2020届 二轮(理科数学) 条件概率 专题卷(全国通用)

2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,5,-3≤x<2,2x+1,x≥2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9n,即n=3时,等号成立.3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()A.S1>S2B.S1<S2C.S1≥S2D.S1≤S2,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.4已知m,n∈R,则1m >1n成立的一个充要条件是()A.m>0>nB.n>m>0C.m<n<0D.mn(m-n)<0>1n ⇔1m−1n>0⇔n-mmn>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:①ba>b-1a-1;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.其中不成立的是.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:l g(1+a+b2)12[lg(1+a)+lg(1+b)].+a)+lg(1+b)]=12lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,l g(1+a+b2)=lg(a+b+22).∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)]12≤a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.∴l g(1+a+b2)≥lg[(1+a)(1+b)]12,即l g(1+a+b2)≥12[lg(1+a)+lg(1+b)].8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1a +1b+1ab与8的大小关系是.a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2√>0,ab ≥2,于是得1ab≥4.又1a +1b+1ab=a+b+1ab=2ab=2·1ab≥8,故1a +1b+1ab≥8.+1b +1ab≥89(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,只需证√<√,只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18<a2-9a+20,只需证18<20,显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a2>b2C.ac<bcD.ac2<bc2a,b,c满足a<b且c≠0,对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.由c2>0,知ac2<bc2.故D成立.2已知0<a<1b ,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是.方法一)M-N=1+1−a−b=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b).由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.(方法二)MN =2+a+ba+b+2ab.∵0<a<1b,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.∴2+a+ba+b+2ab>1.又M>0,N>0,∴M>N.3若a>b>0,m>0,n>0,则ab ,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.a>b>0,m>0,n>0,知ba <b+ma+m<1,且ba<b+na+n<1,所以ab>a+nb+n>1,即1<a+nb+n<a b .<b+ma+m <a+nb+n<ab★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.-2<b<1,∴0≤|b|<2.∴-2<-|b|≤0.∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.-3,2)5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x2+1)与(x+12)(x2+x+1)的大小.(x+1)(x2+x2+1)=(x+1)(x2+x+1-x2)=(x+1)(x2+x+1)−x2(x+1),(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.二次函数y=f (x )的图象过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,∴6≤f (-2)≤10,即f (-2)的取值范围是[6,10].★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.)(13x +23y)2−(13x 2+23y 2)=−29x2−29y2+49xy=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,所以(13x+23y)2≤13x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0.所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。

专题30 条件概率与全概率公式一、单选题1．（2020·河南南阳高二二模（理））根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】分析：在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率 下雨的概率详解：在下雨条件下吹东风的概率为，选C2．（2020·安徽省六安中学高二期中（理））根据以往数据统计,某酒店一商务房间1天有客人入住的概率为，连续2天有客人入住的概率为,在该房间第一天有客人入住的条件下,第二天也有客人入住的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】设第二天也有客人入住的概率为P ，根据题意有，解得，故选D.3．（2020·河南开封高三二模（理））已知正方形，其内切圆与各边分别切于点，，、，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】93011308302589811911¸8830=11113045351312353443=55P ×34P =ABCD I E F G H EF FG GH HE ABCD A I B EFGH ()P B A =2π21π-12π142-由题意，设正方形的边长为，则圆的半径为，面积为；正方形，面积为；所求的概率为．故选：B ．4．（2020·河南高二期末（理））把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件，“第二次出现正面”为事件，则=（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】“第一次出现正面”：,“两次出现正面”: ,则故选A5．（2020·陕西临渭高二期末（文））已知，，等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.ABCD 2a I r a =2a p EFGH 22a \22222(|)1a a P B A a p p p-==-A B ()P B A 121416182(1)P A =111()=224P AB =´()1()14|==1()22P AB P B A P A =()1P B|A 2=()35P A =()P AB 56910310110()()0(|),()P AB P A P B A P A >=当时，()0()(|)()P A P AB P B A P A >=当时，6．（2020·黑龙江南岗哈师大附中高二期末（理））从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件A 为“第一次取到的是奇数”，B 为“第二次取到的是3的整数倍”，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意事件为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是3的整数倍”：若第一次取到的为3或9，第二次有2种情况；若第一次取到的为1，5，7，第二次有3种情况，故共有个事件由条件概率的定义：故选：B7．（2020·西夏宁夏大学附属中学高二月考（理））将两颗骰子各掷一次，设事件“两个点数不相同”， “至少出现一个6点”，则概率等于（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由题意事件A={两个点数都不相同}，包含的基本事件数是36-6=30至少出现一个6点的情况分二类，给两个骰子编号，1号与2号，若1号是出现6点，2号没有6点共五种2号是6点，一号不是6点有五种，若1号是出现6点，2号也是6点，有1种，故至少出现一个6点的情况是11种∴=8．（2020·广东东莞高二期末）一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球，若不放回地依次取两个球，设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，则概率（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】(|)P B A =3813401345345()9P A =A B I 223313´+´=1313()9872P A B ==´I ()13(|)()40P A B P B A P A ==I A =B =()|P A B 10115115185361011A B ()P B A =56351225设事件为“第一次取出白球”，事件为“第二次取出黑球”，，第一次取出白球的前提下，第二次取出黑球的概率为：.故选：B.二、多选题9．（2020·大名中学高二月考）甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD 【解析】由已知，，由已知有，，，所以，则A 正确；，则B 正确；事件、、不相互独立，故错误，即C 错误，则D 正确；综上可知正确的为ABD.故选:ABD ．10.（2020·江苏海安高级中学高二期中）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以，，表示由甲箱中取出的是红球，白A B ()()31333==，==626510P A P A B ´()()3()5P AB P B A P A ==A B C ()()()P A P B P C ==()()()P BC P AC P AB ==1()8P ABC =1()()()8P A P B P C ××=22221()44442P A =´+´=21()()42P B P C ===1()()()4P AB P A P B ==1()4P AC =1()4P BC =()()()P A P B P C ==()()()P BC P AC P AB ==A B C 1()8P ABC =1()()()8P A P B P C ××=1A 2A 3A球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．B ．C ．事件与事件相互独立D ．、、两两互斥【答案】BD 【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故D 正确；因为，所以，故B 正确；同理，所以，故AC 错误；故选：BD11．（2020·江苏海安高级中学高一期中）以下对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．连续抛两枚质地均匀的硬币，有3个基本事件，出现一正一反的概率为B ．每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如12＝5＋7，在不超过15的素数中随机选取两个不同的数，其和等于14的概率为C ．将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，记下两次向上的点数，则点数之和为6的概率是D ．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是【答案】BCD 【解析】A.连续抛两枚质地均匀的硬币，有4个基本事件，包含两正，两反，先反再正，先正再反，出现一正一反的概率，故A 不正确；B 2()5P B =15()11P B A =B 1A 1A 2A 3A 1A 2A 3A ()()()123523,,101010p A p A p A ===11155()51011()5()1110P BA P B A P A ´===3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ´´======1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=´+´+´=13115536122142P ==B.不超过15的素数包含2,3,5,7,11,13，共6个数字，随机选取两个不同的数字，和等于14的包含，则概率为，故B 正确；C.将一个质地均匀的骰子先后抛掷2次，共36种情况，点数之和为6包含，共5种，所以点数之和为6的概率，故C 正确；D.由题意可知取出的产品全是正品的概率，故D 正确.12．（2020·山东昌乐二中高二月考）一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列结论：①从中任取3球，恰有一个白球的概率是；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两次白球的概率为；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为.则其中正确命题的序号是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④【答案】ABD 【解析】一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，①从中任取3球，恰有一个白球的概率是故正确；②从中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率为，则恰好有两次白球的概率为，故正确；③现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为，故错误；④从中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到红球的概率为：则至少有一次取到红球的概率为，故正确.()3,11261115P C ==()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1536P =232412C P C ==358024325262721423635C C p C ==2163p ==4226218033243p C æöæö==ç÷ç÷èøèø1143114535C C C C =4263p ==3031261327p C æö=-=ç÷èø故选：ABD.三、填空题13．（2020·全国高三课时练习（理））一个口袋中装有6个小球，其中红球4个，白球2个．如果不放回地依次摸出2个小球，则在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出红球的概率为________.【答案】【解析】故答案为：14．（2020·邢台市第二中学高二期末）某校组织甲、乙、丙、丁、戊、己等6名学生参加演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为__________．【答案】【解析】设事件A ：“学生甲和乙都不是第一个出场，且甲不是最后一个出场”；事件B ：“学生丙第一个出场”，对事件A ，甲和乙都不是第一个出场，第一类：乙在最后，则优先从中间4个位置中选一个给甲，再将余下的4个人全排列有种；第二类：乙没有在最后，则优先从中间4个位置中选两个给甲乙，再将余下的4个人全排列有种，故总的有.对事件AB ，此时丙第一个出场，优先从除了甲以外的4人中选一人安排在最后，再将余下的4人全排列有种故.故答案为：15．（2020·湖南天心长郡中学高三其他（理））甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论35()()235(|)253P AB P B A P A ===35141444C A ×2444A A ×()14244444n A C A A A =×+×1444C A ×()()()14441424444414n AB C A P B A n A C A A A ×===×+×141A 2A 3A中正确的是___________．①；②；③事件B 与事件相互独立；④，，是两两互斥的事件【答案】②④【解析】因为每次取一球，所以，，是两两互斥的事件，故④正确；因为，所以，故②正确；同理，所以，故①③错误.故答案为：②④16．（2018·全国高二课时练习）某气象台统计，该地区下雨的概率为，刮四级以上风的概率为，既刮四级以上的风又下雨的概率为，设为下雨，为刮四级以上的风，则＝_______，＝__________【答案】 【解析】由已知，，，∴ ， 故答案为，求条件概率一般有两种方法：一是对于古典概型类题目，可采用缩减基本事件总数的办法来计算，P(B|A)＝，其中n(AB)表示()25P B =()1511P B A =1A 1A 2A 3A 1A 2A 3A ()()()123523,,101010P A P A P A ===11155()51011()5()1110P BA P B A P A ´===3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ´´======1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=´+´+´=415215110A B ()P B A ()P A B 3438()415P A =()215P B =()110P AB =()()()3|8P AB P B A P A ==()()()3|4P AB P A B P B ==3438n AB n A （）（）事件AB 包含的基本事件个数，n(A)表示事件A 包含的基本事件个数．二是直接根据定义计算，P(B|A)＝，特别要注意P(AB)的求法．四、解答题17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高二月考（理））有件产品，其中件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽件.求：（1）第一次抽到次品的概率；（2）第一次和第二次都抽到次品的概率；（3）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为有5件是次品，第一次抽到次品，有5中可能，产品共有20件，不考虑限制，任意抽一件，有20中可能，所以概率为两者相除．（2）因为是不放回的从中依次抽取2件，所以第一次抽到次品有5种可能，第二次抽到次品有4种可能，第一次和第二次都抽到次品有5×4种可能，总情况是先从20件中任抽一件，再从剩下的19件中任抽一件，所以有20×19种可能，再令两者相除即可．（3）因为第一次抽到次品，所以剩下的19件中有4件次品，所以，抽到次品的概率为18．（2020·阜新市第二高级中学高二月考）甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为和，两地同时下雨的比例为，问：（1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少?（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少【答案】（1）0.67（2）0.60【解析】（1）设 “甲地为雨天”， “乙地为雨天”，则根据题意有，，.所以乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是.（2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是.p AB p A （）（）20521411941941920%18%12%A =B =()0.20P A =()0.18P B =()0.12P AB =()()0.12|0.67()0.18P AB P A B P B ==»()()0.12|0.60()0.20P AB P B A P A ===19．（2020·山东平邑高二期中）已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.【答案】（1）（2）【解析】（1）两次都取得白球的概率；（2）记事件：第一次取出的是红球；事件：第二次取出的是红球，则， ，利用条件概率的计算公式，可得.20．（2019·攀枝花市第十五中学校高二期中（理））先后抛掷一枚骰子两次，将出现的点数分别记为.（1）设向量，，求的概率；（2）求在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2的概率.【答案】（1）；（2）【解析】先后抛掷一枚骰子两次，“将出现的点数分别记为”包含的基本事件有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，…，(6，5)，(6，6)，共36个.（1）记“向量，，且”为事件，由得：，从而事件包含共3个基本事件，故.（2）设“点数之和不大于5”为事件，包含(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，1935221669P =´=A B 452()653P A ´==´432()655P AB ´==´()233(|)()525P AB P B A P A ==´=,a b (,)m a b =u r (2,1)n =-r 1m n ×=u r r,a b ,a b 11212,a b (,)m a b =u r (2,1)n =-r 1m n ×=u r rA 1m n ×=u r r21a b -=B (1,1),(2,3),(3,5)31()3612P A ==,a b B(2，3)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，共10个基本事件；设“中至少有一个为2”为事件，包含(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，共5个基本事件，故“在点数之和不大于5的条件下，中至少有一个为2” 的概率：.21．（2020·延安市第一中学高二月考（文））10张奖券中有3张有奖，甲，乙两人不放回的各从中抽1张，甲先抽，乙后抽.求：（1）甲中奖的概率.（2）乙中奖的概率.（3）在甲未中奖的情况下，乙中奖的概率.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）设“甲中奖”为事件，则（2）设“乙中奖”为事件，则又，所以（3）因为，所以22．（2020·河南南阳高二期中（文））某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.,a b C ,a b ,a b ()51()102n BC P n B ===31031013A ()310P A =B ()()()()P B P AB AB P AB P AB =+=+()32110915P AB =´=()73710930P AB =´=()()()179315303010P B P AB P AB =+=+==()710P A =()730P AB =()()()7130|7310P AB P B A P A ===【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）记4名男生为A ，B ，C ，D ，2名女生为a ，b ，从6名成员中挑选2名成员，有，，，，，，，，，，，，，，共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M ，不妨假设男生甲为A事件M 所包含的基本事件数为，，，，共有5种，故．（2）记“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，不妨设女生乙为，则，又由（1）知，故．（３）记“挑选的2人一男一女”为事件，则，“女生乙被选中”为事件，，故．131512AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab AB AC AD Aa Ab ()51153P M ==M N b ()115P MN =()13P M =()()()15P MN P N M P M ==S ()815P S =N ()415P SN =()()()12P SN P N S P S ==。

