北京市海淀区高三(上)期中数学试卷含答案
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高三(上)期中数学试卷
题号
一二三总分
得分
一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.
已知集合A ={x|x +1≤0},B ={x|x ≥a},若A ∪B =R ,则实数a 的值可以为
( )
A. 2
B. 1
C. 0
D. −2
2.
下列函数中,在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )
A. y =x
B. y =x 2
C. y =x +x
D. y =|x−1|
3.
已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 3=a 3,且a 3≠0,则S 4
S 3=( )
A. 1
B. 5
3
C. 8
3
D. 3
4.
不等式1
x >1成立的一个充分不必要条件是( )
A. 0 2 B. x >1 C. 0 D. x <0 5. 如图,角α以Ox 为始边,它的终边与单位圆O 相交于点P ,且点P 的横坐标为3 5,则sin(π 2+α)的值为( ) A. −3 5 B. 3 5 C. −4 5 D. 4 5 6. 在四边形ABCD 中,AB//CD ,设AC =λAB +μAD (λ,μ∈R).若λ+μ=3 2,则 |CD ||AB | =( ) A. 1 3B. 1 2 C. 1 D. 2 7.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0,使得f(−x0)=−f(x0)成立,则实 数k的取值范围是( ) A. [−1,+∞) B. (−∞,−1] C. [0,+∞) D. (−∞,0] 8.设集合A是集合N∗的子集,对于i∈N∗,定义φi(A)={1,i∈A 0,i∉A,给出下列三个结论: ①存在N∗的两个不同子集A,B,使得任意i∈N∗都满足φi(A∩B)=0且φi (A∪B)=1; ②任取N∗的两个不同子集A,B,对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B); ③任取N∗的两个不同子集A,B,对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B) 其中,所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 二、填空题(本大题共6小题,共30.0分) 9.已知向量a=(1,2),b=(3,x),若a//b,则实数x=______ . 10.函数f(x)=x−x−6的零点个数是______. 11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n,则a1=______,a5+a6+a7+a8= ______. 12.如图,网格纸上小正方形的边长为1.从A,B,C,D四点中任取 两个点作为向量b的始点和终点,则a⋅b的最大值为______. 13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn,若存在p∈R,使得a n≤pn对任意的n∈N∗ 都成立,则p的取值范围为______. 14.已知函数f(x)=2sinωx,g(x)=2cosωx,其中ω>0,A,B,C是这两个函 数图象的交点,且不共线. ①当ω=1时,△ABC面积的最小值为______; ②若存在△ABC是等腰直角三角形,则ω的最小值为______. 三、解答题(本大题共6小题,共80.0分) 15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列,S n为其前n项和,a2=3,a3+a4=36 (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)若S n<121,求n的最大值. 16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π 3 )+3 2 . (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π 2 ]恒成立,求实数m的取值范围. 17.已知函数f(x)=1 3 ax3+x2+bx+c,曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=x+1. (Ⅰ)求b,c的值; (Ⅱ)若函数f(x)存在极大值,求a的取值范围. 18.在△ABC中,a=7,b=5,c=8. (Ⅰ)求sin A的值; (Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合),设AP PC =k. ①求k的取值范围; ②直接写出一个k的值,满足:存在两个不同位置的点P,使得AP PC =k. 19.已知函数f(x)=lnx e x . (Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性,并说明理由; (Ⅱ)求证:f(x)<1 2 . 20.已知集合M⊆N∗,且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元 素a,b,c,d,使得a+b=c+d,则称集合M是“关联的”,并称集合{a,b,c,d}是集合M的“关联子集”;若集合M不存在“关联子集”,则称集合M是“独立的”. (Ⅰ)分别判断集合{2,4,6,8,10}和集合{1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立