【常考题】高三数学上期末试卷(及答案)
一、选择题
1．数列{}n a 满足()11n
n n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( )
A ．100
B ．-100
C ．-110
D ．110
2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2
39522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )
A ．
12
B ．2
C ．2
D ．
22
3．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+
B ．31+
C ．232-
D ．31-
4．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
5．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2
cos 22C a b
a
+=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形
B ．等边三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )
A ．12n -
B ．1
3
()
2
n -
C ．1
2()
3
n - D ．
1
12n - 7．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且
223tan 2
S B =+，则A 等于（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
9．已知数列{}n a 满足112,0,2
121,1,
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若135a =，则数列的第2018项为 （ ）
A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
10．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +
++=∈且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是( )
A ．－5
B ．－
15
C ．5
D ．
15
11．已知数列{}n a 中，()111,21,n n n
a a a n N S *
+==+∈为其前n 项和，5
S
的值为
（ ） A ．63
B ．61
C ．62
D ．57
12．已知x ，y 均为正实数，且111226
x y +=++，则x y +的最小值为（ ） A ．20
B ．24
C ．28
D ．32
二、填空题
13．已知lg lg 2x y +=，则11
x y
+的最小值是______.
14．关于x 的不等式a 34
≤
x 2
﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 16．已知等差数列{}n a 的公差为()d d 0≠，前n 项和为n S
，且数列也为公差
为d 的等差数列，则d =______．
17．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对应的边长分别为a ，b ，c
，且cos 3
C =
，cos cos 2b A a B +=，则ABC ∆的外接圆面积为__________．
18．在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a = ．
19．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________． 20．等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，1
lim 2
n n S →∞
=
，则首项1a 的取值范围是____________．
三、解答题
21．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 11
4
=，公比q >0，S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列.
（1）求{a n }； （2）设b n ()
()22
21
2n n n n c n b b log a +=
=+，，求数列{c n }的前n 项和T n .
22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
22sin sin 1cos A C B =-．
（1）若2a =，22c =，求b ； （2）若14
sin 4
B =
，3a =，求b ． 23．如图，在ABC ∆中，45B ︒∠=，10AC =,25
cos C ∠=
点D 是AB 的中点, 求
（1）边AB 的长；
（2）cos A 的值和中线CD 的长
24．已知函数f(x)＝x 2
－2ax －1＋a ，a∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝
()
f x x
(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围．
25．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；
（2）若3a =，ABC △的面积为
33
2
，求11b c +的值．
26．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；
（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，
123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】
数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．
【详解】
∵数列{a n }满足1(1)n
n n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．
则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()
101192
⨯+=-=-100．
故选：B ． 【点睛】
本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．D
解析：D 【解析】
设公比为q ，由已知得()2
2841112a q a q a q ⋅=，即2
2q
=，又因为等比数列{}n a 的公比为
正数，所以2q =，故212
22
a a q =
==
，故选D. 3．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据题意，作出可行域，分析y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102
x y y -+=⎧⎨=⎩，得点A 的坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-，
所以
y
x 的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用平方化倍角公式和边化角公式化简2
cos
22C a b a
+=得到sin cos sin A C B =，结合三角形内角和定理化简得到cos sin 0A C =，即可确定ABC V 的形状． 【详解】
22cos 2a b a
C +=Q 1cos sin sin 22sin C A B
A ++\
=化简得sin cos sin A C B = ()B A C p =-+Q
sin cos sin()A C A C \=+即cos sin 0A C =
sin 0C ≠Q
cos 0A ∴=即0A = 90
ABC ∴V 是直角三角形 故选A 【点睛】
本题考查了平方化倍角公式和正弦定理的边化角公式，在化简2
cos
22C a b a
+=时，将边化为角，使边角混杂变统一，还有三角形内角和定理的运用，这一点往往容易忽略．
6．B
解析：B
【分析】
利用公式1n n n a S S -=-计算得到113
23,2
n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】
由已知111
2n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即113
23,
2
n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以1
3
()2
n n S -=.
故选B. 【点睛】
本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.
