山西省太原市2018届高三第三次模拟考试理科数学试题(解析版)
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太原市2018年高三年级模拟试题(三)
理科数学
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合,则()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】详解:解不等式得集合A,B进而求,再求交集即可.
分析:集合,
,则.
故选C.
点睛:本题主要考查了集合的运算,属于基础题.
2. 若,则的值为()
A. 3
B. 5
C.
D.
【答案】D
【解析】分析:由复数的除法运算得,进而求模即可.
详解:由,可得.
.
故选D.
点睛:本题主要考查了复数的除法运算及复数模的概念,属于基础题.
3. “”是“”恒成立的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设成立;反之,
,故选A.
4. 若,则的大小关系为()
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以.
.
,所以,.
综上:.
故选D.
5. 中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余三,问物几何?”人们把此类题目称为“中国剩余定理”,若正整数除以正整数后的余数为,则记为
,例如.现将该问题设计一个程序框图,执行该程序框图,则输出的等于()
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
【答案】C
【解析】从21开始,输出的数是除以3余2,除以5余3,满足条件的是23,故选C.
6. 已知展开式中的系数为0,则正实数()
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】B
【解析】分析:由二项展开的通项公式得的展开式的通项公式,再与相乘得项,令其系数等于0可得解.
详解:的展开式的通项公式为:.
令得:;
令得:.
展开式中为:.
由题意知,解得(舍)或.
故选B.
点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项,再由特定项的特点求出r值即可.
(2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第r+1项,由特定项得出r值,最后求出其参数.
7. 已知数列的前项和,若,则()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】详解:由,得,数列是从第二项起的等比数列,公比为4,利用
即可得解.
详解,由,可得.
两式相减可得:.
即.
数列是从第二项起的等比数列,公比为4,
又所以.
所以.
故选B.
点睛:给出与的递推关系,求a n,常用思路是:一是利用转化为a n的递推关系,再求其通项公式;二是转化为S n的递推关系,先求出S n与n之间的关系,再求a n.
8. 如图是正四面体的平面展开图,分别是的中点,在这个正四面体中:①与平行;
②与为异面直线;③与成60°角;④与垂直.以上四个命题中,正确命题的个数是()
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】分析:正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,
①,依题意,MN∥AF,而DE与AF异面,从而可判断DE与MN不平行;
②,假设BD与MN共面,可得A、D、E、F四点共面,导出矛盾,从而可否定假设,肯定BD与MN为异面直线;
③,依题意知,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,于是可判断GH与MN成60°角;
④,连接GF,那么A点在平面DEF的射影肯定在GF上,通过线面垂直得到线线垂直.
详解:将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B、C)﹣DEF,如图:
对于①,M、N分别为EF、AE的中点,则MN∥AF,而DE与AF异面,故DE与MN不平行,故①错误;对于②,BD与MN为异面直线,正确(假设BD与MN共面,则A、D、E、F四点共面,与ADEF为正四面体矛盾,故假设不成立,故BD与MN异面);
对于③,依题意,GH∥AD,MN∥AF,∠DAF=60°,故GH与MN成60°角,故③正确;
对于④,连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF上,∴DE⊥平面AGF,DE⊥AF,
而AF∥MN,∴DE与MN垂直,故④正确.
综上所述,正确命题的序号是②③④,
故答案为:②③④.
点睛:本题主要考察了空间中的两直线的位置关系,需要一定的空间能力,属于中档题.
9. 已知抛物线的焦点为,准线为,是上一点,直线与抛物线交于两点,若,则
()
A. B. 8 C. 16 D.
【答案】A
【解析】分析:利用抛物线性质分析线段比,进而得直线斜率,写出直线的方程,再将直线的方程与抛物线y2=4x的方程组成方程组,消去y得到关于x的二次方程,最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长.
详解:抛物线C:的焦点为F(1,0),准线为l:x=﹣1,与x轴交于点Q
设M(x1,y1),N(x2,y2),M,N到准线的距离分别为d M,d N,
由抛物线的定义可知|MF|=d M=x1+1,|NF|=d N=x2+1,于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2.
∵,
∴,即,∴.
∴,∴直线AB的斜率为,
∵F(1,0),∴直线PF的方程为y=(x﹣1),
将y=(x﹣1),代入方程y2=4x,得3(x﹣1)2=4x,化简得3x2﹣10x+3=0,
∴x1+x2=,于是|MN|=|MF|+|NF|=x1+x2+2=+2=.
故选:A.
点睛:该题考查的是有关抛物线的焦点弦长的问题,以及抛物线的定义和性质,在解题的过程中,求焦点弦长的时候,也可以联立方程组,利用求得结果.
10. 已知函数的图象过点,且在上单调,同时的图象向左平移个单位之后与原来的图象重合,当,且时,,则()
A. B. -1 C. 1 D.
【答案】B
【解析】分析:由题意求得φ、ω的值,写出函数f(x)的解析式,求图象的对称轴,得x1+x2的值,再求f (x1+x2)的值.
详解:由函数的图象过点,
∴,解得,
又,∴,∴;