力学竞赛专题能量法静不定

BC段 M 2 FP x2 M
M 2 1 M
令M = 0
C
Mi EIi
M i M
l 0
FPa x12 l2
dx
a
0 FP x2 dx
Fp a 2l 3a （ ）
6EI
第四节 莫尔定理
莫尔定理 M (x)M0 (x)dx
l
EI
推广：Δ为广义位移，FO为沿Δ方向的单位力。
1. 弯扭组合变形杆件
例9-4外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度，
（2） C端转角。
A FA x1
AB段 BC段
FP 解：（1）求C端挠度
B
C
FB
x2
l
a
M1
FP a l
x1
M 2 FP x2
支座反力分别为
FA
FPa l
M1 FP
a l
x1
M 2 FP
x2
FB
FP
1
a l
P
受的扭矩。
图10-8
A
解：1. 静力平衡 M xA M xB
2.变形协调方程
3. 物理方程
图10-9
A
M xAlA GI pA
B
M xBlB GI pB
A B
M xA ( lA lB )
G I pA I pB
Mx
G
lA lB
I pA I pB
第四节 静不定梁
求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与
线膨胀系数α2=16.5×10-6 ℃ -1；试求温度升高20℃时， 1、2杆内的应力。
1
F1
2m
解：1.列静力平衡方程 MA 0 F1 2F2 0
2m A
FAx
L1
FAy
2.变形协调方程
L2 2L1
4m
F2
1m 2
3.物理方程
L1
F1L1 E1 A!
1TL1
L2
F2 L2 E2 A2
2TL2
二． 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统：在静定基上加上外载荷以及多余约束力的系统。
MC
MA
MC
MB
F F’
第二节 拉压静不定问题
静不定结构的求解方法：
1、列出独立的平衡方程
2、找变形几何关系
3、物理关系
建立补充方程
4、求解方程组
一、求解拉压静不定问题的约束反力
例题10-1
4、求解方组得
FN1l FN3l cos EAcos EA
解：1、列出独立的平衡方程
Fx 0 FN1 FN 2 Fy 0 2FN1 cos FN3 F 0
l1 l2
2、找变形几何关系
l3
l1 l2 l3 cos
3、物理关系
l1
FN1l
EA cos
l3
FN 3l EA
CB段
M (x2 )
Fa l
x2
梁的应变能为 V
a 0
M 2 (x1 ) 2EI
dx1
b 0
M 2 (x2 2EI
)
dx2
(0 x2 b)
1 2EI
a 0
(
Fb l
x1
)2
dx1
1 2EI
b Fa ( 0l
x2 )2 dx2
F 2a2b2 6EIl
由式 Fwc F 2a 2b 2 2 6EIl
C上，剪力、弯矩是否为零？
q
B
A
C
L2
L2
例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。
解：1. 去掉B处约束，代之以约束反力 q
一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结构的约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。
静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高
可解得
wc
Fa
2
b
2
（方向向下）
3EIl
i
V Fi
第二节 卡氏第二定理
式中，Δi为Fi作用处沿Fi 方向的位移量。
F1
F2
F3
Fn
A
B
1
2
3
n
横力弯曲
V
M 2(x)dx l 2EI
可得：
i
V Fi
Fi
l
M
2 (x)dx 2EI
M (x) M (x) dx
l EI Fi
桁架
V
n
FN2j l
V
2.横力弯曲时，弯矩为变量，应变能
V
1 2EI z
l
M 2 (x)dl
一般，令F为广义力，Δ为广义变形，当F由零开始缓慢
增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即 V W。
若材料处于线弹性范围，W
1 2
F
V
F
四、应变能普遍表达式
杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、 M(x)作用，
Ast 3.086 cm2
250
Ast 4 Ast 12.34cm2 ,
AW 25 25 625 cm2
代入数据，求得 FW 0.717 F Fst 0.283 F
F
250 250
4.根据角钢的强度条件确定F
st
0.283 F Ast
st
F 698kN
5.根据木柱强度条件确定F
补充方程 FN1l FN3l cos EAcos EA
FN1 FN3 cos2
FN1
FN 2
F cos2 1 2 cos3
FN 3
1
F
2 cos3
例题10-2 木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，
已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力
解得 F2 5.14kN
2 2.57MPa
L2
F1 10.28kN 1 5.14MPa
第三节 扭转静不定问题
例10-6 在圆轴作用有外力偶矩Me，试绘出该轴的的扭矩图。
Me
Me
A
L
L
L
解：1.列静力平衡方程 M A M B 0
B 2.变形协调方程 BA 0
MA
Me
MMe /3A
+
Me
静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁
相比较，找到多余约束处的变形协调条件。
讨论题
1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？
F
Me
F
Me
F
Me
C A
C BA
C BA
B
C1
C1
FB
FC
wB 0
wC
FC k
2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面
功W 全部转化为杆件的应变能Vε，即： V W
F
F 一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算
力： 0 F
变形：0 l
F
W 1 F l 2
FN F
W
1 2
F l
FN2l 2EA
V
轴力为变量，应变能
V
1 2EA
l
FN2 (x)dl
杆件应变能密度：
l
v V Fl 1 1 E 2
V 2lA 2 2
M (x)M 0 (x) dx M x (x)M ox (x) dx
l
EI
l
GIP
2. 桁架
m i 1
FN 0i FNi (EA)i
li
3. 若要求两点之间的相对位移，沿两点的连线方向加一对方向相反的单位力。
例9-5 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求C端转角。
解：
FA
FPa l
EI 3 2
相对位移的方向与单位力的方向相同。
专题二 简单静不定问题
第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例
本章重点
1.拉压静不定问题 2.扭转静不定问题
3. 静不定梁
第一节 静不定结构的基本概念
FN
EA L
FN E
AL
200MPaLeabharlann 三．温度应力静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生 的应力称为温度应力。
例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜，
两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为
E1=210GPa，线膨胀系数α1=12.5×10-6 ℃-1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa，
杆件的应变能：
V
1 2EA
l
FN2
(
x)dx
1 2GI
P
l
M x2 (x)dx
1 2 EI z
l
M 2 (x)dx
例9-1 集中力F作用于简支梁的C点，试用能量原理计算截面C
的挠度wc。设EI为常数。
解：由平衡方程解得 FB
Fa l
FA
Fb l
将梁分为AC和CB两段，
c 1
Fb
2
AC段 M (x1 ) l x1 (0 x1 a)
B
D 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为