数值分析-数值计算方法

Equation 简写为 ODE )
• 计算机基础及计算机语言
第一章 算术运算中的误差分析初步
• 数值方法、算法 • 误差来源 • 误差大小的衡量方法 • 舍入误差与有效数字 • 数据误差在算术运算中的传播 • 机器误差
数值方法(Numerical Method)：
• 数值方法是对给定问题的输入数据和所 需计算结果之间的关系的一种明确的描 述。
数值计算方法
The Method of Numerical Computation Numerical Analysis
教材
林成森 编著 «数值计算方法»上下册 科学出版社 1998
先行课程
• 数学分析 ( Mathematical Analysis ) • 线性代数 ( Linear Algebra ) • 常微分方程 ( Original Differential
产生的误差。即z f (x, y) 的误差。 假设绝对误差ex , ey 的绝对值都很小，
且 f (x, y) 可微，
则 z 的误差
ez z z f (x, y) f (x, y)
可以近似地表示成
ez

(
f x
)(
x
,
y
)ex

(
f y
)(
x
,
y
)e
y
Fra Baidu bibliotek（5. 1）
而且，
相对误差：
rx y

x
x
y
rx

x
y
y
ry
从上式可见，接近相等的同号数相减时，
会使计算结果的误差变得很大。
故应避免相减相消。
（2） f (x, y) xy : 绝对误差： exy yex xey ； 相对误差： rxy rx ry
（3） f (x, y) x / y :
(6.3)
一般地，一个 p 进制数 x 可以表示为
t
x p J dk pk
(6.4)
k 1
其中 dk , k 1,, t 都是0,1,2,, p 1中的一个数字
或记 x a p J
(6.5)
其中
t
a dk 10 k 0.d1d2 dt
k 1
称为数 x 的尾数（其值小于 1）
误差大小的衡量：
• 绝对误差 （ absolute error ) • 相对误差 （ relative error ) • 误差界 （ bound of error )
舍入误差与有效数字
• 舍入误差 （rounding error )（四 舍五入表示近似数产生的误差 ）
• 有效数字 — 第一位非零数字到最 右边的数字为止的所有的数字被称 为有效数字。
绝对误差：
ex / y
yex xey y2
；
从上式可见，
应避免绝对值很小的数作分母。
相对误差： rx / y rx ry
例 1 求方程 ax2 bx c 0 , a 0 的两个根分别为
x1 b
b2 4ac 2a
和
x2 b
b2 4ac 2a
(6.6)
J 为数 x 的阶，它用于定 x 的小数点的位置。
如果 J 不变，则(6.4)或(6.5)为定点表示， 此时通常取 J 0 或 J t
如果阶 J 可变，则(6.4)或(6.5)为浮点表示， 若尾数的第一位数字d1 非零，则该数称为 规格化浮点数。 尾数对十进制满足 0.1 a 1 对二进制满足 1 a 1
若 b 0 , 且b2 4ac 0 ，则x1 需改为
x1 b
2c b2 4ac
例 2 计算表达式 1 cos x 。 当 x0 时
为避免相减相消，应利用 恒等式
1 cos x 2 sin2 x 2
机器误差
• 计算机中数的表示
• 浮点运算和舍入误差
设计算机中的数x 为有限位小数，
rz

ez z

x ( f )( x, y) ex
z x
x

y ( f )( x, y) ey
z y
y

x z
f ( x )( x, y)rx

y z
( f )( x, y
y )ry
(5. 2)
初始数据误差和计算结果中产 生的误差之间有下列关系
（1） f (x, y) x y : 绝对误差： ex y ex ey ；
例： 计算 a 的 Newton 法的一种算法
输入 初始近似值 x0 ；最大迭代次数 m
输出 a 的近似值 p 或迭代失败的信息
step1 p0 x0 step2 对 n 1,, m 做 step3 — 4
step3
p

( p0

a )/2 p0
step4 若 p p0 108 ，则输出（ p ），停机，否则 p0 p
step5 输出 （ ‘Method failed ’）
停机
建立数值方法的基本原则：
• 便于在计算机上实现 • 计算工作量尽量小 • 存储量尽量小 • 问题的解与近似解的误差小
误差的来源(Error Resource)：
• 模型误差 ( Model Error ) • 数据误差 ( Data Error ) • 截断误差 (Truncation Error ) • 离散误差 ( Discrete Error ) • 数据计算过程中的误差
例：
用 Newton 法 ( 将在 Ch2 §4 中讨论)
计算 3 。
给定 3 的一个初始近似值 x0 , ( x0 0 )
由迭代公式：
xn

1 2
( xn1

3) xn1
,
n
1, 2 ,
产生一个序列 x0 , x1,, xn ,
算法：(Algorithm)
• 它是算术和逻辑运算的完整描述， 按一定顺序执行这些运算，经有 限步把输入数据的每一个容许集 转换成输出数据。
数据误差在算术运算中的传播
• 初始数据误差和计算结果中产生的误差 之间的关系
• 避免相减相消。
设 x, y 分别是初始数据x, y 的近似值，即
x x ex , y y ey
ex , ey 分别是 x, y 的绝对误差。
考察用 x, y 分别代替x, y 计算函数值
z f (x, y)
表示为
x 10 J
t
d k 10 k
k 1
(6.1)
其中 L J U （L 和 U 是正整数或零）
t 为计算机的字长， di , i 1,, t 都是0,1,2,,9 中的一个数字
t
若记 a dk10 k 0.d1d2 dt (6.2)
k 1
则
x a 10J