历年高考数学试卷附标准解析

23．（ 18分）（ 2015?真题）对于定义域为 R的函数 g（ x），若存在正常数 T，使得 cosg（ x）是以 T 为周期的 函数，则称 g（ x）为余弦周期函数，且称 T为其余弦周期．已知 f（ x）是以 T为余弦周期的余弦周期函数，其
值域为 R．设 f （x）单调递增， f（ 0） =0， f （ T） =4π． （ 1）验证 g（ x） =x+sin 是以 6π为周期的余弦周期函数； （ 2）设 a＜b，证明对任意 c∈[f （ a）， f（ b） ] ，存在 x 0∈[a， b] ，使得 f （ x0） =c；
片上数字之差的绝对值的 1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量
金和奖金，则 E ξ1﹣ Eξ2=
（元）．
ξ1和 ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌
13．（ 4分）（ 2015?真题）已知函数 f（ x） =sinx ．若存在 x 1， x2，… ， x m满足 0≤ｘ1＜ x 2＜… ＜ x m≤ 6π，且 |f（ x1）﹣ f （ x2） |+|f（ x2）﹣ f（ x 3） |+ … +|（f x m﹣1）﹣ f（ xm） |=12（ m≥ 12， m∈N * ），则 m的最小值为
，是方程组
的解，
即
，
则c1﹣ c2=21 ﹣ 5=16， 故答案为： 16． 名师点评： 本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（ 4分）（ 2015?真题）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a= 4 ．
知识归纳 ： 棱锥的结构特征． 名师分析： 由题意可得（ ?a?a?sin60）°?a=16 ，由此求得 a的值．
B ，速度为 5千米 /小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8千米 /小时．乙到达 B地后原地等待．设 t=t1时乙到达 C地． （ 1）求 t1与 f（ t1）的值；
（ 2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 3千米．当 t1≤ t ≤时１，求 f（ t）的表达式，并判断 f （ t）在 [t 1， 1] 上 的最大值是否超过 3？说明理由．
19．（ 12分）（ 2015?真题）如图，在长方体 ABCD ﹣ A 1B1C1D1中， AA 1=1， AB=AD=2 ， E、F分别是 AB 、 B C的中点，证明 A 1、C1、 F、 E四点共面，并求直线 CD 1与平面 A 1C1FE所成的角的大小．
20．（ 14分）（ 2015?真题）如图， A ， B ，C三地有直道相通， AB=5 千米， AC=3 千米， BC=4 千米．现甲、 乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f （ t）（单位：千米）．甲的路线是 A
值为
．
11．（ 4分）（ 2015?真题）在（ 1+x+ （结果用数值表示）．
）10的展开式中， x 2项的系数为
12．（ 4分）（ 2015?真题）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有
1， 2， 3，4， 5的卡片中
随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡
，则不同的选取方式的种数为
（结果用数值表示）．
9．（ 2015?真题）已知点
P和 Q的横坐标相同， P的纵坐标是 Q的纵坐标的 2倍， P和Q的轨迹分别为双曲线
为y=± x，则 C2的渐近线方程为
．
C1和 C2．若 C1的渐近线方程
10．（ 4分）（ 2015?真题）设 f﹣1（ x）为 f （x） =2x﹣2+ ， x ∈[0， 2] 的反函数，则 y=f （ x ） +f ﹣1（ x）的最大
．
14．（ 2015?真题）在锐角三角形 A BC 中， tanA= ， D 为边 BC 上的点，△ A
BD 与△ ACD 的面积分别为 2和4．过 D作 D E ⊥ A B 于 E， DF⊥AC 于 F，则 ? =
．
二、选择题（本大题共有 4题，满分 15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上， 将代表答案的小方格涂黑，选对得 5分，否则一律得零分．
（ 3）证明： “ｕ0为方程 cosf（ x） =1 在[0 ，T ]上得解， ”的充分条件是 “ｕ0+T 为方程 cosf（ x ）=1在区间 [T ， 2T ] 上的解 ”，并证明对任意 x∈[0， T] ，都有 f（ x+T ）=f （ x） +f （ T）．
高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有 14题，满分 48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填 对 4分，否则一律得零分．
22．（ 16分）（ 2015?真题）已知数列 {a n} 与 {b n} 满足 an+1﹣ an=2（bn+1﹣ bn）， n∈N*． （ 1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列 {a n} 的通项公式；
（ 2）设 {a n} 的第 n0项是最大项，即 a ≥ａn（n∈N * ），求证：数列 {b n} 的第 n0项是最大项； （ 3）设 a1=λ＜ 0，bn=λn（ n∈N *），求 λ的取值范围，使得 {a n} 有最大值 M 与最小值 m，且 ∈（﹣ 2， 2）．
15．（ 5分）（ 2015?真题）设 z1， z2∈C，则 “ｚ1、z2中至少有一个数是虚数 ”是“ｚ1﹣z2是虚数 ”的（
）
A ．充 分非必要条件
B． 必 要非充分条件
C． 充 要条件
D ．既 非充分又非必要条件
16．（ 5分）（ 2015?真题）已知点 A 的坐标为（ 4 ， 1），将 OA 绕坐标原点 O逆时针旋转
21．（ 14分）（ 2015?真题）已知椭圆 x 2+2y2=1 ，过原点的两条直线 l1和 l2分别于椭圆交于 A、 B和 C、D ，记 得到的平行四边形 ABCD 的面积为 S．
（ 1）设 A （ x1，y 1）， C（ x2， y2），用 A 、 C的坐标表示点 C到直线 l1的距离，并证明 S=2|x 1y 2﹣ x2y1|； （ 2）设 l 1与l 2的斜率之积为﹣ ，求面积 S的值．
．
3．（ 4分）（ 2015?真题）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则 c1﹣ c2=
．
4．（ 4分）（ 2015?真题）若正三棱柱的所有棱长均为 a，且其体积为 16 ，则 a=
．
5．（ 4分）（ 2015?真题）抛物线 y2=2px （ p＞ 0）上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1，则 p= ．
1．（ 4分）（ 2015?真题）设全集 U=R ．若集合 Α ={1， 2， 3，4} ， Β ={x|2 ≤ x ≤，则3} Α∩?UΒ＝ {1 ， 4} ．
知识归纳 ： 交、并、补集的混合运算． 名师分析： 本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可． 名师讲解： 解：∵全集 U=R ，集合 Α={1， 2， 3， 4} ， Β={x|2 ≤x≤，3}
B． 方 程①有实根，且②无实根
C． 方 程①无实根，且②有实根
D ．方 程①无实根，且②无实根
Pn（ x n，y n）是直线 2x﹣ y=
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18．（ 5分）（ 2015?真题）设 （ n∈N *）与圆 x2+y2=2在第一象限的交点，则极限
=（ ）
A ．﹣1
B．﹣
C． 1
D．2
三、名师解答题（本大题共有 5题，满分 74分）名师解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出 必要的步骤 .
