大题专项强化练六
数列(B组)
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1.在数列{a n}中，a1=1
2，其前n项和为S n，且S n=a n+1-1
2
(n∈N*).
(1)求a n，S n.
(2)设b n=log2(2S n+1)-2，数列{c n}满足c n·b n+3·b n+4=1+(n+1)(n+2)·2b n，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n>2n+1-1
504
成立的最小正整数n的值.
【解析】(1)由S n=a n+1-1
2，得S n-1=a n-1
2
(n≥2)，
两式作差得：a n=a n+1-a n，即2a n=a n+1(n≥2)，
所以a n+1
a n
=2(n≥2)，
又a1=S1=a2-1
2
，
得a2=1，所以a2
a1
=2，
所以数列{a n}是首项为1
2
，公比为2的等比数列，
则a n=1
2·2n-1=2n-2，S n=a n+1-1
2
=2n-1-1
2
.
(2)b n=log2(2S n+1)-2=log22n-2=n-2，
所以c n ·b n+3·b n+4=1+(n+1)(n+2)·2b n ， 即c n (n+1)(n+2)=1+(n+1)(n+2)·2n-2， c n =
1(n+1)(n+2)
+2n-2=
1
n+1-
1
n+2
+2n-2，
T n =(12
−13)+(13
−14
)+…+(1
n+1
−
1n+2
)+(2-1+20+…+2n-2)
=1
2-1
n+2
+
1
2
(1−2n )1−2
=12-
1
n+2-12
+2n-1=2n-1-
1
n+2
.
由4T n >2n+1
-1
504，得
4(2n−1
−
1
n+2
)>2n+1
-
1
504
，
即
4
n+2<1
504
，n>2014.
所以使4T n >2n+1-1504
成立的最小正整数n 的值为2015.
2.a i (i=1，2，…，n)，a 1=(1，1)，a n =(x n ，y n )=12
(x n-1-y n-1，x n-1+y n-1)(n ≥2) (1)证明：数列{|a n |}是等比数列.
(2)设θn 表示向量a n-1与a n 间的夹角，若b n =2n θn -1，S n =b 1+b 2+…+b n ，求S n . (3)设c n =|a n |·log 2|a n |，问数列{c n }中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)根据题意，
得|a n |=1
2
√(x n−1−y n−1)2+(x n−1+y n−1)2
=
√22√x n−12+y n−12
=√2
2
|a n-1|， 所以数列{|a n |}是等比数列.
(2)因为cos θn =
=12(x 2
+y 2)√22(x n−1
+y n−1)=√22，
所以θn =π
4， 所以b n =
n π2-1，
所以S n =(12
π−1)+(22
π−1)+…+(n 2
π−1) =π
4(n 2+n)-n.
(3)结论：数列{c n }中存在最小项，最小项为c 5=-3
2
·2−3
2
.
理由如下：
因为|a n |=√2(√2
2
)n−1=22−n 2，
所以c n =
2−n 2
·2
2−n
2，
假设数列{c n }中的第n 项最小，由c 1=√22
，c 2=0，可知0≤c 22−n 2
·2
2−n 2≤2−(n+1)2
·2
2−(n+1)2，即2−n 1−n
≥2
−1
2，
所以(
2−n 1−n
)2≥1
2
，所以n 2-6n+7≥0，
解得n ≥3+√2或n ≤3-√2(舍)， 所以当n=5时，即有c 5故数列{c n }中存在最小项，最小项为c 5=-3
2
·2−3
2
.
