齐次和非齐次线性方程组的解法(整理)

线性方程组解的结构（解法）

一、齐次线性方程组的解法

【定义】 r (A )= r

(1) ,,

,n r -12ξξξ线性无关;

(2) AX = 0 的)任一解都可由这组解线性表示. 则称,,

,n r -12ξξξ为AX = 0的基础解系.

称n r n r k k k --=++

+1122X ξξξ为AX = 0的通解 。其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数).

齐次线性方程组的关键问题就是求通解， 而求通解的关键问题是求基础解系. 【定理】 若齐次线性方程组AX = 0有解，则

(1) 若齐次线性方程组AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）满足()r A n =，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是()r A n <.

（注：当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =.）

注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于()n r A -. 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组

AX O =所对应的同解方程组。

由上述定理可知，若m 是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：

（1） 当m n <时，()r A m n ≤<，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数

大于方程的个数就一定有非零解；

（2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0A =； （3）当m n =且()r A n =时，若系数矩阵的行列式0A ≠，则齐次线性方程组只有零解； （4）当m n >时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组；

若()r A n >，则齐次线性方程组无解。

1、求AX = 0（A 为m n ⨯矩阵）通解的三步骤

（1）−−

→A C 行

（行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ;

(3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

【例题1】 解线性方程组12

341

23412341

2

3

4

2350,320,4360,2470.

x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪++-=⎪⎨

+-+=⎪⎪-+-=⎩

解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵

12

472315071014312143001641367124726000743A --⎡⎤⎢⎥-⎡⎤-⎢⎥

⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=→→-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎣⎦

显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠）

，不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式：231531

2132704

13

6

1247

A --=

=≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====.

注：此法仅对n 较小时方便

【例题2】 解线性方程组12

34512

3452

34512

3

4

5

0,3230,2260,54330.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=⎪⎨

+++=⎪⎪+++-=⎩

解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵

1

111

13

2113012265

4331A ⎡⎤

⎢⎥-⎢

⎥=⎢⎥

⎢⎥

-⎣⎦14

12

(5)(3)r r r r ⨯-+⨯-+−−−−→

11111012260122601226⎡⎤⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦

2123242

(1)(1)r r r r r r r ++⨯-+-⨯−−−−→

10115012260000000000---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

⎣⎦

可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为

13

4523

4

55,226.

x x x x x x x x =++⎧⎨

=---⎩（其中3x ，4x ，5x 为自由未知量）

令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-； 令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-， 于是得到原方程组的一个基础解系为

112100ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，212010ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，356001ξ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

.

所以，原方程组的通解为 112233X k k k ξξξ=++（1k ，2k ，3k R ∈）. 二、非齐次线性方程组的解法 求 AX = b 的解（,()m n r r ⨯=A A ） 用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关

1112

111222221()00r

n r n rr

rn r r c c c c d c c c d c c d d +⎡⎤⎢⎥

⎢⎥

⎢⎥

−−→⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣

⎦

A b 行

其中 0(1,2,,),ii c i r ≠= 所以知

1(1)0r d +≠时,原方程组无解.

1(2)0,r d r n +==时,原方程组有唯一解. 1(3)0,r d r n +=<时,原方程组有无穷多解.

其通解为01122n r n r k k k --=++++X ξξξη，12,,,n r k k k -为任意常数。

其中：12,,,n r -ξξξ为AX = b 导出组AX = 0的基础解系，0η为AX = b 的特解，

【定理1】 如果η是非齐次线性方程组AX=b 的解，α是其导出组AX=0的一个解，则ηα+是非齐次线性方程组AX=b 的解。

【定理2】如果0η是非齐次线性方程组的一个特解，α是其导出组的全部解，则αη+0是非齐次线性方程组的全部解。

由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解可表示为： r n r n C C C --++++αααη 22110

其中：0η是非齐次线性方程组的一个特解，r n -ααα,,,21 是导出组的一个基础解系。 【例题3】判断下列命题是否正确, A 为m ⨯n 矩阵.

(1)若AX =0只有零解,则AX=b 有唯一解. 答:错, 因r (A )=n , r (A )= n = r (A |b )? (2)若AX =0有非零解,则AX=b 有无穷多解. 答:错, 因r (A )