最新高中数学奥数竞赛试题
函数
函数的性质
1． 函数的图象
图象变换主要有：平移变换、伸缩变换、对称变换等。
引理1 函数图象对称性的判定
1） 若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x a f b x +=-，则()f x 的图象关于直线2
a b x +=
对称。
2） 若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x a f b x +=--，则()f x 的图象关于点,02a b +⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称。
引理2
1） 函数()y f a x =-与函数()y f x b =-的图象关于直线2
a b
x +=对称。
2） 函数()y f a x =-与函数()y f b x =+的图象关于直线2
a b
x -=
对称。
注：①引理1中1）是对一个函数而言的，引理2中的两个命题是对两个函数而言的。
②证明的思路是一样的，即任取一点→求其对称点→验证对称点是否在函数图象上→最后由点的任意性得证。
2． 函数的值域（最值）的求法 常用方法有：
（1） 配方法：如果所给的函数是二次函数或可化为二次函数的形式，一般采用配方法，
但在求解时，要注意作为二次函数形式的自变量的取值范围。
（2） 判别式法：将所给函数()y f x =看作是关于x 的方程。
若是关于x 的一元二次方程，
则可利用判别式大于等于0来求y 的取值范围，但要注意取等号的问题。
（3） 换元法：将一个复杂的函数中某个式子当作整体，通过换元可化为我们熟知的表达
式，这里要注意所换元的表达式的取值范围。
（4） 利用函数单调性法：如果所给的函数是熟悉的已知函数的形式，则可利用函数的单
调性来示值域，但要注意其单调区间。
（5） 反函数法：若某函数存在反函数，则可利用互为反函数两个函数的定义域与值域互
换，改求反函数的定义域。
（6） 利用均值不等式法。
（7） 构造法：通过构造相应图形，数形结合求出最值。
3.函数的单调性及其应用
（1）函数与其反函数在各自的定义域上具有相同的单调性。
（2）对于复合函数()()y f g x =，若()y f u =与()u g x =的单调性相同，则()()y f g x =是增函数；若()y f u =与()u g x =的单调性相反，则()()y f g x =是减函数。
（3）若()f x 与()g x 是定义在同一区间上的两个函数，
当()f x 与()g x 都是增（减）函数时，()()f x g x +也必为增（减）函数；
当()f x 与()g x 恒大于0，且()f x 与()g x 都是单调递增（减）的，则()()f x g x ⋅也是单调递增（减）的。
（4）函数的单调性主要有以下应用：
利用函数的单调性求函数的值域（或最值）；利用函数的单调性解不等式；利用函数的单调性确定参数的取值范围；利用函数的单调性解方程等等。
4.函数的奇偶性及其应用
（1）函数是奇函数的充要条件是图象关于原点对称；函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。
（2）定义域关于原点对称的任何一个函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和的形式。
（3）若函数是奇函数，则其反函数也为奇函数，反之亦然。
（4）函数的奇偶性主要有以下应用：
求函数值；求函数表达式；判断函数的单调性：如果已知具有奇偶性的函数()f x 在区间[],a b ()0a b ≤<上的单调性，由奇偶函数的对称性可直接判断()f x 在[],b a --上的单调性。
5函数的周期性
对于函数()f x ，如果存在一个不为零的正数T ，使得当x 取定义域中的每一个数时，()()f x T f x +=总成立，那么称()f x 是周期函数，T 称为这个周期函数的周期。
1） 若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x a f x b +=+，a b ≠，则()f x 是周期函数，且周
期为b a -。
2） 若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x a f x b +=-+，a b ≠，则()f x 是周期函数，且
周期为2b a -。
6函数的对称与周期的关系：
1） 若定义在R 上的函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线x b =对称，且a b ≠，则
()f x 是周期函数，且2b a -是周期。
2） 若定义在R 上的函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，且a b ≠，则()f x 是周期函数，且4b a -是周期。
巩固练习：
一选择题
1下面列举的四个函数中，满足性质()()1
22
