力学竞赛专题能量法静不定

功W 全部转化为杆件的应变能Vε，即： V W
F
F 一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算
力： 0 F
变形：0 l
F
W 1 F l 2
FN F
W
1 2
F l
FN2l 2EA
V
轴力为变量，应变能
V
1 2EA
l
FN2 (x)dl
杆件应变能密度：
l
v V Fl 1 1 E 2
V 2lA 2 2
B
D 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为
FN
F1
2 c os
C F1 FBC F1
V
n
F2 Nj
l
j
j1 2EAj
FN21l1 2EA1
FN22l2 2EA2
FN2l EA
F12l
4cos2 EA
FCD
i
V Fi
n FN jl j j1 EAj
FN j Fi
F1l （）
2 cos2 EA
l
Fx（x
l
)dx
5F
l
3
（
）
l/2
2 48EI
例9-5 图示线弹性结构，杆中各部分的EI均相同。若F、EI均为已知， 试用莫尔定理求A、B两点间的相对位移。
解： 在A、B两点施加一对单位力
略去轴力、剪力的影响：
AB
3
i1
l
M
i
(
x)M 0i EI
(
x)dx
AC段： M1 =0 ， CE段：M2 =-F(x-R) ，
FN
EA L
FN E
AL
200MPa
三．温度应力
静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生 的应力称为温度应力。
例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，
两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为
E1=210GPa，线膨胀系数α1=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa，
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
MC
MB
F F’
第二节 拉压静不定问题
静不定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
2、找变形几何关系
3、物理关系
建立补充方程
4、求解方程组
一、求解拉压静不定问题的约束反力
杆件的应变能：
V
1 2EA
l
FN2
(
x)dx
1 2GI
P
l
M x2 (x)dx
1 2 EI z
l
M 2 (x)dx
例9-1 集中力F作用于简支梁的C点，试用能量原理计算截面C
的挠度wc。设EI为常数。
解：由平衡方程解得 FB
Fa l
FA
Fb l
将梁分为AC和CB两段，
c 1
Fb
2
AC段 M (x1 ) l x1 (0 x1 a)
一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
M (x)M 0 (x) dx M x (x)M ox (x) dx
l
EI
l
GIP
2. 桁架
m i 1
FN 0i FNi (EA)i
li
3. 若要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相反的单位力。
例9-5 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求C端转角。
解：
FA
FPa l
静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁
相比较，找到多余约束处的变形协调条件。
讨论题
1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？
F
Me
F
Me
F
Me
C A
C BA
C BA
B
C1
C1
FB
FC
wB 0
wC
FC k
2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面
[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。
F
F
解： 1.写平衡方程:
F FW Fst
Fst FW
2.找变形几何关系: lst lw
3.物理关系:
lW
FW l EW AW
lst
Fst l Est Ast
补充方程:
Fst FW Est Ast EW AW
250
查表知，40mm×40mm×4mm等边角钢
线膨胀系数α2=16.5×10-6 ℃ -1；试求温度升高20℃时， 1、2杆内的应力。
1
F1
2m
解：1.列静力平衡方程 MA 0 F1 2F2 0
2m A
FAx
L1
FAy
2.变形协调方程
L2 2L1
4m
F2
1m 2
3.物理方程
L1
F1L1 E1 A!
1TL1
L2
F2 L2 E2 A2
2TL2
可解得
wc
Fa
2
b
2
（方向向下）
3EIl
i
V Fi
第二节 卡氏第二定理
式中，Δi为Fi作用处沿Fi 方向的位移量。
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
横力弯曲
V
M 2(x)dx l 2EI
可得：
i
V Fi
Fi
l
M
2 (x)dx 2EI
M (x) M (x) dx
l EI Fi
桁架
V
n
FN2j l
受的扭矩。
图10-8
A
解：1. 静力平衡 M xA M xB
2.变形协调方程
3. 物理方程
图10-9
A
M xAlA GI pA
B
M xBlB GI pB
A B
M xA ( lA lB )
G I pA I pB
Mx
G
lA lB
I pA I pB
第四节 静不定梁
求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与
j
j1 2EA j
i
V Fi
Fi
n
FN
2 j
l
j
j1 2EAj
n
FN
jl
j1 EAj
j
FN j Fi
注意：用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷。
如果该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力F，运用卡
氏定理求广义位移，最后让该力F=0。
例9-3 试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移， 结构中两杆的长度均为 l ，横截面面积均为A。
补充方程 FN1l FN3l cos EAcos EA
FN1 FN3 cos2
FN1
FN 2
F cos2 1 2 cos3
FN 3
1
F
2 cos3
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，
已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力
例题10-1
4、求解方组得