2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

C ．123.3D ．126.7C 解析 由题意可知身高在(100,110]，(110,120]，(120,130]的频率依次为0.05,0.35,0.3，前两组的频率和为0.4，组距为10，设中位数为x ，则(x －120)×0.310＝0.1，解得x ＝123.3.故选C 项．6．(20xx·山西实验中学模拟)某电子产品的成本价格由两部分组成，一是固定成本，二是可变成本，为确定该产品的成本，进行5次试验，收集到的数据如表所示．产品数x /个 10 20 30 40 50 产品总成本y /元62a758189由最小二乘法得到回归方程y ^＝0.67x ＋54.9，则a ＝________.解析 计算可得，x －＝30，y －＝307＋a 5，所以307＋a 5＝0.67×30＋54.9，解得a ＝68.答案 687．为比较甲、乙两地14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两地该月14时的平均气温x甲，x乙的大小关系为________，标准差s 甲，s 乙的大小关系为________.解析 x －甲＝15×(26＋28＋29＋31＋31)＝29，x －乙＝15×(28＋29＋30＋31＋32)＝30，则x －甲<x －乙；由茎叶图知，乙地的气温相对比较集中，甲地的气温相对比较离散，所以甲地该月的标准差大于乙地该月的标准差，即s 甲>s 乙．答案 x －甲<x －乙 s 甲>s 乙8．为了研究雾霾天气的治理情况，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y。

2020届二轮（理科数学） 概率与统计的综合问题 专题卷（全国通用）1.(2019·贵阳第一学期检测)A 市某校学生社团针对“A 市的发展环境”对男、女各10名学生进行问卷调查，每名学生给出评分(满分100分)，得到如图所示的茎叶图．(1)计算女生打分的平均分，并根据茎叶图判断男生、女生打分谁更分散(不必说明理由)；(2)如图(2)是按该20名学生的评分绘制的频率分布直方图(每个分组包含左端点，不包含右端点)，求a 的值；(3)从打分在70分以下(不含70分)的学生中抽取2人，求有女生被抽中的概率． 解：(1)女生打分的平均数为110×(68＋69＋76＋75＋70＋78＋79＋82＋87＋96)＝78； 男生打分比较分散．(2)由茎叶图可知，20名学生中评分在[70，80)内的有9人，则a ＝920÷10＝0.043.(3)设“有女生被抽中”为事件A ，由茎叶图可知，有4名男生，2名女生的打分在70分以下(不含70分)，其中4名男生分别记为a ，b ，c ，d ，2名女生分别记为m ，n ，从中抽取2人的基本事件有ab ，ac ，ad ，am ，an ，bc ，bd ，bm ，bn ，cd ，cm ，cn ，dm ，dn ，mn ，共15种，其中有女生被抽中的事件有am ，an ，bm ，bn ，cm ，cn ，dm ，dn ，mn ，共9种，所以P (A )＝915＝35.2.(2019·河南郑州一中入学测试)已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号．(1)如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；(下面摘取了第7行到第9行的数据)⎭⎪⎬⎪⎫84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 7447 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76第7行⎭⎪⎬⎪⎫63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 5071 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79第8行⎭⎪⎬⎪⎫33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 0744 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54第9行 (2)抽取的100人的数学与地理的测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的人数共有20＋18＋4＝42.②在地理成绩及格的学生中，已知a ≥11，b ≥5.求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．解：(1)785，567，197.(2)①7＋9＋a100×100%＝30%，所以a ＝14，b ＝100－30－(20＋18＋4)－(5＋6)＝15.②a ＋b ＝100－(7＋20＋5)－(9＋18＋6)－4＝31. 因为a ≥11，b ≥7，所以a ，b 所有可能的取值为：(11，20)，(10，19)，(13，18)，(14，17)，(15，16)，(16，15)，(17，14)，(18，13)，(19，10)，(20，11)，(21，10)，(22，9)，(23，8)，(24，7)，共14种．当a ≥11，b ≥7时，设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A ，则a ＋5＜b . 事件A 包括：(11，20)，(10，19)，共2个基本事件． 所以P (A )＝214＝17，故数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为17.[综合题组练]1．某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩(单位：秒)如下．从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由(不用计算，可通过统计图直接回答)；(2)经过对甲、乙两名同学的若干次成绩的统计，甲、乙的成绩都均匀分布在[95，10.5]之间，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8的概率．解：(1)茎叶图(其中茎表示整数部分，叶表示小数部分)，或频率分布直方图如图．从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，故选派乙同学参加比赛更好．(2)设甲同学的成绩为x ，乙同学的成绩为y ，则由|x －y |＜0.8，得－0.8＜x －y ＜0.8，如图，阴影部分的面积为3×3－2.2×2.2＝2.14.故所求概率为P (|x －y |＜0.8)＝P (－0.8＜x －y ＜0.8)＝4.163×3＝104225.2．(2019·沈阳质量检测(一))为调查中国及美国的高中生在“家”、“朋友聚集的地方”、“个人空间”这三个场所中感到最幸福的场所是哪个，从中国某城市的高中生中随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占25，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占310，选择“个人空间”的高中生的人数占310，美国高中生的答题情况：选择“家”的高中生的人数占1 5，选择“朋友聚集的地方”的高中生的人数占35，选择“个人空间”的高中生的人数占15.(1)请根据以上调查结果将下面的2×2列联表补充完整，并判断能否有95%的把握认为“恋家(在家里感到最幸福)”与国别有关；(2)调查，再从4人中随机选出2人到中国交流学习，求2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率．附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)补充因为K2＝31×69×55×45≈2.628＞1.841，所以有95%的把握认为是否“恋家”与国别有关．(2)用分层抽样的方法选出4人，其中在“朋友聚集的地方”感到最幸福的有3人，在“个人空间”感到最幸福的有1人，分别记为a1，a2，a3，b，则所有的基本事件为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6个．设“含有在‘个人空间’感到最幸福的高中生”为事件A.则A包含的基本事件为(a1，b)，(a2，b)，(a3，b)，共3个，所以P (A )＝36＝12，故2人中含有在“个人空间”感到最幸福的高中生的概率为12.1.(应用型)(2019·太原模拟试题(一))某校倡导为特困学生募捐，要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少抽入一元钱，现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和所得捐款额情况，列表如下：20名，获一等奖学金500元；综合考核前21～50名，获二等奖学金300元；综合考核50名以后的不获得奖学金．(1)若x 与y 成线性相关，则某天售出9箱水时，预计所得捐款额为多少元？(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖，且各自获一等奖和二等奖的可能性相同，求三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率．附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －.解：(1)x －＝7＋6＋6＋5＋65＝6，y －＝165＋142＋148＋125＋1505＝146，b ^＝∑5i ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑5i ＝1（x i －x －）2＝19＋0＋0＋21＋01＋0＋0＋1＋0＝20， a ^＝y －－b ^x －＝146－20×6＝26，所以y ^＝20x ＋24.当x ＝9时，y ^＝20×9＋26＝204.即某天售出9箱水的预计所得捐款额是206元．(2)设事件A 1：甲获一等奖；事件A 2；甲获二等奖；事件B 1：乙获一等奖；事件B 2：乙获二等奖；事件C 1：丙获一等奖；事件C 2：丙获二等奖．则总事件为(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，共8种情况．甲、乙、丙三人获得奖金之和不超过1 000元的事件有(A 2，B 2，C 2)1种情况，则三人获得奖学金之和不超过1 000元的概率为18.2.某市一中学课外活动小组为了研究经济走势，对该市1994～2016年的GDP(国内生产总值)相关数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．其中z i ＝ln y i ，w i ＝ln x i .e4.42≈610.003，e4.63≈755.482，e4.84≈932.489，ln 24≈1.18，ln 25≈1.22，ln 26＝1.24.(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx ，y ＝ec ＋dx与y ＝m ＋n ln x 哪一个适合作为该市GDP 值y关于年份代码x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (3)试预测该市2018年的GDP 值．(参考公式：b ^＝∑ni ＝1（x i －x －）（y i －y －）∑ni ＝1 （x i －x －）2，a ^＝y －－b ^x －)解：本题考查非线性拟合，线性回归方程求法及预测． (1)由散点图可以判断，y ＝ec ＋dx适宜作为该市GDP 值y 关于年份代码x 的回归方程类型．(2)令z ＝ln y ，则z ＝c ＋dx ，由参考数据得，d ^＝∑23i ＝1（x i －x －）（z i －z －）∑23i ＝1（x i －x －）2＝212.521 012＝0.21，c ^＝z －－d ^·x －＝1.9－0.21×10＝1.36. 所以z 关于x 的线性回归方程为z ^＝1.38＋0.21x ，所以y 关于x 的回归方程为y ^＝e 1.38＋0.21x.(3)由(2)可知，当x ＝25时，y ^＝e 1.38＋0.21×25＝e 4.63≈755.482. 所以预测2018年该市GDP 值约为755.482亿元．。

