几种插值方法比较与应用2

从上面的计算过程可以看出，拉格朗日插值法的线性插值与抛物插 值的计算过程没有继承性，即增加一个节点时整个计算工作必须重新开 始，而牛顿插值则避免了这一问题，这样大量的节省了乘、除法运算次 数，减少了计算的时间。因此，对于一些结构相当复杂的函数，牛顿插 值法比拉格朗日插值法要占优势。但是，牛顿插值法也存在的问题，就 是在高次插值时，误差可能会增大，如本题可看出，高次插值会不稳 定。这说明高次牛顿插值不可取，因此在采用牛顿插值法时常使用分段 低次插值的方法，以获得更精确的计算结果。
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.09983 0.19867 0.29552 0.38942 计算的值。 解：方法一 利用拉格朗日插值法计算。
0.47943
0.56464
(1) 因为，取插值点 使用的拉格朗日插值法（线性插值），得 因 所以 故有： 可见，用作为的近似值，可保证有三位有效数字。
截断误差（余项）：若在上用近似，则
称为插值多项式的截断误差，又称为插值多项式的余项。 代数插值法有Lagrange插值法、逐次线性插值法、Newton插值法、
Hermite插值法、分段插值法等。其基本思想都是用高次代数多项式或 分段的低次代数多项式作为被插函数的近似表达式。 3 几种常见的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ数插值法 3.1 Lagrange插值法
例2 根据函数的数据表
0.40
0.50
0.70
0.80
-0.916291 -0.693147 -0.356675 -0.223144
2.500000 2.000000 1.428571 1.250000
运用Hermite插值计算。 解 ，，，，首先构造Hermite插值基函数，，，，，，，。然后利
用Hermite插值公式写出
牛顿插值法：牛顿插值法具有继承性和易变性的特点，当增加一个 节点时，只要再增加一项就可以了即，而拉格朗日插值若要增加一个节 点时全部基函数都需要重新算过。牛顿插值法既适合于用来计算函数 值，也适合于做理论推导，比如说可用来推导微分方程的数值求解公 式。但是在高次插值时存在不稳定性，一般实际计算很少使用高次插 值，更多的使用分段低次插值。
其中
称为Hermite插值基函数，是Lagrange插值基函数，若，插值误差为 ，
4 插值法的应用
拉格朗日插值法和牛顿插值法是两种常用的简便的插值法。但牛顿 插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增 加一个节点时整个计算工作必须重新开始”的缺点，而且可以节省乘、 除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念， 又与数值计算的其他方面有着密切的关系。 例1 已知函数表如下
3.2 Newton插值法
设有函数为一系列互不相等的点，称为关于点的一阶差商。一般的
称为关于的k阶差商。
表1 差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
其中
显然，是满足插值条件的至多n次多项式。可得。
3.3 Hermite插值法 设，已知互异点，，…，及所对应的函数值为，，…，，导数值
为，，…，，则满足条件
的次Hermite插值多项式为
（2）取插值点 使用的拉格朗日插值法（线性插值），得 因 所以 故有： 可见，用作为的近似值，可保证有四位有效数字。
方法二 利用牛顿插值法计算
构造差商表
一阶差 商
0.1 0.09983
0.2 0.19867 0.9984
0.3 0.29552 0.9685
0.4 0.38942 0.9390
0.5 0.47943 0.9001
几种插值方法的比较与应用
摘要：本文是对学过的插值方法进行了总结、比较，使我们在进行工程 计算的过程中更清楚的知道哪一种方法适合哪一种类型，了解哪种方法 在已知条件下可以得到更优的结果以满足计算要求。 关键词：数值分析，插值，多项式
1 前言 在许多实际问题及科学研究中，因素之间往往存在着函数关系，然
而，这种关系经常很难有明显的解析表达，通常只是由观察与测试得到 一些离散数值。有时，即使给出了解析表达式，但却由于表达式过于复 杂，不仅使用不方便，而且不易于进行计算与理论分析。解决这类问题 的方法有两种：一种是插值法，另一种是拟合法。插值法是一种古老的 数学方法，它来自生产实践。早在一千多年前，我国科学家在研究历法 上就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论确实在微积分产生之 后才逐渐完善的，其应用也日益增多，特别是在计算机软件中，许多库 函数，如等的计算实际上归结于它的逼近函数的计算。逼近函数一般为 只含有算术运算的简单函数，如多项式、有理分式（即多项式的商）。 在工程实际问题当中，我们也经常会碰到诸如此类的函数值计算问题。 被计算的函数有时不容易直接计算，如表达式过于复杂或者只能通过某 种手段获得该函数在某些点处的函数值信息或者导数值信息等。因此， 我们希望能用一个“简单函数”逼近被计算函数，然后用该简单函数的 函数值近似替代被计算函数的函数值。这种方法就叫插值逼近或者插值 法。插值法要求给出函数的一个函数表，然后选定一种简单的函数形 式，比如多项式、分段线性函数及三角多项式等，通过已知的函数表来 确定一个简单的函数作为的近似，概括地说，就是用简单函数为离散数 组建立连续模型。 2 插值法的基本概念
2.1 插值法的定义 设函数在区间上有定义，且已知在点上得值，若存在一个简单函
数，使得
成立，就称为的插值函数，点为插值节点，包括插值节点的区间成为插 值区间，求插值函数的方法成为插值法。
若为次数不超过n的代数多项式
其中的为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。若 为分段的多项式，就称为分段插值。 2.2 截断误差
直接计算得 ，，，， ，，，.
事实上，另外
. ，.
5 结束语 综上看比较出各种插值方法的优缺点。 拉格朗日插值法：可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代
数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函 数。利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑， 在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之 变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的，为了克 服这一缺点，提出了牛顿插值可以克服这一缺点。
设函数在区间上有定义，且在上个不同点上得函数值，若存在一个
至少n次的插值多项式
其中为实数。先构造函数，它们的次数不超过n，且满足
然后以对应点处的函数值为系数作线性组合，即得所要求的多项式。由
多项式有n个根，故它必有如下形式 这些函数称为Lagrange插值基函数，而是至多n次多项式，且满足称其 为n次Lagrange插值多项式。
0.6 0.56464 0.8521
二阶差
五阶差
三阶差商 四阶差商
商
商
-0.1495 -0.1475 -0.1945 -0.2400
0.00667 -0.15667 -0.40835 -0.15167 0.0125
0.8417
（1）由牛顿公式得一次插值多项式为
（2）由牛顿公式得二次插值多项式为
（3）由牛顿公式得五次插值多项式为
Hermite插值法：增加了节点处对导数的限制，从而能更全面的反 映被插值函数的性态。而其所构造的多项式能更好地逼近函数。