《命题的四种形式》

命题的否定与否命题是完全不同的概 念
1．原命题“若P则q” 的形式，它的非命 题“若p，则q”；而它的否命题为 “若 ┓p，则┓q”，既否定条件又否定结论。 2．任何命题均有否定，无论是真命题还是 假命题；而否命题仅针对命题“若P则q” 提出来的。 3．命题的否定（非）是原命题的矛盾命题， 两者的真假性必然是一真一假，一假一真； 而否命题与原命题可能是同真同假，也可 能是一真一假。
原命题：你给我毛驴，我就给你金币。 逆命题：你给我金币，我就给你毛驴。 否命题：你不给我毛驴，我就不给你金币。 逆否命题：你不给我金币，我就不给你毛驴。
命题:能够判断真假的语句叫做命题.
思考下面的命题②③④与命题①有何关系? ①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等; ②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等; ③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不 相等; ④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不 全等.
2)若
x 1, 则x2 1
命题的否定：若 否命题： 若
x 1, 则x2 1
x 1, 则x 1
2
2、 命题“x R， 使得x 2 A、 B、 C、 D、
1 3x
”的否定为（
c
）
x R，使得x2 1 3x
x R，使得x2 1 3x
x R，使得x 1 3x
假
假
”当c>0时“是 大前提,写其它 命题时应保留.
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc. 真 逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b. 真
例2 把下列命题改成“若p则q”的形式，并写出 它的 逆命题、否命题与逆否命题,同时判断它们的 真假. （1）两个全等三角形的三边对应相等. 改写:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边 对应相等. 真 逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个 三角形全等. 真 否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形 不是三边对应相等. 真 逆否命题:若两个三角形不是三边对应相等,则这 真 两个三角形不全等.
2）若x=y，则 逆命题：若
x y
真
x y ，则x=y x y
，则x≠y
假
假
否命题：若x≠y，则 逆否命题：若
x y
真
例3与命题“若m M ，则n M ”等价的 命题是 （ D）
A、若 m M ，则 n M
B、若 n M ，则 m M C、若 m M ，则 n M D、若 n M ，则 m M
解得
7 a 4
4a 7 0
，所以原命题为真，
又因为原命题与其逆否命题等价，所以其逆否命题为真。
小结
1）命题的四种形式；
2）四种形式间的真假关系；
3）四种形式间的等价关系；
4）命题的否定与否命题的区别。
例1 写出命题“ 若a=0,则ab=0 ”的逆命题、否命 题 与逆否命题,并判断它们的真假. 逆命题: 若ab=0,则a=0. 否命题:若a≠0,则ab≠0. 逆否命题:若ab≠0,则a≠0. 原命题 真 假 假 真
互 否
互 否
互逆
否命题
若﹁p则﹁q
逆否命题
若﹁q则﹁p
原 命 题 的 逆 命 题 与 否 命 题 同 真 假。
例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断其 真假。 1）若x=0且y=0，则xy=0 2）若a-b>0,则a>b 3）若a+b是偶数，则a和b都是偶数 逆命题：若a和b都是偶数，则a+b是偶数 否命题：若a+b不是偶数，则a和b不都是偶数
假 真 真
逆否命题：若a和b不都是偶数，则a+b不是偶数
假
结合以上例题思考：原命题的真假与其他三种命题的真假有 没有关系？
1） 2） 3）
原命题 真 真 假
逆命题 假 真 真
否命题 假 真 真
逆否命题 真 真 假
填空：（在横线处填上“一定”或“不一定”） 1）原命题为真，它的逆命题 不一定 为真； 不一定 为真； 一定 为真。
2
x R，使得x 1 3x
2
3、已知命题甲：“若p，则q”；命题乙：“若q，则p”； p ，则 p q ”；命题丁：“若 q 命题丙：“若 ，则 则下列命题正确的是（ ）
D
”。
1）若甲真则乙为真 2）若乙真则丙为真 3）若丙真则丁为真 4）若丁真则甲为真 A、1） 2） C、2） 3） B、3） D、2） 4） 4）
解1 直接判断 解2 根据原命题的逆否命题的真假来判断原命题 的真假.
你能据此说出反证法的原理么? 互为逆否命题的两个命题的等价性是反证法的 逻辑基础.
练习2 书P23 练习A
练习3 把下列命题改成“若p则q”的形式，并写出 它的逆命题、否命题与逆否命题,同时判断 它们的真假. (1) 两个全等三角形相似.
②与①互 为逆命题 ③与①互 为否命题 ④与①互为 逆否命题
一般地,四种命题的形式
原命题: 逆命题:
否命题:
若p则q 若q则p
若非p则非q
非p、非q分别表 示p和q的否定
逆否命题: 若非 q则非 p
四种命题之间的 关系
原 命 题 与 逆 否 命 题 同 真 假 。
原命题
若p则q
互逆
逆命题
若q则p
改写:若两个三角形是全等三角形,则它们相似. 逆命题:若两个三角形相似,则它们是全等三角形. 否命题:若两个三角形不是全等三角形,则它们不相 似. 真 假 假
逆否命题:若两个三角形不相似,则它们不是全等三 真 角形.