7．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用三角形面积公式可得
2tan 1acsinB 2bc c B +=
，结合正弦定理及三角恒等变换知识
cosA 1-=，从而得到角A. 【详解】
∵
2
tan bc c B S +=∴
2tan 1acsinB 2bc c B +=即
c tan asinB a b B +=
=
()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=+
+ cosA 1-= ∴1sin 62
A π⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭， ∴56
6
6
A 或
π
π
π
-=
（舍） ∴3
A π
=
故选C
此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】
解：∵∠C ＝120°，c
a ，
∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．
∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，
∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，
∴a ＞b 故选A ． 【点睛】
本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】
11
12,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧
≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=
，32225a a ==，43425a a ==，5413
215
a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则20184504221
5
a a a ⨯+===
. 故选A . 【点睛】
本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.
10．A
【解析】
试题分析：331313log 1log log log 1n n n n a a a a +++=∴-=Q 即13
log 1n n a a +=13n n
a
a +∴= ∴数列{}n a 是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=
15793
log ()5a a a ∴++=-．
考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．
11．D
解析：D 【解析】
解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：
1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，
分组求和有：(
)5
521255712
S ⨯-=-=- .
本题选择D 选项.
12．A
解析：A 【解析】
分析：由已知条件构造基本不等式模型()()224x y x y +=+++-即可得出. 详解：,x y Q 均为正实数，且
111226x y +=++，则116122x y ⎛⎫
+= ⎪++⎝⎭
(2)(2)4
x y x y ∴+=+++-
11
6(
)[(2)(2)]422
x y x y =++++-++
226(2)46(242022y x x y ++=+
+-≥+-=++ 当且仅当10x y ==时取等号.
x y ∴+的最小值为20. 故选A.
点睛：本题考查了基本不等式的性质，“一正、二定、三相等”.
二、填空题
13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填
解析：1
5
【解析】
由lg lg 2x y +
=得：100xy =，所以
11111111
()100100505xy x y xy x y x y ⎛⎫+=+=+≥= ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填
1
5
. 14．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行
的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有 解析：4 【解析】 【分析】
设f （x ）34
=
x 2
﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】
解：画出函数f （x ）＝
34x 2﹣3x +4＝3
4
（x －2）2＋1的图象，如图，
可得f （x ）min ＝f （2）＝1，
由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．
又不等式a ≤
34
x 2
－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2
23344
3344
a a
b b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
由
34
b 2
－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝4
3
或b ＝4. 当b ＝
43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．
15．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：
6766
【解析】
试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得
137,2266a d =
=，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 16．【解析】【分析】表示出再表示出整理并观察等式列方程组即可求解【详解】等差数列的公差为前项和为设其首项为则=又数列也为公差为的等差数列首项为所以=即：整理得：上式对任意正整数n 成立则解得：【点睛】本题 解析：
12
【解析】 【分析】
表示出n S 【详解】
等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，设其首项为1a ， 则n S =()112
n n na d -+，
又数列
也为公差为d =
()1n d -()1n d =-
=
上式对任意正整数n
成立， 则)
2120122d d d d a d d ⎧=⎪=⎪-+=⎪⎩，解得：12d =，134a =- 【点睛】
本题主要考查了等差数列的前n 项和及通项公式，考查了方程思想及转化思想、观察能力，属于中档题．
17．【解析】【分析】根据正弦定理得到再根据计算得到答案【详解】由正弦定理知：即即故故答案为【点睛】本题考查了正弦定理外接圆面积意在考查学生的计算能力
解析：9π
【解析】
【分析】
根据正弦定理得到()1sin
sin A B C R +==，再根据cos 3C =计算1sin 3C =得到答案. 【详解】
由正弦定理知：cos cos 2sin cos 2sin cos 2b A a B R B A R A B +=⋅⋅+⋅=， 即()1sin
sin A B C R +==，cos C =，1sin 3C =， 即3R =.故29S R ππ==.
故答案为9π
【点睛】
本题考查了正弦定理，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.
18．8【解析】【分析】【详解】设等差数列的公差为则所以故答案为8 解析：8
【解析】
【分析】
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
则351712610a a a a a d +=+=+=，
所以71101028a a =-=-=，故答案为8.
19．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限
制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的
解析：a <<【解析】
由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足
22222222224130130310
a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩
，解得a << ∴实数a
的取值范围是．
答案：
点睛：
根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．
20．【解析】【分析】由题得利用即可得解【详解】由题意知可得又因为所以可求得故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式数列极限的运算法则考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 【解析】
【分析】 由题得11(1)2a q =
-，利用(1,0)(0,1)q ∈-⋃即可得解 【详解】 由题意知，1112a q =-，可得11(1)2
a q =-，又因为(1,0)(0,1)q ∈-⋃，所以可求得1110,,122a ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U . 故答案为：110,,122⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
U 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式其前n 项和公式、数列极限的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
21．（1）a n 11
()2n +=；（2）T n 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦
.