x y f f x f y +⎛⎫=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭的函数f 是（ ）。
A lg x B 1
x
C 3x
D 3x
2已知()sin 4f x a x =+（,a b 为实数），且()3lglog 105f =，则()lg lg3f 的值是（ ）。
A 5- B 3- C 3 D 随,a b 的值而定
3设()f x 是定义在实数集R 上的函数，且满足：（1）()()1010f x f x +=-；（2）()()2020f x f x -=-+。
则()f x 是（ ）。
A 偶函数，又是周期函数
B 偶函数，但不是周期函数
C 奇函数，又是周期函数
D 奇函数，但不是周期函数
4对于一切实数x 、y ，函数f 满足方程()()()1f x y f x f y xy +--=+，且()11f =，那么，()()1f n n n =≠的整数n 的个数共有（ ）个。
A 0
B 1
C 2
D 3x
5函数()122
x
x x
f x =--（ ）。
A 是偶函数但不是奇函数 B 是奇函数但不是偶函数
C 既是偶函数又是奇函数
D 既不是偶函数也不是奇函数 6若()()()()2525log 3log 3log 3log 3x
y
x
y
---≥-，则（ ）。
A 0x y -≥ B 0x y +≥ C 0x y -≤ D 0x y +≤
二解答题
1设()0,1A =。
若f 是从A 到R 的一个映射，且满足 （1）()0f x >，对任何()0,1x ∈；
（2）()()
()()
121f x f x f y f y -+
≤-，对任何(),0,1x y ∈。
证明：存在一个实数0b ，使得对任何()0,1x ∈均有()0f x b ≡。
2函数()f x 定义在()(),00,-∞⋃+∞上，对定义域中任意数x ，在定义域中存在1x ，2x ，使12x x x =-，()()12f x f x ≠，且满足以下三个条件：
① 若()()12,,00,x x ∈-∞⋃+∞，()()12f x f x ≠或120x x a <-<，则
()()()()()
1212211f x f x f x x f x f x ⋅+-=
-；
② ()1f a =（a 是正常数）； ③ 当02x a <<时，()0f x >。
试证：（1）()f x 是奇函数；
（2）()f x 是周期函数，并求出其周期； （3）()f x 在()0,4a 内是减函数。
3.若函数213
21)(2+-=x x f 在区间[],a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，求[],a b .
4.函数()f x 在[]0,1上连续，()()01f f =，且对任意不同的[]12,0,1x x ∈，都有
()()1212f x f x x x -<-，求证：()()121
2
f x f x -<。
答案提示： 一、选择题：
1.C
2. C
3.C
4.B
5.A
6.B 二、解答题：
1. 分析：要证此问题，因f 是从A 到R 的映射，所以只要证明对任意(),0,1x y ∈均有()()f x f y =即可。
证明：由（1），（2）得
()()()()()()1121f x f y f x f y f y f y -+-≤-
令x s =，1y s =-，任意()0,1s ∈。
则()()()()22121f s f s f s f s +-≤- 即()()2
10f s f s --≤⎡⎤⎣⎦ 又()()210f s f s --≥⎡⎤⎣⎦Q
()()10f s f s ∴--=，即()()1f s f s =-
()f s ∴关于1
2
x =
对称。
由()f x 的对称性可知
()()1f x f x =-，()()1f y f y =-，任意的(),0,1x y ∈
∴（2）式变成
()()
()()
2f x f x f y f y +
≤
即()()f x f y ≤。
再由,x y 的任意性可知，又有()()f y f x ≤，于是()()f x f y =。
∴存在一个实数0b 使得，对任意()0,1x ∈均有()0f x b =。
2. 证明：（1）对任意()(),00,x ∈-∞⋃+∞，由条件①知，在定义域内存在12,x x ，使12x x x =-，且()()12f x f x ≠，有
()()()()()()()()()()
()()
12122112122111 f x f x f x f x x f x f x f x f x f x f x f x x f x ⋅+=-=
-+=-
-=--=--
所以()f x 为奇函数。
（2）因()f x 是奇函数，()1f a =，故()1f a -=-，于是()()()()()()
1
20f a f a f a f a a f a f a -+-=--==--，
（ⅰ）若()0f x ≠
则()()()()()()()21
1
222f x f a f x a f x a f a f x f x ⋅-++=--==-⎡⎤⎣⎦--， 则()()()()
