云大2006数学分析

云南大学2006年硕士研究生入学考试试题
专业：基础数学、计算数学、应用数学、运筹学与控制论 考试科目：数学分析
一、计算极限
1
、9lim ln n n n n →∞⎫+⎛⎫+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭， 2、设当0x →时，23013
x t x x e dt ---⎰与n x 是同阶无穷小量，求正整数n 的值。

二、已知f(x)的一个原函数为sin x x
，求3()x f x dx '⎰ 三、证明不等式()1ln 2,011x x x x
+><<- 四、设f(x)在[0,a]上有连续的导数，若f(0)= f(a)，求证：至少存在一点()0,a ξ∈，使得
()2()3(()0)f f f ξξξ'=-
五、求幂级数()
201n n n x ∞=+∑的收敛域、和函数，并求级数()()20112n n n n ∞=-+∑的和。

六、将函数()(50)f x x x =-≤≤展开成周期为10的正弦级数。

七、设u,v 为x,y 的隐函数，它们由方程组01xu yv yu xv +=⎧⎨
+=⎩确定，在点（1，0，0，1）处求 八、设()()()11[]22x at x at
u x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰，其中ϕ和ψ分别具有一、二阶连续偏导数，证明22222
0u u a t x ∂∂-=∂∂
九、计算积分D ，其中，D 是圆()2
211x y ++=与直线y x =-围成的小部分区域。

十、计算积分()()2212S
dydz x y dzdx x x z dxdy +-+-⎰⎰，其中，S 是曲面221z x y =++被平面z=2所截得的一块曲面的下侧。

清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++-（n=2,3,….）那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-<，而1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-<，由柯西准则{}n x 收敛。

2．证：（反证法）（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和3()f x 。

(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。

(ii)()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得51()()f x f x =，也得到矛盾。

(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。

由介值定理，存在412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。

∴f(x)在I 必严格单调。

3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。

云南大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试专业参考书目（按专业代码顺序查询）010101马克思主义哲学:1、李秀林等编，《辩证唯物主义和历史唯物主义》，中国人民大学出版社，1995年（第四版）；2、赵家祥等著，《马克思主义哲学教程》，北京大学出版社，2003年版；3、孙正聿著，《哲学通论》，辽宁人民出版社，1998年版；4、赵敦华著，《西方哲学简史》，北京大学出版社，2001年版；5、苗力田等编，《西方哲学史新编》，人民出版社，1990年版。

010105伦理学：1、李秀林等编，《辩证唯物主义和历史唯物主义》，中国人民大学出版社，1995年（第四版）；2、赵家祥等著，《马克思主义哲学教程》，北京大学出版社，2003年版；3、孙正聿著，《哲学通论》，辽宁人民出版社，1998年版；4、罗国杰，《伦理学》，人民出版社，1988年版；5、唐凯麟，《伦理学》，高等教育出版社，2001年版；010106美学(005人文学院):1、童庆炳主编，《文学理论教程》，高等教育出版社；2、郭锡良等，《古代汉语》（上、下），商务印书馆；3、袁行霈主编，《中国文学史》，高等教育出版社；4、朱栋霖主编，《中国现代文学史1917——1997》（上、下），高等教育出版社；5、郑克鲁主编，《外国文学史》，高等教育出版社；6、黄伯荣、廖序东主编，《现代汉语》，高等教育出版社；7、叶蜚声、徐通锵，《语言学纲要》，北京大学出版社；8、刘守华、陈建宪主编，《民间文学教程》，华中师范大学出版社。

010107宗教学:马克思主义哲学原理：1、李秀林等编，《辩证唯物主义和历史唯物主义》，中国人民大学出版社，1995年（第四版）；2、赵家祥等著，《马克思主义哲学教程》，北京大学出版社，2003年版；3、孙正聿著，《哲学通论》，辽宁人民出版社，1998年版。

综合专业理论：1、吕大吉著，《宗教学纲要》，高等教育出版社，2003年版；2、陈麟书、陈霞主编，《宗教学原理》，宗教文化出版社，2003年版。

北京航空航天大学2005-2006学年第一学期考试统一用答题册考试课程数学分析B班级成绩姓名学号2006年1月数学分析(上)期终考试试题班级 学号 姓名 日期：2006.1.20一、填空题（每小题4分，共20分）1．sin 0tan 00lim x →+⎰⎰=2． 不定积分dx x ⎰sec =3． 设()f x 有一阶连续导数，则'()d f x x ⎰= ，10'(2)d f x x⎰= 。