2020高考理科数学二轮专题提分全国通用基础保分强化试题二A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)答案 A 解析因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎨⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.2．若复数z ＝1＋m i1＋i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)答案 A解析 因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i ，在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.3．设S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，则a 7a 4等于( )A ．1B ．3C ．7D ．13答案 C解析 因为S n 是各项均不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 13＝13S 7，所以13(a 1＋a 13)2＝13×7(a 1＋a 7)2，即a 7＝7a 4，所以a 7a 4＝7.故选C.4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A.4π3B.8π3C.16π3D.32π3 答案 A解析 由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×13×π×22×2＝4π3，故选A.5．已知i 与j 为互相垂直的单位向量，a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12 B.⎝⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 答案 A解析 因为i 与j 为互相垂直的单位向量，所以i 2＝j 2＝1，i ·j ＝0.又因为a ＝i －2j ，b ＝i ＋λj ，且a 与b 的夹角为锐角，所以a ·b ＝1－2λ>0，λ<12.但当λ＝－2时，a ＝b ，不满足要求，故满足条件的实数λ的取值范围为(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎪⎫－2，12.故选A.6．若函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝0 C ．函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4上是减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－π8对称 答案 B解析 函数f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则函数f (x )的最小正周期为T＝2π2＝π，故A 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋f (－x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝0，故B 正确；令π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得π8＋k π≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，当k＝0时，函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8，故C 错误；当x ＝－π8时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，故D 错误．故选B.7．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1C ，C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A.64B.14C.26D.36答案 A解析 ∵B 1C 和C 1D 与底面ABCD 所成的角分别为60°和45°，∴∠B 1CB ＝60°，∠C 1DC ＝45°.由图可知，B 1C 与C 1D 所成的角，即为A 1D 与C 1D 所成的角，即∠A 1DC 1.令BC ＝1，则B 1B ＝AB ＝3，∴A 1D ＝2，A 1C 1＝2，C 1D ＝ 6.由余弦定理，得cos ∠A 1DC 1＝22＋(6)2－222×2×6＝64.故选A.8．把标号为1,2,3,4的四个小球分别放入标号为1,2,3,4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有( )A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种 答案 A解析 由于1号球不放入1号盒子，则1号盒子有2,3,4号球三种选择，还剩余三个球可以任意放入2,3,4号盒子中，则2号盒子有三种选择，3号盒子还剩两种选择，4号盒子只有一种选择，根据分步计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有C 13·C 13·C 12·1＝18种．故选A. 9．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0 D ．x ±2y ＝0 答案 A解析 不妨设|PF 1|>|PF 2|，则⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，所以∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 10．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，kx －y ＋3≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－12，则k 的值为( )A.12 B ．－12 C.14 D ．－14 答案 D解析 依题意，易知k ≤－1和k ≥0不符合题意．由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋3＝0，y ＝0得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0，结合图形可知，当直线z ＝y －x 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ，0时，z 有最小值，于是有0＋3k ＝－12，k ＝－14，选D.11．椭圆x 24＋y 2＝1上存在两点A ，B 关于直线4x －2y －3＝0对称，若O 为坐标原点，则|OA→＋OB →|＝( ) A ．1 B. 3 C. 5 D.7 答案 C解析 由题意，直线AB 与直线4x －2y －3＝0垂直，设直线AB 的方程为y ＝－12x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1消去y 整理得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，∵直线AB 与椭圆交于两点，∴Δ＝(－2m )2－4(2m 2－2)＝－4m 2＋8>0，解得－2<m < 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2m ，∴x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝－12x 0＋m ＝m2，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 2.由题意得点M 在直线4x －2y－3＝0上，∴4m －2×m 2－3＝3m －3＝0，解得m ＝1.∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－12(x 1＋x 2)＋2m ＝1，∴OA→＋OB →＝(2,1)，∴|OA →＋OB →|＝ 5.故选C. 12．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (－1,2)，则cos2α＝________.答案 －35解析 设点P 到原点的距离是r ，由三角函数的定义，得r ＝5，sin α＝2r ＝25，可得cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝－35.13．将1,2,3,4，…正整数按如图所示的方式排成三角形数组，则第10行左数第10个数为________．答案 91解析 由三角形数组可推断出，第n 行共有2n －1项，且最后一项为n 2，所以第10行共19项，最后一项为100，左数第10个数是91.14．已知在△ABC 中，B ＝2A ，∠ACB 的平分线CD 把三角形分成△BCD 和△ACD ，且S △BCD ∶S △ACD ＝4∶3，则cos A ＝________.答案 38解析 在△ADC 中，由正弦定理，得AC sin ∠ADC ＝37AB sin ∠ACD ⇒AC 37AB ＝sin ∠ADCsin ∠ACD.同理，在△BCD 中，得BC sin ∠BDC ＝47AB sin ∠BCD ⇒BC 47AB＝sin ∠BDCsin ∠BCD，又sin ∠ADC ＝sin ∠BDC ，sin ∠ACD ＝sin ∠BCD ，所以AC 37AB ＝BC 47AB ⇒AC ＝34BC ，由正弦定理，得sin B ＝34sin A ，又B ＝2A ，即sin B ＝2sin A cos A ，求得cos A ＝38.。

考点专训卷（11）概率与统计1、一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为( )A.46041001CC- B.0413109010304100C C C CC+C.1104100CCD.1310304100C CC.2、在新一轮的高考改革中,一名高二学生在确定选修地理的情况下,想从历史、政治、化学、生物、物理中再选择两科学习,则所选的两科中一定有生物的概率是( )A.310B.710C.25D.353、在一个棱长为3cm的正方体的表面涂上颜色，将其适当分割成棱长为1cm的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体表面仅有一个面涂有颜色的概率是( )A.49B.827C.29D.1274、如图，圆M、圆N、圆P彼此相外切，且内切于正三角形ABC中，在正三角形ABC内随机取一点，则此点取自三角形MNP（阴影部分）的概率是（）5、把半径为2的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在半径为2的圆内,现在往该圆内任投一点,此点落在阴影内的概率为（）A.41π- B.π1π- C.π24- D.42π-6、在区间[]22-，上随机取一个数b ,若使直线y x b =+与圆22x y a +=有交点的概率为12，则a =( ).A.14 B.12C.1D.2 7、在一底面半径和高都是2m 的圆柱形容器中盛满小麦种子,但有一粒带麦锈病的种子被混入其中,现从中随机取出32m 的种子,则取出带有麦锈病的种子的概率是( )A. 14B. 18πC. 14πD. 114π-8、已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ）A. 3-B. 43C. 23-D. 59、已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ且P(ξ<4)=0.8,则P (0<ξ<2)等于()A.0.6B.0.4C.0.3D.0.210、某人进行射击,共有10发子弹,若击中目标或子弹打完就停止射击,射击次数为ξ则10ξ=,表示的试验结果是( )A.第10次击中目标B.第10次未击中目标C.前9次未击中目标D.第9次击中目标则常数的值为( )A.13 B. 23C. 23或13D. 1或1312、随机变量X 的取值为0,1,2，若10)=4P X =（，()1E X =，则()D X =( )A. 32B. 12 C . 14D. 113、设随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()3P X =等于( )A.516B.316 C.58 D.3814、甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为23，则甲获胜的概率为( )A.22313221()C ()()333+B.222322()C ()33+C.21212221()C ()()333+D.21112221()C ()()333+15、若已知随机变量1~(4,)3X B ,则(3)P X ==____________.16、如图,已知电路中4个开关闭合的概率都是12,且是相互独立的,则灯亮的概率为__________.17掷一枚不均匀的硬币,正面朝上的概率为,若将此硬币掷4次,则正面朝上3次的概率是 . 18、随机变量ξ的分布列如下：若13Eξ=，则Dξ= .19、在10件产品中有2件次品，任意抽取3件，则抽到次品个数的数学期望的值是____________．20、现有一大批种子，其中优良种占30%，从中任取8粒，记X为8粒种子中的优质良种粒数，则X的期望是______ .21、私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁)[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75]频数510151055赞成人数469534(1).完成被调查人员的频率分布直方图;(2).若从年龄在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率;(3).在第(2)问的条件下,再记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望.22、2012年12月18日,作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一,郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明,近几年来,郑州市雾霾治理取得了很大成效,空气质量与前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI),其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点,以9个站点测得的AQI的平均值为依据,播报我市的空气质量.1.若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114,求重度污染区AQI的平均值。

