高考数学大题专项强化练六

【高考数学 大题每日强化训练】(6)1.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2,2sin 3sin2c b A C ==. （1）求sin C ；（2）若ABC 的面积为372，求AB 边上的中线CD 的长.2.定义:在数列{}n a 中,若存在正整数k ,使得*N n ∀∈,都有n k n a a +=,则称数列{}n a 为“k 型数列”.已知数列{}n a 满足111n n a a +=-+. （1）证明:数列{}n a 为“3型数列”;（2）若11a =,数列{}n b 的通项公式为21n b n =-,求数列{}n n a b 的前15项和15S .3.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2PA AB ==，E 为线段PB 的中点，F 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）若直线AF 与平面P AB 25，求点P 到平面AEF 的距离．4.党的二十大已胜利闭幕，某市教育系统为深入贯彻党的二十大精神，组织党员开展了“学习二十大”的知识竞赛活动.随机抽取了1000名党员，并根据得分（满分100分）按组别[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100绘制了频率分布直方图（如图），视频率为概率.（1）若此次活动中获奖的党员占参赛总人数20%，试估计获奖分数线；（2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从得分不低于80的党员中随机抽取7名党员，再从这7名党员中随机抽取3人，记得分在[]90,100的人数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望.5.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆E ：()2224x y ++=和定点()2,0F ，P 为圆E 上的动点，线段PF 的垂直平分线与直线PE 交于点Q ，设动点Q 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与x 轴正半轴交于点A ，过点()(),011T t t -<<的直线l 与曲线C 交于点M ，N （异于点A ），直线MA ，NA 与直线x t =分别交于点G ，H .若点F ，A ，G ，H 四点共圆，求实数t 的值.6.已知函数()()2e cos ln 1xf x ax x x =---+. （1）若1a =，求证；函数()f x 的图象与x 轴相切于原点；（2）若函数()f x 在区间()1,0-，()0,∞+各恰有一个极值点，求实数a 的取值范围.。

人教A版高中数学必修第二册第六章　平面向量及其应用全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则EB=( ),6.已知点O是△ABC内一点,满足OA+2OB=m OC,S△AOBS△ABC =47,则实数m=( )A.2B.-2C.4D.-47.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与DE方向相同的单位向量为i,∵AB+ BC=AC,∴i·(AB+BC)=i·AC,进而得i·AB+i·BC=i·AC,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC 的边和内角之间的等量关系为( )8.9.11.已知△ABC 的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是( )A.OA ·OB =OA ·OC =OB ·OCB.AO ·AB =12AB2C.向量AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线D.过点G 的直线l 分别与AB,AC 交于E,F 两点,若AE =λAB ,AF =μAC (λ,μ≠0),则1λ+1μ=3三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.在△ABC中,AB·AC<0,S△ABC=154,|AB|=3,|AC|=5,则∠BAC= .13.在△ABC中,BD=13BC,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设CE=x CA+y CB(x,y∈R),则6x+yxy的最小值是 .14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则1tan A -1tan B的取值范围为 .四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,c=2,cos C=-33.(1)求sin B和a的值;(2)求△ABC的面积.16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.(1)用AB与AC表示AM,并计算AM的长;(2)求∠NPM的余弦值.17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=tan Btan A+tan C.(1)求B;(2)若b=2,求a+c的最大值.18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R 处有一个路灯,经测量,点R 到区域边界PA,PB 的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R 修建一条长椅MN(点M,N 分由答案全解全析1.B ∵AD 为BC 边上的中线,∴AD =12(AB +AC ),又∵点E 为AD 的中点,∴EB =ED +DB =12AD +12CB =14(AB +AC )+12(AB -AC )=34AB -14AC .故选B.2.B 因为BD =BC +CD =5a +4b +a +2b =6a +6b ,且A,B,D 三点共线,所以存在实数λ,使得AB =λBD ,即a +m b =λ(6a +6b ),又a ,b 不共线,所以1=6λ,m =6λ,解得m=1.故选B.3.D 因为a=2ccos B,所以a=2c·a 2+c 2-b 22ac ,整理得b=c.因为ccos B+bcos C=2c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=2sin C,所以sin(B+C)=2sin C,即sin A=2sin C,所以a=2c,又a=2ccos B,所以2c=2ccos B,所以cos B=22,因为B ∈(0,π),所以B=π4,所以C=π4,A=π2,故△ABC 为等腰直角三角形.故选D.4.D 由题意得a ·b =1×1×cos π3=12,故(a +2b )·(a -b )=a 2+a ·b -2b 2=-12,|a +2b |=(a +2b )2=a 2+4a ·b +4b 2=7,|a -b |=(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1,所以cos<a +2b ,a -b >=(a +2b )·(a -b )|a +2b ||a -b |=-127×1=-714.故选D.5.D ∵O,G,H 依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴OG =12GH ,∴OG =13OH ,OH =32GH ,A 错误,B 错误;AG =AO +OG =AO +13OH =AO +13(AH -AO )=2AO +AH3,C 错误;BG =BO +OG =BO +13OH =BO +13(BH -BO )=2BO +BH3,D 正确.故选D.6.D 由OA +2OB =m OC 得13OA +23OB =m 3OC ,易知m<0,设m 3OC =OD ,则13OA +23OB =OD ,∴A,B,D 三点共线,且OC ,OD 反向共线,如图所示,∵sin B=cos Asin ∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin ∠ACBcos A,即sin Acos ∠ACB+cos Asin ∠ACB=sin ∠ACBcos A,∴sin Acos ∠ACB=0,∵sin A≠0,∴cos ∠ACB=0,∴∠ACB=90°.