第三章(3)稳定性分析

S 6 2S 5 8S 4 12S 3 20S 2 16S 16 0
列劳斯表
S6 S5 S4 S3 S2 S
1
1 2 2 0 8 6 8 3 16
8 12 12 0 24 16 0
20 16 16 0
16 0
作辅助方程: F（S） 2S 12S 16
4 2
F （S） 8S 24S
令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则
q+2r=n
用部分分式展开
G( s)
j 1 q
Aj S Pj

k 1
r
Bk ( S k nk ) C k nk 1 k S 2 2 k nk S nk
P J
2
2
系统的脉冲响应函数为
这样可求得 n+1行系数
2、劳斯稳定判据
是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去 判别特征方程式根在S平面上的具体分布，过程如 下： 如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方 程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。 如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变 化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上 的个数，相应的系统为不稳定。
2(Z 1) 10(Z 1) 3(Z 1) 4 0
3 2
2Z 4Z Z 1 0
3 2
S3 S2 S1 S0
2 4 1 2 1
1 1
式中有负号，显然有根在
S 1
的右方。
例3.5 已知一单位反馈控制系统如图所示，试回答:
解：
Gc (s) 1
时，闭环系统是否稳定？
s
Gc ( s )
K p ( s 1)
时，闭环系统的稳定条件是什么？
Gc (s) 1
时，闭环系统的特征方程为
S (S 5)(S 10) 20 0 S 3 15S 2 50S 20 0
S3 S2 S1 S0 1 15 750 20 15 20 50 20
系统稳定的必要条件：
a0 0
(3 55)
“系统特征方程式的各项系数均为正值，且无零系数”。
证明
设 p1 , p2 , 为实数根， 1 j1 , 2 j 2
为复数根
其中
p1 , p2 , ,1 , 2 , 都是正值，则式（ 3 55 ）改写为
如何计算劳斯表中的系数?
a0 a1 b1 c1
a2 a3 b2 c2
劳斯表计算规则: 1.由该元素上两行对应的元素与后一列上两行对应的元素 组成2*2的行列式; 2.计算反行列式; 3.除以上一行第一列的元素.
表中 b1 c1 e d d1e2 f1 1 2 e1 a1 a 2 a 0 a3 a a a0 a5 a a a0 a7 , b2 1 4 , b3 1 6 a1 a1 a1 b1 a3 a1b2 b a a1b3 b a a1b4 , c2 1 5 , c3 1 7 b1 b1 b1
a0 {( S P S 2 j 2 )(S 2 j 2 )] } 0 1 )(S P 2 ) [(S 1 j1 )(S 1 j1 )][(
即a0 {(S P1 )(S P2 ) [(S 21S 1 1 )][(S 2 2 S 2 2 )] } 0
例3.4
用劳斯判据检验下列特征方程
2S 10S 13S 4 0
3 2
是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线
S 1
的右方。
S3
2 10
13 4
解：列劳斯表
S2 S1 S0
130 8 12.2 10 4
第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。 令 S Z 1 代入特征方程：
例3.1
已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517S 2.3 104 0
试用劳斯判据判别系统的稳定性。 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 41.5 38.5 2.3 104 517 2.3 104 0 0
判断：由于该表第一列系数的符号变化了两次，所 以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是 不稳定的。
R(s)
—
Gtcs (s) K
20 s(s 5（ ) s 10）
C ( s)
第一列均为正值，S全部位于左 半平面，故系统稳定
G ( s) c
K p (s 1) s
Gc (s)G(s)
20K p (S 1) S 2 (S 5)(S 10)
S 2 (S 5)(S 10) 20K p (S 1) 0
可利用系数全为零行的上一行系数构造一个 辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来 代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。 这些大小相等、纵向位置相反的根可以通过 求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是 偶数的。表示相应方程中含有一些大小相等符号 相反的实根或共轭虚根。例如，一个控制系统的 特征方程为
如何计算变化系数?
例3.2
已知某调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517S 1670 (1 K ) 0
S3 S2 S
1
求该系统稳定的K值范围。 解：列劳斯表
1 41.5
517 1670 (1 K )
0 0
S0
41.5 517 1670 (1 K ) 0 41.5 1670 (1 K )
3.1
系统的稳定性分析
控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和 内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、 系统参数的变化、环境条件的改变等。这些因素总 是存在的，如果系统设计时不考虑这些因素，设计 出来的系统不稳定，那这样的系统是不成功的，需 要重新设计，或调整某些参数或结构
稳定性是系统固有的特性, 是控制系统能够正常 运行的首要条件。一个不稳定的控制系统不能实际 运行,否则会导致严重后果.对系统进行各类品质指 标的分析也必须在系统稳定的前提下进行,否则毫无 意义!
稳定 实际
不稳定 理论
0.4
ts 4
0