FN1l FN3l cos EAcos EA
解：1、列出独立的平衡方程
Fx 0 FN1 FN 2 Fy 0 2FN1 cos FN3 F 0
l1 l2
2、找变形几何关系
l3
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
l1
FN1l
EA cos
l3
FN 3l EA
专题一 能量方法初步
第一节 杆件应变能的计算 第二节 功的互等定理和位移互等定理 第三节 卡氏第二定理 第四节 莫尔定理
本章重点：
1、卡氏第二定理 2、莫尔定理
第一节 杆件应变能的计算
能量法: 用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。
在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的
M 01 1 x M 02 1 x
（0≤x≤R） （R≤x≤2R）
EG段： M3 =-FR(1+sinθ) ， M 03 R(2 sin ) （0≤θ≤π/2）
AB
2
R 0
x0 EI
dx
2R F(x R)x dx
R
EI
0
/2
FR(1
sin )R(2
EI
s in
)
d
FR3 23 5
二、圆轴扭转时应变能计算
Me
扭转时外力作功
W
1 2
Me
Mx Me
W
1 2
M
e
M x2l 2GIP
V
扭矩为变量，应变能
V
1 2GIP
l
M x2 (x)dl
三、直梁弯曲时应变能计算
Mρ θ
l
M
1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶
M W 1 M
2
l
l Ml EIz
W
1 M
2
M 2l 2EI z
6EI
例9-4 线弹性材料悬臂梁，自由端A作用有集中力。若F、l、
EI已知，试求：1）加力点A的位移ΔA；2）梁中点B的位移ΔB。
解：（1）求点A的位移。
M Fx
M x F
A
1 EI
l Fx2dx Fl 3
0
3EI
（2）求梁中点B的位移
在B点附加力FO，BC段
Mo
(x
l) 2
1
B EI
W
0.717 F AW
W
F 1046kN
许可载荷 F 698 kN
二．装配应力 静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力 称为装配应力。
例10-3 图示钢杆，弹性模量E=200GPa，加工误差和杆长之比
L 1 1000 ，将杆装在两刚性支座之间，试求装配应力。
解： L FNl EA
例9-4外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度，
（2） C端转角。
A FA x1
AB段 BC段
FP 解：（1）求C端挠度
B
C
FB
x2
l
a
M1
FP a l
x1
M 2 FP x2
支座反力分别为
FA
FPa l
M1 FP
a l
x1
M 2 FP
x2
FB
FP
1
a l
P
FB
FP
1
a l
AB段
M1
FP a l
x1
BC段 M 2 FP x2
A FA x1
FP
B
C
x2
FB
l
a
在 C端加单位力偶Mo=1
FAo
FBo
1 l
AB段
1 M10 l x1
BC段
M 2o 1
FAo
Mo
FBo
C
l 0
FPa x12 l2
dx
a
0 FP x2 dx
Fp a 2l 3a （顺时针）
C上，剪力、弯矩是否为零？
q
B
A
C
L2
L2
例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。
解：1. 去掉B处约束，代之以约束反力 q
MB
MMeB/3
+
3.代入物理方程，建立补充方程
M AL
MA Me
L
M
AL
0
GI p
GI p
GI p
解得:
M
A
MB
Me 3
MMee-2M/3A
-
例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一
直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线相差夹角 , 现在杆B上施加外力偶，
使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所
CB段
M (x2 )
Fa l
x2
梁的应变能为 V
a 0
M 2 (x1 ) 2EI
dx1
b 0
M 2 (x2 2EI
)
dx2
(0 x2 b)
1 2EI
a 0
(
Fb l
x1
)2
dx1
1 2EI
b Fa ( 0l
x2 )2 dx2
F 2a2b2 6EIl
由式 Fwc F 2a 2b 2 2 6EIl
Mi Mi EIi FP
l 0
FPa2 x2 l2
dx
a 0
FP
x2dx
Fp a2 l a（）
3 EI
（2）求 C端转角: 在 C端加力偶M
A FA x1
l
B FB
M FP C
x2
a
FA
FPa l
M l
FB
FP
1
a l
M l
AB段
M1
(
FP a l
M l
) x1
M1 x1 M l
Ast 3.086 cm2
250
Ast 4 Ast 12.34cm2 ,
AW 25 25 625 cm2
代入数据，求得 FW 0.717 F Fst 0.283 F
F
250 250
4.根据角钢的强度条件确定F
st
0.283 F Ast
st
F 698kN
5.根据木柱强度条件确定F
V
2.横力弯曲时，弯矩为变量，应变能
V
1 2EI z
l
M 2 (x)dl
一般，令F为广义力，Δ为广义变形，当F由零开始缓慢
增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即 V W。
若材料处于线弹性范围，W
1 2
F
V
F
四、应变能普遍表达式
杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、 M(x)作用，
解得 F2 5.14kN
2 2.57MPa
L2
F1 10.28kN 1 5.14MPa
第三节 扭转静不定问题
例10-6 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
来自百度文库
Me
Me
A
L
L
L
解：1.列静力平衡方程 M A M B 0
B 2.变形协调方程 BA 0
MA
Me
MMe /3A
+
Me
BC段 M 2 FP x2 M
M 2 1 M
令M = 0
C
Mi EIi
M i M
l 0
FPa x12 l2
dx
a
0 FP x2 dx
Fp a 2l 3a （ ）
6EI
第四节 莫尔定理
莫尔定理 M (x)M0 (x)dx
l
EI
推广：Δ为广义位移，FO为沿Δ方向的单位力。
1. 弯扭组合变形杆件
EI 3 2
相对位移的方向与单位力的方向相同。
专题二 简单静不定问题
第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例
本章重点
1.拉压静不定问题 2.扭转静不定问题
3. 静不定梁
第一节 静不定结构的基本概念