∵AB ·AC =9,S △ABC =6,∴bccos A=9,12bcsin A=6,∴tan A=43,根据三角形ABC 是直角三角形可得sin A=45,cos A=35,∴bc=15,∴c=5,b=3,a=4.以C 为原点,AC 所在直线为x 轴,BC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,如图,则C(0,0),A(3,0),B(0,4),∴CA =(3,0),CB =(0,4).∵P 为线段AB 上一点(不含端点),∴存在实数λ,使得CP =λCA +(1-λ)CB =(3λ,4-4λ)(0<λ<1).易得CA |CA |=(1,0),CB |CB |=(0,1),∴CP =x·CA|CA |+y·CB|CB |=(x,0)+(0,y)=(x,y),∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x ∈(0,3),y ∈(0,4).则1x +1y =112(4x+3y)++3y x+≥712+112×23y x ·4x y =7+4312,当且仅当3y x =4xy,即x=12-63,y=83-12时,等号成立,故1x +1y 的最小值为7+4312.故选D.9.BD A 选项,2a +b =(2n+1,3+m)=(2,6),则2n +1=2,3+m =6,解得m =3,n =12,则a ,2,b =(1,2),所以不存在实数λ,使b =λa ,即a ,b 不共线,A 错误;B 选项,若a =-2b ,则n =−2,2=−2(m -1),解得m =0,n =−2,所以b =(1,-1),|b |=12+(−1)2=2,所以与b 同向的单位向量为b|b |=正确;C 选项,当n=1时,a =(1,2),因为a 与b 的夹角为锐角,所以a ·b =1×1+2×(m -1)>0,m -1≠2,解得m>12,且m≠3,故m ,3∪(3,+∞),C 错误;D 选项,若a ⊥b ,则a ·b =n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,所以z=2n +4m =2n +22m ≥22n ·22m =222m +n =4,当且仅当2n =22m ,即n=2m=1时,等号成立,D 正确.故选BD.10.BD 对于A,CA ·AB =|CA |·|AB |cos(π-A)=-bccos A=-1,A 错误;对于B,|AC -t AB |2=AC 2-2t AC ·AB +t 2AB 2=b 2-2tbccos A+t 2c 2=4-2tc+t 2c 2=3+(1-tc)2≥3,当且仅=|AB ||BC |cos(|AB |cos B +|AC ||BC |cos |AC |cos C=-|BC |+|BC |=0,所以AB|AB |cos B +AC|AC |cos C与BC 垂直,又因为AH⊥BC ,所以AH 与AB|AB |cos B +AC|AC |cos C共线,故C 中结论正确;如图,取BC 的中点D,连接AD,则G 为AD 上靠近D 的三等分点,所以AG =23AD =13(AB +AC )=13λAE +13μAF ,因为E,G,F三点共线,所以13λ+13μ=1,故1λ+1μ=3,故D 中结论正确.故选BCD.12.答案　5π6解析　因为AB ·AC =|AB ||AC |cos ∠BAC<0,所以∠BAC>π2,因为S △ABC =12|AB |·|AC |sin ∠BAC=12×3×5sin ∠BAC=154,所以sin ∠BAC=12,故∠BAC=5π6.13.答案　16解析　因为BD =13BC ,所以CB =32CD ,因为CE =x CA +y CB ,所以CE =x CA +32y CD ,又因为A,D,E 三点共线,所以x+32y=1,x>0,y>0,则6x +y xy =6y +1x =++32y =6x y +3y2x +10≥26x y ·3y2x+10=16,=3y2x,32y =1,即x =14,y =12时,等号成立,所以6x +yxy 的最小值是16.14.答案　1,解析　因为b 2-a 2=ac,b 2=a 2+c 2-2accos B,所以ac=c 2-2accos B,所以a=c-2acos B,由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),因为△ABC 为锐角三角形,所以A,B ∈0,所以B-A ∈-π2所以A=B-A,所以B=2A,C=π-3A.由A,B,C ∈0,可得A 故B 1tan A -1tan B =cos A sin A -cos B sin B =sin B cos A -cos B sin A sin A sin B =sin(B -A )sin A sin B =sin A sin A sin B =1sin B,∴|BN |2-AB 2=14AC 2+AB 2-AC ·AB =14×62+22-6=7,∴BN=7.(12分)∵AM =14AC +34AB ,BN =12AC -AB ,∴AM ·BN =-AB =18AC 2-34AB 2+18AC ·AB =94,(14分)∴cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)解法二:(1)以点A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,3),C(6,0),∵AC 边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)∵M 为BC 边上靠近B 的四等分点,∴分)设AM =x AC +y AB (x,y ∈R ),,=x(6,0)+y(1,3),y =94,=334,解得x =14,y =34,所以AM =14AC +34AB ,|AM |==332,即AM 的长为332.(9分)(2)易知∠NPM 为向量AM 与BN 的夹角,∴cos ∠NPM=AM ·BN |AM ||BN |,易知AM =,BN =(2,-3),(12分)则AM ·BN =94×2+334×(-3)=94,|BN |=7,(14分)故cos ∠NPM=AM ·BN|AM ||BN |=94332×7=2114.(15分)17.解析　(1)因为2cos Acos C=tan Btan A +tan C ,所以2cos Acos Csin A cos A +sin Ccos C=sin Bcos B ,即2cos Csin A+2cos Asin C=sin Bcos B ,所以2sin(A+C)=sin Bcos B ,(4分)又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=12,(7分)因为B ∈(0,π),所以B=π3.(9分)(2)由余弦定理的推论得cos B=a 2+c 2-b 22ac =(a +c )2-2ac-b 22ac ,即(a +c )2-2ac-42ac=12,故(a+c)2-4=3ac,(12分)因为ac≤14(a+c)2,所以(a+c)2-4≤34(a+c)2,解得0<a+c≤4,当且仅当a=c=2时,等号成立,故a+c 的最大值为4.(15分)18.解析　(1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT 中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,∴S △PMN =34PM·PN≥34×128=323,故当PM 为83时,三角形PMN 的面积最小,最小面积为323.(17分)19.解析　(1)g(x)=sin x x =sin xcos 5π6+cos xsin 5π6+cos x=-32sin x+32cos x,∴g(x)的相伴特征向量OM =-32,分)(2)向量ON =(1,3)的相伴函数为f(x)=sin x+3cos x,令f(x)=sin x+3cos x=85,即2sin x =85,∴sin x +=45.∵x ∈-π3,∴x+π3∈0,∴cos x +=35,∴sin x=sin x +=12sin x -32cos x +=4−3310.(5分)(3)假设存在满足条件的点P.∵h(x)=msin x =32msin x-12mcos x,OT =(-3,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,∴=2cos x2.(7分)设P x ,2cos∵A(-2,3),B(2,6),∴AP =x +2,2cos x 2-3,BP =x -2,2cos x 2-6,∵AP⊥BP ,∴AP ·BP =0,∴(x+2)(x-2)+2cos x 2-32cos x 2-6=0,即x 2-4+4cos 2x2-18cos x 2+18=0,(9分)∴2cos x 2=254-x 2,∵-2≤2cos x 2≤2,∴-132≤2cos x 2-92≤-52,∴254≤2cos x 2≤1694.又∵254-x 2≤254,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得AP⊥BP .(17分)。