∴（ ? UB ）={x|x ＞3或 x＜ 2} ，
∴A∩ （ ?UB） ={1 ， 4} ， 故答案为： {1 ， 4} ． 名师点评：
本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考 查了推理判断的能力．
2．（ 4分）（ 2015?真题）若复数 z满足 3z+ =1+i ，其中 i 是虚数单位，则 z=
名师解答： 解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于
a的等边三角形，面积为
?a?a?sin60，°正棱柱的高为 a，
∴（ ?a?a?sin60）°?a=16 ，∴ a=4， 故答案为： 4．
名师点评： 本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
2
5．（ 4分）（ 2015?真题）抛物线 y =2px （ p＞ 0）上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1，则 p= 2 ．
知识归纳 ： 抛物线的简单性质． 名师分析： 利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论． 名师解答： 解：因为抛物线 y2=2px （ p＞ 0）上的动点 Q到焦点的距离的最小值为 1， 所以 =1，
所以 p=2 ． 故答案为： 2． 名师点评： 本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
则cosθ＝= ，
2π，可得 l
故θ＝ ，
故答案为： ．
名师点评： 本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是名师解答的关键
．
7．（ 4分）（ 2015?真题）方程 log 2（ 9x﹣ 1﹣ 5） =log 2（ 3x﹣1﹣ 2） +2 的解为 2 ．
知识归纳 ： 对数的运算性质． 名师分析： 利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可． 名师解答： 解：∵ log 2（9x﹣1﹣ 5） =log2（3x﹣1﹣ 2） +2，∴ log2（ 9x﹣ 1﹣5） =log 2[4 ×（ 3x﹣1﹣ 2） ] ， ∴9x﹣1﹣ 5=4（3x﹣1﹣ 2）， 化为（ 3x）2﹣12?3x+27=0 ， 因式分解为：（ 3x﹣ 3）（ 3x﹣ 9） =0， ∴3x=3， 3x=9， 解得 x=1 或 2． 经过验证： x=1不满足条件，舍去． ∴x=2 ． 故答案为： 2． 名师点评： 本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
．
知识归纳 ： 复数代数形式的乘除运算． 名师分析： 设 z=a+bi ，则 =a﹣ bi （a， b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 名师解答： 解：设 z=a+bi ，则 =a﹣ bi（ a， b∈R）， 又3z+ =1+i ， ∴3（ a+bi） +（ a﹣bi） =1+i ， 化为 4a+2bi=1+i ， ∴4a=1， 2b=1，
高考数学试卷
一、填空题（本大题共有 14题，满分 48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填 对4分，否则一律得零分．
1．（ 4分）（ 2015?真题）设全集 U=R ．若集合 Α ={1， 2， 3， 4} ，Β ={x|2 ≤ x ≤，3则} Α∩? UΒ＝
．
2．（ 4分）（ 2015?真题）若复数 z满足 3z+ =1+i ，其中 i 是虚数单位，则 z=
6．（ 4分）（ 2015?真题）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ．
2π，则其母线与轴的夹角的大小为
7．（ 4分）（ 2015?真题）方程 log 2（ 9x﹣ 1﹣ 5） =log 2（ 3x﹣1﹣ 2） +2 的解为
．
8．（ 4分）（ 2015?真题）在报名的 3名男老师和 6名女教师中，选取 5人参加义务献血，要求男、女教师都有
的纵坐标为（
）
至 OB，则点 B
A．
B．
C．
D．
17．（ 2015?真题）记方程①： x2+a1x+1=0 ，方程②： x 2+a2x+2=0 ，方程③： x 2+a3x+4=0 ，其中 a1， a2， a3是
正实数．当 a1， a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（
）
A ．方 程①有实根，且②有实根
6．（ 4分）（ 2015?真题）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ．
2π，则其母线与轴的夹角的大小为
知识归纳 ： 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）． 名师分析：
设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l ，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 =2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案． 名师解答： 解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l， 则圆锥的侧面积为： πr，l 过轴的截面面积为： rh， ∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2π， ∴l=2h ， 设母线与轴的夹角为 θ，
解得 a= ， b= ．
∴z=
．
故答案为： 名师点评：
． 本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（ 4分）（ 2015?真题）若线性方程组的增广矩阵为
解为
，则 c1﹣ c2= 16 ．
知识归纳 ： 二阶行列式与逆矩阵． 名师分析： 根据增广矩阵的定义得到
，是方程组
的解，解方程组即可．
名师解答： 解：由题意知