数，得：
K (t ) K (t ) A(t ) L(t ) k (t ) = − k (t ) − k (t ) K (t ) A(t ) L(t ) A(t ) L(t )
• • • •
二、索洛模型的动态学
一、模型假定
F(cK,cAL)=cF(K, AL)，对于c≥0，令 c=1/AL,
K 1 F( ,1) = F ( K , AL) ，令有效劳动 AL AL
的人均资本k=K/AL，有效劳动人均产 量y=Y/AL，则y=f(k),总产量Y=ALf(k) 3）边际产品递减： f(k)满足f(0)=0, f’(k)>0, f’’(k)<0, f (k)是 资本的边际产品
谢谢！
2.稳态均衡 定义“稳态”：一种其中各种数量 • 都以不变速度增长的状况，即 k (t ) =0。 • * * k 当 sf (k (t )) = (n + g + δ )k (t ) 时，(t ) =0（储 蓄等于投资），即实际投资与持平 投资相等。无论k从何处开始，它都 收敛于k*。
二、索洛模型的动态学
三、储蓄率的变化
1．储蓄率变化的比较静态均衡
y
k*
k*’
k
二、索洛模型的动态学
2.储蓄率变化的动态影响 1)对k的影响：先增加，并逐步收敛 于新的更高水平。
k
t
二、索洛模型的动态学
2)对Y/L的影响：先暂时性的增加， 但随后收敛于原来的平衡增长速度。
Y/L增长率
t
二、索洛模型的动态学
ln(Y/L)
t
二、索洛模型的动态学
结论： 1）储蓄率的变化只会暂时性地影响增 长率，而不会永久性地影响。或者说， 储蓄率的变化只有水平效应，而没有 增长效应。 2）只有技术进步率的变化有增长效应。
二、索洛模型的动态学
3.对消费的影响 产出、储蓄和消费的关系：有效劳动 的平均消费,令c=c*（处在平衡增长路 径上），则： c* = f (k *) − (n + g + δ )k * 由平衡增长路径的稳定条件可知： k * = k * ( s, n, g , δ ) ，上式两边对s求导：
一、模型假定
4) 稻田条件
limk →o f ' (k ) = ∞ limk →∞ f ' (k ) = 0
4.应用 柯布-道格拉斯生产函数
F ( K , AL) = K α ( AL)1−α
K K α f (k ) = F ( ,1) = ( ) = k α AL AL
0 <α <1
f (k )
第一章 索洛经济增长模型
一、模型假定
1.索洛生产函数Y (t ) = F ( K (t ), A (t ) L (t )) Y为产量，K为资本，L为劳动力，A为 知识或劳动的有效性，t表示时间。AL 为有效劳动，此种形式的技术进步为 “哈罗德中性”。 2.索罗模型假定： 1）规模报酬不变 2）密集型生产函数
k
一、模型假定
5.投资品的动态分析 1）时间连续 2）t=0 初始值已知 3）劳动力、知识的增长不变
L(t ) / L(t ) = [dL(t ) / dt ] / L(t ) = n
A(t ) / A(t ) = [dA(t ) / dt ] / A(t ) = g
•
•
其中n为人口增长率，g为技术进步率， 均为外生参数，表示不变增长速度