考前强化练6 解答题组合练B1.(2019山东临沂高三三模,文)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin(B+C)+2cos+B cos C=0.(1)求证:B=C;(2)若cos A=,△ABC的外接圆面积为,求△ABC的周长.2.△ABC中的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知.(1)求角B;(2)若b=,求△ABC面积的最大值.3.(2019黑龙江哈尔滨三中高三四模,理19)2019年4月,甲、乙两校的学生参加了某考试机构举行的大联考,现对这两校参加考试的学生的数学成绩进行统计分析,数据统计显示,考生的数学成绩X 服从正态分布N(110,144),从甲、乙两校100分及以上的试卷中用系统抽样的方法各抽取了20份试卷,并将这40份试卷的得分制作成如图所示的茎叶图:(1)试通过茎叶图比较这40份试卷的两校学生数学成绩的中位数;(2)若把数学成绩不低于135分的记作数学成绩优秀,根据茎叶图中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关?(3)从所有参加此次联考的学生中(人数很多)任意抽取3人,记数学成绩在134分以上的人数为ξ,求ξ的数学期望.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<x≤μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4.参考公式与临界值表:K2=-,其中n=a+b+c+d.4.(2019山东安丘、诸城、五莲、兰山高三联考)某手机公司生产某款手机,如果年返修率不超过千分之一,则生产部门当年考核优秀,现获得该公司2010~2018年的相关数据如下表所示:(1)从该公司2010~2018年的相关数据中任意选取3年的数据,以X表示3年中生产部门获得考核优秀的次数,求X的分布列和数学期望;(2)根据散点图发现2015年数据偏差较大,如果去掉该年的数据,试用剩下的数据求出年利润y(千万元)关于年生产量x(万台)的线性回归方程(精确到0.01).[附部分计算数据:y i=6.2,=509,x i y i=434.1.]附:年返修率=年返修量 台年生产量 台;线性回归方程x+中,-----x.5.(2019湖北十堰高三调研,理21)已知函数f(x)=ln x.(1)当a>0时,讨论函数F(x)=x2-(6+a)x+2af(x)的单调性;(2)设函数g(x)=,若斜率为k的直线与函数y=g'(x)的图象交于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,证明:x1<<x2.6.(2019山东栖霞高三模拟,理21)设函数f(x)=x ln x-a e x,其中a∈R,e是自然对数的底数.(1)若f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点,求a的取值范围;(2)若a≥,证明:f(x)<0.参考答案考前强化练6解答题组合练B1.(1)证明∵sin(B+C)+2cos+B cos C=0,∴sin(B+C)-2sin B cos C=0.∴sin B cos C+cos B sin C-2sin B cos C=0.∴cos B sin C-sin B cos C=0.∴sin(B-C)=0.∴B=C.(2)解设△ABC的外接圆半径为R,由已知得πR2=,∴R=∵cos A=,0<A<π,∴sin A=∴a=2R sin A=4.∵B=C,∴b=c.由a2=b2+c2-2b ·cos A,得16=2b2-b2,解得b=2,∴a+b+c=4+4.∴△ABC的周长为4+4.2.解(1)利用正弦定理,得=1+,即sin(B+C)=cos C sin B+sin C sin B,∴sin B cos C+cos B sin C=cos C sin B+sin C sin B,∴cos B sin C=sin C sin B,又sin B≠0,∴tan B=1,B=(2)由(1)得B=,由余弦定理可得:b2=a2+c2-2ac cos B,则有2=a2+c2-ac,即有2+ac=a2+c2,又由a2+c2≥ ac,则有2+ac≥ ac,变形可得:ac=2+,则S=ac sin B=ac即△ABC面积的最大值为3.解(1)由茎叶图可知:甲校学生数学成绩的中位数为=131.5,乙校学生数学成绩的中位数为=128.5,所以比较这40份试卷的成绩,甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的中位数高. (2)由题意,作出2×2列联表如下:计算得K2的观测值0.9207<2.706,k= 0 0- 00 0所以在犯错误的概率不超过0.100的前提下认为数学成绩在100分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关.(3)因为X~N(110,144),所以μ=110,σ==12,所以P(86<X≤ =0.9544,所以P(X>134)=-0 =0.0228,由题意可知ξ~B(3,0.0228),所以Eξ=3×0.0228=0.0684.4.解(1)由数据可知,2012,2013,2016,2017,2018五个年份考核优秀, 所以X的所有可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=0,P(X=1)=,P(X=2)= 0,P(X=3)=0,故X的分布列为:E(X)=0+1+2 0+3(2)因为x6==7,--,-所以去掉2015年的数据后不影响的值,所以--=-0 -≈0.64.去掉2015年数据后,=7,-=6,所以=6- ≈ .52,故回归方程为:=0.64x+1.52.5.(1)解∵F(x)=x2-(6+a)x+2a ln x,∴F'(x)=3x-(6+a)+--(其中x>0).令F'(x)=0可得,x=2或x=a.①当a>2即a>6时,当x∈a,+∞∪(0,2)时,F'(x)>0,函数在(0,2),a,+∞内单调递增,当2<x<a时,F'(x)<0,函数在2,a内单调递减.②当a=6时,F'(x ≥0在(0,+∞)内恒成立,即F(x)在(0,+∞)上单调递增.③当0<a<2即0<a<6时,x∈(2,+∞)∪0,a时,F'(x)>0,函数在0,a,(2,+∞)内单调递增,在a,2内单调递减.(2)证明g(x)==x ln x,则g'(x)=1+ln x.故k=--,x1<<x2⇔x1<--<x2⇔1<-令t=(t>1),要证明x1<<x2,只要证1<-<t,由t>1可知ln t>0,故只要证明ln t<t-1<t ln t(t>1).①设h(t)=t-1-ln t,t>1,则h'(t)=1->0,故h(t)在(1,+∞)上单调递增, ∴h(t)>h(1)=0,即ln t<t-1.②设m(t)=t ln t-(t-1),t>1,则m'(t)=ln t>0,故m(t)在(1,+∞)上单调递增.∴m(t)>m(1)=0,即t-1<t ln t.综上可得,x1<<x2.6.(1)解由题意可知,x>0,f'(x)=ln x+1-a e x=0,f(x)在(0,+∞)上存在两个极值点等价于f'(x)=0在(0,+∞)有两个根,由ln x+1-a e x=0可得,a=令g(x)=,则g'(x)=--令h(x)=-ln x-1,可得h'(x)=-当x>0时,h'(x)<0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递减,且h(1)=0,当x∈(0,1)时,h(x)>0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,h(x)<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;所以x=1是g(x)的极大值也是最大值,又当x→0时,g(x →-∞,当x→+∞,g(x)大于0趋向于0,要使f'(x)=0在(0,+∞)有两个根,只需0<a<g(1),所以a的取值范围为0<a<(2)证明f(x)<0即x ln x-a e x<0,等价于ln x-<0.令F(x)=ln x-,F'(x)=---当0<x≤ 时,F'(x)>0,单调递增,所以F(x ≤F(1)=-a e<0.当x>1时,F'(x)=--e x--,令G(x)=e x--,G'(x)=e x+->0.又G(2)=e2--0∵a,取m∈(1,2),且使->e2,即1<m<-,则有G(m)=e m--<e2-e2=0.因为G(m)G(2)<0,故G(x)存在唯一零点x0,x0∈(1,2), 即F(x)有唯一的极值点且为极小值点x0∈(1,2).由G(x0)=0可得,000-,故F(x0)=ln x0-0-因为F'(x0)=00->0,故F(x0)在(1,2)内为增函数,所以F(x0)<F(2)=ln2-ln2-1<0∵a.综上,当a时,总有f(x)<0.。

