因式分解--公式法

公式法(1)
你能将多项式x2－16 与多项式m 2－4n2分解 因式吗?
用平方差公式分解因式(重点) 例 1：将下列各式分解因式：
(1)25m2－n2； (2)(x－y)2－1.
思路导引：可直接利用平方差公式分解因式．
解：(1)25m2－n2＝(5m)2－n2＝(5m＋n)(5m－n)． (2)(x－y)2－1＝(x－y＋1)(x－y－1)． 【规律总结】凡是符合平方差公式左边特点的二项式，都 可以运用平方差公式分解因式．
练习：分解因式: (1) 4x2 – 9 ; (2) (x+p)2 – (x+q)2.
分析：在(1)中，4x2 = (2x)2，9=32，4x2－9 = (2x )2 –32， 即可用平方差公式分解因式. 在(2)中，把(x+p)和 (x+q)各看成一个整体， 设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2－n2. (1) 4x2 –9 (2) (x+p)2 – (x+q) 2 = [ (x+p) +(x+q)] [(x+p) –(x+q)]
2．用完全平方公式分解因式
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的 2 倍，等于这 和(或差)的平方 两个数的______________． (a＋b)2 ； 用公式表示为 a2＋2ab＋b2＝________ (a－b)2 a2－2ab＋b2＝________.
形如a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2的多项式 叫做完全平方式
因式分解的一般步骤
练习：分解因式:
(1)x3－4x；
(2)36m2a－9m2a2－36m2. 思路导引：(1)中有公因式 x，先提公因式，剩下 x2－4 可用
平方差公式分解．(2)中有公因式－9m2，提出后剩下 a2－4a＋4， 可用完全平方公式进行分解． 解：(1)x3－4x＝x(x2－4)＝x(x＋2)(x－2)．
分解因式必须 进行到每一个 多项式都不能 3 a b— ab. 再分解为止 .
解:(1) x4－y4
= (x2+y2)(x2－y2)
(2) a3b－ab
=ab(a2－ 1) =ab(a+1)(a－ 1).
= (x2+y2)(x+y)(x－y).
1. 计算：（1）
(x-1) 2
(2) (2y+3)2
全平方公式分解因式．
解：(1)y2－4x(y－x)＝y2－4xy＋4x2＝(y－2x)2.
(2)(a2＋b2)2－4a2b2＝(a2＋b2)2－(2ab)2 ＝(a2＋b2＋2ab)(a2＋b2－2ab)＝(a＋b)2(a－b)2. 【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
(2) (a+b)2－12(a+b)+36.
分析：在(1)中有公因式3a，应先提出公因式， 再进一步分解. 解：(1)3ax2+6axy+3ay2 (2)(a+b)2－12(a+b)+36 =3a(x2+2xy+y2) =(a+b)2－2· (a+b)· 6+62
=3a(x+y)2 .
=(a+b－6)2.
§14.3.2 因式分解
（公百度文库法）
1. 计算： (1)
(x+1)(x-1)
(2) (y+4)(y-4)
2
2. 根据1题的结果分解因式： 2 (1) x -1 3.由以上1、2两题你发现了什么？
(2) y -16
(a+b)(a－b) = a2－b2
a2－b2 =(a+b)(a－b)
两个数的平方差,等于这两个数的和与 这两个数的差的积.
16x2+24x+9=(4x)2+2· 4x· 3+32
a· b +b2 a2 + 2 ·
【规律总结】凡是符合完全平方公式左边特点的三项式， 都可以运用完全平方公式分解因式．
例 3：分解因式:
(1) 3ax2+6axy+3ay2;
(2)中将a+b看作一 个整体，设a+b=m, 则原式化为完全平 方式m2－12m+36.
= (2x)2 – 3 2
= (2x+3)(2x – 3). =(2x+p+q)(p–q).
练习： 分解因式: (1)x4—y4; (2)
分析:(1)x4－y4写成(x2)2 － (y2)2的形式，这 样就可以利用平方差公式进行因式分解了.
(2)a3b－ab有公因式ab，应先提出公因式, 再进一步分解.
1．用平方差公式分解因式 这两数的和 与这两数的差 积， 两个数的平方差，等于___________ __________的____
用公式表示为 a2－b2＝( a＋b)( a－b)．
【规律总结】凡是符合平方差公式左边特点的二项式 ，都可以运用平方差公式分解因式． a 2－ b 2
思考
15.4.2
(2)36m2a－9m2a2－36m2＝－9m2(a2－4a＋4)＝－9m2(a－2)2.
【规律总结】因式分解一般按下列步骤进行：
(1)一提．若有公因式，应先提取公因式． (2)二套．即套用公式，如果各项没有公因式，那么可以尝 试运用公式法来分解．若为二项式，考虑用平方差公式；若为
三项式，考虑用完全平方公式．
2. 根据1题的结果分解因式： （1） x2 -2x+1
3.由以上1、2两题你发现了什么？
（2） 4y2 +12x+9
(a+b)2=a2+2ab+b2,
a2+2ab+b2=(a+b)2 a2－2ab+b2=(a－b)2
(a－b)2=a2－2ab+b2.
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的 积的２倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
用完全平方公式分解因式(重点)
把整式乘法中的完全平方公式反过来，就得到 a2＋2ab＋b2 ＝(a＋b)2；a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
练习：分解因式:
(1)y2－4x(y－x)；
(2)(a2＋b2)2－4a2b2.
思路导引：(1)题将原式展开，再运用完全平方公式即可分 解；(2)题先运用平方差公式分解因式，然后将各个因式运用完
15.4.2 思考：
公式法(2)
你能将多项式a2+2ab+b2 与a2－2ab+b2分解因 式吗？
例 2：分解因式：
(1) 16x2+24x+9；
(2) –x2+4xy–4y2.
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=
2· 4 x· 3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即