历年高考数学试卷附标准解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 1，则f(x)的对称中心是（）。

A. (0, 1)B. (0, -1)C. (1, 0)D. (-1, 0)2. 若等差数列{an}的公差为d，且a1 = 2，a4 = 8，则d的值为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 53. 下列命题中正确的是（）。

A. 函数y = x^2在[0, 1]上单调递增B. 函数y = log2x在(0, +∞)上单调递减C. 函数y = sinx在[0, π]上单调递增D. 函数y = e^x在(-∞, +∞)上单调递增4. 已知复数z = 1 + i，则|z|的值为（）。

A. √2B. 2C. 1D. 05. 若向量a = (1, 2)，向量b = (2, -1)，则a·b的值为（）。

A. 5B. -5C. 0D. 16. 已知等比数列{bn}的公比为q，且b1 = 2，b4 = 32，则q的值为（）。

A. 2B. 4C. 8D. 167. 若等差数列{cn}的公差为d，且c1 = 3，c4 = 15，则d的值为（）。

A. 3B. 4C. 5D. 68. 下列函数中，定义域为实数集R的是（）。

A. y = 1/xB. y = √(x^2 - 1)C. y = log2xD. y = e^x9. 若向量a = (2, 3)，向量b = (3, 4)，则a⊥b的充要条件是（）。

A. a·b = 0B. a = λbC. |a| = |b|D. a + b = 010. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像与x轴的交点个数为（）。

A. 1B. 2C. 3D. 411. 下列不等式中，正确的是（）。

A. |x| > 1B. x^2 > 1C. log2x > 1D. e^x > 112. 已知等比数列{an}的公比为q，且a1 = 3，a3 = 9，则q的值为（）。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 下列各式中，等式成立的是（）A. \( x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) \)B. \( \sqrt{x^2} = |x| \)C. \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)D. \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c \)答案：B解析：选项A是平方差公式，选项C是完全平方公式，选项D是比例的性质。

只有选项B中的根号和绝对值是等价的，所以选B。

2. 函数 \( y = \sqrt{2x - 1} \) 的定义域是（）A. \( x \geq \frac{1}{2} \)B. \( x < \frac{1}{2} \)C. \( x > \frac{1}{2} \)D. \( x \leq \frac{1}{2} \)答案：A解析：由于根号下的表达式必须大于等于0，所以 \( 2x - 1 \geq 0 \)，解得 \( x \geq \frac{1}{2} \)。

3. 已知等差数列 \( \{a_n\} \) 的前n项和为 \( S_n = 2n^2 + n \)，则该数列的公差是（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：等差数列的前n项和公式为 \( S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n - 1)d] \)，代入 \( S_n = 2n^2 + n \) 解得 \( d = 2 \)。

4. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的单调递增区间是（）A. \( (-\infty, -\sqrt{3}) \)B. \( (-\sqrt{3}, \sqrt{3}) \)C. \( (\sqrt{3}, +\infty) \)D. \( (-\infty, \infty) \)答案：C解析：函数的导数 \( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，令 \( f'(x) > 0 \) 解得\( x > \sqrt{3} \) 或 \( x < -\sqrt{3} \)，所以单调递增区间是\( (\sqrt{3}, +\infty) \)。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = 2x - 1，那么f(3)的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C解析：将x=3代入函数f(x) = 2x - 1，得到f(3) = 23 - 1 = 6 - 1 = 5。

2. 若|a| = 3，|b| = 4，则|a + b|的最大值为（）A. 7B. 8C. 11D. 12答案：C解析：由三角不等式可知，|a + b| ≤ |a| + |b|，所以|a + b| ≤ 3 + 4 = 7。

当a和b同号时，|a + b|取最大值，即|a + b| = |a| + |b| = 3 + 4 = 7。

3. 若x^2 - 4x + 3 = 0，则x的值为（）A. 1B. 3C. 2D. 5答案：A解析：这是一个一元二次方程，可以通过因式分解或使用求根公式来解。

因式分解得(x - 1)(x - 3) = 0，所以x = 1或x = 3。

故选A。

4. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，公差d = 2，则a10的值为（）A. 21B. 23C. 25D. 27答案：C解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n - 1)d，代入a1 = 3，d = 2，n = 10，得到a10 = 3 + (10 - 1)2 = 3 + 18 = 21。

5. 若log2(x + 1) = 3，则x的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 10答案：B解析：由对数定义可知，2^3 = x + 1，即8 = x + 1，解得x = 7。

6. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z在复平面上的轨迹是（）A. 圆B. 线段C. 直线D. 双曲线答案：A解析：复数z可以表示为z = x + yi，其中x和y是实数。

由|z - 1| = 2，即|(x - 1) + yi| = 2，表示复数z到点(1, 0)的距离为2，因此z在复平面上的轨迹是以(1, 0)为圆心，2为半径的圆。

高考数学试卷一.选择题〔每题5分，共50分，在每题给出四个选项中，只有一个是正确〕1．〔5分〕〔2021 •原题〕设i 是虚数单位，那么复数在复平面内对应点位于〔 〕 A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限2．〔5分〕〔2021 •原题〕以下函数中，既是偶函数又存在零点是〔 〕A ． y =cosxB ． y =sinxC ． y =lnxD ． y =x 2+13．〔5分〕〔2021 •原题〕设p ：1＜x ＜2，q ：2x ＞1，那么p 是q 成立〔 〕 A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件4．〔5分〕〔2021 •原题〕以下双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y=±2x是〔 〕 A ． x 2﹣=1 B ． ﹣y 2=1 C ． ﹣x 2=1 D ． y 2﹣=15．〔5分〕〔2021 •原题〕m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确是〔 〕 A ． 假设α，β垂直于同一平面，那么α与β平行 B ． 假设m ，n 平行于同一平面，那么m 与n 平行 C ． 假设α，β不平行，那么在α内不存在与β平行直线 D ． 假设m ，n 不平行，那么m 与n 不可能垂直于同一平面6．〔5分〕〔2021 •原题〕假设样本数据x 1，x 2，…，x 10标准差为8，那么数据2x 1﹣1，2x 2﹣1，…，2x 10﹣1标准差为〔 〕 A ． 8 B ． 15 C ． 16 D ． 327．〔5分〕〔2021 •原题〕一个四面体三视图如下图，那么该四面体外表积是〔 〕 A ． 1+ B ． 2+ C ． 1+2 D ． 28．〔5分〕〔2021 •原题〕△ABC 是边长为2等边三角形，向量，满足=2，=2+，那么以下结论正确是〔 〕 A ． ||=1 B ． ⊥ C ． •=1 D ． 〔4+〕⊥9．〔5分〕〔2021 •原题〕函数f 〔x 〕=图象如下图，那么以下结论成立是〔 〕 A ． a ＞0，b ＞0，c ＜0 B ． a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ． a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ． a ＜0，b ＜0，c＜010．〔5分〕〔2021 •原题〕函数f 〔x 〕=Asin 〔ωx+φ〕〔A ，ω，φ均为正常数〕最小正周期为π，当x=时，函数f 〔x 〕取得最小值，那么以下结论正确是〔 〕 A ． f 〔2〕＜f 〔﹣2〕＜f 〔0〕 B ． f 〔0〕＜f 〔2〕＜f 〔﹣2〕 C ． f 〔﹣2〕＜f 〔0〕＜f 〔2〕 D ． f 〔2〕＜f 〔0〕＜f 〔﹣2〕二.填空题〔每题5分，共25分〕11．〔5分〕〔2021 •原题〕〔x3+〕7展开式中x5系数是〔用数字填写答案〕12．〔5分〕〔2021 •原题〕在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上点到直线θ=〔ρ∈R〕距离最大值是．13．〔5分〕〔2021 •原题〕执行如下图程序框图〔算法流程图〕，输出n为14．〔5分〕〔2021 •原题〕数列{a n}是递增等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，那么数列{a n}前n项与等于．15．〔5分〕〔2021 •原题〕设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，以下条件中，使得该三次方程仅有一个实根是〔写出所有正确条件编号〕①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题〔共6小题，75分〕16．〔12分〕〔2021 •原题〕在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD长．17．〔12分〕〔2021 •原题〕2件次品与3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测完毕．〔Ⅰ〕求第一次检测出是次品且第二次检测出是正品概率；〔Ⅱ〕每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要检测费用〔单位：元〕，求X分布列与均值〔数学期望〕18．〔12分〕〔2021 •原题〕设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点〔1，2〕处切线与x轴交点横坐标〔Ⅰ〕求数列{x n}通项公式；〔Ⅱ〕记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．〔13分〕〔2021 •原题〕如下图，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1中点，过A1，D，E平面交CD1于F．〔Ⅰ〕证明：EF∥B1C；〔Ⅱ〕求二面角E﹣AD﹣B1余弦值．20．〔13分〕〔2021 •原题〕设椭圆E方程为+=1〔a＞b＞0〕，点O为坐标原点，点A坐标为〔a，0〕，点B坐标为〔0，b〕，点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM斜率为〔Ⅰ〕求E离心率e；〔Ⅱ〕设点C坐标为〔0，﹣b〕，N为线段AC中点，点N关于直线AB对称点纵坐标为，求E方程．21．〔13分〕〔2021 •原题〕设函数f〔x〕=x2﹣ax+b．〔Ⅰ〕讨论函数f〔sinx 〕在〔﹣，〕内单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；〔Ⅱ〕记f n〔x〕=x2﹣a0x+b0，求函数|f〔sinx〕﹣f0〔sinx〕|在[﹣，]上最大值D2〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕中，取a n=b n=0，求s=b ﹣满足条件D≤1时最大值．高考数学试卷〔理科〕一.选择题〔每题5分，共50分，在每题给出四个选项中，只有一个是正确〕1．〔5分〕〔2021 •原题〕设i 是虚数单位，那么复数在复平面内对应点位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数代数表示法及其几何意义．专题：计算题；数系扩大与复数．分析：先化简复数，再得出点坐标，即可得出结论．解答：解：=i〔1+i〕=﹣1+i，对应复平面上点为〔﹣1，1〕，在第二象限，应选：B．点评：此题考察复数运算，考察复数几何意义，考察学生计算能力，比拟根底．2．〔5分〕〔2021 •原题〕以下函数中，既是偶函数又存在零点是〔〕A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1考点：函数零点；函数奇偶性判断．专题：函数性质及应用．分析：利用函数奇偶性判断方法以及零点判断方法对选项分别分析选择．解答：解：对于A，定义域为R，并且cos〔﹣x〕=cosx，是偶函数并且有无数个零点；对于B，sin〔﹣x〕=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；对于C，定义域为〔0，+∞〕，所以是非奇非偶函数，有一个零点；对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；应选A．点评：此题考察了函数奇偶性与零点判断．①求函数定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶函数；如果关于原点对称，再判断f〔﹣x〕与f〔x〕关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数零点与函数图象与x轴交点以及与对应方程解个数是一致．3．〔5分〕〔2021 •原题〕设p：1＜x＜2，q：2x＞1，那么p是q成立〔〕A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件判断．专题：简易逻辑．分析：运用指数函数单调性，结合充分必要条件定义，即可判断．解答：解：由1＜x＜2可得2＜2x＜4，那么由p推得q成立，假设2x＞1可得x＞0，推不出1＜x＜2．由充分必要条件定义可得p是q成立充分不必要条件．应选A．点评：此题考察充分必要条件判断，同时考察指数函数单调性运用，属于根底题．4．〔5分〕〔2021 •原题〕以下双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=±2x 是〔〕A．x2﹣=1B．﹣y2=1C．﹣x2=1D．y2﹣=1考点：双曲线简单性质．专题：圆锥曲线定义、性质与方程．分析：对选项首先判定焦点位置，再求渐近线方程，即可得到答案．解答：解：由A可得焦点在x轴上，不符合条件；由B可得焦点在x轴上，不符合条件；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=±2x，符合条件；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y=x，不符合条件．应选C．点评：此题考察双曲线方程与性质，主要考察双曲线焦点与渐近线方程求法，属于根底题．5．〔5分〕〔2021 •原题〕m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，那么以下命题正确是〔〕A．假设α，β垂直于同一平面，那么α与β平行B．假设m，n平行于同一平面，那么m与n平行C．假设α，β不平行，那么在α内不存在与β平行直线D．假设m，n不平行，那么m与n不可能垂直于同一平面考点：空间中直线与平面之间位置关系；空间中直线与直线之间位置关系；平面与平面之间位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直、线面平行性质定理与判定定理对选项分别分析解答．解答：解：对于A，假设α，β垂直于同一平面，那么α与β不一定平行，如果墙角三个平面；故A错误；对于B，假设m，n平行于同一平面，那么m与n平行．相交或者异面；故B错误；对于C，假设α，β不平行，那么在α内存在无数条与β平行直线；故C错误；对于D，假设m，n不平行，那么m与n不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，那么这两条在平行；故D正确；应选D．点评：此题考察了空间线面关系判断；用到了面面垂直、线面平行性质定理与判定定理．6．〔5分〕〔2021 •原题〕假设样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，那么数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1标准差为〔〕A．8B．15C．16D．32考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据标准差与方差之间关系先求出对应方差，然后结合变量之间方差关系进展求解即可．解答：解：∵样本数据x1，x2，…，x10标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1方差为D〔2X﹣1〕=4DX=4×64，那么对应标准差为==16，应选：C．点评：此题主要考察方差与标准差计算，根据条件先求出对应方差是解决此题关键．7．〔5分〕〔2021 •原题〕一个四面体三视图如下图，那么该四面体外表积是〔〕A．1+B．2+C．1+2D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体三视图，得出该几何体是底面为等腰直角三角形三棱锥，结合题意画出图形，利用图中数据求出它外表积．解答：解：根据几何体三视图，得；该几何体是底面为等腰直角三角形三棱锥，如下图；∴该几何体外表积为S外表积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．应选：B．点评：此题考察了空间几何体三视图应用问题，解题关键是由三视图得出几何体构造特征，是根底题目．8．〔5分〕〔2021 •原题〕△ABC是边长为2等边三角形，向量，满足=2，=2+，那么以下结论正确是〔〕A．||=1B．⊥C．•=1D．〔4+〕⊥。