题型强化练6 模拟综合练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020北京平谷二模,1)已知集合A={-1,0,1},B={x|x 2<1},则A ∪B=( )A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{x|-1≤x ≤1}D.{x|x ≤1}2.(2020山东潍坊二模,2)若复数z=a+i 1-i 在复平面内对应的点在第二象限内,则实数a 的值可以是( )A.1B.0C.-1D.-2 3.(2020湖南大学附属中学模拟,5)已知函数f (x )的图象如图所示,则函数f (x )的解析式可能是( )A.f (x )=(4x +4-x )|x|B.f (x )=(4x -4-x )log 4|x|C.f (x )=(4x +4-x )lo g 14|x| D.f (x )=(4x +4-x )log 4|x|4.(2020山东济南三模,5)“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值,其计算方法是将每一期增长量相加后,除以期数,即∑i=2n (a i -a i -1)n -1.国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标,下表是我国2015—2019年GDP 数据.根据表中数据,2015—2019年我国GDP 的平均增长量为( )A.5.03万亿B.6.04万亿C.7.55万亿D.10.07万亿5.(2020山东师大附中高三打靶题,5)已知定义在R 上的函数f (x )=x ·2|x|,a=f (log 3√5),b=-f (log 312),c=f (ln 3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b 6.(2020浙江新高考名校高三联考,7)数学与文学之间存在着奇妙的联系,诗中有回文诗,如“山东落花生花落东山,西湖回游鱼游回湖西”,倒过来读,仍然是原句.数学上也有这样一类数,如66,202,3 773,34 543,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数,我们称这样的数为“回文数”,现用数字1,2,3,4组数(可重复用),则组成的五位“回文数”的个数为( )A.24B.28C.48D.647.(2020北京怀柔高三适应性训练,10)“割圆术”是我国古代计算圆周率π的一种方法.在公元263年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,进而求π.当时刘徽就是利用这种方法,把π的近似值计算到3.141 5和3.141 6之间,这是当时世界上对圆周率π的计算最精确的数据.为此,刘徽把它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.根据“割圆术”,若用正二十四边形来估算圆周率π,则π的近似值是( )(精确到0.01)(参考数据sin 15°≈0.258 8)A.3.05B.3.10C.3.11D.3.148.(2020山东潍坊二模,8)已知O 为坐标原点,双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 的一条渐近线交于点A (点A 在第一象限),点B 在双曲线C 的渐近线上,且BF ∥OA ,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为( )A.2√33B.√2C.√3D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.下图是某省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图.某省新冠肺炎每日新增确诊病例变化曲线图若该省从1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增确诊人数按日期顺序排列构成数列{a n },{a n }的前n 项和为S n ,则下列说法中错误的是( )A.数列{a n }是递增数列B.数列{S n }是递增数列C.数列{a n }的最大项是a 11D.数列{S n }的最大项是S 1110.已知△ABC 的面积为3,在△ABC 所在的平面内有两点P ,Q ,满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2QB⃗⃗⃗⃗⃗ ,记△APQ 的面积为S ,则下列说法正确的是( )A.PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CQ ⃗⃗⃗⃗⃗B.BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ >0 D.S=411.(2020山东菏泽一模,11)已知函数f (x )=A sin(ωx+4φ)(A >0,ω>0,0<φ<π8)的部分图象如图所示,若将函数f (x )的图象纵坐标不变,横坐标缩短到原来的14,再向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,则下列命题正确的是( )A.函数f (x )的解析式为f (x )=2sin 12x+π6B.函数g (x )的解析式为g (x )=2sin (2x -π6) C.函数f (x )图象的一条对称轴是直线x=-π3 D.函数g (x )在区间[π,4π3]上单调递增12.(2020山东威海一模,12)设函数f (x )=2cos 2x -2-cos 2x ,则( )A.f (x )在(0,π2)内单调递增 B.f (x )的值域为[-32,32]C.f (x )的一个周期为πD.f (x +π4)的图象关于点(π4,0)对称。

专项强化练(六) 解三角形A 组——题型分类练题型一 正弦定理和余弦定理1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C ＝________．解析：由正弦定理得sin A sin C ＝a c ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.答案：12．在锐角△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4.若△ABC 的面积为33，则BC 的长是________．解析：因为S △ABC ＝12AB ·AC sin A ，所以33＝12×3×4×sin A ，所以sin A ＝32，因为△ABC 是锐角三角形，所以A ＝60°，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，解得BC ＝13.答案：133．已知在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝2，角B 的平分线BD ＝3，则BC ＝________． 解析：在△ABD 中，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝BDsin A ，∴sin ∠ADB ＝AB ·sin A BD ＝22，∴∠ADB ＝45°， ∴∠ABD ＝15°，∴∠ABC ＝30°，∠ACB ＝30°， ∴AC ＝AB ＝ 2.在△ABC 中，由余弦定理得BC ＝ AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝ 6.答案： 64．在斜三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若1tan A ＋1tan B ＝1tan C ，则abc 2的最大值为________．解析：由1tan A ＋1tan B ＝1tan C 可得，cos A sin A ＋cos B sin B ＝cos Csin C ， 即sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin （B ＋A ）sin A sin B ＝cos Csin C ，即sin C sin A sin B ＝cos Csin C，∴sin 2C ＝sin A sin B cos C . 