()11
42212f x a f x a a f x f x a f x +=++=-
=-=⎡⎤⎣⎦+-
（ⅱ）若()0f x =
则()()()()()()
11
11f x f a f x a f x a f a f x ⋅-++=
--===-⎡⎤⎣⎦---， ()()()
1
321f x a f x a a f x a +=++=-=⎡⎤⎣⎦+ ()()()()()()()
314303f x a f a f x a f x a a f a f x a +-++=+--==⎡⎤⎣⎦--+ 可见仍有()()4f x a f x +=
综上所述，()f x 为周期函数，4a 是一个周期。
（3）先证()f x 在区间(]0,2a 上是减函数。
事实上，任取1x ，2x 满足1202x x a <<≤，则2102x x a <-<，又有
()()()24220f a f a a f a =+-=-=⎡⎤⎣⎦，
根据题设条件①，③，有()10f x >，()20f x ≥，且
()()()()
()2121121
0f x f x f x x f x f x ⋅+=->-，故
()()12f x f x >，知()f x 在区间(]0,2a 上是减函数。
当()2,4x a a ∈时，又任取3x ，4x ，满足3424a x x a <<<，则340222x a x a a <-<-<，有
()()34220f x a f x a ->->，()()()
1
222f x f x a a f x a =-+=-⎡⎤⎣⎦-
()()()()()()
34344311
2211
22 0
f x f x f x a f x a f x a f x a ∴-=-
--=
+
--> 所以，()f x 在()2,4a a 内也是减函数。
虽然，由上述推导过程知，对于任意的1204x x a <<<，总有()()12f x f x >，即()f x 在区间()0,4a 内是减函数。
3. 解：由条件知函数()f x 是顶点为30,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，
对称轴为0x =，开口向下的抛物线，在区间[],a b 上的最小值为2a ，最大值为2b ，对区间[],a b 的位置分别讨论如下：
（1）若0a b ≤<，则()f x 在区间[],a b 上单调递减，故满足
()()22f a b f b a ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
，即22113
22211322
2a b b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 解得1a =，3b =，∴区间[][],1,3a b =。
（2）若0a b <<，则()f x 在[],0a 上单调递增，在[]0,b 上单调递减，故()13022f b ==
，即13
4
b =。
由0a <，故20a <，而()2
1131339
024232f b ⎛⎫=-⨯+=
> ⎪⎝⎭，所以()f x 在x a =时取最小值2a ，即2113222a a =-+
，解得2a =-[
]13,24a b ⎡
⎤=-⎢⎥⎣
⎦。
（3）若0a b <≤，则()f x 在区间[],a b 上单调递增，即()()22f a a f b b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
，即22113
22211322
2a a b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，由于方程21
13
2022
x x +-
=两根相异，故满足0a b <<的区间不存在。
故所求区间[],a b 为[]1,3或13217,
4⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦。
4. 证明：因为()f x 在[]0,1上连续，所以()f x 在[]0,1上有最大值和最小值。
不妨设最大值
()1M f t =，最小值()2m f t =，[]12,0,1t t ∈。
（1） 当121
2t t -≤时，()()()()12121212f x f x f t f t t t -≤-<-≤，所以()()1212
f x f x -< 。
（2） 当1212t t ->时，若12t t <，即2112
t t ->
， ()()()()
()()()()()()()()()121212121221 =01 01 0111 2
f x f x f t f t f t f f f t f t f f f t t t t t -≤--+-≤-+-<-+-=--<
若21t t <，同样可得()()1212
f x f x -<。
由（1）（2）可知，对任意不相等的[]12,0,1x x ∈，都有()()121
2
f x f x -<。