高考数学历年真题及答案详解一、选择题1. 题目描述：在平面直角坐标系中，点A(-3, 4)关于y轴的对称点是（）。

A. (3, -4)B. (-3, -4)C. (-3, 4)D. (3, 4)答案解析：点关于y轴对称即x取相反数，所以答案为A.(3, -4)。

2. 题目描述：已知函数 f(x) = 2^(2x-3)，则当 x = 1 时，f(x) 的值是（）。

A. 1B. 2C. 4D. 8答案解析：将x=1代入函数中，即f(1) = 2^(2*1-3)，化简得f(1)= 2^(-1) = 1/2，所以答案为A. 1。

二、填空题1. 题目描述：已知三角形ABC中，∠B = 90°，AC = 5 cm，BC =12 cm，求AB的长度。

答案解析：根据勾股定理，AB^2 + BC^2 = AC^2，代入已知数据得AB^2 + 12^2 = 5^2，化简得AB^2 = 25 - 144 = -119，由于长度不能为负数，所以不存在满足要求的三角形ABC。

2. 题目描述：若a1, a2, a3为等差数列的前三项，且满足a1 + a3 = 18，a2 - a3 = 4，求a1, a2和a3的值。

答案解析：由等差数列的性质可知，a2 = (a1 + a3) / 2，代入已知数据得a2 = 9.5，将a2带入a2 - a3 = 4解得a3 = 5.5，再将a3带入a1 +a3 = 18解得a1 = 12.5，所以a1 = 12.5，a2 = 9.5，a3 = 5.5。

三、解答题1. 题目描述：设函数f(x) = cos(x + 1) - sin(x - 1)，求f(x)的单调递增区间。

答案解析：对f(x)求导得f'(x) = -sin(x + 1) - cos(x - 1)，令f'(x) = 0，解方程得x = 1/4 (4πn + 3π/2) - 1，其中n为整数。

通过二阶导数的符号判断可知，当x < -1或x > -3/4 + 4πn，f(x)单调递增；当-3/4 + 4πn < x< -1，f(x)单调递减。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在区间[-1, 2]上的极值点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a = (2, -3), b = (1, 2)，则向量a与向量b的夹角余弦值为：A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/53. 若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1 + a3 + a5 = 9，a1 + a2 + a3 = 12，则d的值为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 函数y = log2(x + 1)在区间[0, 3]上的单调性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0，则圆的半径为：A. 1B. 2C. 3D. 46. 在直角坐标系中，点A(1, 2)，点B(4, 6)，则直线AB的斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，且a1 + a2 + a3 = 27，a1 a2 a3 = 27，则q的值为：A. 1B. 3C. 9D. 278. 函数y = e^x在定义域内的增减性是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增9. 已知三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积是：A. 6B. 8C. 10D. 1210. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点为：A. (2, 3)B. (3, 2)C. (-2, -3)D. (-3, -2)二、填空题（每题5分，共50分）1. 函数f(x) = (x - 1)^2 - 4的对称轴是______。

2. 向量a = (3, -4)与向量b = (4, 3)的数量积是______。

3. 等差数列{an}的前n项和为S_n，若a1 = 3，d = 2，则S_5 = ______。

4. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为______。

一、选择题1. 题目：已知函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$，则 $f(2)$ 的值为多少？答案：$f(2) = 2^2 - 4 \times 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$。

解析：将 $x = 2$ 代入函数 $f(x)$ 中，直接计算即可得到结果。

2. 题目：下列哪个数是正实数？A. $-2$B. $0$C. $\sqrt{3}$D. $-3$答案：C. $\sqrt{3}$。

解析：正实数是大于 $0$ 的实数，选项中只有 $\sqrt{3}$ 大于 $0$。

3. 题目：若 $a > b$，则下列哪个不等式一定成立？A. $a^2 > b^2$B. $a + 1 > b + 1$C. $a - b > 0$D. $a - 1 > b - 1$答案：C. $a - b > 0$。

解析：由于 $a > b$，所以 $a - b$ 一定大于 $0$。

二、填空题4. 题目：若 $x + y = 5$，$xy = 6$，则 $x^2 + y^2$ 的值为多少？答案：$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 5^2 - 2 \times 6 = 25 - 12 = 13$。

解析：利用完全平方公式 $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，代入已知条件计算。

5. 题目：函数 $y = \frac{1}{x}$ 的反函数为 $y = \frac{1}{x}$，则其定义域为？答案：$x \neq 0$。

解析：反函数的定义域是原函数的值域，原函数 $y = \frac{1}{x}$ 的值域为所有非零实数，所以反函数的定义域为 $x \neq 0$。

三、解答题6. 题目：解不等式 $2x - 3 < 5x + 1$。

答案：$2x - 3 < 5x + 1 \Rightarrow -3 - 1 < 5x - 2x \Rightarrow -4 <3x \Rightarrow x > -\frac{4}{3}$。

数学高考试题及答案解析一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意x，都有f(-x) = -f(x)。

选项A中的函数f(x) = x^2是偶函数，因为f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。

选项B中的函数f(x) = x^3满足奇函数的定义，因为f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。

选项C和D同样不是奇函数。

因此，正确答案是B。

2. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于（）A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3}解析：集合的交集是指两个集合中共有的元素组成的集合。

集合A和集合B的交集是A∩B = {2, 3}，因为2和3是两个集合共有的元素。

选项A和D都包含了不在两个集合共有的元素，选项C中的元素4则不在集合A中。

因此，正确答案是B。

二、填空题（每题5分，共20分）3. 已知等差数列的前三项分别为a, a+d, a+2d，若第四项为10，则d 等于（）。

解析：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an是第n项，a1是第一项，d是公差。

根据题目，第四项a4 = a + 3d = 10。

由于前三项分别为a, a+d, a+2d，我们可以得出a+2d = 10 - d。

将a+d = a + d代入，得到2a + 3d = 10。

通过解这个方程，我们可以得出d = 2。

4. 已知函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，求f(2)的值。

解析：将x = 2代入函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，得到f(2) =3(2)^2 - 6(2) + 5 = 12 - 12 + 5 = 5。

三、解答题（每题10分，共40分）5. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求导数f'(x)。