单元质检十概率(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.若随机变量X~B(100,p),X的均值E(X)=24,则p的值是()A.25B.35C.625D.19252.从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有2个红球的概率是()A.12B.25C.710D.353.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为0.6和0.7,在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为()A.2144B.1522C.2150D.9254.某电视台夏日水上闯关节目中的前三关的过关率分别为0.8,0.6,0.5,只有通过前一关才能进入下一关,且通过每关相互独立,一选手参加该节目,则该选手只闯过前两关的概率为()A.0.48B.0.4C.0.32D.0.245.已知X~N(μ,σ2),P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 5,某次全市20 000人参加的考试,数学成绩大致服从正态分布N(100,100),则本次考试120分以上的学生人数约有()A.1 587B.228C.455D.3 1736.体育课的排球发球项目考试的规则:每位学生最多可发球3次,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的均值E(X)>1.75,则p的取值范围是()A.(0,712) B.(712,1)C.(0,12) D.(12,1)二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.一只碗内有五个汤圆,其中两个花生馅,三个黑芝麻馅.某人从碗内随机取出两个,记事件A为“取到的两个为同一种馅”,事件B为“取到的两个都是黑芝麻馅”,则P(B|A)= .8.一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着6个定义域为R的函数:f1(x)=x,f2(x)=x2,f3(x)=x3,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,f6(x)=2.现从盒子中逐一抽取卡片,且每次取出后不放回,若取到一张记有偶函数的卡片,则停止抽取,否则继续进行,则抽取次数ξ的数学期望为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)根据国家《环境空气质量》规定:居民区中的PM2.5(PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称可入肺颗粒物)年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:(1)写出该样本的众数和中位数(不必写出计算过程);(2)求该样本的平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由;(3)将频率视为概率,监测去年的某2天,记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ)和方差D(ξ).10.(15分)张老师开车上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.路线①:沿途有A,B两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为12,23,若A处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若B处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.路线②:沿途有a,b两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为34,25,若a处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若b处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.11.(15分)在某次飞镖比赛中,规定每人至多发射三镖.在M处每射中一镖得3分,在N处每射中一镖得2分,前两次得分之和超过3分即停止发射,否则发射第三镖.某选手在M处的命中率q1=0.25,在N处的命中率为q2.该选手选择先在M处发射一镖,以后都在N处发射,用X表示该选手比赛结束后所得的总分,其分布列为(1)求随机变量X的分布列;(2)试比较该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率与选择都在N处发射飞镖得分超过3分的概率的大小.单元质检十概率(B) 1.C解析∵X~B(100,p),∴E(X)=100p.又E(X)=24,∴24=100p,即p=24100=625.2.C解析从装有除颜色外其他都完全相同的3个红球和2个白球的袋中任取3个球,基本事件总数n=10,所取的3个球中至少有2个红球包含的基本事件个数m=7,∴所取的3个球中至少有2个红球的概率P=mm =710.3.A解析(方法一)设“目标被击中”为事件B,“甲、乙同时击中目标”为事件A, 则P(A)=0.6×0.7=0.42,P(B)=0.6×0.7+0.4×0.7+0.6×0.3=0.88,得P(A|B)=m(mm)m(m)=m(m)m(m)=0.420.88=2144.(方法二)记“甲击中目标”为事件A,“乙击中目标”为事件B,“目标被击中”为事件C, 则P(C)=1-P(m)P(m)=1-(1-0.6)×(1-0.7)=0.88.故在目标被击中的情况下,甲、乙同时击中目标的概率为0.6×0.70.88=2144.故选A.4.D解析由题得P=0.8×0.6×(1-0.5)=0.24.故该选手只闯过前两关的概率为0.24.5.C解析依题意可知μ=100,σ=10.由于P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545,所以P(80<X≤120)=0.9545,因此本次考试120分以上的学生约有20000×1-0.95452=455(人).6.C解析X的可能取值为1,2,3.∵P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)·p,P(X=3)=(1-p)2,∴E(X)=p+2p(1-p)+3(1-p)2=p2-3p+3.由E(X)>1.75,即p2-3p+3>1.75,解得p<12(m>52舍去).故0<p<12.7.34解析依题意可得P(AB)=C32C52,P(A)=C22+C32C52,故P(B|A)=m(mm)m(m)=C32C22+C32=34.8.74解析因为6个定义域为R 的函数f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=sin x ,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2中偶函数有f 2(x )=x 2,f 5(x )=cos x ,f 6(x )=2,共3个, 所以ξ的可能取值为1,2,3,4,P (ξ=1)=36=12,P (ξ=2)=36×35=310,P (ξ=3)=36×25×34=320,P (ξ=4)=36×25×14=120, ∴ξ的分布列为数学期望E (ξ)=1×12+2×310+3×320+4×120=74.9.解(1)众数为22.5微克/立方米,中位数为37.5微克/立方米. (2)去年该居民区PM2.5的年平均浓度为7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5(微克/立方米).∵40.5>35,∴去年该居民区PM2.5的年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.(3)记事件A 表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”,则P (A )=910. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2,且ξ~B (2,910).∴P (ξ=k )=C 2m (910)m (1-910)2-m(k=0,1,2),即∴E (ξ)=0×1100+1×18100+2×81100=1.8,或E (ξ)=np=2×910=1.8, D (ξ)=np (1-p )=2×910×110=0.18.10.解(1)走路线①,20分钟能到校意味着张老师在A ,B 两处均遇到绿灯,记该事件发生的概率为P , 则P=12×23=13.(2)设选择路线①的延误时间为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值为0,2,3,5.则P (ξ=0)=12×23=13,P (ξ=2)=12×23=13, P (ξ=3)=12×13=16, P (ξ=5)=12×13=16.故ξ的数学期望E (ξ)=0×13+2×13+3×16+5×16=2.设选择路线②的延误时间为随机变量η,则η的所有可能取值为0,5,8,13. 则P (η=0)=34×25=620,P (η=5)=34×35=920,P (η=8)=14×25=220,P (η=13)=14×35=320.故η的数学期望E (η)=0×620+5×920+8×220+13×320=5.因此选择路线①平均所花时间为20+2=22分钟,选择路线②平均所花时间为15+5=20分钟, 所以为使张老师日常上班途中所花时间较少,建议张老师选择路线②.11.解(1)设“该选手在M 处射中”为事件A ,“在N 处射中”为事件B ,则事件A ,B 相互独立, 且P (A )=0.25,P (m )=0.75,P (B )=q 2,P (m )=1-q 2.根据分布列知:当X=0时,P (mmm )=P (m )P (m )P (m )=0.75(1-q 2)2=0.03, 所以1-q 2=0.2,q 2=0.8.当X=2时,P 1=P (m B m ∪mm B )=P (m )P (B )P (m )+P (m )P (m )P (B )=0.75q 2(1-q 2)×2=0.24, 当X=3时,P 2=P (A mm )=P (A )P (m )P (m )=0.25(1-q 2)2=0.01, 当X=4时,P 3=P (m BB )=P (m )P (B )P (B )=0.75m 22=0.48,当X=5时,P 4=P (A m B ∪AB )=P (A m B )+P (AB )=P (A )P (m )P (B )+P (A )P (B )=0.25q 2(1-q 2)+0.25q 2=0.24. 所以随机变量X 的分布列为(2)该选手选择上述方式发射飞镖得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率为P (m BB ∪B m B ∪BB )=P (m BB )+P (B m B )+P (BB )=2(1-q 2)m 22+m 22=0.896.故该选手选择都在N 处发射飞镖得分超过3分的概率大.。

2020届二轮（理科数学） 选考部分 专题卷（全国通用） (3)1已知a ,b ,c 均为正数,且abc=27,则a+b+c 的最小值为( ) A.3 B.6 C.9D.27a ,b ,c 均为正数,∴a+b+c ≥3√abc 3=3√273=9(当且仅当a=b=c=3时,等号成立).∴a+b+c 的最小值为9.故选C .2函数f (x )=1x 2+2x(x >0)的最小值为( ) A.3B.4C.5D.6x>0,∴f (x )=1x 2+x +x ≥3√1x 2·x ·x 3=3,当且仅当1x 2=x =x,即x=1时,等号成立.故选A .3设x ,y ,z>0且x+y+z=6,则lg x+lg y+lg z 的取值范围是( ) A.(-∞,lg 6] B.(-∞,3lg 2] C.[lg 6,+∞)D.[3lg 2,+∞)lg x+lg y+lg z=lg(xyz ),而xyz ≤(x+y+z 3)3=23,∴lg x+lg y+lg z ≤lg 23=3lg 2,当且仅当x=y=z=2时,等号成立.4设a ,b 是正实数,以下不等式恒成立的序号为( )①√ab >2aba +b;②a >|a −b|−b; ③a 2+b 2>4ab-3b 2;④ab +2ab >2. A.①③B.①④C.②③D.②④①,√ab −2aba+b =√ab (a+b )-2aba+b=√ab (a+b -2√ab )a+b=√ab (√a -√b )2a+b≥0,①不合题意,则应排除A,B;④正确,故选D .5设a>0,b>0,若√3是3a与3b的等比中项,则1a +1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14√3是3a与3b的等比中项,∴(√3)2=3a·3b,即3=3a+b.∴a+b=1.此时1a +1b=a+ba+a+bb=2+(ba +ab)≥2+2=4,当且仅当a=b=12时,等号成立.故1a +1b的最小值为4.6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2√ab,a2+b2,2ab中最大的是.a+b>2√ab,a2+b2>2ab.∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四个数中最大的是a+b.7已知a∈R+,则2√a ,2√a+1,√a+√a+1从大到小的顺序为.√a+√a+1>√a+√a=2√a,√a+√a+1<√a+1+√a+1= 2√a+1,所以2√a<√a+√a+1<2√a+1.2√a >√a+√a+1>2√a+1>√a+√a+1>2√a+18若|a|<1,|b|<1,求证:|a+b1+ab|<1.,而结论也不易变形,即直接证明有困难,因而可联想反证法.|a+b1+ab|≥1,则|a+b|≥|1+ab|,∴a 2+b 2+2ab ≥1+2ab+a 2b 2. ∴a 2+b 2-a 2b 2-1≥0. ∴a 2-1-b 2(a 2-1)≥0. ∴(a 2-1)(1-b 2)≥0.∴{a 2-1≥0,1-b 2≥0或{a 2-1≤0,1-b 2≤0,即{a 2≥1,b 2≤1或{a 2≤1,b 2≥1.与已知矛盾,∴|a +b1+ab|<1. 9若0<a<2,0<b<2,0<c<2,求证:a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )不可能都大于1.a (2-b ),b (2-c ),c (2-a )都大于1. ∵0<a<2,0<b<2,0<c<2, ∴2-b>0,2-c>0,2-a>0. ∵a (2-b )>1,b (2-c )>1,c (2-a )>1, 三式相乘,得a (2-b )·b (2-c )·c (2-a )>1.① 又0<a (2-a )≤(a+2-a 2)2=1,0<b (2-b )≤(b+2-b 2)2=1,0<c (2-c )≤(c+2-c 2)2=1,∴a (2-a )·b (2-b )·c (2-c )≤1.② 由于①②式相矛盾,故原命题成立.10某种汽车购车时费用为10万元,每年的保险、加油费用共9千元,汽车的年维修费用逐年以等差数列递增,第一年为2千元,第2年为4千元,第三年为6千元,……问这种汽车使用几年后报废最合算(即汽车的年平均费用为最低)?n 年后报废最合算,这n 年中汽车每年的平均费用为y 万元, 则y =10+0.9n+0.2n+n (n -1)2·0.2n=10n+n10+1≥3,当且仅当10n=n10,即n=10时,等号成立.故这种汽车使用10年后报废最合算.能力提升1已知不等式(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8x+y)(1x +ay)=1+a+axy+yx≥1+a+2√a=(√a+1)2,当且仅当yx=√a时,等号成立.∵(x+y)(1x +ay)≥9对任意正实数x,y恒成立,∴需(√a+1)2≥9.∴a≥4.故选B.2某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比,如果在距离车站10 km处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站() A.5 km处 B.4 km处 C.3 km处 D.2 km处x km,由已知得y1=20x,y2=0.8x.费用之和y=y1+y2=0.8x+20x ≥2√0.8x·20x=8,当且仅当0.8x=20x,即x=5时,等号成立.故选A.3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,则2a+b+c的最小值为() A.√3−1B.√3+1C.2√3+2D.2√3−2a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2√3,所以4-2√3=a2+ab+ac+bc=1(4a2+4ab+4ac+2bc+2bc)≤14(4a2+4ab +4ac +2bc +b2+c2), 当且仅当b=c 时,等号成立.所以(2√3−2)2≤(2a+b+c )2,则2a+b+c ≥2√3−2.故选D .4函数y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m +2n 的最小值为 .y=log a (x+3)-1(a>0,a ≠1)的图象恒过定点A (-2,-1).∵点A 在直线mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1. 又mn>0,∴m>0,n>0. 则(1m +2n )(2m +n)=2m+n m+4m+2n n=2+n m +4·m n+2≥4+2√n m ·4·mn =4+4=8,当且仅当m =14,n =12时,等号成立. 5(2017天津,理12)若a ,b ∈R ,ab>0,则a 4+4b 4+1ab的最小值为 .a ,b ∈R ,且ab>0, ∴a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab=4ab +1ab ≥4( 当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1,即{ a 2=√22,b 2=√2时取等号). ★6若正数a ,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 .√ab =t(t >0),则由ab=a+b+3≥2√ab +3(当且仅当a=b 时,等号成立),得t 2≥2t+3,即t 2-2t-3≥0.解得t ≥3或t ≤-1(不合题意,舍去).∴√ab ≥3. ∴ab ≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立. +∞)7已知a ,b ,x ,y>0,x ,y 为变量,a ,b 为常数,且a+b=10,ax +by =1,x +y 的最小值为18,求a,b 的值.(x+y )(a x +by ) =a+b +bx y+ay x≥a+b+2√ab =(√a +√b)2,当且仅当bx y=ay x时,等号成立.故(x+y )min =(√a +√b)2=18, 即a+b+2√ab =18.① 又a+b=10,②由①②可得{a =2,b =8或{a =8,b =2.8已知a>b ,ab=1,求证:a 2+b 2≥2√2(a −b).a>b ,∴a-b>0. 又ab=1,∴a 2+b 2a -b =a 2+b 2-2ab +2ab a -b =(a -b )2+2aba -b=(a-b )+2a -b ≥2√(a -b )·2a -b =2√2. ∴a 2+b 2a -b≥2√2,即a 2+b 2≥2√2(a −b),当且仅当a-b =2a -b ,即a-b =√2(a −b =−√2舍去)时,等号成立. ★9如图,为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底面宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B 孔流出,设箱体的长度为a m,高度为b m,已知流出的水中该杂质的质量分数与a ,b 的乘积ab 成反比,现有制箱材料60 m 2,问当a ,b 各为多少时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小?(A ,B 孔的面积忽略不计)“杂质的质量分数”可按“杂质的含量”理解,设为y.由题意y 与ab 成反比,又设比例系数为k ,则y =kab .由于受箱体材料多少的限制,a ,b 之间应有一定的关系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此该题的数学模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a,b为何值时,y=kab最小.y,由题意知y=kab,其中k为比例系数(k>0).∵据题设有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-a2+a(由a>0,b>0可得a<30).∴y=kab =k30a-a22+a.令t=a+2(t>0),则a=t-2.从而30a-a 22+a =30(t-2)-(t-2)2t=34t-t2-64t=34−(t+64t),∴y=kab ≥34-2√t·64t=k18,当且仅当t=64t ,即a+2=64a+2时取等号.∴a=6.由a=6可得b=3.综上所述,当a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.y,依题意y=kab,其中k为比例系数,k>0,要求y的最小值,必须求出ab的最大值.依题设知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=30(a>0,b>0).∵a+2b≥2√2ab(当且仅当a=2b时取等号),∴ab+2√2√ab≤30,可解得0<ab≤18.由a=2b及ab+a+2b=30可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小,即a=6,b=3时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.。