根据正弦定理及余弦定理可得，c 2＝ab ·a 2＋b 2－c 22ab，整理得a 2＋b 2＝3c 2.∴ab c 2＝ab a 2＋b 23＝3ab a 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32， 当且仅当a ＝b 时等号成立． 答案：32[临门一脚]1．正弦定理的应用：(1)已知两角和任意一边，求其它两边和一角；(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角． 2．利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．3．要注意运用a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B 对所求角的限制，控制解的个数．4．对边、角混合的问题的处理办法一般是实施边、角统一，而正弦定理、余弦定理在实施边和角相互转化时有重要作用，如果边是一次式，一般用正弦定理转化，如果边是二次式，一般用余弦定理．5．对“锐角三角形”的概念要充分应用，必须三个角都是锐角的三角形才是锐角三角形，防止角范围的扩大．题型二 解三角形的实际应用1.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点的距离为________m.解析：∠B ＝180°－∠ACB －∠CAB ＝30°，由正弦定理得，AB ＝AC ·sin ∠ACBsin B＝50×2212＝502(m)．答案：50 22．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是________．解析：∵AD 2＝602＋202＝4 000，AC 2＝602＋302＝4 500.在△CAD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∴∠CAD ＝45°. 答案：45°3.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：依题意得OD ＝100米，CD ＝150米，连接OC ，易知∠ODC ＝180°－∠AOB ＝60°，因此由余弦定理有OC 2＝OD 2＋CD 2－2OD ·CD ·cos ∠ODC ，即OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，∴OC ＝507(米)． 答案：507 [临门一脚]1．理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等． 2．测量问题和追击问题关键是构建三角形，利用正余弦定理研究．3．几何图形中长度和面积的最值问题的研究关键是选好参数(边、角或者建立坐标系)，构建函数来研究，不要忽视定义域的研究．B 组——高考提速练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于________．解析：∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，又∵0°<A <180°，∴A ＝60°. 答案：60°2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有________个．解析：∵a sin A ＝b sin B ，∴sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°，∴sin B ＝223.又∵a <b ，∴B 有两个．答案：23．(2022·靖江中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b sin B －a sin A ＝12a sinC ，且△ABC 的面积为a 2sin B ，则cos B ＝________．解析：由b sin B －a sin A ＝12a sin C ，结合正弦定理，得b 2－a 2＝12ac ，又S △ABC ＝12ac sin B ＝a 2sin B ，得c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝4a 2－12×2a24a 2＝34. 答案：344.如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile ，则此船的航行速度是________n mile/h.解析：在△ABS 中，由正弦定理，有AB sin ∠ASB ＝BSsin A ，∴AB ＝42sin （75°－30°）sin 30°＝8，故此船的航行速度是8÷12＝16(n mile/h)．答案：165．(2022·无锡期初检测)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2sin B ＝sin A ＋sin C ，cos B ＝35且S △ABC ＝4，则b 的值为________．解析：因为2sin B ＝sin A ＋sin C ，由正弦定理得a ＋c ＝2b ，又由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝3b 2－2ac 2ac ＝35，由S △ABC ＝4得12ac sin B ＝12ac ×45＝4，所以ac ＝10，所以3b 2－2020＝35，解得b ＝463. 答案：4636．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析：由sin B ＋cos B ＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝1，所以B ＋π4＝π2，B ＝π4，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a ·sin Bb＝2×222＝12.又因为b >a ，所以B >A ，所以A ＝π6. 答案：π67．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，其中c cos ∠BAC ＋a cos ∠ACB ＝6，b 2＋c 2－a 2＝72bc ，O 为△ABC 内一点，且满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∠BAO ＝30°，则|OA ―→|＝________． 解析：因为b 2＋c 2－a 2＝72bc ，所以cos ∠BAC ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝74，所以sin ∠BAC ＝1－cos 2∠BAC ＝34.又OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，所以O 为△ABC 的重心．因为c cos ∠BAC ＋a cos ∠ACB ＝6，所以b ＝6.取BC 的中点D ，连接OD ，由∠BAO＝30°，得∠BAD＝30°， 所以S △BAD ＝12BA ×AD sin ∠BAD ＝12×12BA ×AC sin ∠BAC ，所以AD ＝12×AC ×sin ∠BAC sin ∠BAD ＝12×6×3412＝92，所以|OA ―→|＝23AD ＝3.答案：38.如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)解析：过A 作BC 边上的高AD ，D 为垂足．在Rt △ACD 中，AC ＝92，在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝ACsin ∠ABC ×sin∠BAC ＝92sin 67°×sin 37°≈920.92×0.60＝60(m)．答案：609．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA ―→·CB ―→的最大值为________．解析：因为AB ＝3，C ＝π3，设角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，所以由余弦定理得3＝a 2＋b 2－2ab cosπ3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，当且仅当a ＝b ＝3时等号成立，又CA ―→·CB ―→ ＝ab cos C ＝12ab ，所以当a ＝b ＝3时，(CA ―→·CB ―→)max ＝32.答案：3210．