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项的性质列方程，并转化为1,a q 的形式，由此求得q 的值，进而求得数列{}n a 的通项公式.
（2）利用裂项求和法求得数列{}n c 的前n 项和n T .
【详解】
（1）由S 1+a 1，S 3+a 3，S 2+a 2成等差数列，
可得2（S 3+a 3）=S 2+a 2+S 1+a 1，
即有2a 1（1+q +2q 2）=3a 1+2a 1q ，
化为4q 2=1，公比q >0，
解得q 12=
. 则a n 14= ⋅（12）n ﹣111()2
n +=； （2）b n 212222111()(2)(1)n n log a log n --=
==+， c n =（n +2）b n b n +2=（n +2）⋅
22221111(1)(3)4(1)(3)n n n n ⎡⎤=-⎢⎥++++⎣⎦
， 则前n 项和T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ﹣1+c n
14=[22222222221111111111243546(2)(1)(3)n n n n -+-+-++-+-+++L ] 2211111449(2)(3)n n ⎡⎤=
+--⎢⎥++⎣⎦ 2211311436(2)(3)n n ⎡⎤=--⎢⎥++⎣⎦
. 【点睛】
本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式的基本量计算，考查裂项求和法，属于中档题.
22．（1
）b =2
）b =
【解析】
【分析】
（1
2b =，根据已知可求b 的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B
，由余弦定理可得
2224
a c ac =+-g
，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】
（1）
Q 22sin 1cos sin A C B B =-=．
∴
2b =，
2a =Q
，c =
b ∴=
（2
）sin 4B =Q
，cos 4
B ∴=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-
222a c ac =+-，
又a =
c =
2
b ∴=
经检验，b
【点睛】
本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题．
23．（1）2 （2
【解析】
【分析】
【详解】
（（1
）由cos 05
ACB ∠=>可知，ACB ∠是锐角，
所以，sin ACB ∠===由正弦定理sin sin AC AB B ACB =∠
,sin 2sin 2
AC AB ACB B =∠== （2）cos cos(18045)cos(135)A C C ︒︒︒=--=-
(cos sin )2C C =-+= 由余弦定理:
CD === 考点：1正弦定理；2余弦定理．
24．（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.
【详解】
(1)依题意得y=()f x x =2-41x x x
+=x+1x -4. 因为x>0,所以x+
1x ≥2.当且仅当x=1x
时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2. 所以当x=1时,y=
()f x x
的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1, 所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.
不妨设g(x)=x 2-2ax-1,
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.
所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩
解得a≥
34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
25．（1）
3π；（2【解析】
【分析】
（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。
（ 2）可通过计算b c +和bc 的值来计算
11b c +的值。
【详解】
（1）由()bsin 2sin 0A a A C -+=得bsin 2sin sin A a B b A ==，
又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以A 3π=。
（2）由ABC n 及A 3π=得1bcsin 23π=bc 6= ，
又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c +=，
所以112
b c b c bc ++==。
【点睛】
本题考察的是对解三角函数的综合运用，需要对相关的公式有着足够的了解。
26．（1）2n n a =；（2）99
n n +. 【解析】
【分析】
（1）根据题意列出关于首项与公比的方程，求解，即可得出数列{}n a 的通项公式． （2）由q ＜1，可得数列{}n a 的通项公式，进而求得n b 及n S ，最后利用裂项相消法求1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 【详解】
（1）据题意，得()
31231111622a q a q a q a q ⎧=⎪⎨+=+⎪⎩， 解得23
q =
或2q =， 又∵1q > ∴2q = ∴131622
a == ∴2n n a =； （2）据（1）求解知1q <时，23q =
， ∴42163n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭，
∴154a =，236a =，
∴3154b a ==，51290b a a =+=，
∴等差数列{}n b 的公差5390541822
b b d --===， ∴1325421818b b d =-=-⨯=，
∴()211818992n n n S n n n -=⨯+
⨯=+ ∴2111119991n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，
∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和111111111111929239199
n n n n S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查等差、等比数列的通项公式以及利用裂项相消法求数列的和，考查学生的运算能力．。
