微积分(上册)期末考试卷含答案

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………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封

线…………

中南大学考试试卷

2009 ~2010学年 一 学期 微积分A 课程

（时间：10年1月21日，星期四，15：20—15：00，共计：100分钟）

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

1.])2(sin 11sin

[lim x x x

x x x x x +++∞

→= . 2. 函数32

y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极

值.

3. 广义积分

=-+∞⎰

dx e x 20

.

4.幂级数

n

n n x n 30

212∑∞

=-的收敛半径=R ，收敛区间为 ． 5．曲线⎪⎩

⎪⎨⎧==++11

222z z y x 的参数方程为 .

二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分）

1．当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）．

（A ）x

1sin ； （B ）x e 1

； （C ）)1ln(2x +； （D ）x

e ．

2．设x

e

x f -=)(，则

='⎰

dx x

x f )

(ln （ ）

． （A ）C x +-

1； （B ）C x x

+ln 1； （C ）

C x +1； （

D ）C e x

x +1． 3. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数x

x f x F )

()(=

的（ ）． （A ）无穷间断点； （B ）可去间断点； （C ）连续点； （D ）振荡间断点．

4.如果b a ,是方程0)(=x f 的两个根，)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，那么方程

0)(='x f 在),(b a 内（ ）．

(A)只有一个根； (B)至少有一个根； (C)没有根； (D)以上结论都不对．

5．无穷级数

∑

∞

=--1

1)1(n p

n n ，(0>p )敛散性是（ ）．

(A)一定绝对收敛； (B)一定条件收敛； (C)一定收敛； (D)以上结论都不对．

三、(14分，每小题7分)按要求求下列函数的导数

1．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求

4

0π

=

=y x dx

dy ．

2．设⎩⎨⎧==-t

t e

y te x ，求dx dy ，22dx y d ． 四、(10分）已知由曲线2x y = 与)0(3>=c cx y 所围成平面图形D 的

面积为3

2

。(1)求参数c ；(2)计算该平面图形D 绕x 轴旋转一周所得立体的体积.

五、(14分，每小题7分) 按要求求解下列各题

1．已知1sin d lim

2

=-+⎰

→x

bx t

t

a t x

x ，试求b a ,。

2．讨论广义积分

⎰

∞+2

)(ln 1dx x x p

(p 为任意实数)的敛散性．

六、（8分）设)(x f 是周期为4的周期函数，它在)2,2[-上的表达

式为

⎩⎨

⎧<≤<≤-=2

0,02,0)(x k x x f

将)(x f 展开成Fourier 级数。

七、（7分）一平面过两点)1,1,1(1M 和)1,1,0(2-M 且垂直于平面0=++z y x ，求它的方程。

八、(7分）对物体长度进行了n 次测量，得到n 个数n x x x ,,,21 。现在

要确定一个量x ，使之与测得的数值之差的平方和最小.x 应该是多少？

九、（10 分）设]4,0[),(∈=x x f y 的图像如下图所示，其中A(0,1)，

B(2，1-)，C(4,1)，(1)求出⎰=x

x x f x F 0

d )( )(的表达式；(2)由

]4,0[),(∈=x x f y 的图形特征画出⎰

=

x

x x f x F 0

d )( )(的图形。

2009级第一学期微积分A 期终考试试卷参考答案

一、填空题(共15分，每小题3分)

1. 21e +；2． 2

30b ac -<；3. 1/2 ； 4.)2,2(,

2333-； 5.1,sin ,cos ===z t y t x

二、选择题(共15分，每小题3分)

1．（ C ）．2．（ C ）．3.（ B ）．4.（ B ）．5．（ C ）． 三、(共14分，每小题7分)按要求求下列函数的导数

1.

4

ln 211cos 1

arcsin 1ln 24

022

24

0π

π

π

-=+--

=

=

==

=y x x y x y

y x x y

e dx

dy ．

2. t e te e e x y dx dy t t t t t t -=-=''=--12 ，3

322222)

1()23()1(1)1()1(2t e t e t t e t e x d y d t t t t --=-⋅-+-=-． 四、（10分）解：(1)由⎪⎩⎪⎨⎧==3

2cx

y x y 得交点)1

,1(),0,0(2c

c ，依题意有

3

2

||c 10

32=

-⎰

dx cx x ，得：21=c 。

(2)35

64)41

(2

64π

π=

-=

⎰

dx x x V x 。 五、(14分，每小题7分) 按要求求解下列各题

1．已知1sin d lim

2

=-+⎰

→x

bx t

t

a t x

x ，试求b a ,。

2． (答案：见教材上册P246例6.33) 解：当1≠p 时，

⎪⎩⎪⎨⎧>-<∞+=

-=

∞+-∞+⎰

1

,1

11,1)(ln )(ln 1

212

p p p p x dx x x p p

当1=p 时，

⎪⎩

⎪⎨⎧>-<∞+=

=∞

+∞+⎰

1

,111,)

(ln 1

22

p p p dx x x

六、（8分） (答案：见教材上册P326例7.42) 解：k dx x f a ==

⎰

-2

2

0)(2

1，,,2,1,02

cos

2

1

2cos

)(2

12

2

2

====

⎰

⎰

-n dx x

n k dx x n x f a n ππ ⎪⎩⎪⎨⎧==

=

⎰

⎰

-为偶数

为奇数

n n n k dx x n k dx x n x f b n ,0,22sin 2

1

2sin )(2

1

2

2

2

πππ

从而得)(x f 的Fourier 展开式为