信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析

设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1
•
x2
a21
a22
...
a2n
x2
b21
b22
...
b2m
f2
...
•
x
n
.... an1
... an 2
... ...
... ...
ann
xn
.... bn1
yr
cr1
cr 2
...
crn
xn
dr1
dr2
...
d
rm
fm
y Cx Df
写出下图所示电路的状态方程和输出方程。
1 1H
1H
et
iL1 t
2F
vC
t
iL2t 1 rt
选电感电流 iL1t , iL2 t 和电容两端电压 vC t
作为状态变量
1 1H A 1H
et
F (s)
零输入解
零状态解
YZS (s) H (s)F(s)
H (s) C sI A1 B D
由矩阵代数知
sI A1 adjsI A
sI A
伴随矩阵 行列式
已知系统的状态方程和起始条件为
d
d
t
d
d t
x1
t
x2 t
1 1
- 2 x1t
d dt d dt
i
L
t
vC t
1RL C
1 L 0
iL t vC t
1
L
0
et
只要知道iL(t), vC (t) 的初始状态及输入 e(t)即可完全确
定电路的全部行为。
输出方程
r(t) 0 1viLC((tt))
此方法称为状态变量或状态空间分析法；
iL(t), vC (t) 为状态变量。
•
x(t) Ax(t) Bf (t)
sX s x0 AX s BF s
sI A X s x0 BF s X s sI A1 x 0 sI A1 BF s
x t L1 sI A1 x 0 L1 sI A1 BF s
y
t
C
sI
A
1
x
0
C sI A1 B D
称为状态矢量。
2．状态方程和输出方程
给定系统的模型和输入激励函数，用状态变 量分析该系统时，可以分为两步： 1.根据系统的初始状态求出各个状态变量的 时间函数---状态方程 2.用这些状态变量来确定初始时间以后的系 统的输出响应函数.---输出方程
R
L
e(t)
C vC t
输入：e(t) 输出：vC (t) 微分方程（输入－输出描述法）：
2．状态方程的建立
建立状态方程的工作分为以下三个步骤:
(1)取所有独立的电感电流和电容电压为状态变量.
(2) 对于每一个电感电流,各列出一个包括此电流的 一阶导数在内的回路电压方程;对于每个电容电压, 各列出一个包括此电压的一阶导数在内的节点电流 方程.
(3)把上面方程中的非状态变量表示为状态变量从 而消去非状态变量,整理得到的标准形式的状态方 程.
d dt
iL1
t
iL1
t
vC
t
et
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
d dt
iL2
t
vC
t
iL2 t
写成矩阵形式
d
dt d
dt
d
d t
vC t
iL1
t
iL2 t
0
1
1
1
2 1
0
输出方程为 rt iL2t
1 2 0
vC iL1
t t
0 1
et
1
iL2 t
0
9.3 连续时间系统状态方程的求解
1．连续时间系统状态方程的S域解法
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状 态变量），只要知道 t t0 时这组变量和 t t0 时 的输入，那么就能完全确定系统在 t t0 任何时间 的行为。
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为 状态变量。例如上例中的 iL(t), vC (t)。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状 态变量，可以看作矢量 (t )的各个分量的坐标。
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第9章 线性系统的状态变量 分析
重点：
1.连续时间系统状态方程的建立 2.连续时间系统状态方程的求解 3.离散时间系统状态方程的建立 4.离散时间系统状态方程的求解
9.1 状态、状态变量和状态方程
1．系统状态与状态变量
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方 程组来描述系统 。
i1 t
iL1 t
2F
vC
t
i2
iL
t
2
t
1
r t
对连接电容的节点A列节点电流方程
iL1
t
iL2
t
2
d dt
vC
t
对包含电容的回路 i1t , i2t 列回路电压方程
整理
et
iL1
t
d dt
i
L1
t
vC
t
vC
t
d dt
iL2 t
iL2
t
d dt
vC
t
1 2
iL1t
1 2
iL2 t
其中
d2 dt 2
vC
t
2
d dt
vC
t
02vC
t
02et
R
2L
0
1 LC
以vC t, iLt为变量列方程：
RiL
t
L
d dt
iL
t
vC
t
et
vC
t
1 C
t
iL
t
d
t
写为
d dt
vC
t
1 C
iL
t
d
dt
d
dt
iL
t
R L
iL
t
vC
t
1 C
iL
t
1 L
vC
t
1 L
et
写为矩阵形式：