2020届二轮（理科数学）概率与统计综合问题专题卷（全国通用）1.共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务,由于其依托“互联网+”,符合“低碳出行”的理念,已越来越多地引起了人们的关注.某部门为了对该城市共享单车加强监管,随机选取了50人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查,并将问卷中的这50人根据其满意度评分值(百分制)按照[50,60),[60,70),…,[90,100]分成5组,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示),解决下列问题:组别分组频数频率第1组[50,60) 8 0.16第2组[60,70) a第3组[70,80) 20 0.40第4组[80,90) 0.08第5组[90,100] 2 b总计(1)求出a,b,x,y的值.(2)若在满意度评分值为[80,100]的人中随机抽取2人进行座谈,求2人中至少一人来自第5组的概率.【解析】(1)由题意可知,=,解得b=0.04,样本容量==50,[80,90)内的频数为50×0.08=2.a=50-8-20-4-2=14.又[60,70)内的频率为=0.32,所以x==0.032;又[90,100]内的频率为0.04,所以y==0.002.(2)可知,第4组共有4人,第5组共有2人,设第4组的4人分别为a1,a2,a3,a4;第5组的2人分别为b1,b2;则从中任取2人,所有基本事件为(a1,a2)、(a1,a3)、(a1,a4)、(a1,b1)、(a1,b2)、(a2,a3)、(a2,a4)、(a2,b1)、(a2,b2)、(a3,a4)、(a3,b1)、(a3,b2)、(a4,b1)、(a4,b2)、(b1,b2)共15个.又至少一人来自第5组的基本事件有(a1,b1)、(a1,b2)、(a4,b1)、(a4,b2)、(b1,b2)、(a2,b2)、(a3,b1)、(a3,b2)、(a2,b1)共9个,所以P==.故所抽取2人中至少一人来自第5组的概率为.。

（12）概率与统计1、用随机数表法从100名学生(其中男生40名)中抽取20名参加一项文体活动,某男生被抽到的可能性是( )A.110B.12C.15D.252、某学校为了解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002， (999)从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进行检查，若036号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）A. 008号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生3、根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年级425名学生选课情况，在高一年级下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是（）A．前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B．前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C．整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D．整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数4、已知一组数据的频率分布直方图如图所示则众数、中位数、平均数分别为( )A.63、64、66B.65、65、67C.65、64、66D.64、65、645、为研究变量x和y的线性相关性,甲、乙二人分别作了研究,利用线性回归方法得到回归直线方程1l和2l,两人计算知x相同, y也相同,下列正确的是( )A. 1l与2l重合B. 1l与2l一定平行C. 1l与2l相交于点(),x yD.无法判断1l和2l是否相交6、从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知()0.65P A=,()0.2P B=,()0.1P C=,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为( )A. 0.7B. 0.65C. 0.35D. 0.37、《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著，若在这四大名著中任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. 23B.12C.13D.148、如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为2,以半径为直径画出两个半圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A.18B.π8C.14D.129、甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为2 3和34,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.34B.23C.57D.51210、设随机变量,X Y 满足：31Y X =-，()2,X B p ～，若()519P X ≥=，则()D Y =( )A ．4B ．5C ．6D ．711、某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：Pa k )的分组区间为12,1313,1414,1515,16[),[),[),[),[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为__________.12、一个骰子连续投2次,点数积大于21的概率__________.13、如图，在一个边长为1的正方形中随机撒入100粒豆子，恰有60粒落在阴影区域内，则该阴影区域的面积约为___。

2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<03.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√556.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 329.设函数f(x)=ln|2x+1|−ln|2x−1|，则f(x)()A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减10.已知▵ABC是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O 的表面积为16π，则球O到平面ABC的距离为()A. √3B. 32C. 1 D. √3211.11.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<012.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．16.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. ▵ABC 中，sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ．(1)求A ；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．19. 已知椭圆C 1:x 2a +y2b =1(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与的C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程．20.如图，已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC 于F．(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO//平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=sin2xsin2x．(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤3√3；8(3)设n∈N∗，证明：sin2xsin22xsin24x⋯sin22n x≤3n．4n22.已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：{x=4cos 2θy=4sin2θ(θ为参数)，C2：{x=t+1ty=t−1t(t为参数)．(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．23.已知函数f(x)=|x2−a|+|x−2a+1|．(1)当a=2时，求不等式f(x)≥4的解集；(2)若f(x)≥4，求a的取值范围．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3}，A={−1,0,1},B={1,2},则C U(A⋃B)=()A. {−2,3}B. {−2,2,3}C. {−2,−1,0,3}D. {−2,−1,0,2,3}【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的运算，属基础题.先求出A∪B，再求补集．【解答】解：∵A∪B={−1,0,1,2}，∴∁U(A∪B)={−2,3}.故选A．2.若α为第四象限角，则()A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】【分析】本题考查三角函数在各象限的正负，属于基础题．根据所给角是第四象限角，写出角α的范围，求出2α的范围，进而可判断出三角函数值的正负．【解答】+2kπ<α<2kπ,∴−π+4kπ<2α<4kπ,解：∵−π2∴2α是第三象限或第四象限角或终边在y轴的非正半轴上，∴sin2α<0.故选D．3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者()A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】本题考查对概率的理解，通过条件容易得出第二天需配送的总订单数，进而可求出所需至少人数．【解答】解：因为公司可以完成配货1200份订单，=18名.则至少需要志愿者为1600+500−120050故选B．4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】【分析】本题考查等差数列前n项和的性质，属于中档题．由S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，可得每一层的环数，通过等差数列前n项和公式可求得三层扇形石板的总数．【解答】解：设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差d=9，a1= 9，由等差数列性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n成等差数列，且(S3n−S2n)−(S2n−S n)=n2d，则9n2=729，得n=9，×9=3402块.则三层共有扇形面石板为S3n=S27=27a1+27×262故选C．5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为()A. √55B. 2√55C. 3√55D. 4√55【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系及点到直线的距离计算，属基础题．由圆与坐标轴相切，可得圆心坐标及半径，再用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：设圆心为(a,a)，则半径为a，圆过点(2,1)，则(2−a)2+(1−a)2=a2，解得a=1或a=5，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是d=2√55.故选B．6.数列{a n}中，a1=2，a m+n=a m a n，若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25，则k=()A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】本题考查等比数列的判定及等比数列前n项求和，属基础题．取m=1，知数列是等比数列，再由等比数列前n项和公式可求出k的值．【解答】解：取m=1，则a n+1=a1a n，又a1=2，所以a n+1a n=2，所以{a n}是等比数列，则a n=2n，所以，得k=4.故选C．7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个断点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为()A. EB. FC. GD. H【答案】A【解析】【分析】本题三视图，考查空间想象能力，属基础题．由三视图，通过还原几何体，观察可知对应点．【解答】解：该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A．8.设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D、E两点，若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】本题主要考查双曲线的几何性质及双曲线的渐近线，属于中档题．【解答】解：双曲线C的两条渐近线分别为y=±bax，由于直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于D、E两点，则易得到|DE|=2b，则S△ODE=ab=8，c2=a2+b2⩾2ab=16，即c⩾4，所以焦距2c⩾8．故选B．9. 设函数f(x)=ln |2x +1|−ln |2x −1|，则f(x)( )A. 是偶函数，且在(12,+∞)单调递增 B. 是奇函数，且在(−12,12)单调递减 C. 是偶函数，且在(−∞,−12)单调递增 D. 是奇函数，且在(−∞,−12)单调递减【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，属于中档题． 【解答】解：函数f(−x)=ln |−2x +1|−ln |−2x −1|=ln |1−2x |−ln |2x +1|=−f(x)， 则f(x)为奇函数，x ∈(−12,12)时，f(x)=ln(2x +1)−ln(1−2x)，单调递增； x ∈(−∞,−12)时，f(x)=ln(−2x −1)−ln(1−2x)=ln 2x+12x−1=ln(1+22x−1)，单调递减． 故选D ．10. 已知▵ABC 是面积为9√34的等边三角形，且其顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为16π，则球O 到平面ABC 的距离为( )A. √3B. 32C. 1D. √32【答案】C【解析】【分析】本题主要考查点到平面的距离求法，属于中档题． 【解答】解：设△ABC 的外接圆圆心为O 1，设OO 1=d ，圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R ， △ABC 的边长为a ，则S △ABC =√34a 2=9√34，可得a =3，于是r =√3=√3， 由题意知，球O 的表面积为16π，则R=2，由R2=r2+d2，求得d=1，即O到平面ABC的距离为1．故选C．11.11.若2x−2y<3−x−3−y，则()A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数与指数函数，考查函数的单调性，属于较难题．【解答】解：2x−3−x<2y−3−y，设f(x)=2x−3−x，则f′(x)=2x ln2+3−x ln3>0，所以函数f(x)在R上单调递增，因为f(x)<f(y)，所以x<y，则y−x+1>1，ln(y−x+1)>0．故选A．12.0−1周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列a1a2…a n…满足a i∈(0,1)(i=1,2,…)，且存在正整数m，使得a i+m=a i(i=1,2,…)成立，则称其为0−1周期序列，并称满足a i+m=a i(i=1,2,…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0−1序列a1a2…a n…，C(k)=1m ∑a i a i+k(k=1,2,…,m−1)mi=1是描述其性质的重要指标．下列周期为5的0−1序列中，满足C(k)≤15(k=1,2,3,4)的序列是()A. 11010…B. 11011…C. 10001…D. 11001…【答案】C【解析】【分析】本题主要考查新定义类型的问题，属于较难题．【解答】解：对于A选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+0)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+1+0+1+0)=25>15，不满足，排除；对于B选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+1+1)=35>15，不满足，排除；对于C选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(0+0+0+0+1)=15，C(2)=15∑a i5i=1a i+2=15(0+0+0+0+0)=0，C(3)=15∑a i5i=1a i+3=15(0+0+0+0+0)=0，C(4)=15∑a i5i=1a i+4=15(1+0+0+0+0)=15，满足；对于D选项，C(1)=15∑a i5i=1a i+1=15(1+0+0+0+1)=25>15，不满足，排除；故选C．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量a,b的夹角为45°，ka−b与a垂直，则k=_______．【答案】√22【解析】【分析】本题主要考查平面向量的运算以及向量间的垂直关系，属于基础题．【解答】解：由单位向量a⃗,b⃗ 的夹角为45∘，k a⃗−b⃗ 与a⃗垂直，所以(k a⃗−b⃗ )⋅a⃗=k−√22=0，则k=√22．故答案为√22．14. 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．【答案】36【解析】【分析】本题考查计数原理，属于基础题．【解答】解：由题意可得不同的安排方法有：C42A33=36．答案：36．15.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i，则|z1−z2|=______．【答案】2√3【解析】【分析】本题考查复数的运算及复数的模，属于基础题．【解答】解：在复平面内，用向量方法求解，原问题即等价于平面向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=|b⃗ |=2，a⃗+b⃗ =(√3,1)，求|a⃗−b⃗ |，由(a⃗+b⃗ )2+(a⃗−b⃗ )2=2|a⃗|2+2|b⃗ |2，可得4+(a⃗−b⃗ )2=16，故|a⃗−b⃗ |=2√3．故答案为2√3．16.设有下列四个命题：P1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．P2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．P3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．P4：若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l．则下述命题中所有真命题的序号是________．①p1∧p4②p1∧p2③¬p2∨p3④¬p3∨¬p4【答案】①③④【解析】【分析】本题考查含逻辑联结词的命题真假的判断以及立体几何相关知识，属于中档题．【解答】解：对于p1：可设l1与l2，所得平面为α.若l3与l1相交，则交点A必在平面α内.同理l2与l3的交点B在平面α内，故直线AB在平面α内，即l3在平面α内，故p1为真命题．对于p2:过空间中任意三点，若三点共线，可形成无数个平面，故p2为假命题．对于p3:空间中两条直线的位置关系有平行，相交，异面，故p3为假命题．对于p4:若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故m⊥l，故p4为真命题．综上可知，p1∧p4为真命题，¬p2∨p3为真命题，¬p3∨¬p4为真命题．故答案为①③④．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.▵ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC =3，求▵ABC 周长的最大值．【答案】解：(1)在▵ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为sin 2A −sin 2B −sin 2C =sinBsinC ，由正弦定理得，a 2−b 2−c 2=bc ，即b 2+c 2−a 2=−bc ， 由余弦定理得，cosA =b 2+c 2−a 22bc =−12，因为0<A <π，所以A =2π3．(2)由(1)知，A =2π3，因为BC =3，即a =3，由余弦定理得，a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以9=b 2+c 2+bc =(b +c )2−bc ， 由基本不等式可得bc ≤(b+c )24，所以9=(b +c )2−bc ≥34(b +c )2,所以b +c ≤2√3(当且仅当b =c =√3时取得等号)， 所以▵ABC 周长的最大值为3+2√3．【解析】本题主要考查利用正余弦定理解三角形的问题，属于中档题． (1)直接利用正余弦定理即可求解；(2)利用余弦定理与基本不等式即可求解．18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ,y i )(i =1,2,…,20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得∑x i =6020i=1，∑y i =120020i=1，∑(x i −x )2=8020i=1，∑(y i −y )2=900020i=1，∑(x i −x )(y i −y )=8020i=10．(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数)；(2)求样本(x i ,y i )(i =1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01)；(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数，√2≈1.414．【答案】解：(1)由题可知，每个样区这种野生动物数量的平均数为120020=60，所以该地区这种野生动物数量的估计值为60×200=12000(2)根据公式得r=i −x)(y i−y)ni=1√(x i−x)(y i−y)i=1i=1=80×9000=32≈0.94(3)为了提高样本的代表性，选用分层抽样法更加合理，因为分层抽样可以按照规定的比例从不同的地块间随机抽样，其代表性较好，抽样误差更小。

