§1.1--正弦定理导学案

§1.1 正弦定理导学案

一．学习目标：

1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用

2、探究三角形的面积公式,能根据条件判断三角形的形状

,能根据条件判断某些三角形解的个数.

3、激情投入，高效学习，体验灵活运用公式的快乐。

二、问题导学：

阅读课本P2—P4面回答下面的问题

1、 在初中我们学习的直角三角形和等边三角形的边角之间存在这样的数量关系：

sin sin a b A B =

sin c C

=，那么这个优美的关系式，对其他的三角形成立吗？

2、 在课本中又是如何证明“正弦定理”的？你还有其他的证明方法吗？

3、 “正弦定理”有什么作用？运用正弦定理能够解决什么样的三角形问题？

4、 正弦定理的得到里面体现什么数学思想在其中呢？ 三、抽象概括

正弦定理:____________________________________________________________ ___________________________________________

四、一般地，把三角形的三个角C B A ,,和它们所对的边c b a ,,叫做三角形的 ，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做 。 【预习自测】

1、已知ΔABC 中已知A=600，B=300，a=3；求边b=（ ）。 A 、 3 B 、 2 C 、 3 D 、 2

2、在ABC 中，一定成立的是 A 、cos cos a A b B = B 、sin sin a A b B = C 、sin sin a B b A = D 、cos cos a B b A =

3、在△ABC 中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则=c b a :: .

五、新课讲解：（正弦定理推导）

在ABC Rt ∆中，设 90=C ，则

1sin ,sin ,sin ===

C c b B c a A ，即：C c

c B b c A a c sin ,sin ,sin =

==, C

c

B b A a sin sin sin =

=。

方法一：作辅助线

问题一：对于一般的三角形，上述关系式是否依然成立呢？

方法二: 用三角形的面积公式推导 问题二：三角形的面积如何表示？

先作出三边上的高CF BE AD ,,，则A b CF C a BE B c AD sin ,sin ,sin ===。 所以A bc B ac C ab S ABC sin 2

1sin 2

1sin 2

1===∆，每项同除以abc 2

1即得：

C

c

B b A a sin sin sin ==

六、例题讲解：

例1、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ， 30=∠C ，10=c ，解此三角形。 例2、已知：在ABC ∆中， 45=∠A ，6=AB ，2=BC ，解此三角形。 七、合作探究

例1

（1） 在三角形ABC 中，已知A= 45，B= 30,,2=a 解三角形；

（2） 已知在三角形中，,105,8,7 ===A b a 求解三角形； （3） 已知在三角形中，,30,6,32 ===A b a 求解三角形；

思考：

1、 通过以上例题你的发现正弦定理适合解什么类型的三角形问题？

2、 如何判断三角形的解的个数呢？

例2 探究一

在直角三角形ABC 中，斜边AB 是三角形ABC 外接圆的直径（设直角三角形ABC 的外接圆的半径为R ），因此sin sin a b A B =

sin c C

==2R ，那么这个结论对任意的三角形能否成

立呢？

正弦定理中对应的边与其角的正弦值之比为常数。

以半径为R 作一圆，然后作一圆内接ABC ∆，过点A 作圆的直径AD, 可得 90=∠ACD ，且D B ∠=∠，故在ACD Rt ∆中有R D

b

2sin =, 即

R B b 2sin =，同理可得R C

c A a 2sin sin == 由此，正弦定理可拓展为：

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB

C ∆外接圆半径） 探究结果：正弦定理常用的变形公式

(1) __________________________________________________________

D

B

A

(2)___________________________________________________________

(3)_____________________________________________________________ (4)____________________________________________________________ (5)____________________________________________________________

【基础检测】当堂达标练习，（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1、已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（ ）。 A 8 B 4 C 43-3 D 83-8

2、在ABC ∆中，三个内角之比3:2:1::=C B A ，那么c b a ::等于

3、在△ABC 中，若

c =60C =︒，a =

A = ．

4、已知在△ABC 中，c=10，∠A=45°，∠C=30°，则b=___________. 【能力提升】可供学生课外做作业

1、已知060,12,11===B c b 则三角形ABC 有（ ）解 A 一 B 两 C 无解

2、在ABC ∆中， B=1200 C=300 a=5 ,则此三角形的最大边长为

3、已知在ABC ∆中，AB=6，A=300，B= 0120,解此三角形。

4、在A B C ∆中，

C B 、、角A 所对的边分别是c b a ,,,若,2cos sin ,2,2=+==B B b a 解三角形。

八、我的学习总结：

（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结