(2) 负数的平方是正数. 改写:若一个数是负数,则这个数的平方是正数. 真
逆命题: 若一个数的平方是正数,则这个数是负数. 假 否命题: 若一个数不是负数,则这个数的平方 假
（2）四条边相等的四边形是正方形. 改写:若一个四边形的四条边相等,则它 假 是正方形. 逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条 边相等. 真
改写形式 有时不是 惟一的.
否命题:若一个四边形的四条边不全相等,则它 不是正方形. 真 逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的 四条边不全相等. 假
如 改 写 “ 两 条 平 行 线 的 同 位 角 相 等 ” .
4、判断命题“已知a、x为实数，若关于x的不等式
x (2a 1) x a
2
2
7 2 0 的解集非空，则 a 4 ”
的逆否命题的真假. 分析：根据等价性，可直接判断原命题的真假。
解：因为原不等式的解集非空，
所以 (2a 1) 4(a 2) 0 即
2 2
巩固练习：
判断命题的真假
1）若x+y≠3，则x≠1或y≠2
真 真
逆否命题：若x=1且y=2 ，则x+y=3
2）若
a b 2 ,则实数a和b不都小于1
真
逆否命题：若实数a和b都小于1 ，则 a b
2
真
命题的否定与否命题 区别： 1）概念：命题的否定形式是直接对命题的
结论 进行否定；
而否命题则是对原命题的 条件 和 结论 分别否定后组成的 命题。
2 2 2 2
a、b不全为零 2 2 2 否命题：若 m n a a、b不全为零
b 0 ，则实数m、n、
2
3） 若xy=0，则x=0或y=0 命题的否定：若xy=0，则x≠0且y≠0 否命题：若xy≠0，则x≠0且y≠0
练习：
1、写出下列命题的否定形式和否命题 1）若abc=0，则a、b、c中至少有一个为零 命题的否定：若abc=0，则a、b、c全不为零 否命题： 若abc≠0，则a、b、c全不为零
练习1 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题, 并判断它们的真假. (1) 若a2>b2,则a>b. 逆命题: 若a>b,则a2>b2. 否命题:若a2≤b2,则a≤b. 逆否命题:若a≤b,则a2≤b2. (2) 当c>0时,若a>b,则ac>bc. 逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b. 真 真 假 假
不是正数.
逆否命题:若一个数的平方不是正数,则这个数不
是负数.
真
练习4 如果否命题为“若x+y≤0,则x≤0”,写出相应的 原命题,逆命题与逆否命题. 原命题:若x+y>0,则x>0.
逆命题:若x>0,则 x+y>0. 逆否命题:若x≤0,则 x+y≤0.
2）结构：对于“若p，则q”形式的命题，其命题的否定为 “若
p
，则非q ”，也就是不改变条件，而否定结论；
而否命题则为“若
非p
，则 非q
”。
3）真值：命题的否定的真值与原命题 而否命题的真值与原命题
相反 无关
； 。
例4、写出下列命题的否定形式及否命题。 1）全等三角形的面积相等 命题的否定：全等三角形的面积不相等 否命题：不全等的三角形面积不相等 2）若 m n a b 0 ,则实数m、n、a、b全为零 命题的否定：若 m2 n2 a 2 b2 0,则实数m、n、
2）原命题为真，它的否命题
3) 原命题为真，它的逆否命题
例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并 判断这些命题的真假。
1）当 c>0时，若a>b，则ac>bc 逆命题：当 c>0时，若ac>bc ，则 a>b
否命题：当 c>0时，若a≤b，则ac≤bc
真
真 真 真
逆否命题：当 c>0时，若ac≤bc ，则 a≤b
观察前面这些每四个命题之间的真假关系,你能得出怎 样的结论?
一般地,互为逆否命题的两个命题,要么都是 真命题,要么都是假命题.即互为逆否的两个 命题同真假.
注:四个命题中真命题的个数要wk.baidu.com是0,要么 是2,要么是4. 互为逆否命题的两个命题可以认为是等 价命题.
练习1 判断命题:“若x2≠1,则x≠1”的真假.
1.3.2 命题的四种形式
阿凡提之《金币和毛驴的故事》
有一天，巴依老爷想要阿凡提的毛驴但又 不想给金币，就对阿凡提说："你给我毛驴， 我就给你金币。"阿凡提回答道："你给我 金币，我就给你毛驴。"狡猾的巴依老爷说： "你不给我毛驴，我就不给你金币。"阿凡 提想了想说："你不给我金币，我就不给你 毛驴。"
练习：写出下列命题的否定：
（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）p：对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3；
（4）p：任意素数都是奇数；
（5）p：每个指数函数都是单调函数；
（6）p：线段的垂直平分线上的点到这条线段两 个端点的距离相等；
友情提醒:
1、P∨q的否定形式为: ┒P且┒q 2、P∧q的否定形式为: ┒P或┒q
两条平行直线的同位角相等
改写１：若两直线平行，则同位角相等 改写２：若两个角是两条平行线的同位角， 则这两个角相等
例3 写出下列命题的否定与否命题， 并判断其真假性。
（1）p：若x＞y,则5x＞5y； （2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2； （3）p：正方形的四条边相等； （4）p：已知a,b为实数，若 x2+ax+b≤0 有非空实解集，则a2-4b≥0。 命题的否定：若x＞y,则5x 5y 否命题：若x y,则5x 5y