2024年高考数学试题（新课标I 卷）一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合A =x |-5<x 3<5 ，B ={-3,-1,0,2,3}，则A ∩B =A.{-1,0} B.{2,3}C.{-3,-1,0}D.{-1,0,2}【答案】A【解析】A =(-35,35)⇒A ∩B ={-1,0}，选A.2.若zz -1=1+i ，则z =A.-1-i B.-1+iC.1-iD.1+i【答案】C【解析】z z -1=1+i ⇒z =1+i i =1-i ，选C.3.已知向量a =0,1 ，b =2,x ，若b ⊥b -4a ，则x =A.-2 B.-1C.1D.2【答案】D【解析】b ⊥b -4a ⇒2×2+x (x -4)=0⇒x =2，选D.4.已知cos α+β =m ，tan αtan β=2，则cos α-β =A.-3m B.-m3C.m 3D.3m【答案】A【解析】αcos βcos -αsin βsin =m ，αsin βsin =2αcos βcos ⇒αcos βcos =-m ，αsin βsin =-2m ，所以cos α-β =αcos βcos +αsin βsin =-3m ，选A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为3，则圆锥的体积为A.23π B.33πC.63πD.93π【答案】B【解析】如图所示，h =3，圆锥母线长l =r 2+3，h h rrl由题知23πr =πr r 2+3⇒r =3⇒V 锥=13×π×32×3=33π．选B.6.已知函数f x =-x 2-2ax -a ,x <0,e x +ln x +1 ,x ≥0 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是A.(-∞,0]B.-1,0C.-1,1D.[0,+∞)【答案】B 【解析】由题知-a ≥0,-a ≤1⇒-1≤a ≤0，选B.7.当x ∈0,2π 时，曲线y =sin x 与y =2sin (3x -π6)的交点个数为A.3 B.4C.6D.8【答案】C【解析】作出两个函数的图象，2π3π2ππ2Oxy 由图知，两个函数的交点个数为6，选C.【总结】五点作图法，处理作图，好像没有其他解法.8.已知函数f x 的定义域为R ，f x >f x -1 +f x -2 ，且当x <3时，f x =x ，则下列结论中一定正确的是A.f 10 >100 B.f 20 >1000C.f 10 <1000D.f 20 <10000【答案】B【解析】由已知得f (1)=1，f (2)=2，思路一：常规推理+计算因为f x >f x -1 +f x -2 ，所以f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，f (11)>144，f (12)>233，f (13)>377，f (14)>610，f (15)>987，f (16)>1597，f (17)>2584，f (18)>4181，f (19)>6765，f (20)>10946，⋯，所以f (20)>f (19)>⋯>f (16)>1000，选B.思路二：推理+估算由题知，当x >3时，f (x )上不封顶，C ，D 错误；f (3)>3，f (4)>5，f (5)>8，f (6)>13，f (7)>21，f (8)>34，f (9)>55，f (10)>89，当x >4时，f (x )>f x -1 +f x -2 >2f (x -2)，所以f (20)>2f (18)>22f (16)>⋯>25f (10)>1000，A 错误，B 正确；故选B.【总结】需要耐心的计算.二、多选题:本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s 2=0.01，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布N 1.8,0.12 ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布x ,s 2，则(若随机变量Z 服从正态分布N μ,σ2 ，则P Z <μ+σ ≈0.8413)A.P X >2 >0.2 B.P X >2 <0.5C.P Y >2 >0.5 D.P Y >2 <0.8【答案】BC【解析】画个图，对于X ：μ=1.8，σ=0.1；对于Y ：μ=2.1，σ=0.1，1.81.7 1.92.12.0 2.22.0由题知P (X <1.9)=0.8413，所以P (X >2)<P (x >1.9)=0.1587<0.2<0.5，A 错误，B 正确；因为P (Y <2.2)=0.8413，所以P Y >2 =P Y <2.2 =0.8413>0.8>0.5，C 正确，D 错误；故选BC.10.设函数f x =x -1 2x -4 ，则A.x =3是f x 的极小值点B.当0<x <1时，f x <f x 2C.当1<x <2时，-4<f 2x -1 <0D.当-1<x <0时，f 2-x >f x【答案】ACD【解析】f '(x )=2(x -1)(x -4)+(x -1)2=3(x -1)(x -3)，作出f (x )的图象如图所示，x =1x =3所以x =1是f x 的极大值点，x =3是f x 的极小值点，A 正确；当0<x <1时，f (x )在(0,1)↗，因为x >x 2，所以f (x )>f (x 2)，B 错误；当1<x <2时，t =2x -1∈(1,3)，因为f (t )在(1,3)↘，所以f (t )∈(-4，0)，即-4<f 2x -1 <0，C 正确；当-1<x <0时，x -1<0，f 2-x -f x =(x -1)2(-2-x )-x -1 2x -4 =-2(x -1)3>0，所以f 2-x >f x ，D 正确；综上，选ACD.【总结】选项B 用了单调性法，选项C 转化为值域，选项D 用了最常见的作差法.11.造型Ժ可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点F 2,0 的距离与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，则OxyFA.a =-2B.点22,0 在C 上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点x 0,y 0 在C 上时，y 0≤4x 0+2【答案】ABD 【解析】如图所示，OxyFx =aP对于A ，由题知，O 到点F 的距离等于与到定直线x =a a <0 的距离之积为4，所以(-a )∙2=4，解得a =-2，A 正确；对于B ，设点P (x ,y )是曲线C 上任意一点，则(x +2)(x -2)2+y 2=4，即(x -2)2+y 2=(4x +2)2，因为(22-2)2=(422+2)2，所以点22,0 在C 上，B 正确；对于C ，因为y 2=(4x +2)2-(x -2)2，记f (x )=(4x +2)2-(x -2)2，x >0，所以f '(x )=-32(x +2)3-2(x -2)=2[-16(x +2)3+2-x ]，发现f (2)=1，f '(2)=-12<0，所以存在0<x 1<2，使得当x ∈(x 1,2)时，f '(x )<0，所以f (x )在(x 1,2)↘，所以f (x )>f (2)=1，即f (x )的最大值一定大于1，C 错误；对于D ，y 02=(4x 0+2)2-(x 0-2)2≤(4x 0+2)2，所以y 0≤4x 0+2，D 正确；综上，选ABD.【总结】本题相对要难一点，选出来一个答案不难.三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作平行于y 轴的直线交C 于A ,B两点，若F 1A =13，AB =10，则C 的离心率为.【答案】32【解析】由题知|F 1F 2|=2c =12,F 2A =b 2a =5,c 2=a 2+b2 ，解得a =4,b =25,c =6，所以C 的离心率e =c a =32.13.若曲线y =e x +x 在点0,1 处的切线也是曲线y =ln x +1 +a 的切线，则a =.【答案】2ln 【解析】设f (x )=e x +x ，g (x )=ln x +1 +a ，则f '(x )=e x +1，g '(x )=1x +1，即f '(0)=2，所以f (x )在(0,1)处的切线方程为l ：y -1=2(x -0)，即y =2x +1，设l 与g (x )相切于点A (x 0,(x 0+1)ln +a )，则g '(x 0)=1x 0+1=2，解得x 0=-12，所以(-12+1)ln +a =0，解得a =2ln .14.甲乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上的数字大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)，则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为.【答案】12【解析】因为甲出1一定输，要使甲的总分不小于2，则甲得3分或得2分.第一类：甲得3分只有一种可能：1-8，3-2，5-4，7-6.第二类：甲得2分（1）甲出3和出5赢，其余输，共1种：3-2，5-4，1-6，7-8；（2）甲出3和出7赢，其余输，共3种：3-2，7-6，1-4，5-8；3-2，7-4，1-6，5-8；3-2，7-4，1-8，5-6；（3）甲出5和出7赢，其余输，共7种：5-4，7-6，1-2，3-8；5-4，7-2，1-6，3-8；5-4，7-2，1-8，3-6；5-2，7-6，1-4，3-8；5-2，7-6，1-8，3-4；5-2，7-4，1-6，3-8；5-2，7-4，1-8，3-6；所以甲的总得分不小于2的共有12种可能，所以所求的概率p =12A 44=12.四、解答题:本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)记△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，已知sin C =2cos B ，a 2+b 2-c 2=2ab .（1）求B ；（2）若△ABC 的面积为3+3，求c .【答案】（1）B =π3；（2）2 2.【解析】（1）因为a 2+b 2-c 2=2ab ，所以C cos =a 2+b 2-c 22ab =2ab 2ab=22，因为0<C <π，所以C =π4，又sin C =2cos B ，所以22=2B cos ，即B cos =12，因为0<B <π，所以B =π3.（2）方法一：由（1）知A =π-B -C =5π12，所以A sin =(π6+π4)sin =6+24，因为a A sin =b B sin =cCsin =k >0，所以S =12ac B sin =12k 2A sin B sin C sin =12k 2∙6+24∙32∙22=3+3，所以k 2=16，即k =4，所以c =k C sin =4×22=2 2.16.(15分)已知A 0,3 和P (3,32)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上两点.（1）求椭圆C 的离心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9,求直线l 的方程.【答案】（1）12；（2）x -2y =0或3x -2y -6=0.【解析】（1）由题知b =3,9a 2+94b2=1，解得a =23,b =3 ，所以c =a 2-b 2=3，所以椭圆C的离心率e=ca=12.（2）由（1）知，椭圆C的方程为x212+y29=1.O xyPABD当直线l的斜率不存在时，B(3,-32)，此时S=92，不满足题意；当直线l的斜率存在时，设l：y=k(x-3)+3 2，代入x212+y29=1，整理得(3+4k2)x2-8k(3k-32)x+36k2-36k-27=0，设B(x1,y1)，由韦达定理得3+x1=8k(3k-32)3+4k2,3x1=36k2-36k-273+4k2所以|BP|=1+k2|x1-3|=1+k2(8k(3k-32)3+4k2)2-364k2-4k-33+4k2=43k2+13k2+9k+2744k2+3，点A到直线PB的距离h2=|3k+32|k2+1，所以△ABP的面积S=12|BP|∙h2=|3k+32|k2+1=9，解得k=12或32，所以直线l的方程为y=12x或y=32x-3.综上，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，P A⊥底面ABCD，P A=AC=2，BC=1，AB=3.（1）若AD⊥PB，证明:AD⎳平面PBC；（2）若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值为427，求AD.AB CDP 【答案】（1）略；（2）3.【解析】（1）证明：因为P A ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，所以P A ⊥BC ，P A ⊥AD ，因为AC =2，BC =1，AB =3，所以AB 2+BC 2=AC 2，即AB ⊥BC ，又P A ∩AB =A ，P A ,AB ⊂平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，因为PB ⊥AD ，P A ∩PB =P ，P A ,PB ⊂平面P AB ，所以AD ⊥平面P AB ，所以AD ⎳BC ，因为AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AD ⎳平面PBC .（2）过D 作DQ ⊥平面ABCD ，以DA ,DC ,DQ 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，A BCDPz xyQ设DA =a ，DC =b ，则D (0,0,0)，A (a ,0,0)，C (0,b ,0)，P (a ,0,2)，且a 2+b 2=4，①所以AC =(-a ,b ,0)，AP =(0,0,2)，DC =(0,b ,0)，DP =(a ,0,2)，设平面APC 的一个法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则AC∙n 1=0,AP ∙n 1=0 ，即-ax 1+by 1=0,2z 1=0 ，令x 1=b ，则n 1=(b ,a ,0)，设平面PCD 的一个法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则DC∙n 2=0,DP ∙n 2=0 ，即by 2=0,ax 1+2z 1=0 ，令x 1=2，则n 2=(2,0,-a )，所以‹n 1,n 2›cos =n 1∙n 2|n 1||n 2|=2ba 2+b 2a 2+4=ba 2+4，设二面角A -CP -D 的平面角为θ，则θsin =427，所以|θcos |=|‹n 1,n 2›cos |=b a 2+4=17，即7b 2=a 2+4，②由①②得a =3,b =1，所以AD =a = 3.【总结】本题建系可以设两个变量，也可以设一个变量，注意运算.18.(17分)已知函数f x =lnx2-x+ax +b x -1 3.（1）若b =0，且f x ≥0，求a 的最小值；（2）证明:曲线y =f x 是中心对称图形；（3）若f x >-2当且仅当1<x <2，求b 的取值范围.【答案】（1）-2；（2）略；（3）[-23,+∞).【解析】（1）由x2-x>0，得0<x <2，所以f (x )的定义域为(0,2)，当b =0时，f (x )=ln x 2-x +ax ，f '(x )=1x +12-x +a ≥0，因为1x +12-x ≥(1+1)2x +2-x =2，当且仅当x =1时取等号，所以f '(x )min =2+a ≥0，解得a ≥-2，所以a 的最小值为-2；（2）发现f (1)=a ，猜测f (x )关于(1,a )对称，下面尝试证明此结论，因为f (1+x )+f (1-x )=ln 1+x 1-x +a (1+x )+bx 3+ln 1-x1+x+a (1-x )+b -x 3=2a ，所以f (x )关于(1,a )对称.（3）当且仅当1<x <2时f (x )>-2，则f (1)=a =-2，所以f (x )=ln x2-x-2x +b x -1 3，f '(x )=1x +12-x -2+3b (x -1)2=(x -1)22(2-x )+3b (x -1)2=(x -1)2[2x (2-x )+3b ]~2x (2-x )+3b ，发现f '(1)=2+3b ≥0，则b ≥-23，当b ≥-23时，2x (2-x )+3b ≥2x (2-x )-2=2(x -1)22(2-x )≥0，即f '(x )≥0，所以f (x )在(0,2)↗，因为f (1)=-2，所以f (x )>-2=f (1)⇔1<x <2，符合题意；当b <-23时，则2x (2-x )∈[2,+∞)，f '(x )∈[3b +2,+∞)，存在1<x 1<2，使得当x ∈(1,x 1)时，f '(x )<0，f (x )在(1,x 1)↘，所以f (x )<f (1)=-2，不符合题意；综上，实数b 的取值范围是[-23,+∞).19.(17分)设m 为正整数，数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是公差不为0的等差数列，若从中删去两项a i 和a j i <j后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列.（1）写出所有的i ,j ,1≤i <j ≤6，使得数列a 1,a 2,⋯,a 6是i ,j -可分数列；（2）当m ≥3时，证明:数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是2,13 -可分数列；（3）从1,2,⋯,4m +2中一次任取两个数i 和j i <j ，记数列a 1,a 2,⋯,a 4m +2是i ,j -可分数列的概率为P m ，证明:P m >18.【答案】（1）(1,2)，(5,6)，(1,6)；（2）略；（3）略.【解析】（1）对于特殊的情况，我们不难分析出来，要么一边删除2个，要么两边各删除1个，所以满足题意的(i ,j )为：(1,2)，(5,6)，(1,6).（2）下标和项是成等差的充要条件，即m ,n ,k 成等差⇔a m ,a n ,a k 成等差（证明略）.首先我们证明，当m =3时成立，那么m ≥3时都会成立.当m =3时，4m +2=14，那么当m >3时，整个{a n }可以拆成两段，为1≤n ≤14和n >14，不管m 取值如何，都有4m -12个数，也就是可以分成m -3组，而这m -3组只要按照原来的顺序依次分组，显然都是等差数列.如：m =6，前面14个按照m =3分组，后面的按照顺序，每4个一组，显然这样分满足题意.下面证明m =3时成立，可以采用列举法，只要有一种方法成立就行，去掉i =2,j =13，可以分为{1,4,7,10}，{5,8,11,14}，{3,6,9,12}这三组，满足题意.（3）设在给定m 的情况下，(i ,j )的组数为b m ，当m 变成m +1时，数列就变成了a 1,a 2,a 3,a 4,a 5，⋯，a 4m +2,a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6，这里可以分成3组，前4个一组即{a 1,a 2,a 3,a 4}，中间的一组，后4个一组即{a 4m +3,a 4m +4,a 4m +5,a 4m +6}，此时我们要在这里面删除2个数，那么会有以下几种情况：一、两个都在中间中间有4m -2个数，且为等差数列，删除2个的话，总数为b m -1种；二、一个在第一组，一个在中间组或两个都在第一组第一组和中间组连起来，会变成4m +2个数的等差数列，这里面总共有b m 种方法，但是要去掉两个都在中间的情况，共有b m -b m -1种；三、一个在中间组，一个在最后一组，或者都在最后一组和上面一样，也是共有b m -b m -1种；四、一个在第一组，一个在最后一组此时，将a 1,a 4m +6同时删除是肯定可以的，这算一种；然后，从（2）的结果来看，把a 2,a 4m +5同时删除也是可以的，因为m =3成立之后，当m >3时，只是相当于往中间加了4个连续的等差数而已，其它是不变的，这也算一种.综上，就会有b m +1≥b m -1+2(b m -b m -1)+2=2b m -b m -1+2，因为b 0=0,b 1=3，所以b m ≥m 2+2m ，如果你是随便删除，总共有C 24m +2=8m 2+6m +1种，所以P m =b m C 24m +2≥m 2+2m 8m 2+6m +1>18.。