专题突破练22 专题六统计与概率过关检测一、选择题1.(2019全国卷3,理4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.242.(2019陕西第二次质检,理5)陕西省西安市周至县的旅游景点楼观台,号称“天下第一福地”,是我国著名的道教圣地,古代圣哲老子曾在此著《道德经》五千言.景区内有一处景点建筑,是按古典著作《连山易》中记载的金、木、水、火、土之间相生相克的关系,如图所示,现从五种不同属性的物质中任取两种,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为()A.23B.12C.15D.253.(2019山东聊城一模,理5)AQI是表示空气质量的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据,图中点A表示4月1日的AQI指数值为201,则下列叙述不正确的是()A.这12天中有6天空气质量为“优良”B.这12天中空气质量最好的是4月9日C.这12天的AQI指数值的中位数是90D.从4日到9日,空气质量越来越好4.(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为()A.-80B.-40C.40D.805.(2019山东菏泽一模,理6)在区间-π4,π4上随机取一个数x,则sin 2x的值介于0到√32之间的概率为()A.34B.23C.12D.136.(2019全国卷2,理5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比,不变的数字特征是()A.中位数B.平均数C.方差D.极差7.(2019四川成都二模,理5)为比较甲、乙两名篮球运动员近期的竞技状态,选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图,有以下结论:①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数;②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数;③从最近五场比赛的得分看,乙比甲更稳定;④从最近五场比赛的得分看,甲比乙更稳定.其中所有正确结论的编号为()A.①③B.①④C.②③D.②④8.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6.已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.459.(2019山东济宁一模,理8)如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图,小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位:套)与成交量(单位:套)作出如下判断:①日成交量的中位数是16;②日成交量超过日平均成交量的有2天;③认购量与日期正相关;④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅.则上述判断正确的个数为()A.0B.1C.2D.310.(2019福建漳州质检二,理10)已知边长为2√3的正方形ABCD的中心为点P,在正方形ABCD 内任取一点Q,则点Q满足|PQ|≤2的概率为()A.π+3√39B.π+3√312C.2π+√39D.2π+√31211.(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.6012.(2019湘赣十四校联考二,文9)已知某水池的容积是20 m3,向该空水池注水的水龙头A和水龙头B的流速分别是1 m3/h与2 m3/h,它们在一昼夜内随机开0~24 h,则水池不溢出水的概率为()A.2572B.25144C.2536D.25288二、填空题13.(2019江苏卷,6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是.14.(2019江苏卷,5)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是.15.(2019重庆模拟)为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了5次试验,得到5组数据:(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),(x5,y5),根据收集到的数据可知x1+x2+x3+x4+x5=150,由最小二乘法求得回归直线方程为y^=0.67x+54.9,则y1+y2+y3+y4+y5=.16.(2019山东济宁二模,理15)若从区间[0,2]内随机取两个数,则这两个数之积大于2的概率为.三、解答题17.(2019全国卷3,理17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).18.某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?19.(2019安徽“江南十校”二模,理19)某工厂生产加工某种产品,年初招收了工人100名,每个工人的工资由一个单位工作时间内的基本工资和计件工资组成,其中基本工资为80元,招收的工人试用期为一个月,试用期单位工作时间内加工产品平均件数不少于3件的工人转正留用,其他工人解除聘用.(1)根据试用期统计,单位工作时间内工人加工产品平均件数与相应人数可得到如下柱状图.①求从试用期工人中随机选取2名工人,则2人在一个单位工作时间内加工产品平均件数均少于3件的概率;②若在试用期内,计件工资为20元/件,求试用期工人在一个单位工作时间的平均工资;(2)若工厂将转正留用工人进行技术培训,使转正留用工人每人在一个单位时间内比试用期平均多生产一件产品,由于节约了其他成本,工厂决定将留用工人的一个单位工作时间内的工资总额在试用期的工人工资总额的基础上提高20%,求转正留用工人的计件工资为每件多少元?(保留小数点后一位)20.(2019四川第二次诊断,理18)今年年初,习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道:“我们要积极推进两岸经济合作制度化,打造两岸共同市场,为发展增动力,为合作添活力,壮大中华民族经济.两岸要应通尽通,提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通,可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作,社会保障和公共资源共享,支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化.”某外贸企业积极响应习主席的号召,在春节前夕特地从台湾购进优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源,据统计,每家大型农贸市场的年平均销售量(单位:吨),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)分组的频率分布直方图如图.(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数;(2)在年平均销售量为[220,240),[240,260),[260,280),[280,300)的四组大型农贸市场中,用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场,求年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取多少家?(3)在(2)的条件下,再从[240,260),[260,280),[280,300)这三组中抽取的农贸市场中随机抽取3家参加国台办的宣传交流活动,记恰有ξ家在[240,260)组,求随机变量ξ的分布列与期望和方差.21.(2019山东烟台模拟,理19)某房产中介公司2018年9月1日正式开业,现对其每个月的二手房成交量进行统计,y表示开业第x个月的二手房成交量,得到统计表格如下:(1)统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为,对于变量x,y,如果|r|∈[0.75,1],那么相关性很强;如果|r|∈[0.3,0.75],那么相关性一般;如果|r|≤0.25,那么相关性较弱.通过散点图初步分析可用线性回归模型拟合y 与x 的关系.计算(x i ,y i )(i=1,2,…,8)的相关系数r ,并回答是否可以认为两个变量具有很强的线性相关关系(计算结果精确到0.01);(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^=b ^x+a ^(计算结果精确到0.01),并预测该房产中介公司2019年6月份的二手房成交量(计算结果四舍五入取整数).(3)该房产中介为增加业绩,决定针对二手房成交客户开展抽奖活动.若抽中“一等奖”获6千元奖金;抽中“二等奖”获3千元奖金;抽中“祝您平安”,则没有奖金.已知一次抽奖活动中获得“一等奖”的概率为16,获得“二等奖”的概率为13,现有甲、乙两个客户参与抽奖活动,假设他们是否中奖相互独立,求此二人所获奖金总额X (千元)的分布列及数学期望.参考数据:∑i=18x i y i =850,∑i=18x i 2=204,∑i=18y i 2=3 776,√21≈4.58,√31≈5.57.参考公式:b ^=∑i=1nx i y i -n ·x ·y∑i=1nx i 2-n ·x 2,a ^=y −b ^x ,r=∑i=1nx i y i -n ·x ·y √∑i=1n x i2-nx 2√∑i=1ny i2-ny 2.22.(2019湘赣十四校联考二,理19)我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注,受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为2,女性观众认3.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众(其中为《流浪地球》好看的概率为122男2女).(1)求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率;(2)设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数,求ξ的分布列与数学期望.参考答案专题突破练22专题六统计与概率过关检测1.A解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.2.B解析现从五种不同属性的物质中任取两种,基本事件总数n=C52=10,取出的两种物质恰好是相克关系包含的基本事件个数m=C51=5,则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为P=mn =510=12.故选B.3.C解析由图知AQI不大于100的有6日到11日共6天,所以A正确;AQI最小的一天为9日,所以B正确;中位数是95+1042=99.5,C错;从图中可以看出4日到9日AQI越来越小,D正确;所以选C.4.C解析(2x-y)5的展开式的通项公式T r+1=C5r(2x)5-r(-y)r.当r=3时,x(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C53×22×(-1)3=-40;当r=2时,y(2x-y)5的展开式中x3y3的系数为C52×23×(-1)2=80.故展开式中x3y3的系数为80-40=40.5.D 解析所有的基本事件构成的区间长度为π4--π4=π2,由0≤sin2x ≤√32,x ∈-π4,π4,解得0≤2x ≤π3,则0≤x ≤π6,所以概率为P=π6-0π2=13.6.A 解析设9位评委的评分按从小到大排列为x 1<x 2<x 3<x 4<…<x 8<x 9.对于A,原始评分的中位数为x 5,去掉最低分x 1,最高分x 9后,剩余评分的大小顺序为x 2<x 3<…<x 8,中位数仍为x 5,故A 正确;对于B,原始评分的平均数x =19(x 1+x 2+…+x 9),有效评分的平均数x '=17(x 2+x 3+…+x 8),因为平均数受极端值影响较大,所以x 与x '不一定相同,故B 不正确;对于C,原始评分的方差s 2=19[(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 9-x )2],有效评分的方差s'2=17[(x 2-x ')2+(x 3-x ')2+…+(x 8-x ')2],由B 易知,C 不正确;对于D,原始评分的极差为x 9-x 1,有效评分的极差为x 8-x 2,显然极差变小,故D 不正确.7.C 解析甲的中位数为29,乙的中位数为30,故①不正确;甲的平均数为29,乙的平均数为30,故②正确;从比分来看,乙的高分集中度比甲的高分集中度高,故③正确,④不正确.故选C .8.A 解析设某天空气质量优良为事件A ,随后一天空气质量优良为事件B ,由已知得P (A )=0.75,P (AB )=0.6,所求事件的概率为P (B|A )=P(AB)P(A)=0.60.75=0.8,故选A .9.B 解析7天假期的楼房认购量为:91,100,105,107,112,223,276;成交量为:8,13,16,26,32,38,166.对于①,日成交量的中位数是26,故错;对于②,日平均成交量为:8+13+16+26+32+38+1667≈42.7,有1天日成交量超过日平均成交量,故错;对于③,根据图形可得认购量与日期不是正相关,故错;对于④,10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅,正确.故选B . 10.A 解析如图,以P 为圆心,2为半径作圆,与AB 边交于点M ,N ,作PO ⊥MN 于O.在Rt △PAD 中,由题意可知:|PM|=2,|PO|=√3,则∠MPO=π6,从而∠MPN=π3,|MN|=2,则阴影部分的面积为S=12×2π3×22+12×2×√3×4=4π3+4√3,故所求概率为P=S 阴S 正=4π3+4√312=π+3√39,故选A .11.C 解析由于(x 2+x+y )5=[(x 2+x )+y ]5,其展开式的通项为T r+1=C 5r (x 2+x )5-r y r (r=0,1,2,…,5),因此只有当r=2,即T 3=C 52(x 2+x )3y 2中才能含有x 5y 2项.设(x 2+x )3的展开式的通项为S i+1=C 3i (x 2)3-i·x i =C 3i x 6-i (i=0,1,2,3),令6-i=5,得i=1,则(x 2+x )3的展开式中x 5项的系数是C 31=3,故(x 2+x+y )5的展开式中,x 5y 2的系数是C 52·3=10×3=30.12.B 解析设水龙头A 开x h,水龙头B 开y h,显然,0≤x ≤24,0≤y ≤24,若水龙头不溢出水,则x+2y ≤20.记“水池不溢出水”为事件A ,则A 所占区域面积为12×20×10=100,整个区域的面积为24×24=576,由几何概型的概率公式,得P (A )=100576=25144.13.710解析由已知男女同学共5名.从5名学生中任选2名,共有C 52=10种选法.若选出的2人中恰有一名女生,有C 31×C 21=6种选法.若选出的2人都是女生,有1种选法. 所以所求的概率为P=6+110=710. 14.53 解析由题知,该组数据平均值为6+7+8+8+9+106=8,所以该数据方差为16[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.15.375 解析由x 1+x 2+x 3+x 4+x 5=150,得x =1505=30,设样本中心点为(x,y ),则y =0.67×30+54.9=75,∴y 1+y 2+y 3+y 4+y 5=75×5=375.16.1-ln22解析设从区间[0,2]内随机取两个数x ,y ,由题意,xy>2,即y>2x .如图所示,满足题意的两个数组成的点在图中的阴影部分,阴影部分的面积为∫212-2xd x=2-2ln2.因此所求概率P=2-2ln22×2=1-ln22.17.解(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.18.解(1)由题意知,X 所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P (X=200)=2+1690=0.2,P (X=300)=3690=0.4,P (X=500)=25+7+490=0.4.因此X 的分布列为(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n ≤500. 当300≤n ≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n ; 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n ; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E (Y )=2n ×0.4+(1200-2n )×0.4+(800-2n )×0.2=640-0.4n. 当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n ; 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此E (Y )=2n ×(0.4+0.4)+(800-2n )×0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y 的数学期望达到最大值,最大值为520元.19.解(1)根据条形图可知,试用期100名工人中,在一个单位工作时间内加工产品平均件数少于3件的工人共有20名.①设“随机选取2名工人,则2人在一个单位时间内加工产品平均件数均少于3件”为事件A.由已知,P (A )=C 202C 1002=19495.②设一名工人单位工作时间的工资为X(元),则X的分布列为则E(X)=100×0.05+120×0.15+140×0.25+160×0.35+180×0.20=150(元).故一名生产加工该种产品的工人在一个单位工作时间的平均工资为150元.(2)由(1)可得,在试用期一个单位工作时间内,100名工人的工资总额为100×150=15000元.转正留用工人为80名,设转正后计件工资为x元/件,总支出为S元,则S=25×(80+4x)+35×(80+5x)+20×(80+6x)=6400+395x,由S=15000×(1+20%),解得:x≈29.4元.所以转正留用工人的计件工资为每件29.4元.20.解(1)由频率和为1,列方程(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)×20=1,得x=0.0075,∴直方图中x的值为0.0075;=230.年平均销售量的众数是220+2402∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5,∴年平均销售量的中位数在[220,240)内,设中位数为a,则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5,解得a=224,即中位数为224.(2)年平均销售量在[220,240)的农贸市场有0.0125×20×100=25(家),同理可求年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场有15,10,5家,所以抽取比例为1125+15+10+5=15,∴从年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3(家),从年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2(家),从年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1(家);即年平均销售量在[240,260),[260,280),[280,300)的农贸市场中应各抽取3,2,1家.(3)由(2)知,从[240,260),[260,280),[280,300)的大型农贸市场中各抽取3家、2家、1家,所以ξ的可能取值分别为0,1,2,3,则P (ξ=0)=C 30·C 33C 63=120,P (ξ=1)=C 31·C 32C 63=920,P (ξ=2)=C 32·C 31C 63=920,P (ξ=3)=C 33·C 3C 63=120,ξ的分布列为:数学期望为E (ξ)=0×120+1×920+2×920+3×120=32,方差为D (ξ)=0-322×120+1-322×920+2-322×920+3-322×120=920.21.解(1)依题意:x =4.5,y =21,r=∑i=18x i y i -8xy√∑i=1x i2-8x 2√∑i=1y i 2-8y 2=√204-8×4.52×√3776-8×212 =√42×√248=4×√21×√31≈944×4.58×5.57≈0.92.因为0.92∈[0.75,1],所以变量x ,y 线性相关性很强.(2)b ^=∑i=18x i y i -8xy∑i=18x i 2-8x 2=850-8×4.5×21204-8×4.52≈2.24,a ^=y −b ^x =21-2.24×4.5=10.92,则y 关于x 的线性回归方程为y ^=2.24x+10.92.当x=10,y ^=2.24×10+10.92=33.32≈33,所以预计2018年6月份的二手房成交量为33.(3)二人所获奖金总额X 的所有可能取值有0,3,6,9,12千元.P (X=0)=12×12=14, P (X=3)=2×12×13=13, P (X=6)=13×13+2×16×12=518,P (X=9)=2×13×16=19, P (X=12)=16×16=136.所以,奖金总额X 的分布列如下表:E (X )=0×14+3×13+6×518+9×19+12×136=4(千元).22.解设X 表示2名女性观众中认为好看的人数,Y 表示2名男性观众中认为好看的人数,则X~B 2,12,Y~B 2,23.(1)设事件A 表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”,则P (A )=P (X=2,Y=1)+P (X=2,Y=0)+P (X=1,Y=0)=C 22122·C 212313+C 22122·C 20132+C 211212·C 20132=736. (2)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,P (ξ=0)=P (X=0,Y=0)=C 2122·C 20132=136, P (ξ=1)=P (X=1,Y=0)+P (X=0,Y=1)=C 211212·C 20132+C 20122·C 212313=16,P (ξ=2)=P (X=2,Y=0)+P (X=1,Y=1)+P (X=0,Y=2)=C 22122·C 20132+C 211212·C 212313+C 20122·C 22232=1336, P (ξ=3)=P (X=1,Y=2)+P (X=2,Y=1)=C 211212·C 22232+C 22122·C 212313=13,P (ξ=4)=P (X=2,Y=2)=C 22122·C 22232=19, ∴ξ的分布列为∴E (ξ)=0×136+1×16+2×1336+3×13+4×19=73.。