问题: 一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输 入信号的加入而使其稳定性受到破坏？
分析
单位阶跃函数
G( s) ( s)
R(s)
1 s
K (S S i )
i 1
m
稳态分量
S ( S Pj ) ( S 2 k nk S nk )
二、系统稳定性的充要条件
由于单位脉冲函数的拉氏变换等于1，所以系统闭环传递 函数的拉氏反变换就是系统的脉冲响应函数。
a）如果脉冲响应函数是收敛的，即有
b）系统仍能回到原有的平衡状态，因而系统是稳定的。 由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。
g (t ) 0 lim t
系统仍能回到原有的平衡状态
t
பைடு நூலகம்
闭环特征方程式的根 都位于S的左半平面 不稳定系统（发散）
2）有一个正实根或一对 实部为正的复数根
lim g (t ) 0
t
不稳定系统的结果:
物理系统的输出量只能增加到一定的范围，此后或者受 到机械止动装置的限制，或者系统遭到破坏，也可能当输出 量超过一定数值后，系统变成非线性的，（而使线性微分方 程不再适用。）由于非线性因素存在，仅表现为等幅振荡。
由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数 必须全为正值。可得：
517 40.2(1 K ) 0 (1 K ) 0 1670
1 K 11.9
3、劳斯判据特殊情况
劳斯表有哪两种特殊情况？ 如何对劳斯表进行处理？
1）劳斯表某一行中的第一项等于零
劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其 余各项不等于零或没有余项。解决的办法是以一个 很小的正数 来代替为零的这项，据此算出其余 的各项，完成劳斯表的排列。 若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化 的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相 应的系统为不稳定。 如果第一列上面的系数 与下面的系数符号相 同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的 系统也属不稳定。
2 2 j 1 k 1
q
r
(3-47)
参考输入 衰减 瞬态分量 瞬态分量 一个无限小的领域 系统的结构和参数确定
一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将 继续保持稳定 。
三、系统稳定的必要条件
令系统的闭环特征方程为
稳定判据
a0 S n a1S n1 a2 S n2 an1S an 0
学习要求: 1、理解系统稳定性的概念; 2、了解系统稳定的必要/充要条件; 3、掌握劳斯判据,能够处理劳斯判据中的2种特 殊情况. 4、劳斯判据了解的应用.
问题:1、系统稳定的概念是什么？ 2、系统稳定的充要条件是什么？ 必要条件是什么？ 3、什么是劳斯阵列？如何计算劳斯阵列？ 4、劳斯判据的内容是什么？ 5、如何处理劳斯判据中的特殊情况？
3
1
令F(s)=0，求得两对大小 相等、符号相反的根
j 2 , j2
S0
显然,这个系统处于临界稳定状态。
4、劳斯判据的应用
稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分 布情况，而不能确定根的具体数据。也即也不能保 证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据 不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。 若希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距 离。设为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判 别该方程中是否有根位于垂线右侧。由此法可以估 计一个稳定系统的各根中最靠近右侧的根距离虚轴 有多远，从而了解系统稳定的“程度”。
2 2 2 2 2 2
线性系统稳定
不会有系数为零的项
必要条件
四、劳斯稳定判据
劳斯稳定判据是判断线性系统稳定性的有力方法.在使用
中分三步进行:
1.根据特征方程,列出劳斯表的开始两列元素; 2.计算劳斯表的其他元素,直到(n+1)行; 3.根据劳斯稳定判据系统的稳定性.
1、劳斯表
a0 S a1S a2 S an1S an 0
列劳斯表
s4 s3 s2 s1 s0
S 4 15S 3 50S 2 20K p S 20K p 0
1 15 750 20K p 750 20K p 15 20K p 15 20K 9 50 20K p 20K p 20Kp 0
k nk nk k 2 1
2 2
g (t ) A j e
分析：
j 1
q
p jt
[ Bk e knk t cos nk 1 k t Ck e knk t sin nk 1 k
k 1
r
充要条件
1）若
limg (t ) 0 系统稳定
n
n1
n 2
a0 0
a0 S a1S
n
n1
a2 S
n 2
an1S an 0
a4 a5 b3 c3 a6 a7 a4
a0 0

将各项系数，按下面的格式排成劳斯表
Sn S n 1 S n2 S n 3 S2 S1 S0 d1 e1 f1 d2 e2 d3
例3.3
已知系统的特征方程式为
S 3 2S 2 S 2 0 试判别相应系统的稳定性。 解：列劳斯表
S3 S2 S1 S0 1 2 0( ) 2 1 2
由于表中第一列 上面的符号与其下面系数的 符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相 应的系统为不稳定。
2）劳斯表中出现全零行
一、 稳定的基本概念 1、基本概念 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它 受到某一扰动作用而偏离原来的平衡状态，当此扰 动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该 系统是稳定的。反之，系统为不稳定。
图 3-1 稳 定 性 分 析 示 意 图
说明： 1）基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系 统的运动情况，它与系统的输入信号无关。 2）系统稳定只取决于系统本身的特征，因而可 用系统的脉冲响应函数来描述。 3)若系统稳定,则阶跃响应和脉冲响应函数收敛!