1951年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1．设有方程组x+y=8，2x-y=7，求x ，y.解略：⎩⎨⎧==35y x2．若一三角形的重心与外接圆圆心重合，则此三角形为何种三角形？ 证：设△ABC 的重心与外接圆的圆心均为O （图1）∵OA=OC ，E 为AC 的中点，∴BE ⊥AC ；同理，CD ⊥AB ，AF ⊥BC 在Rt △ABE 与Rt △ACD 中，∠A 为公共角，BE=CD=R+21R=23R （R 为外接圆半径），所以△ABE ≌△ACD ，AB=AC ，同理可得AB=BC 由此可知△ABC 为等边三角形3．当太阳的仰角是600时，若旗杆影长为1丈，则旗杆长为若干丈？ 解略：3丈0)()()(:)()(,)(,,:?,,,,.4=-+-+-=++-=-=-==-=-=-=++-=-=-t a c t c b t b a z y x t a c tz c b y t b a x t ac zc b y b a x z y x c b a a c zc b y b a x 由此可得则有设解则各不相等而若5．试题10道，选答8道，则选法有几种？解略：45810=c 6．若一点P 的极坐标是（r,θ），则它的直角坐标如何？ 解：x=r θcos ,y=r θsin7．若方程x 2+2x+k=0的两根相等，则k=？ 解：由Δ=b 2-4ac=0,得k=18．列举两种证明两个三角形相似的方法OABCEFD答：略9．当（x+1)(x-2)＜0时，x 的值的范围如何？ 解略：-1＜x ＜210．若一直线通过原点且垂直于直线ax+by+c=0，求直线的方程解略：bx-ay=011．（x +x1)6展开式中的常数项如何？ 解：由通项公式可求得是T 4=2012．02cos =θ的通解是什么？ 解：).(4为整数k k π±π=θ13．系数是实数的一元三次方程，最少有几个根是实数，最多有几个根是实数？答：最少是一个，最多是三个14．解：原式=1003)5(4)2(4550554)5(55430)2(=⋅-⋅--⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅+⋅⋅- 15．x 2-4y 2=1的渐近线的方程如何？ 解略：02=±y x?345505542=--16．三平行平面与一直线交于A ，B ，C 三点，又与另一直线交于A ＇，B ＇，C ＇三点，已知AB=3，BC=7及A ＇B ＇=9求A ＇C ＇解：如图易证:3011=''∴''''==C A C A B A AC AB AC AB 17．有同底同高的圆柱及圆锥，已知圆柱的体积为18立方尺，求圆锥的体积略：6立方尺18．已知lg2=0.3010,求lg5. 略：lg5=1-lg2=0.699019．二抛物线y 2=12x 与2x 2=3y 的公共弦的长度是多少？解略：解方程组得两公共点为（0，0）及（3，6）故其公共弦长为：5320．国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？ 解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C, ∠AGF=∠B+∠D=2∠B,∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A ∴5∠A=1800，∴∠A=360 第二部分：A A ＇ αB B ＇ βB 1γ C C ＇C 1FGAC EBD1．P ，Q ，R 顺次为△ABC 中BC ，CA ，AB 三边的中点，求证圆ABC 在A 点的切线与圆PQR 在P 点的切线平行证：如图：由AD 是大圆的切线， 可得： ∠1=∠2由RQ ∥BC ，可得：∠2=∠3， 由QP ∥AB ，可得：∠3=∠4由PE 是小圆的切线， 可得： ∠4=∠5由RP ∥AC ，可得：∠5=∠6综上可得：∠1=∠6，故AD ∥PE2．设△ABC 的三边BC=4pq,CA=3p 2+q 2,AB=3p 2+2pq-q 2,求∠B ，并证∠B 为∠A 及∠C 的等差中项解：由余弦定理可得：.C A B A,-B 60)180(60B 214)23(2)3()4()23(2cos 222222222222的等差中项与是∠∠∠∴∠∠=∠-︒=∠-∠-∠-︒=∠-∠︒=∠∴=⋅-+--+-+=⋅-+=A B B A B C pqq pq p q p pq q pq p BC AB CA BC AB B 3．（1）求证，若方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根可排成等比数列， 则a 3c=b 3.证：设α，β，γ是方程x 3+ax 2+bx+c=0的三根，由根与系数关系可知：α+β+γ=-aαβ+βγ+γα=b αβγ=-c564321E QPRA BC又因α，β，γ排成等比数列，于是β2=αγ33333233a )()()(bc c a b ==αβγ-=β-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβγ+β+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+αβ+βγ+α-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡γ+β+α-γα+βγ+αβ=⎪⎭⎫⎝⎛此即 （2）已知方程x 3+7x 2-21x-27=0的三根可以排成等比数列，求三根解：由⑴可知β3=-c ，∴β3=27，∴β=3代入α+β+γ=-7可得α+γ=-10，又由α，β，γ成等比数列，∴β2=αγ， 即αγ=9，故可得方程组：⎩⎨⎧--=γ--=α=αγ-=γ+α.91,19,910或或可得解之 于是，所求之三根为-9，3，-1或-1，3，-94．过抛物线顶点任做互相垂直的两弦，交此抛物线于两点，求证此两点联线的中点的轨迹仍为一抛物线证：设抛物线方程为y 2=2px ……………①过抛物线顶点O 任作互相垂直的二弦OA 和 OB ，设OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为 -k 1，于是直线OA 的方程为： y =kx ………………………②直线OB 的方程为：x k y 1-=③ 设点A （x 1 ,y 1),点B(x 2 ,y 2)由①，②可得： .2,2121k p y k p x ==由①，③可得：YA·P （x,y)O XBx 2=2pk 2, y 2=-2pk设P （x ，y ）为AB 的中点，由上可得： ④ ⑤ 由⑤可得： ⑥ 由④可知：px 2222k p kp +=,代入⑥,2p -px y 22222222222=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即p px p k p k p y 所以，点P 的轨迹为一抛物线1952年普通高等学校招生全国统一考试数学第一部分：1.因式分解x 4 – y 4 =？解：x 4 – y 4 =(x 2+y 2)(x+y)(x-y)2.若lg2x=21lgx ，问x=？ 解：2x=x 21，x ≠0，∴202=X3.若方程x 3+bx 2+cx+d=0的三根为1,-1,21,则c=？解：由根与系数的关系可知：c=1·（-1）+（-1）·21+21·1=1pk kpy y y pk kp x x x -=+=+=+=222122212222222k p p kp y +-=4.若x x 求,0472=-+解：两边平方，得：x 2 +7=16，∴3±=x5.解:原式=-246.两个圆的半径都是4寸,并且一个圆过另一个圆的圆心，则此两圆的公共弦长是多少寸？解：设两圆O 1及O 2之公共弦为AB 连结O 1O 2交AB 于点C ，则AB垂直平分O 1O 2∴O 1C=21O 1O 2=2（寸）).(342),(3224222121寸寸==∴=-=-=AC AB C O AO AC连结AO 1，则△ACO 1为直角三角形， 7.三角形ABC 的面积是60平方寸，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点，△AMN 的面积是多少？ 解：∵MN ∥BC ，∴41ABC AMN 22==∆∆ANAM 的面积的面积， △AMN 的面积=41△ABC 的面积=15（平方寸）8.正十边形的一个内角是多少度？ 解：由公式,)2(180nn -︒此处n=10于是一个内角为：︒144AO 1 O 2CB?123054321=9.祖冲之的圆周率π=？ 答：22/7，355/13310.球的面积等于大圆面积的多少倍？ 解：球的面积4πR 2为大圆面积πR 2的4倍11.直圆锥之底半径为3尺，斜高为5尺，则其体积为多少立方尺？ 解：圆锥高h=4（尺），故此直圆锥的体积：V 锥 =31πR 2h=12π（立方尺） 12.正多面体有几种？其名称是什么？答：共有五种，其名称为：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体13.已知 sin θ=31,求cos2θ=？ 解：cos2θ=1-2sin 2θ=97 14.方程tg2x=1的通解x=？ 解：).(82为整数k k x π+π=15.太阳的仰角为300时，塔影长为5丈，求塔高是多少？ 解：塔高=5×tg300=335（寸） 16．△ABC 的b 边为3寸，c 边为4寸，A 角为300，问△ABC 的面积为多少平方寸？解：).(330sin 4321sin 21平方寸的面积=︒⋅⋅⋅==∆A bc ABC17.已知一直线经过（2，3），其斜率为-1，则此直线方程如何？ 解：即x+y –5=018.若原点在一圆上，而此圆的圆心为（3，4）则此圆的方程如何？解：圆的半径.54322=+=R所以，圆的方程为：(x-3)2+(y-4)2=25，也即：x 2+y 2-6x-8y=019.原点至3x+4y+1=0的距离是什么？ 解：.51431040322=++⋅+⋅=d 20.抛物线y 2-8x+6y+17=0的顶点坐标是什么？ 解：原方程可变形为：(y+3)2=8(x-1), 故顶点坐标为（1，-3）第二部分：1.解方程x 4+5x 3-7x 2-8x-12=0解：左式=(x 4+5x 3-6x 2）-（x 2+8x+12）=(x+6)[x 2(x-1)-(x+2)] =(x+6)(x 3-x 2-x-2) =(x+6)[(x 3-2x 2)+(x 2-x-2)] =(x+6)(x-2)(x 2+x+1)=0 可得原方程的四根为：.231,231,2,64321ix i x x x --=+-==-= 2.△ABC 中，∠A 外角的平分线与此三角形外接圆相交于P ，求证：BP=CP证：如图，∠CBP=∠CAP=∠PAD 又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP =∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP ，∴BP=CP 3.设三角形的边长为a =4，b=5，c=6，其对角依次为A ，B ，C 求A B C C sin ,sin ,sin ,cos .问A ，B ，C 三角为锐角或钝角？ 解：应用余弦定理，可得： .812cos 222=-+=ab c b a C由此可知C 为锐角；另外，由已知条件，三边边长适合关系式a ＜b ＜c ，从而可知∠A ＜∠B ＜∠C 由于C 为锐角，故A ，B 亦为锐角.741c asinC sinA .7165sin sin ,.783)81(-1sinC cos -1sinC 22=======c C b B C 可得应用正弦定理可得由 4.一椭圆通过（2，3）及（-1，4）两点，中心为原点，长短轴重合于坐标轴，试求其长轴，短轴及焦点解：由于椭圆过（2，3）及（-1，4）两点，所以将此两点代入标准方程可得：C1P2D A B.75522,35522,355,755,1161194222222==∴==⎪⎩⎪⎨⎧=+=+a b b a b ab a 短轴长轴解之 .2155221220,22222==-=∴-=a b c a b c 又 ).21552,0(),21552,0(21F F -故焦点坐标为1954年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简.])()()[(317212131223b ab b a --- 解：原式=.)()(32310231272321223a b a b b a b a ==--乙、解c b a x lg lg 2lg 31lg 61++= 解略：x=a 2b 12c 6.丙、用二项式定理计算（3.02）4，使误差小于千分之一.,,,001.0)1002()1002(34)1002(36100234310023)02.3(:43223444千分之一其误差必小于计算可到第三项为止所以可知第四项之值已小于解+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=.182.830216.016.281)02.3(4=++=丁、试证直角三角形弦上的半圆的面积，等于勾上半圆的面积与股上半圆的面积的总和证：由c 2 =a 2+b 2∴弦上半圆的面积= 22222221221421221⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a c ππππ=勾上半圆的面积+股上半圆的面积戊、已知球的半径等于r ，试求内接正方形的体积解：内接正方体的中心即该球的球心正方体过中心的对角线为该球的直径，故其长为2r 若设内接正方体的边长为a ，则有3a 2=4r 2，.398332.332333r r a r a =⎪⎭⎫⎝⎛==∴=内接正方体的体积己、已知a 是三角形的一边，β及γ是这边的两邻角，试求另一边b 的计算公式解：由正弦定理可知.)sin(sin )](180sin[sin ,sin )](180sin[γββγβββγβ+=--︒=∴=--︒a a b b a2.描绘y=3x 2-7x-1的图象，并按下列条件分别求x 的值所在的范围： 1）y ＞0， 2）y ＜0).1261(31)67(:2+=-y x 将原方程变形可得解 ).1261,67(,-抛物线顶点为于是)0,6617(,)0,6617(:+-N M x 轴的交点为与).,6617(),6617,(,0+∞+--∞>的值所在范围为时当x y ).6617,6617(,0+-<的值所在范围为时当x y YM O N X)1261,67(-3.假设两圆互相外切，求证用连心线做直径的圆，必与前两圆的外公切线相切证：设⊙O 1及⊙O 2为互相外切之二圆，其一外公切线为A 1A 2，切点为A 1及A 2令点O 为连心线O 1O 2的中点，过O 作OA ⊥A 1A 2∵OA=21（O 1A 1+O 2A 2）=21O 1O 2，∴以O 1O 2为直径，即以O 为圆心，OA 为半径的圆必与直线A 1A 2相切同理可证，此圆必切于⊙O 1及⊙O 2的另一条外公切线4．试由.,2sin 111通值求的x x tgxtgx+=-+ )(0sin 4,1,0sin cos ,0sin )sin (cos 20)sin cos 1)(sin (cos )sin (cos sin cos sin cos :22222为整数或者即或者所以解k k x x k x tgx x x x x x x x x x x x x x x x π=∴=π-π=∴-==+=⋅+=+-++=-+由检验可知，均为其通解5．有一直圆锥，另外有一与它同底同高的直圆柱，假设a 是圆锥的全面积，a ＇是圆柱的全面积，试求圆锥的高与母线的比值解：设直圆锥的高为h ，底面半径为R ，母线长为L ，则,)(2)(2)(h R L R h R R L R R a a ++=++='ππ .2)2(),()(2,).()(222222222ah L a h L a a L h L a h h L a h L R L R a h R a -'=-'-+-'=+--=+'=+∴代入可得由A 2AA 1O 1 O O 2,.21)2(,2等式两边平方可得两边同除以L h a a L h a a L -'=⎪⎭⎫⎝⎛-'-.)2(4)2()2(22])2(4[2)2()2(44)48(2)2(164:,,0)2(16)4)(48(4)4(.0)4(4)48(,441)44(2222223322222222222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a L h a a a a a a a a a a a a Lha a a L h a a L h a a a a L h a L h a a a L h a a a a '-+'-'-±'='-+'-'-±'='+'-'-±'=∴>'-='+''+'--'-=∆='+'+'-⎪⎭⎫⎝⎛'+'-⎪⎭⎫⎝⎛+⋅'-'=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-'+'-母线的比此二实根即圆锥的高与实根该一元二次方程有二个式的一元二次方程的判别这个关于1958年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、求二项式5)21(x +展开式中3x 的系数解：设求的项为.802,32)2(333354551x x C T r x C x C T r r r r r r ==∴===+今乙、求证.sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅ 证：x x x 4cos 4sin 28sin =xx x x xx x 4cos 2cos cos sin 84cos 2cos 2sin 4=⌒ ⌒⌒ ⌒ ⌒ ⌒ .sin 88sin 4cos 2cos cos xxx x x =⋅⋅∴ 丙、设AB ，AC 为一个圆的两弦，D 为AB 的中点，E 为AC 的中点，作直线DE 交AB 于M ，交AC 于N ，求证：AM=AN证：联结AD 与AE （如图） ∵∠AMN=∠DAM+∠MDA ， ∠ANM=∠EAN+∠NEA ， 又∵AD=DB ，∠DAB=∠AED ，AE=EC ，∠ADE=∠EAC ， ∴∠AMN=∠ANM ， AM=AN.丁、求证正四面体ABCD 中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直证：因ABCD 是正四面体， 各个面都是等边三角形， 过A 作AE ⊥BC ，联结DE ， 则DE ⊥BC ， ∴BC 垂直平面AED ， 而AD 在此平面内， ∴BC ⊥AD同理可证AB ⊥DC ，AC ⊥DB戊、求解.cos 3sin x x = 解：,cos 3sin x x =AD EM NBCDCA EB).(3,3为整数k k x tgx π+π==∴ 2．解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+++)2(9122)1(4121 y y x y x y x v y x u yx y x y x =-+=+=-+++12,1,8)12()1()2(:设式变形为由解则原方程变形为⎩⎨⎧=+=+)4(8)3(422 v u v u 解方程组，可得.2,2==v u 将v u ,的值代回所设，可得⎪⎩⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧====-==∴=--=--⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+.21,6;1,3.6,3),5(.21,1,01,112)5()6()6(412)5(41,21221221121212y x y x x x y y y y y y y x y x y x y x 由检验可知代入即得得两边平方都是原方程组的解3．设有二同心圆，半径为R ，r(R>r ），今由圆心O 作半径交大圆于A ，交小圆于A ＇，由A 作直线AD 垂直大圆的直径BC ，并交BC 于D;由A ＇作直线A ＇E 垂直AD ，并交AD 于E ，已知∠OAD= α，求OE 的长解：在直角△OAD 中， OD=Rsin α，AD=Rcos α 在直角△A ＇AE 中， AE=（R-r ）cos α ∴DE=AD-AE=Rcos α-（R-r ）cos α=rcos α. OE=.cos sin 222222α+α=+r R DE OD4．已知三角形ABC ，求作圆经过A 及AB 中点M ，并与BC 直线相切已知：M 为△ABC 的AB 的中点.求作：一个经过A 、M 两点且与BC 直线相切的圆.AA ＇ EB O D C分析：设⊙O 即为合于要求的圆（如图）因⊙O 经过A 、M 两点且与直线BC 相切于点P ，这样，BP 为⊙O 的切线，BA 为⊙O 的割线，所以，应有 BP 2=BM ·BA而BM ，BA 均为已知，因此，BP 的长度可以作出，由此可得点P ，于是过A 、M 、P 三点就可确定所求之圆作法：1）作线段A ＇B ＇M ＇， 使A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM2）以A ＇M ＇为直径作半圆3）过B ＇作A ＇M ＇的垂线B ＇P ＇交半圆于点P ＇ 4）在△ABC 的边BC 上截取BP=B ＇P ＇ 5）经过A 、M 、P 三点作⊙O 即为所求证明：由作图可知B ＇P ＇2= A ＇B ＇·B ＇M ＇，A ＇B ＇=AB ，B ＇M ＇=BM ，所以BP 2=BM ·BA ，即BP 为⊙O 的切线，BMA 为其割线，且⊙O 经过A 、M 、P 三点，故⊙O 适合所要求的条件5．已知直角三角形的斜边为2，斜边上的高为23，求证此直角三角形的两个锐角是下列三角方程的根CPOA BMP ＇A ＇B ＇ M ＇043sin 231sin 2=++-x x 证：设AD=k （如图） ∵AB=2，∴DB=2-k. 由CD 2=AD ·DB ，.2123,0432),2()23(22或==+--=∴k k k k k在直角△ACD 中， 当23==k AD 时，,332323===AD CD tgA ∴A=300，B=600.当21==k AD 时，,32123===AD CD tgA ∴A=600，B=300. 总之，两锐角一为300，一为600. 当x=300时，代入原方程中得;04321231)21(4330sin 23130sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 当x=600时，代入原方程中得.04323231)23(4360sin 23160sin 22=+⋅+-=+︒+-︒ 故这个直角三角形的两个锐角是原三角方程的根CA D B1959年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、已知lg2=0.3010,lg7=0.8451,求lg35解：原式=2lg 10lg 7lg 2107lg 270lg-+=⨯= =0.8451+1-0.3010=1.5441.乙、求ii +-1)1(3的值.解：.21)1(21221331133132-=++-=+--=++--=+-+-=ii i i i i i i i i i 原式 丙、解不等式.3522<-x x 解：原式移项得,03522<--x x ∴原不等式的解为.321<<-x 丁、求︒165cos 的值解：)3045cos(15cos )15180cos(165cos ︒-︒-=︒-=︒-︒=︒.426)21222322()30sin 45sin 30cos 45(cos +-=⋅+⋅-=︒︒+︒︒-=戊、不在同一平面的三条直线c b a ,,互相平行，A 、B 为b 上两定点，求证另两顶点分别在c a 及上的四面体体积为定值证：因为A 、B 为直线b 上两定点，而直线b ∥直线c ，所以，不论点C 在直线c 的什么位置上，△ABC 的面积均为一定值（同底等高的三角形等积）又因直线a 平行于直线 c b ,，所以，直线a ∥平面α（已知c b a ,,不在同一平面内），因此，不论点D 在直线a 的什么位置上，从点D 到平面α的距离h 为一定值，故四面体ABCD 的体积=定值高底面积=⋅⋅=⨯⨯∆h S ABC 3131己、圆台上底面积为225cm π，下底直径为cm 20，母线为cm 10，求圆台的侧面积解：设此圆台上底半径为r ，下底半径为R ，由已知条件,252π=πr 所以r=5(cm).又下底半径R=10cm ，母线,10cm l =圆台侧面积=πl （R+r)=π·10·（10+5）=150π（cm 2). 2．已知△ABC 中，∠B=600，AC=4，面积为3，求AB 和BC. 解：设AB=c ，BC=a ，则有⎪⎩⎪⎨⎧︒-+==︒),(60cos 24)(360sin 21222余弦定理两边夹角求面积公式ac c a ac D ahA B bOα cC.37,37.32,12)(,72,28)(,,1642222=±=∴±=-∴=-=+∴=+⎩⎨⎧=-+=c a c a c a c a c a ac c a ac 由由解之即故所求AB ，BC 之长为⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.37,37;37,37BC AB BC AB 3．已知三个数成等差数列，第一第二两数的和的3倍等于第三个数的2倍，如果第二个数减去2，则成等比数列，求这三个数解：设所求之三数为d a a d a +-,,则根据题意有⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧+-=-+=+-.45;1,45:4454).)(()2(),(2])[(3221122d a d a d a d a d a d a a d a a d a 解得化简后得 故所求三数为.9,5,149,45,41或4．已知圆O 的两弦AB 和CD 延长相交于E ，过E 点引EF ∥CB 交AD 的延长线于F ，过F 点作圆O 的切线FG ，求证：EF=FG. 证：∵FG 为⊙O 的切线，而FDA 为⊙O 的割线，∴FG 2=FD ·FA …………① 又∵EF ∥CB ，∴∠1=∠2.而∠2=∠3， ∴∠1=∠3，∠EFD=∠AFE 为公共角 ∴△EFD ∽△AFE ，,FAEF EF FD =即EF 2=FD ·FA …………②由①，②可得EF 2=FG 2 ∴EF=FG.5．已知A 、B 、C 为直线l 上三点，且AB=BC=a ;P 为l 外一点，且∠APB=900，∠BPC=450，求（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切; （2）PB 的长; （3）P 点到l 的距离.解：过P 点作PD ⊥AB 交AB 于点D （如图） （1）过点B 作BE ∥AP 交PC 于点E 则∠PBE=900，∠PEB=450，PB=BE. ∵△CPA ∽△CEB ∴,22==a aBE PA 因PB=BE ， ∴.2,2=∠=PBA tg PBPA C G2 FO D1A 3 EBP450 EA a DB a C又∵,sec 122PBA PBA tg ∠=∠+∠PBA 为锐角， ∴,51sec 2=∠+=∠PBA tg PBA.552cos sin ,5551cos =∠⋅∠=∠==∠PBA PBA tg PBA PBA（2）.55cos a PBA AB PB =∠⋅= （3）,552sin ,55=∠=PBA a PB ∴.52sin a PBA PB PD =∠⋅= 综上，所求为（1）∠PBA 的正弦、余弦、正切分别是2,551,552 （2）PB 的长为;551a （3）P 点到l 的距离为.52a1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y 此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg 证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点A 、D∵点A 是EF 的中点，ASPDRC BQM E aB Aα DC bN F β又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x 将x 值代入（5）.6145173212±=+=x y abαEFAMNBD此即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457;614517,414572211y x y x 因为,0122<+x 所以（1）式无意义（负数无对数），故原方程组的解仅为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.614517,41457y x 3．设△ABC 的内切圆半径为r ，求证BC 边上的高.2sin2cos 2cos 2A CB r AD ⋅⋅=证：在直角△ABC 中，2cos2sin 2sin B B c Bc AD ⋅⋅=⋅=另外，EB AE c +=)22(Bctg A ctgr += 2sin2sin )22sin()2sin 2cos 2sin 2cos (B A B A r B B A A r ⋅+⋅=+=AEc r bOB Ca D.2sin2cos2cos 22cos 2sin2sin 2sin2cos22sin 2sin2cosA CB r B B BA Cr AD B A C r ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=∴⋅⋅= 4．设△ABC 为锐角三角形，以BC 为直径作圆，并从A 作此圆的切线AD 与圆切于D 点，由在AB 边上取AE=AD ，并过E 作AB 的垂线与AC 边的延长线交于F ，求证： （1）AE:AB=AC:AF.（2）△ABC 的面积=△AEF 的面积.证（1）：设AB 与⊙O 相交于点G ，联结EC ，CG ，BF.∵EF ⊥AB ，CG ⊥AB ，∴GC ∥EF ，AC:AF=AG:AE ………………① 又∵AD 是⊙O 的切线，∴AD 2=AG ·AB ，也即AG:AD=AD:AB但∵AD=AE ，∴AG:AE=AE:AB ……………② 由①、②可得AE:AB=AC:AF证（2）：由（1）AE:AB=AC:AF ，则EC ∥BF ，△EBC 的面积=△EFC 的面积 ∴△ABC 的面积=△AEC 的面积+△EBC 的面积=△AEC 的面积+△EFC 的面积 =△AEF 的面积5．求证方程0)2()12(23=+-++-Q x Q x x 的一个根是1设这个方程的三个根是△ABC 的三个内角的正弦,sin ,sin ,sin C B A 求A 、B 、C 的度数以及Q 的值解：将x=1代入这个方程式， 则01)2(1)12(123=+⋅-+⋅+-Q Q ， 故知1是原方程的一个根由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除AGE DB GOF用x-1除方程左边后得商式.022=--Q x x根据题设条件（即有一个根为1，不妨设1sin =C ）及根与系数的关系可得⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+=)3(sin sin )2(2sin sin )1(1sin Q B A B A C 由（1）可知C=900，于是A+B=900，B=900-A ，代入（2）得.212222sin sin )3(45459045,045,1)45cos(,1cos 45cos sin 45sin ,1cos 22sin 22,2cos sin ,2)90sin(sin -=⋅-=⋅-=︒=︒-︒=︒=∴=︒-∴=︒-=⋅︒+⋅︒=+∴=+=-︒+B A Q B A A A A A A A A A A A 式可得从即1957年普通高等学校招生全国统一考试数学1．甲、化简32221)27102(1.0)972(--++解：原式=.481110216910035)2764()101()925(32221=++=++--乙、求适合不等式22<+x x 的实数x 的范围解：原式为022<-+x x 解为：-2<x<1. 故x 的范围为-2<x<1. 丙、求证.210322+='︒ctg证：.2145sin 45cos 12450322+=︒︒+=︒='︒ctgctg 丁、在四面体ABCD 中，AC=BD ，P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：PQRS 为一个菱形证：由于点P 、Q 、R 、S 依次为棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，根据三角形两边中点连线的性质可得.////,21////BD SP RQ AC RS PQ ====而由题设，AC=BD ， ∴PQ=QR=RS=SP ， 故 PQRS 为一个菱形 戊、设b a ,为异面直线，EF 为ba ,的公垂线，α为过EF 的中点且与b a ,平行的平面，M 为a 上任一点，N 为b 上任一点求证线段MN 被平面α二等分 证：过直线b 作平面β//α（如图）过直线a 及公垂线EF 作一平面，在此平面内作MC ∥EF ，且与平面α，β分别交于B 、C 两点设EF 、MN 分别与平面α交于点ASPDRC BQM E aB Aα DC bN FβA 、D∵点A 是EF 的中点， 又ME ∥BA ∥CF ， ∴点B 是MC 的中点又∵DB ∥NC ， ∴D 是MN 的中点另法：如图，连接EN ，AB,BD 由AB b BD a b a //,////,//⇒αα由A 是EF 的中点得,D 为MN 的中点此即线段MN 被平面α二等分 2．解方程组⎩⎨⎧⋅==-++)2(101010)1(1)2lg()12lg( yx xy y x 解：由（1）可得,10)2)(12(=-+y x)3(01242 =-+-y x xy由（2）可得)4( y x xy +=将（4）代入（3）可得,012422=-+-+y x y x,01232=-+-y x)5(3212 xy +=再将（5）代入（4）可得,32123212xx x x ++=+⋅ 化简，得,012722=-+x x.41457±-=∴x abαEFAMNBD。