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tanC ＝________.解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，由面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)．答案：－4311．(2022·如东中学模拟)在△ABC 中，A ＝2π3，AB ＝3，D 是BC 上靠近点C 的三等分点，且AD ＝1，则AC ＝________.解析：法一：设BD ＝2x ，DC ＝x ，AC ＝y ，x >0，y >0，在△ABD 和△ADC 中由余弦定理得，x 2＋1－y 22x ＋4x 2＋1－34x＝0，化简得y 2＝3x 2.在△ABC 中，由余弦定理知9x 2＝3＋y 2＋3y ，联立方程得⎩⎨⎧y 2＝3x 2，9x 2＝3＋y 2＋3y ，所以⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，故AC ＝ 3.法二：由题意知AD ―→＝13AB ―→＋23AC ―→，两边平方得AD 2＝19×AB 2＋49×AC 2＋2×29AB ×AC ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，得2AC 2－3AC －3＝0，得AC ＝ 3.法三：以点A 为坐标原点，AC 所在的直线为x 轴建立如图所示的直角坐标系，设C (b,0)，b >0，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，32，易知BD ―→＝2DC ―→，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3－36，12，由AD ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b3－362＋14＝1，得b ＝3，故AC ＝ 3.答案： 312．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b －c ＝1，△ABC 的面积为3，则AB ―→·AC ―→＝________.解析：以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，因为a ＝2，所以B (1,0)，C (－1,0)，设A (x ，y )，又AC －AB ＝1<BC ，所以点A 的轨迹为以B ，C 为焦点的双曲线的右支上．又△ABC 的面积为3，所以12×2×y A ＝3，即y A ＝3，又双曲线方程为x 214－y 234＝1，代入可得x A ＝52，所以AB ―→·AC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－3＝54－1＋3＝134.答案：13413．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ，则C ＝________.解析：因为a 2＝3b 2＋3c 2－23bc sin A ＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2bc ＝3sin A －cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6.又b 2＋c 2bc ＝b c ＋cb≥2b c ·c b ＝2(当且仅当b ＝c 时取等号)，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6≤2，当且仅当A ＝2π3时取等号，故b 2＋c 2bc ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝2，所以b ＝c ，A ＝2π3，故C ＝π6.答案：π614．(2022·海安中学模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，3a 2＝b 2＋3c 2，则tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A 的最小值为________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a22bc＝b 2＋c 2－⎝⎛⎭⎪⎫c 2＋13b 22bc＝b3c，由正弦定理得，cos A ＝sin B3sin C，即3cos A ·sin C ＝sin A cos C ＋cos A sin C ，2cos A sin C ＝sin A cos C ，tan A ＝2tan C ，所以tan B ＝－tan(C ＋A )＝tan C ＋tan A tan C tan A －1＝3tan C 2tan 2C －1，易知tan C >0，又B 为锐角，所以2tan 2C －1>0，所以tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝3tan C tan B ＋2tan 2C ＝9tan 2C 2tan 2C －1＋2tan 2C ＝112＋922tan 2C －1＋(2tan 2C －1)≥112＋2922tan 2C －1·2tan 2C －1＝11＋622，当且仅当tan 2C ＝32＋24时等号成立．答案：11＋622。

强化训练6 数列中的综合问题1．(2020·东三省四市模拟)等比数列{a n }中，a 5，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则a 3·a 9等于( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4答案 B解析 ∵a 5，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，∴a 5，a 7是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，∴a 5·a 7＝3，由等比数列的性质可得a 3·a 9＝a 5·a 7＝3.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110答案 D解析 ∵a 7是a 3与a 9的等比中项，∴a 27＝a 3a 9，又数列{a n }的公差为－2，∴(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)，解得a 1＝20，∴a n ＝20＋(n －1)×(－2)＝22－2n ，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×(20＋2)＝110. 3．若等差数列{a n }的公差d ≠0且a 1，a 3，a 7成等比数列，则a2a1等于( ) A.32 B.23 C.12D ．2 答案 A解析 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 7＝a 1＋6d .因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d .所以a2a1＝2d ＋d 2d ＝32. 4．某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的改建费用高42万元，第七实验室比第四实验室的改建费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元．则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要( )A ．3 233万元B ．4 706万元C ．4 709万元D ．4 808万元答案 C解析 设每个实验室的装修费用为x 万元，设备费为a n 万元(n ＝1,2,3，…，10)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a5－a2＝42，a7－a4＝168，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a1q4－a1q ＝42，a1q6－a1q3＝168，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝3，q ＝2.故a 10＝a 1q 9＝1 536. 依题意x ＋1 536≤1 700，即x ≤164.所以总费用为10x ＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝10x ＋3(1－210)1－2＝10x ＋3 069≤4 709. 