2020年高考数学（理）二轮专项复习专题11 概率统计统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．§11－1 概率(一)【知识要点】1．事件与基本事件空间：随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用 表示．2．频率与概率频率：在相同的条件S 下，重复n 次试验，观察某个事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 的出现次数m 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例为事件A 出现的频率． 概率：一般的，在n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率，当n 很大时总是在某个常数附近摆动，随着n 的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记做P (A )．显然有0≤P (A )≤1．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．n m n m3．互斥事件的概率加法公式事件的并：由事件A 或B 至少有一个发生构成的事件C 称为事件A 与B 的并，记做C ＝A ∪B ．互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．互斥事件加法公式：如果事件A 、B 互斥，则事件A ∪B 发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．如果A 1，A 2，…，A n 两两互斥，那么事件A 1∪A 2∪…∪A n 发生的概率，等于这n 个事件分别发生的概率和，即P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )．对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A 的对立事件记作，满足P ()＝1－P (A )．概率的一般加法公式(选学)：事件A 和B 同时发生构成的事件D ，称为事件A 与B 的交(积)，记作D ＝A ∩B ．在古典概型中，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )．4．古典概型古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，则有P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝1且 概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n (Ω )，随机事件A 包含的基本事件数为n (A)，则p (A)＝，即 5．几何概型几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A 理解为区域Ω的一个子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．几何概型中事件A 的概率定义：，其中μ Ω 表示区域Ω 的几何度量，μ A 表示子区域A 的几何度量． 随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力． A A ⋅=nA P i 1)(试验的基本事件总数包含的基本事件数事件A ⋅=)()()(Ωn A n A P ΩA A P μμ=)(6．条件概率与事件的独立性条件概率：一般的，设A 、B 为两个事件，且P (A )＞0，称P (B ｜A )＝为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．一般把P (B ｜A )读作“A 发生的条件下B 发生的概率”．在古典概型中，用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则有P (B ｜A )＝．事件的独立性：设A 、B 为两个事件，如果P (B ｜A )＝P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立，并称事件A 、B 为相互独立事件．若A 、B 为两个相互独立事件，则A 与、与B 、与也都相互独立．若事件A 与事件B 相互独立，则P (A ∩B )＝P (A )·P (B )．【复习要求】1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．2．了解两个互斥事件的概率加法公式．3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．【例题分析】例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：求该队员射击一次，(1)射中9环或10环的概率；(2)至少命中8环的概率；(3)命中不足8环的概率．【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于)()(A P B A P )()(A n B A n A A A B射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P (A )＝1－P ()求解．解：设事件“射击一次，命中k 环”为事件A k (k ∈N ，k ≤10)，则事件A k 彼此互斥．(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，则P (A )＝P (A 10)＋P (A 9)＝0.60．(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B ，则P (B )＝P (A 10)＋P (A 9)＋P (A 8)＝0.78．(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B 的对立事件，则P ()＝1－P (B )＝0.22．【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A 1，A 2，A 3通晓日语，B 1，B 2，B 3通晓俄语，C 1，C 2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(Ⅰ)求A 1被选中的概率；(Ⅱ)求B 1和C 1不全被选中的概率．【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解． 解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 3，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 2)，(A 3，B 2，C 1)，(A 3，B 2，C 2)，(A 3，B 3，C 1)，(A 3，B 3，C 2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的． 用M 表示“A 1恰被选中”这一事件，则M ＝｛(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)， A B )()()(Ωn A n A P =(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)}事件M 由6个基本事件组成，因而 (Ⅱ)用N 表示“B 1，C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B 1，C 1全被选中”这一事件，由于＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)}，事件由3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得 【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A 1只有一种可能，故所求概率为例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．解：(1)从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率(或)． (2)设“第一次摸到黑球”为事件A ，“第二次摸到白球”为事件B ，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A ∩B ，又，P (A ∩B )，所以或 ⋅==31186)(M P N N N 61183)(==N P ⋅=-=-=65611)(1)(N P N P ⋅3129A 6112291==A P 6184931=⨯=P 31)(=A P 61=⋅==213161)|(A B P(或)． (3)第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为 【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P (A)，P (A ∩B )，P (B ｜A )的含义．例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．解：(1)本题可转化为：“在长为6m 的线段上随机取点，恰好落在2m 到4m 间的概率为多少?”易求得 (2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，解得 (3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得 【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域Ω；把随机事件A 转化为与之2184)|(==A B P 1912A A 291217A A A 391227A A A ⋅=++=12739122729121719122A A A A A A A AP ⋅=31P ⋅=167)(A P ⋅=6πP对应的区域A ；利用概率公式计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积． 例5 设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0．(Ⅰ)若a 是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(Ⅱ)若a 是从区间[0，3］任取的一个数，b 是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a 、b 在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解． 解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b ．(Ⅰ)基本事件共12个：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为 (Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )｜0≤a ≤3，0≤b ≤2，a ≥b ｝． 所以所求的概率为 【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．例6 如图，用A 、B 、C 三类不同的元件连结成两个系统N 1、N 2，当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，已知元件A 、B 、C 正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率．【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A 、B 、C 同时正常工作时，系统N 1正常工作；当元件A 正常工作且元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作，而B 、C 至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．解：设元件A 、B 、C 正常工作为事件A 、B 、C ，则P (A )＝0.8，P (B)＝0.9，P (C)＝0.9，且事件A 、B 、C 相互独立．)()()(ΩA A P μμ=⋅==43129)(A P ⋅=⨯⨯-⨯=3223221232(1)系统N 1正常工作的概率为p 1＝P (A ·B ·C )＝P (A )·P (B )·P (C )＝0.80×0.90×0.90＝0.648．(2)元件B 、C 至少有一个正常工作的概率为1－P (·)＝1－P ()·P ()＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N 2正常工作的概率为p 2＝P (A )·(1－P (·))＝0.80×0.99＝0.792．【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为，连续抛掷6次是独立重复试验．解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．所以 (2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P ＝， 根据独立重复试验概率公式有 【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求： B C B C B C 21⋅=⨯⨯+++++=3166611025251012P 21⋅==⋅⋅6415)21()21(24463C P 5352(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A ，则(2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B ，其中4辆车模均直行通过路口为事件B 1，3辆直行1辆左转为事件B 2，则事件B 1、B 2互斥．【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．练习11－1一、选择题1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )A ．频率就是概率B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球，都是白球B ．至少有一个白球，至少有一个红球C ．恰有一个白球，恰有两个白球D ．至少有一个白球，都是红球⋅=⨯=625216)52()53()(2224C A P =+=+=)()()()(2121B B P B B P B P ⋅=⨯+62529752)53()53(334444C C3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )A ．0.16B ．0.36C ．0.48D ．0.644．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．7．在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中概率为______．8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．三、解答题9．已知集合A ＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M (x ，y )的坐标满足x ∈A ，y ∈A ．计算：(1)点M 恰在第二象限的概率；(2)点M 不在x 轴上的概率；(3)点M 恰好落在区域上的概率．10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．751752753754⎪⎩⎪⎨⎧>>>-+0008y x y x11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率； (2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．§11－2 概率(二)【知识要点】1．离散型随机变量及其分布列随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量．如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，X 取到每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率为P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的分布列．具有性质：①p i ≥0，i ＝1，2，3，…，n ；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1． 离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和． 二点分布：如果随机变量的分布列为其中0＜p ＜1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n 次试验，各次试验的结果相互独立，称为n 次独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为==)(k X P(其中p 为在一次试验中事件A 发生的概率，q ＝1－p ，k ＝0，1，…，n ).若将n 次独立重复试验中事件A 发生的次数设为X ，则X 的分布列为称这样的离散型随机变量X 服从参数为n 、p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．超几何分布：一般的，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为≤l ，其中l 为n 和M 中较小的一个)．我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N 、M 、n 的超几何分布．2．随机变量的数字特征及正态分布离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平．称为随机变量X 的方差，它反映了离散型随机变量X 相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根为随机变量X 的标准差，记作σ (X )，方差(或标准差)越小表明X 的取值相对于期望越集中，否则越分散．均值与方差的性质：①E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ②D (aX ＋b )＝a 2D (X ) 若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝pq ； 若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝npq ．正态曲线：函数，其中μ ∈R ，σ ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，关于x ＝μ 对称；③曲线在x ＝μ 处达到峰值；④曲线与x 轴之间的面积为1；⑤当σ 一定时，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；⑥当μ 一定k n k k n q p C -m C C C m X P n Nmn MN m M ≤==--0()(i ini p X E xX D ⋅-=∑=21))(()()(X D ),((21)(222)(+∞∝-∈=--x e x x σμσπϕσ2π1时，曲线的形状由σ 决定．σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．正态分布：如果对于任意实数a ＜b ，随机变量X 满足，则称X 的分布为正态分布；随机变量X 服从参数μ 、σ 的正态分布，记作N ～(μ ，σ 2)．正态分布的三个常用数据：①P (μ －σ ＜X ＜μ ＋σ )＝68.3％；②P (μ －2σ ＜X ＜μ ＋2σ )＝95.4％；③P (μ －3σ ＜X ＜μ ＋3σ )＝99.7％． 【复习要求】①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．③通过实例，理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义． 【例题分析】例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，(1)求X 的分布列；(2)求X ＞4的概率；(3)求E (X )．【分析】随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X 取每一个值的概率，就可以写出分布列．解：(1)随机变量X 可能取的值为3、4、5、6，且 ，，所求X 的分布列为=≤<)(b X a P dx x ba)(ϕ⎰,203)4(,2011)3(362336======C C X P C X P 3624)5(C C X P ==103206==212010)6(3625====C C X P(2) (3) 【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X 的所有可能取值)，以及取得每个结果(X 的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X 可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个x i 所对应的概率p i ，最后列成表格．要注意不同的X 值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X ，写出X 的分布列，并求X 的期望．【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．解：随机变量X 可取的值有0、1、2、3、4，＝＝，，，， 分布列为【评析】本题的随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4． 例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为． (1)用X 表示击中目标的次数．①若射击1次，求X 的分布列和期望； ②若射击6次，求X 的分布列和期望；(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；==+==>)6()5()4(X P X P X P ⋅54.25.5216103520342013)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E )0(=X P ,42121054104505==⋅C C C )1(=X P 215210504103515==⋅C C C )2(=X P 21102101004102525===⋅C C C ===⋅4101535)3(C C C X P 21050215=4212105)4(4100545==⋅==C C C X P 2424213212211420)(=⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯=X E 31(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数η 的分布列． 【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，η 的取值为1到6． 解：(1)①X 服从二点分布②X 服从二项分布，分布列为(2)ξ的取值为0到6，ξ＝k (k ＝0，1，…，5)表示第k ＋1次击中目标，前k 次都没击中目标，则P (ξ＝k )＝，ξ＝6表示射击6次都未击中目标， ．ξ的分布列为 (3)η 的取值为1到6．η ＝k (k ＝1，2，…，5)表示第k 次时第一次击中目标，表示前5次都没有击中目标，．η 的分布列为 【评析】要书写分布列，必须先弄清随机变量X 的含义以及取值情况，并准确定义事件“X ＝k ”．在计算满足⋅=31)(X E )6,,1,0()32()31()(),31,6(~66 ===-k C k X P B kkk.236)(=⨯=X E )5,,1,0(31)32(. =k k ==)6(ξP 6)32(==)(k P η6;31)32(.1=-ηk 5)32()6(==ξP二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X 和Y 的分布列为计算X 和Y 的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平．【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析．解：E (X )＝8.85，D (X )＝2.2275；E (Y )＝5.6，D (Y )＝10.24．由于E (X )＞E (Y )，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D (X )＜D (Y )，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．例5 设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x 2＋bx ＋c ＝0实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率；(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率； (3)若η ＝2ξ＋1，求ξ、η 的数学期望和方差；【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“∆＝b 2－4c ≥0”，b 、c 的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求η 的期望和方差．解：(1)由题意知：设基本事件空间为Ω，记“方程x 2＋bx ＋c ＝0没有实根”为事件A ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有两个相异实数”为事件C ，Ω中基本事件总数为36个，A 中的基本事件总数为17个，B 中的基本事件总数为2个，C 中的基本事件总数为17个．又因为B ，C 是互斥事件，故所求概率 (2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D ，“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实数”为事件E ，由上面分析得⋅=+=+=36193617362)()(C B B P P。