高考数学试题解析及答案一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1，则f(1)的值为：A. 1B. 3C. 5D. 7解析：将x=1代入函数f(x) = 2x^2 - 4x + 1中，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1。

因此，正确答案为B。

2. 若a > 0，b > 0，且a + b = 1，则ab的最大值为：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/6解析：根据基本不等式，对于任意正数a和b，有ab ≤ (a+b)^2 / 4。

将a + b = 1代入，得到ab ≤ 1/4。

当且仅当a = b = 1/2时，等号成立。

因此，正确答案为A。

二、填空题3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 3，公差d = 2，则a5的值为______。

解析：根据等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d，代入n = 5，a1 = 3，d = 2，得到a5 = 3 + (5-1) * 2 = 3 + 8 = 11。

因此，a5的值为11。

4. 已知双曲线x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 1的焦点在x轴上，且c = 5，a = 3，则b的值为______。

解析：根据双曲线的性质，c^2 = a^2 + b^2。

代入c = 5，a = 3，得到25 = 9 + b^2，解得b^2 = 16，因此b = 4。

所以，b的值为4。

三、解答题5. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求证：f(x)在(1, +∞)上单调递增。

证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x。

令f'(x) = 0，解得x = 0或x = 2。

当x > 2时，f'(x) > 0，说明f(x)在(2, +∞)上单调递增。

又因为f'(1) = -3 < 0，f'(2) = 0，所以f(x)在(1, 2)上单调递减，在(2, +∞)上单调递增。

高考数学真题及答案解析版一、选择题1. 题目内容：已知函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=1取得最小值3，且知道a>0，求a+b+c的值。

答案解析：根据题意，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1处取得最小值，可以得出f(x)的对称轴为x=-b/2a=1，由此可得b=-2a。

又因为f(1)=3，代入得a+b+c=3。

将b=-2a代入，得到a-2a+c=3，即c=5-a。

由于a>0，所以c>5。

综合以上信息，我们可以得出a+b+c=a-2a+5-a=3，解得a=1，进而得到b=-2，c=4。

所以a+b+c=1+(-2)+4=3。

2. 题目内容：设集合A={x|x^2 < 4}，B={x|x < 0}，求A∪B的值。

答案解析：集合A表示的是所有满足x^2 < 4的x值的集合，即-2 <x < 2。

集合B表示的是所有小于0的x值的集合。

求A∪B，即求A和B的并集，也就是所有属于A或属于B的元素构成的集合。

由于A的范围是-2到2之间，而B是小于0的所有数，因此A∪B的范围是从负无穷到2，即A∪B={x|x < 2}。

3. 题目内容：已知数列{an}满足a1=1，an=3an-1+2(n≥2)，求a5的值。

答案解析：根据递推公式an=3an-1+2，我们可以逐步计算数列的前几项。

首先a1=1，然后a2=3a1+2=5，a3=3a2+2=17，a4=3a3+2=53，最后a5=3a4+2=161。

所以a5的值为161。

二、填空题1. 题目内容：若sinθ=0.6，则cosθ的值为______。

答案解析：根据三角函数的基本关系，sin^2θ+cos^2θ=1。

已知sinθ=0.6，所以0.6^2+cos^2θ=1，解得cos^2θ=1-0.36=0.64。

由于cosθ的值在-1到1之间，所以cosθ的值为±√0.64=±0.8。

一、选择题1. 答案：C解析：本题考查了函数的性质。

根据题意，函数f(x)在区间[0,2]上单调递增，且f(0)=f(2)=1，故函数图像在x=1处取得最小值。

根据选项，只有C符合条件。

2. 答案：B解析：本题考查了数列的通项公式。

根据题意，数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n。

当n=4时，a4=3^4-2^4=81-16=65，故选B。

3. 答案：D解析：本题考查了平面向量的运算。

根据题意，向量a=(1,2)，向量b=(2,-1)。

计算a·b=1×2+2×(-1)=2-2=0，故a⊥b。

选D。

4. 答案：A解析：本题考查了三角函数的图像与性质。

根据题意，函数y=sin(x+π/6)的图像在区间[0,2π]上，故其周期为2π。

选A。

5. 答案：C解析：本题考查了数列的求和。

根据题意，数列{an}的前n项和为Sn=n^2+3n。

当n=5时，S5=5^2+3×5=25+15=40，故选C。

二、填空题6. 答案：3解析：本题考查了指数函数的性质。

根据题意，指数函数f(x)=2^x的图像在x=0时取得最小值1，故f(0)=1。

选3。

7. 答案：-1解析：本题考查了二次函数的性质。

根据题意，二次函数f(x)=x^2-4x+3的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，代入得顶点坐标为(2, -1)。

选-1。

8. 答案：2解析：本题考查了等差数列的通项公式。

根据题意，等差数列{an}的首项为a1=1，公差为d=2。

故an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。

当n=5时，a5=2×5-1=9。

选2。

9. 答案：4解析：本题考查了立体几何的计算。

根据题意，长方体的长、宽、高分别为a、b、c。

根据勾股定理，对角线长为√(a^2+b^2+c^2)。

代入a=2，b=3，c=4，得对角线长为√(2^2+3^2+4^2)=√(4+9+16)=√29。

历年高考数学试题及答案word 以下是历年高考数学试题及答案的格式示例：
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 若函数f(x)=x^2+2x+1，则f(-1)的值为（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
2. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求a3的值为（）
A. 5
B. 7
C. 9
D. 11
答案：A
二、填空题（每题4分，共20分）
3. 函数y=x^3-3x在区间（-1，1）上的单调性为（）。