5．(2021·重庆模拟)某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品，计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从( )年开始这家加工厂年获利超过60万元，已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1( )A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年 答案 C解析 由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为a n (n ∈N *)万元，则数列{a n }为等比数列，其中2019年的获利为首项，即a 1＝20.2020年的获利为a 2＝20·(1＋20%)＝20×65(万元)， 2021年的获利为a 3＝20×(1＋20%)2＝20·⎝⎛⎭⎫652(万元)，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝20·⎝⎛⎭⎫65n －1(n ∈N *)， 由题意可得a n ＝20·⎝⎛⎭⎫65n －1>60，即⎝⎛⎭⎫65n －1>3， ∴n －1>65log 3＝lg 3lg 65＝lg 3lg 6－lg 5＝lg 3lg (2×3)－lg 102＝lg 32lg 2＋lg 3－1≈0.477 12×0.301 0＋0.477 1－1≈6.031 6>6，∴n ≥8，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．6．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0答案 AC解析 根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n (n －1)d 2＝－9nd ＋n (n －1)d 2＝d 2×(n 2－19n )， 则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确． 7．(2021·泰安模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋an 1－an，则a 2 021＝________. 答案 2解析 由a 1＝2，a n ＋1＝1＋an 1－an ，得a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2， 所以{a n }是周期为4的数列，因为2 021＝505×4＋1，所以a 2 021＝a 1＝2.8．(2021·江苏海头中学月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＋2S n ＋1S n ＝0，则S n ＝________.答案 12n －1解析 因为a n ＋1＝S n ＋1－S n ，则a n ＋1＋2S n ＋1S n ＝0，可化简为S n ＋1－S n ＋2S n ＋1S n ＝0，等式两边同时除以S n ＋1S n ，可得1Sn －1Sn ＋1＋2＝0，即1Sn ＋1－1Sn＝2， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1Sn 为等差数列，首项1S1＝1a1＝1，公差d ＝2， 所以1Sn＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 即S n ＝12n －1. 9．若数列{a n }中，a n ＝n2＋12n ＋2，n ∈N *，则数列{a n }中的项的最小值为________． 答案 4解析 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋12n ＋3－n2＋12n ＋2＝n2＋5n －10(n ＋2)(n ＋3)， 当n ≥2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，当n ＝1时，a 2－a 1<0，∴数列{a n }中，从a 2开始是递增的，又a 2<a 1，∴{a n }中最小项是a 2＝4.10．(2020·苏州模拟)已知等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是实数，且满足S2S42＋S239＋2＝0，则d的取值范围是________．答案 (－∞，－2]∪[2，＋∞)解析 ∵S2S42＋S239＋2＝0， ∴(2a 1＋d )(4a 1＋6d )2＋(3a 1＋3d )29＋2＝0， ∴5a 21＋10da 1＋4d 2＋2＝0，∵a 1，d ∈R ，∴Δ＝100d 2－20(4d 2＋2)≥0，解得d ≥2或d ≤－ 2.11．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 7＝14.(1)求a n 和S n ；(2)若b n ＝2na ，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝3，S 7＝14， 得⎩⎨⎧ a3＝a1＋2d ＝3，S7＝7a1＋7×(7－1)2d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝5，d ＝－1， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－n ＋6， S n ＝(a 1＋a n )n 2＝(5＋6－n )n 2＝(11－n )n 2. (2)由(1)知a n ＝－n ＋6，b n ＝2na ，得b n ＝26－n ＝26×⎝⎛⎭⎫12n ， ∴T n ＝25⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝26－26×⎝⎛⎭⎫12n ＝64－26－n . 12．(2021·南阳模拟)已知u n ＝a n ＋a n －1b ＋a n －2b 2＋…＋ab n －1＋b n (a >0，b >0，n ∈N *)．(1)当a ＝2，b ＝3时，求u n ；(2)若a ＝b ，求数列{u n }的前n 项和S n .解 (1)当a ＝2，b ＝3时，u n ＝2n ＋2n －1·3＋2n －2·32＋…＋2·3n －1＋3n (n ∈N *)，两边除以2n ，得 un 2n ＝1＋32＋⎝⎛⎭⎫322＋…＋⎝⎛⎭⎫32n －1＋⎝⎛⎭⎫32n ＝1－⎝⎛⎭⎫32n ＋11－32＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n ＋12n ＋1－1＝3n ＋12n －2， 所以u n ＝3n ＋1－2n ＋1. (2)若a ＝b ，则u n ＝(n ＋1)a n ，所以S n ＝2a ＋3a 2＋4a 3＋…＋(n ＋1)a n ，①当a ＝1时，S n ＝2＋3＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2； 当a >0，a ≠1时，在①的两边同乘以a ，得aS n ＝2a 2＋3a 3＋4a 4＋…＋(n ＋1)a n ＋1，与①式作差，得(1－a )S n ＝2a ＋a 2＋a 3＋…＋a n －(n ＋1)a n ＋1＝a ＋a (1－a n )1－a－(n ＋1)a n ＋1， 所以S n ＝a 1－a ＋a (1－a n )(1－a )2－(n ＋1)a n ＋11－a. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ n (n ＋3)2，a ＝1，a －(n ＋1)a n ＋11－a ＋a (1－a n)(1－a )2，a >0，a ≠1.13．已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，2S n ＝a 2n ＋a n ，b n ＝1(1)2221()nn n a a a +--，若k >T n 恒成立，则k 的最小值为( )A.23B.149 C ．1 D.8441答案 C解析 ∵2S n ＝a 2n ＋a n ，①且a n >0，∴当n ＝1时，2S 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1或a 1＝0(舍去)．