4． 设函数()2xf x xe -=，则()f x 在0=x 处的5阶带Peano 余项的泰勒公式为5．111lim ......12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭= 二、单项选择（每小题4分，共20分）1. 设()f x 连续,220()()d x F x f t t=⎰, 则 '()F x 等于 【 】A. 4()f xB.24()x f x C. 42()xf x D. 22()xf x2．下列命题中正确的是 【 】.A 若级数1n nn u v∞=∑收敛，则2211,nnn n uv∞∞==∑∑一定都收敛。

B ．若级数2211,nnn n uv∞∞==∑∑收敛，则1n nn u v∞=∑ 一定收敛 。

.C 若正项级数1nn u∞=∑发散，则必有1,1,2,3n u n n>= 。

.D 若1nn u∞=∑收敛，且,1,2,3,.....n n u v n ≥=，则1nn v ∞=∑也收敛。

3． 设正项数列{}n a 单调递减 ，()11nn n a ∞=-∑发散，则级数111nn n a ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑ 【 】A. 和等于1 B . 发散C . 收敛 D. 收敛性不能确定4. 设 1220011()d d 11xxF x t t t t =+++⎰⎰，则 【 】A ． ()0F x ≡ B.()2F x π≡C. ()arctan F x x =D. ()2arctan F x x =5. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f , 则⎰=xdt t f x F 0)()(在x = 0处 【 】Ａ．不连续 Ｂ. 连续但不可导Ｃ．连续且可导 D . 导函数连续三、计算题（每小题6分，共24分）1. xx d arctan⎰2. 221d (1)(2)x x x x +++⎰3. x x xd ln 12⎰∞+4. 设D 是由曲线 1sin +=x y 与三条直线 0,,0===y x x π 所围成的曲边梯形，求D 绕x 轴旋转一周所生成的旋转体的体积。

2005—2006学年第一学期
数学分析试题A卷〔05统计学专业〕〔检验时辰：1月6日上午8：00—10：00〕
一、打算以下极限〔共24分〕
1．〔8分〕
2．〔8分〕
3．〔8分〕设函数在点可导，求极限
二、
求以下导数与微分〔共24分〕
1．〔8分〕，求
2．〔8分〕由方程判定是的函数，求
3．〔8分〕设曲线的参数方程为，求
三、〔14分〕设，，，证明极限存在，并求出该
极限的值。

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四、〔12分〕证明不等式
.
五、〔12分〕设函数在点的某邻域内存在三阶
导函数，且，。

征询点是否为极值点？什么缘故？又征询点是否为拐点？什么缘故？
六、〔14分〕表达极限与存在的柯西收敛情理，
并由此证明：设在内连续，且，〔为有限数〕，那么在内不合连续。

清华大学2006数学分析真题参考答案1．若数列{}n x 满足条件11221n n n n x x x x x x M ----+-++-≤则称{}n x 为有界变差数列，证：令10y =，11221n n n n n y x x x x x x ---=-+-++- （n=2,3,….）那么{}n y 单调递增，由条件知{}n y 有界，{}n y ∴收敛 ，从而0,0N ε∀>∃>，使当n m N >>时，有n m y y ε-<，此即：11211n n n n m m x x x x x x ε---+--+-++-< ，而1121n m n n n n m m x x x x x x x x ε---+-≤-+-++-< ，由柯西准则{}n x 收敛。

2．证：（反证法）（1）若存在123,,x x x I ∈，且123x x x <<使得123()()()f x f x f x <>，考虑1()f x 和3()f x 。

(i)若()132()()()f x f x f x <<，由于()f x 在12[,]x x 上连续，由介值定理，必存在412[,]x x x ∈，使43()()f x f x =，定与一一映射矛盾。

(ii)()312()()()f x f x f x <<，这时考虑23[,]x x ，必存在523[,]x x x ∈使得51()()f x f x =，也得到矛盾。

(2)若存在123,,x x x I ∈且123x x x <<，123()()()f x f x f x ><。

由介值定理，存在412[,]x x x ∈，523[,]x x x ∈，使得42()()f x f x =，也与一一映射矛盾。

∴f(x)在I 必严格单调。

3．证：设()f x 在(,)a b 内两个不同实根为12x x <，即12()()0f x f x ==。