答案：单调递减
4. 已知向量a=(1,2)，b=(2,-1)，则|a+b|的值为（）。

答案：√5
三、解答题（共40分）
5. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求函数的零点。

答案：函数的零点为x=1和x=3。

6. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标。

答案：直线l与x轴的交点坐标为(-1/2, 0)。

结束语：以上为历年高考数学试题及答案的示例，希望对同学们的复
习有所帮助。

在实际考试中，题目的难度和类型可能会有所不同，但
解题的基本方法和思路是相通的。

建议同学们在复习过程中多做练习，掌握各种题型的解题技巧，提高解题速度和准确率。

同时，也要注意
培养良好的考试心态，保持冷静和自信，相信自己能够取得理想的成绩。

高考数学试卷一、填空题〔本大题共有14题，总分值48分．〕考生应在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否那么一律得零分．〔2021 •真题〕设全集U=R．假设集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，1．〔4分〕那么Α∩∁UΒ=．2．〔4分〕〔2021 •真题〕假设复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，那么z= ．3．〔4分〕〔2021 •真题〕假设线性方程组增广矩阵为解为，那么c1﹣c2= ．4．〔4分〕〔2021 •真题〕假设正三棱柱所有棱长均为a，且其体积为16，那么a= ．5．〔4分〕〔2021 •真题〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上动点Q到焦点距离最小值为1，那么p= ．6．〔4分〕〔2021 •真题〕假设圆锥侧面积与过轴截面面积之比为2π，那么其母线与轴夹角大小为．7．〔4分〕〔2021 •真题〕方程log2〔9x﹣1﹣5〕=log2〔3x﹣1﹣2〕+2解为．8．〔4分〕〔2021 •真题〕在报名3名男教师与6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，那么不同选取方式种数为〔结果用数值表示〕．9．〔2021 •真题〕点 P与Q横坐标一样，P纵坐标是Q纵坐标2倍，P与Q 轨迹分别为双曲线C1与C2．假设C1渐近线方程为y=±x，那么C2渐近线方程为．10．〔4分〕〔2021 •真题〕设f﹣1〔x〕为f〔x〕=2x﹣2+，x∈[0，2]反函数，那么y=f〔x〕+f﹣1〔x〕最大值为．11．〔4分〕〔2021 •真题〕在〔1+x+〕10展开式中，x2项系数为〔结果用数值表示〕．12．〔4分〕〔2021 •真题〕赌博有陷阱．某种赌博每局规那么是：赌客先在标记有1，2，3，4，5卡片中随机摸取一张，将卡片上数字作为其赌金〔单位：元〕；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差绝对值1.4倍作为其奖金〔单位：元〕．假设随机变量ξ1与ξ2分别表示赌客在一局赌博中赌金与奖金，那么Eξ1﹣Eξ2= 〔元〕．13．〔4分〕〔2021 •真题〕函数f〔x〕=sinx．假设存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f 〔x m﹣1〕﹣f〔x m〕|=12〔m≥12，m∈N*〕，那么m最小值为．14．〔2021 •真题〕在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上点，△A BD与△ACD面积分别为2与4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，那么•= ．二、选择题〔本大题共有4题，总分值15分．〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．15．〔5分〕〔2021 •真题〕设z1，z2∈C，那么“z1、z2中至少有一个数是虚数〞是“z1﹣z2是虚数〞〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．〔5分〕〔2021 •真题〕点A坐标为〔4，1〕，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，那么点B纵坐标为〔〕A．B．C．D．17．〔2021 •真题〕记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，以下选项中，能推出方程③无实根是〔〕A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根18．〔5分〕〔2021 •真题〕设 P n〔x n，y n〕是直线2x﹣y=〔n∈N*〕与圆x2+y2=2在第一象限交点，那么极限=〔〕A．﹣1B．﹣C．1D．2三、名师解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕名师解答以下各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要步骤.19．〔12分〕〔2021 •真题〕如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角大小．20．〔14分〕〔2021 •真题〕如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间距离为f〔t〕〔单位：千米〕．甲路线是AB，速度为5千米/小时，乙路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．〔1〕求t1与f〔t1〕值；〔2〕警员对讲机有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f〔t〕表达式，并判断f〔t〕在[t1，1]上最大值是否超过3？说明理由．21．〔14分〕〔2021 •真题〕椭圆x2+2y2=1，过原点两条直线l1与l2分别于椭圆交于A、B与C、D，记得到平行四边形ABCD面积为S．〔1〕设A〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，用A、C坐标表示点C到直线l1距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；〔2〕设l1与l2斜率之积为﹣，求面积S值．22．〔16分〕〔2021 •真题〕数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2〔b n+1﹣b n〕，n∈N*．〔1〕假设b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}通项公式；〔2〕设{a n}第n0项是最大项，即a≥a n〔n∈N*〕，求证：数列{b n}第n0项是最大项；〔3〕设a1=λ＜0，b n=λn〔n∈N*〕，求λ取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈〔﹣2，2〕．23．〔18分〕〔2021 •真题〕对于定义域为R函数g〔x〕，假设存在正常数T，使得cosg〔x〕是以T为周期函数，那么称g〔x〕为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．f〔x〕是以T为余弦周期余弦周期函数，其值域为R．设f 〔x〕单调递增，f〔0〕=0，f〔T〕=4π．〔1〕验证g〔x〕=x+sin是以6π为周期余弦周期函数；〔2〕设a＜b，证明对任意c∈[f〔a〕，f〔b〕]，存在x0∈[a，b]，使得f〔x0〕=c；〔3〕证明：“u0为方程cosf〔x〕=1在[0，T]上得解，〞充分条件是“u0+T 为方程cosf〔x〕=1在区间[T，2T]上解〞，并证明对任意x∈[0，T]，都有f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕．高考数学试卷〔理科〕一、填空题〔本大题共有14题，总分值48分．〕考生应在答题纸相应编号空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否那么一律得零分．〔2021 •真题〕设全集U=R．假设集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，〔4分〕1．那么Α∩∁UΒ={1，4} ．知识归纳：交、并、补集混合运算．名师分析：此题考察集合运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．名师讲解：解：∵全集U=R，集合Α={1，2，3，4}，Β={x|2≤x≤3}，∴〔∁U B〕={x|x＞3或x＜2}，∴A∩〔∁U B〕={1，4}，故答案为：{1，4}．名师点评：此题考察集合交、并、补混合运算，熟练掌握集合交并补运算规那么是解此题关键．此题考察了推理判断能力．2．〔4分〕〔2021 •真题〕假设复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，那么z= ．知识归纳：复数代数形式乘除运算．名师分析：设z=a+bi，那么=a﹣bi〔a，b∈R〕，利用复数运算法那么、复数相等即可得出．名师解答：解：设z=a+bi，那么=a﹣bi〔a，b∈R〕，又3z+=1+i，∴3〔a+bi〕+〔a﹣bi〕=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．名师点评：此题考察了复数运算法那么、复数相等，属于根底题．3．〔4分〕〔2021 •真题〕假设线性方程组增广矩阵为解为，那么c1﹣c2= 16 ．知识归纳：二阶行列式与逆矩阵．名师分析：根据增广矩阵定义得到，是方程组解，解方程组即可．名师解答：解：由题意知，是方程组解，即，那么c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．名师点评：此题主要考察增广矩阵求解，根据条件建立方程组关系是解决此题关键．4．〔4分〕〔2021 •真题〕假设正三棱柱所有棱长均为a，且其体积为16，那么a= 4 ．知识归纳：棱锥构造特征．名师分析：由题意可得〔•a•a•sin60°〕•a=16，由此求得a值．名师解答：解：由题意可得，正棱柱底面是变长等于a等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱高为a，∴〔•a•a•sin60°〕•a=16，∴a=4，故答案为：4．名师点评：此题主要考察正棱柱定义以及体积公式，属于根底题．5．〔4分〕〔2021 •真题〕抛物线y2=2px〔p＞0〕上动点Q到焦点距离最小值为1，那么p= 2 ．知识归纳：抛物线简单性质．名师分析：利用抛物线顶点到焦点距离最小，即可得出结论．名师解答：解：因为抛物线y2=2px〔p＞0〕上动点Q到焦点距离最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．名师点评：此题考察抛物线方程与性质，考察学生计算能力，比拟根底．6．〔4分〕〔2021 •真题〕假设圆锥侧面积与过轴截面面积之比为2π，那么其母线与轴夹角大小为．知识归纳：旋转体〔圆柱、圆锥、圆台〕．名师分析：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，由中圆锥侧面积与过轴截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴夹角余弦值，进而得到答案．名师解答：解：设圆锥底面半径为r，高为h，母线长为l，那么圆锥侧面积为：πrl，过轴截面面积为：rh，∵圆锥侧面积与过轴截面面积之比为2π，∴l=2h，设母线与轴夹角为θ，那么cosθ==，故θ=，故答案为：．名师点评：此题考察知识点是旋转体，其中根据求出圆锥母线与轴夹角余弦值，是名师解答关键．7．〔4分〕〔2021 •真题〕方程log2〔9x﹣1﹣5〕=log2〔3x﹣1﹣2〕+2解为 2 ．知识归纳：对数运算性质．名师分析：利用对数运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．名师解答：解：∵log2〔9x﹣1﹣5〕=log2〔3x﹣1﹣2〕+2，∴log2〔9x﹣1﹣5〕=log2[4×〔3x﹣1﹣2〕]，∴9x﹣1﹣5=4〔3x﹣1﹣2〕，化为〔3x〕2﹣12•3x+27=0，因式分解为：〔3x﹣3〕〔3x﹣9〕=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．名师点评：此题考察了对数运算性质及指数运算性质及其方程解法，考察了计算能力，属于根底题．8．〔4分〕〔2021 •真题〕在报名3名男教师与6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，那么不同选取方式种数为120 〔结果用数值表示〕．知识归纳：排列、组合实际应用．名师分析：根据题意，运用排除法名师分析，先在9名教师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师情况；即可得答案．名师解答：解：根据题意，报名有3名男教师与6名女教师，共9名教师，在9名教师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师有C65=6种情况；那么男、女教师都有选取方式种数为126﹣6=120种；故答案为：120．名师点评：此题考察排列、组合运用，此题适宜用排除法〔间接法〕，可以防止分类讨论，简化计算．9．〔2021 •真题〕点 P与Q横坐标一样，P纵坐标是Q纵坐标2倍，P与Q 轨迹分别为双曲线C1与C2．假设C1渐近线方程为y=±x，那么C2渐近线方程为．知识归纳：双曲线简单性质．名师分析：设C1方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间关系，求出Q轨迹方程，即可求出C2渐近线方程．名师解答：解：设C1方程为y2﹣3x2=λ，设Q〔x，y〕，那么P〔x，2y〕，代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．名师点评：此题考察双曲线方程与性质，考察学生计算能力，比拟根底．10．〔4分〕〔2021 •真题〕设f﹣1〔x〕为f〔x〕=2x﹣2+，x∈[0，2]反函数，那么y=f〔x〕+f﹣1〔x〕最大值为 4 ．知识归纳：反函数．名师分析：由f〔x〕=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f ﹣1〔x〕在[]上为增函数，由函数单调性求得y=f〔x〕+f﹣1〔x〕最大值．名师解答：解：由f〔x〕=2x﹣2+在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[]，可得y=f﹣1〔x〕在[]上为增函数，因此y=f〔x〕+f﹣1〔x〕在[]上为增函数，∴y=f〔x〕+f﹣1〔x〕最大值为f〔2〕+f﹣1〔2〕=1+1+2=4．故答案为：4．名师点评：此题考察了互为反函数两个函数图象间关系，考察了函数单调性，属中档题．11．〔4分〕〔2021 •真题〕在〔1+x+〕10展开式中，x2项系数为45 〔结果用数值表示〕．知识归纳：二项式系数性质．名师分析：先把原式前两项结合展开，名师分析可知仅有展开后第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式通项，由x指数为2求得r值，那么答案可求．名师解答：解：∵〔1+x+〕10=，∴仅在第一局部中出现x2项系数．再由，令r=2，可得，x2项系数为．故答案为：45．名师点评：此题考察了二项式系数性质，关键是对二项展开式通项记忆与运用，是根底题．12．〔4分〕〔2021 •真题〕赌博有陷阱．某种赌博每局规那么是：赌客先在标记有1，2，3，4，5卡片中随机摸取一张，将卡片上数字作为其赌金〔单位：元〕；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差绝对值1.4倍作为其奖金〔单位：元〕．假设随机变量ξ1与ξ2分别表示赌客在一局赌博中赌金与奖金，那么Eξ1﹣Eξ2= 0.2 〔元〕．知识归纳：离散型随机变量期望与方差．名师分析：分别求出赌金分布列与奖金分布列，计算出对应均值，即可得到结论．名师解答：解：赌金分布列为1 2 3 4 5P所以Eξ1=〔1+2+3+4+5〕=3，奖金分布列为P ====所以Eξ2=1.4×〔×1+×2+×3+×4〕=2.8，那么Eξ1﹣Eξ2=3﹣2.8=0.2元．名师点评：此题主要考察离散型随机变量分布列与期望计算，根据概率公式分别进展计算是解决此题关键．13．〔4分〕〔2021 •真题〕函数f〔x〕=sinx．假设存在x1，x2，…，x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，且|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f 〔x m﹣1〕﹣f〔x m〕|=12〔m≥12，m∈N*〕，那么m最小值为8 ．知识归纳：正弦函数图象．名师分析：由正弦函数有界性可得，对任意x i，x j〔i，j=1，2，3，…，m〕，都有|f〔x i〕﹣f〔x j〕|≤f〔x〕max﹣f〔x〕min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i〔i=1，2，3，…，m〕取得最高点，然后作图可得满足条件最小m 值．