2020届高三毕数学第二轮复习训练题概率统计（一）（一） 考点与目标：概率主要考查：等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，相互独立事件同时发生的概率，超几何分布，条件概率，古典概型，几何概型，独立重复试验，离散型随机变量的分布列、期望值和方差，理解超几何分布、二项分布，正态分布．（二） 近3-5年考点分析 题型 考点命题方向年份/题号选填题古典概型 古典概率的应用 18年2卷8；几何概型 求几何概型的概率值 16年1卷4；17年1卷2； 16年2卷4；18年1卷10； 二项分布求方差17年2卷13；18年2卷8； 18年3卷8；解答题离散型随机变量的期望、方差常与概率相结合考查几种常见的概率分布的分布列、期望、方差16年1卷19；16年2卷19；17年3卷18；18年1卷20； 正态分布常与超几何、二项分布结合，考查正态分布的对称性及3σ原则应用17年1卷19；三、课内练习1．袋中有大小质地完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“第一次摸得红球”为事件A , “摸得的两球同色”为事件B ,则概率()|P B A 为（ ）（A ）13 （B ）32 （C ）41 （D ）522．【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）A. 0.7B. 0.6C. 0.4D. 0.33．（2018年全国I 卷）下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 34．【2018年理新课标I 卷】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）5．【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，161622221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.997 4P Z μσμσ-<<+=，160.997 40.959 2=0.0080.09≈．6．【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？四、课后作业 1．【2017课标1，理】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．π8C ．12D ．π42．【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2． 若0<p 1<p 2<12，则[来源:学科网ZXXK]A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是 .4． 从1,2,3,6这四个数中一次随机地取2个数，则所取两个数的乘积为6的概率为 . 5．某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种， 方案一：每满200元减50元：方案二：每满200元可抽奖一次．具体规则是依次从装有3个红球、1个白球的甲 箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出 1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）(I)若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率； (II)若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？6．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数．利用(ⅰ)的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.参考答案：三、课内练习1．【答案】C2.【答案】B点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题。