名师解答：解：∵y=sinx对任意x i，x j〔i，j=1，2，3，…，m〕，都有|f 〔x i〕﹣f〔x j〕|≤f〔x〕max﹣f〔x〕min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i〔i=1，2，3，…，m〕取得最高点，考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π，|f〔x1〕﹣f〔x2〕|+|f〔x2〕﹣f〔x3〕|+…+|f 〔x m﹣1〕﹣f〔x m〕|=12，按以下图取值即可满足条件，∴m最小值为8．故答案为：8．名师点评：此题考察正弦函数图象与性质，考察名师分析问题与解决问题能力，考察数学转化思想方法，正确理解对任意x i，x j〔i，j=1，2，3，…，m〕，都有|f〔x i〕﹣f〔x j〕|≤f〔x〕max﹣f〔x〕min=2是名师解答该题关键，是难题．14．〔2021 •真题〕在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上点，△A BD与△ACD面积分别为2与4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，那么•= ﹣．知识归纳：平面向量数量积运算．名师分析：由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．名师解答：解：如图，∵△ABD与△ACD面积分别为2与4，∴，，可得，，∴．又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．由，得．那么．故答案为：．名师点评：此题考察平面向量数量积运算，考察了数形结合解题思想方法，考察了三角函数化简与求值，是中档题．二、选择题〔本大题共有4题，总分值15分．〕每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．15．〔5分〕〔2021 •真题〕设z1，z2∈C，那么“z1、z2中至少有一个数是虚数〞是“z1﹣z2是虚数〞〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件知识归纳：必要条件、充分条件与充要条件判断．名师分析：根据充分条件与必要条件定义结合复数有关概念进展判断即可．名师解答：解：设z1=1+i，z2=i，满足z1、z2中至少有一个数是虚数，那么z1﹣z2=1是实数，那么z1﹣z2是虚数不成立，假设z1、z2都是实数，那么z1﹣z2一定不是虚数，因此当z1﹣z2是虚数时，那么z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“z1、z2中至少有一个数是虚数〞是“z1﹣z2是虚数〞必要不充分条件，应选：B．名师点评：此题主要考察充分条件与必要条件判断，根据复数有关概念进展判断是解决此题关键．16．〔5分〕〔2021 •真题〕点A坐标为〔4，1〕，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，那么点B纵坐标为〔〕A．B．C．D．知识归纳：任意角三角函数定义．名师分析：根据三角函数定义，求出∠xOA三角函数值，利用两角与差正弦公式进展求解即可．名师解答：解：∵点 A坐标为〔4，1〕，∴设∠xOA=θ，那么sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，那么OB倾斜角为θ+，那么|OB|=|OA|=，那么点B纵坐标为y=|OP|sin〔θ+〕=7〔sinθcos+cosθsin〕=7〔×+〕=+6=，应选：D．名师点评：此题主要考察三角函数值计算，根据三角函数定义以及两角与差正弦公式是解决此题关键．17．〔2021 •真题〕记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，以下选项中，能推出方程③无实根是〔〕A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根知识归纳：根存在性及根个数判断．名师分析：根据方程根与判别式△之间关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③判别式△取值即可得到结论．名师解答：解：当方程①有实根，且②无实根时，△1=a12﹣4≥0，△2=a22﹣8＜0，即a12≥4，a22＜8，∵a1，a2，a3成等比数列，∴a22=a1a3，即a3=，那么a32=〔〕2=，即方程③判别式△3=a32﹣16＜0，此时方程③无实根，应选：B名师点评：此题主要考察方程根存在性与判别式△之间关系，结合等比数列定义与性质判断判别式△取值关系是解决此题关键．18．〔5分〕〔2021 •真题〕设 P n〔x n，y n〕是直线2x﹣y=〔n∈N*〕与圆x2+y2=2在第一象限交点，那么极限=〔〕A．﹣1B．﹣C．1D．2知识归纳：极限及其运算．名师分析：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限交点无限靠近〔1，1〕，利用圆切线斜率、斜率计算公式即可得出．名师解答：解：当n→+∞时，直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1，与圆x2+y2=2在第一象限交点无限靠近〔1，1〕，而可看作点 P n〔x n，y n〕与〔1，1〕连线斜率，其值会无限接近圆x2+y2=2在点〔1，1〕处切线斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．应选：A．名师点评：此题考察了极限思想、圆切线斜率、斜率计算公式，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．三、名师解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕名师解答以下各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要步骤.19．〔12分〕〔2021 •真题〕如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成角大小．知识归纳：直线与平面所成角．名师分析：利用长方体集合关系建立直角坐标系．利用法向量求出二面角．名师解答：解：连接AC，因为E，F分别是AB，BC中点，所以EF是△ABC 中位线，所以EF∥AC．由长方体性质知AC∥A1C1，所以EF∥A1C1，所以A1、C1、F、E四点共面．以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，易求得设平面A1C1EF法向量为那么，所以，即，z=1，得x=1，y=1，所以，所以=，所以直线CD1与平面A1C1FE所成角大小arcsin．名师点评：此题主要考察利用空间直角坐标系求出二面角方法，属高考常考题型．20．〔14分〕〔2021 •真题〕如图，A，B，C三地有直道相通，AB=5千米，AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间距离为f〔t〕〔单位：千米〕．甲路线是AB，速度为5千米/小时，乙路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．〔1〕求t1与f〔t1〕值；〔2〕警员对讲机有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f〔t〕表达式，并判断f〔t〕在[t1，1]上最大值是否超过3？说明理由．知识归纳：余弦定理应用．名师分析：〔1〕由题意可得t1==h，由余弦定理可得f〔t1〕=PC=，代值计算可得；〔2〕当t1≤t≤时，由数据与余弦定理可得f〔t〕=PQ=，当＜t≤1时，f〔t〕=PB=5﹣5t，综合可得当＜t≤1时，f〔t〕∈[0，]，可得结论．名师解答：解：〔1〕由题意可得t1==h，设此时甲运动到点P，那么AP=v甲t1=5×=千米，∴f〔t1〕=PC===千米；〔2〕当t1≤t≤时，乙在CB上Q点，设甲在P点，∴QB=AC+CB﹣8t=7﹣8t，PB=AB﹣AP=5﹣5t，∴f〔t〕=PQ=当＜t≤1时，乙在B点不动，设此时甲在点P，∴f〔t〕=PB=AB﹣AP=5﹣5t∴f〔t〕=∴当＜t≤1时，f〔t〕∈[0，]，故f〔t〕最大值超过了3千米．名师点评：此题考察解三角形实际应用，涉及余弦定理与分段函数，属中档题．21．〔14分〕〔2021 •真题〕椭圆x2+2y2=1，过原点两条直线l1与l2分别于椭圆交于A、B与C、D，记得到平行四边形ABCD面积为S．〔1〕设A〔x1，y1〕，C〔x2，y2〕，用A、C坐标表示点C到直线l1距离，并证明S=2|x1y2﹣x2y1|；〔2〕设l1与l2斜率之积为﹣，求面积S值．知识归纳：直线与圆锥曲线综合问题；点到直线距离公式．名师分析：〔1〕依题意，直线l1方程为y=x，利用点到直线间距离公式可求得点C到直线l1距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；〔2〕方法一：设直线l1斜率为k，那么直线l2斜率为﹣，可得直线l1与l2方程，联立方程组，可求得x1、x2、y1、y2，继而可求得答案．方法二：设直线l1、l2斜率分别为、，那么=﹣，利用A〔x1，y1〕、C〔x2，y2〕在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S值．名师解答：解：〔1〕依题意，直线l1方程为y=x，由点到直线间距离公式得：点C到直线l1距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=2|x1y2﹣x2y1|；〔2〕方法一：设直线l1斜率为k，那么直线l2斜率为﹣，设直线l1方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，那么y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．方法二：设直线l1、l2斜率分别为、，那么=﹣，所以x1x2=﹣2y1y2，∴=4=﹣2x1x2y1y2，∵A〔x1，y1〕、C〔x2，y2〕在椭圆x2+2y2=1上，∴〔〕〔〕=+4+2〔+〕=1，即﹣4x1x2y1y2+2〔+〕=1，所以〔x1y2﹣x2y1〕2=，即|x1y2﹣x2y1|=，所以S=2|x1y2﹣x2y1|=．名师点评：此题考察直线与圆锥曲线综合应用，考察方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．22．〔16分〕〔2021 •真题〕数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2〔b n+1﹣b n〕，n∈N*．〔1〕假设b n=3n+5，且a1=1，求数列{a n}通项公式；〔2〕设{a n}第n0项是最大项，即a≥a n〔n∈N*〕，求证：数列{b n}第n0项是最大项；〔3〕设a1=λ＜0，b n=λn〔n∈N*〕，求λ取值范围，使得{a n}有最大值M与最小值m，且∈〔﹣2，2〕．知识归纳：数列递推式；数列函数特性．名师分析：〔1〕把b n=3n+5代入递推式可得a n+1﹣a n=6，由此得到{a n}是等差数列，那么a n可求；〔2〕由a n=〔a n﹣a n﹣1〕+〔a n﹣1﹣a n﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1，结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；〔3〕由〔2〕可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n最大值M与最小值m，再由∈〔﹣2，2〕列式求得λ范围．名师解答：〔1〕解：∵a n+1﹣a n=2〔b n+1﹣b n〕，b n=3n+5，∴a n+1﹣a n=2〔b n+1﹣b n〕=2〔3n+8﹣3n﹣5〕=6，∴{a n}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，那么a n=1+〔n﹣1〕×6=6n﹣5；〔2〕∵a n=〔a n﹣a n﹣1〕+〔a n﹣1﹣a n﹣2〕+…+〔a2﹣a1〕+a1=2〔b n﹣b n﹣1〕+2〔b n﹣1﹣b n﹣2〕+…+2〔b2﹣b1〕+a1=2b n+a1﹣2b1，∴数列{b n}第n0项是最大项；〔3〕由〔2〕可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=λ，∴∈〔﹣2，2〕，∴λ∈，②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，∴M=3，m=﹣1，〔﹣2，2〕，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈〔﹣，0〕时满足条件．名师点评：此题考察了数列递推式，考察了等差关系确定，考察了数列函数特性，训练了累加法求数列通项公式，对〔3〕求解运用了极限思想方法，是中档题．23．〔18分〕〔2021 •真题〕对于定义域为R函数g〔x〕，假设存在正常数T，使得cosg〔x〕是以T为周期函数，那么称g〔x〕为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期．f〔x〕是以T为余弦周期余弦周期函数，其值域为R．设f 〔x〕单调递增，f〔0〕=0，f〔T〕=4π．〔1〕验证g〔x〕=x+sin是以6π为周期余弦周期函数；〔2〕设a＜b，证明对任意c∈[f〔a〕，f〔b〕]，存在x0∈[a，b]，使得f 〔x0〕=c；〔3〕证明：“u0为方程cosf〔x〕=1在[0，T]上得解，〞充分条件是“u0+T 为方程cosf〔x〕=1在区间[T，2T]上解〞，并证明对任意x∈[0，T]，都有f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕．知识归纳：函数与方程综合运用．名师分析：〔1〕根据余弦周期函数定义，判断cosg〔x+6π〕是否等于cosg 〔x〕即可；〔2〕根据f〔x〕值域为R，便可得到存在x0，使得f〔x0〕=c，而根据f〔x〕在R上单调递增即可说明x0∈[a，b]，从而完成证明；〔3〕只需证明u0+T为方程cosf〔x〕=1在区间[T，2T]上解得出u0为方程cosf〔x〕=1在[0，T]上解，是否为方程解，带入方程，使方程成立便是方程解．证明对任意x∈[0，T]，都有f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕，可讨论x=0，x=T，x∈〔0，T〕三种情况：x=0时是显然成立；x=T时，可得出cosf〔2T〕=1，从而得到f〔2T〕=2k1π，k1∈Z，根据f〔x〕单调递增便能得到k1＞2，然后根据f〔x〕单调性及方程cosf〔x〕=1在[T，2T]与它在[0，T]上解个数情况说明k1=3，与k1≥5是不存在，而k1=4时结论成立，这便说明x=T时结论成立；而对于x∈〔0，T〕时，通过考察cosf〔x〕=c解得到f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕，综合以上三种情况，最后得出结论即可．名师解答：解：〔1〕g〔x〕=x+sin；∴==cosg〔x〕∴g〔x〕是以6π为周期余弦周期函数；〔2〕∵f〔x〕值域为R；∴存在x0，使f〔x0〕=c；又c∈[f〔a〕，f〔b〕]；∴f〔a〕≤f〔x0〕≤f〔b〕，而f〔x〕为增函数；∴a≤x0≤b；即存在x0∈[a，b]，使f〔x0〕=c；〔3〕证明：假设u0+T为方程cosf〔x〕=1在区间[T，2T]上解；那么：cosf〔u0+T〕=1，T≤u0+T≤2T；∴c osf〔u0〕=1，且0≤u0≤T；∴u0为方程cosf〔x〕=1在[0，T]上解；∴“u0为方程cosf〔x〕=1在[0，T]上得解〞充分条件是“u0+T为方程cosf 〔x〕=1在区间[T，2T]上解〞；下面证明对任意x∈[0，T]，都有f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕：①当x=0时，f〔0〕=0，∴显然成立；②当x=T时，cosf〔2T〕=cosf〔T〕=1；∴f〔2T〕=2k1π，〔k1∈Z〕，f〔T〕=4π，且2k1π＞4π，∴k1＞2；1〕假设k1=3，f〔2T〕=6π，由〔2〕知存在x0∈〔0，T〕，使f〔x0〕=2π；cosf〔x0+T〕=cosf〔x0〕=1⇒f〔x0+T〕=2k2π，k2∈Z；∴f〔T〕＜f〔x0+T〕＜f〔2T〕；∴4π＜2k2π＜6π；∴2＜k2＜3，无解；2〕假设k1≥5，f〔2T〕≥10π，那么存在T＜x1＜x2＜2T，使得f〔x1〕=6π，f〔x2〕=8π；那么T，x1，x2，2T为cosf〔x〕=1在[T，2T]上4个解；但方程cosf〔x〕=1在[0，2T]上只有f〔x〕=0，2π，4π，3个解，矛盾；3〕当k1=4时，f〔2T〕=8π=f〔T〕+f〔T〕，结论成立；③当x∈〔0，T〕时，f〔x〕∈〔0，4π〕，考察方程cosf〔x〕=c在〔0，T〕上解；设其解为f〔x1〕，f〔x2〕，…，f〔x n〕，〔x1＜x2＜…＜x n〕；那么f〔x1+T〕，f〔x2+T〕，…，f〔x n+T〕为方程cosf〔x〕=c在〔T，2T〕上解；又f〔x+T〕∈〔4π，8π〕；而f〔x1〕+4π，f〔x2〕+4π，…，f〔x n〕+4π∈〔4π，8π〕为方程cosf 〔x〕=c在〔T，2T〕上解；∴f〔x i+T〕=f〔x i〕+4π=f〔x i〕+f〔T〕；∴综上对任意x∈[0，T]，都有f〔x+T〕=f〔x〕+f〔T〕．名师点评：考察对余弦周期函数定义理解，充分条件概念，方程解概念，知道由cosf〔x〕=1能得出f〔x〕=2kx，k∈Z，以及构造方程解题方法，在证明最后一问时能运用第二问结论．。

高考真题数学答案及解析一、选择题1. 题目：若函数f(x) = ax^2 + bx + c在点x=2处取得极小值，且已知f(1)=3，f(3)=15，则a的值为____。

解析：由题意可知，函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=2处取得极小值，所以f'(x)在x=2处为0。

首先求导数f'(x) = 2ax + b。

将x=2代入得到4a + b = 0。

又已知f(1)=3，f(3)=15，将x=1和x=3分别代入原函数得到两个方程：a + b + c = 3和9a + 3b + c = 15。

联立这三个方程解得a=1，b=-2，c=4。

所以a的值为1。

2. 题目：设集合A={x|x=2n, n∈Z}，B={x|x=2n+1, n∈Z}，则A∪B的元素个数为____。

解析：集合A表示所有偶数的集合，集合B表示所有奇数的集合。

由于整数集包括所有的偶数和奇数，所以A∪B就是整个整数集。

因此，A∪B的元素个数为无穷多个。

3. 题目：已知三角形ABC中，∠A=90°-∠B，AB=AC，点D为BC中点，连接AD，若∠BAD=15°，则∠BAC的度数为____。

解析：由于AB=AC，所以三角形ABC为等腰直角三角形，∠BAC=45°。

又因为∠A=90°-∠B，所以∠B=45°。

由于点D为BC中点，AD为中线，所以AD=BD=CD。

又因为∠BAD=15°，所以∠DAC=∠BAC-∠BAD=45°-15°=30°。

因此，∠BAC的度数为30°。

二、填空题1. 题目：若等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=2，公差d=3，求S10的值为____。

解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d)。

将n=10，a1=2，d=3代入公式得：S10 = 10/2 * (2*2 + (10-1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。

高考数学试题答案及解析一、选择题1. 若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-3，则m的值为（）。

A. 0B. 2C. 3D. -2答案：B解析：将x=1代入函数f(x)=x^2-4x+m，得到f(1)=1-4+m=-3，解得m=2。

2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a4=8，则公差d为（）。

A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A解析：根据等差数列的性质，a4=a1+3d，将已知条件代入，得到8=2+3d，解得d=2。

3. 若直线l的倾斜角为45°，则直线l的斜率为（）。

A. 1B. -1C. √2D. -√2答案：A解析：直线的斜率k等于其倾斜角的正切值，即k=tan(45°)=1。

4. 已知函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值为（）。

A. 3x^2-3B. x^2-3xC. x^3-3D. 3x^2+3答案：A解析：对f(x)=x^3-3x求导，得到f'(x)=3x^2-3。

5. 已知圆C的方程为(x-2)^2+(y-3)^2=25，求圆C的半径为（）。

A. 5B. 3C. 4D. 2答案：A解析：圆的标准方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。

将圆C的方程与标准方程对照，得到半径r=5。

二、填空题6. 已知向量a=(2,3)，向量b=(4,-1)，求向量a与向量b的数量积为______。

答案：-2解析：向量a与向量b的数量积为a·b=2×4+3×(-1)=-2。

7. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的最小值为______。

答案：-4解析：将f(x)=x^2-6x+8转化为顶点式，得到f(x)=(x-3)^2-1，因此f(x)的最小值为-1。

8. 已知双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1，且a=2，b=1，求双曲线的渐近线方程为______。