当n ≥2时，2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，②①－②得2a n ＝a 2n ＋a n －(a 2n －1＋a n －1)，a 2n －a 2n －1－a n －a n －1＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝1，∴{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝n ，∴b n ＝1(1)2221()nn n a a a +--＝2n (2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝121－1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1<1， ∵k >T n 恒成立，∴k ≥1，即k 的最小值为1.14．(2020·长治质检)各项均为正数且公比q ＞1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 5＝4，a 2＋a 4＝5，则⎝⎛⎭⎫Sn ＋5222an 的最小值为________．答案 8 解析 由题意a 1a 5＝a 2a 4＝4，又a 2＋a 4＝5，公比q ＞1，∴a 2＝1，a 4＝4，故q 2＝a4a2＝4， 故q ＝2，a 1＝12. ∴a n ＝2n －2，S n ＝12(1－2n )1－2＝12(2n －1)． ∴⎝⎛⎭⎫Sn ＋5222an ＝(2n －1＋2)22n －1，令t ＝2n －1∈{1,2,22，23，……}，则原式＝(t ＋2)2t ＝t ＋4t ＋4≥2t×4t＋4＝8，当且仅当t ＝2n －1＝2，即n ＝2时取等号．15.(2021·江苏丰县中学模拟)如图所示，正方形ABCD 的边长为5 cm ，取正方形ABCD 各边的中点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的中点I ，J ，K ，L ，作第3个正方形IJKL ，依此方法一直继续下去．如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于________ cm 2.答案 50解析 记第1个正方形的面积为S 1，第2个正方形的面积为S 2，…，第n 个正方形的面积为S n ， 设第n 个正方形的边长为a n ，则第n 个正方形的对角线长为2a n ，∴第n ＋1个正方形的边长为a n ＋1＝22a n， ∴an ＋1an ＝22， 即数列{a n }是首项为a 1＝5，公比为22的等比数列， ∴a n ＝5·⎝⎛⎭⎫22n －1， 数列{S n }是首项为S 1＝25，公比为12的等比数列，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝25⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝50·⎝⎛⎭⎫1－12n ， ∴如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于50 cm 2.16．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝xS n ＋1，其中x >0，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)证明：函数F n (x )＝S n ＋1－2在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点(记为x n )，且x n ＝12＋12x ＋1n ，n ∈N *，n ≥2.(1)解 S n ＋1＝xS n ＋1，①S n ＝xS n －1＋1(n ≥2)，②①－②得a n ＋1＝xa n ，又当n ＝1时，a 1＋a 2＝xa 1＋1，a 1＝1⇒a2a1＝x ， 故数列{a n }为等比数列，首项为1，公比为x ，则a n ＝x n －1.(2)证明 F n (x )＝S n ＋1－2＝1＋x ＋x 2＋…＋x n －2，可得F n (1)＝n ＋1－2＝n －1>0，F n ⎝⎛⎭⎫12＝1＋12＋⎝⎛⎭⎫122＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －2＝1－⎝⎛⎭⎫12n ＋11－12－2＝－12n <0， ∴F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内至少存在一个零点，又F n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1>0，∴F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内单调递增，∴F n (x )在⎝⎛⎭⎫12，1内有且仅有一个零点x n ，∵x n 是F n (x )的一个零点，∴F n (x n )＝0，即1－xn＋1n1－xn－2＝0，故x n＝12＋12x＋1n.。

高三数学强化训练（6）1.若函数m y x +=-|1|)21(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是A ．m≤－1B ．－1≤m<0C ．m≥1D ．0<m≤1 2.若定义在（－1，0）内的函数0)1(log )(2>+=x x f a ，则a 的取值范围是A ．)21,0(B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0C ．),21(+∞ D ．),0(+∞3.函数y=log a x 在[)+∞∈,2x 上总有|y|>1，则a 的取值范围是A ．210<<a 或21<<a B ．121<<a 或21<<a C ． 21<<a D ．210<<a 或2>a 4.若方程083492sin sin =-+⋅+⋅a a a x x 有解，则a 的取值范围是A ．a>0或a≤－8B ．a>0C ．3180≤<aD ．2372318≤≤a 5.方程a x x =-+)1(log 221有解，则实数a 的取值范围是_________________6.关于x 的方程a a x -+=535有负根，则a 的取值范围是_______________ 7.设A 、B 是函数y= log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a+4, 直线l : x=a+2与函数y= log 2x 图象交于点C, 与直线AB 交于点D.(Ⅰ)求点D 的坐标;(Ⅱ)当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围.8.定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +4）=f （x ），当2≤x ≤6时，n x f m x +=-)21()(，f （4）=31．求m 、n 的值．参考答案BABD (]0,∞- －3<a<17.解 (Ⅰ)易知D 为线段AB 的中点, 因A(a, log 2a ), B(a+4, log 2(a+4)),所以由中点公式得D(a+2, log 2)4(+a a ).(Ⅱ)S △ABC =S 梯形AA′CC′+S 梯形CC′B′B - S 梯形AA′B′B =…= log 2)4()2(2++a a a , 其中A′,B′,C′为A,B,C 在x 轴上的射影.由S △ABC = log 2)4()2(2++a a a >1, 得0< a<22-2. 8.m =4,n =30。

2024届大题强化训练及变式训练（6）1．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．变式：如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2OAB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.大题强化训练及变式训练（6）-2024届高三二轮复习大题强化训练及变式训练（新高考九省联考题型）（解析版）2．已知数列{}n a 满足，()()1214126n n n n a a na +-++⋅⋅⋅+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意*1212,333n n a a a n m ∈≥++⋅⋅⋅+N ，求m 的最小整数值．变式：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且14391n n S S +=-．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设数列{}n b 满足3(4)0n n b n a +-=，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求λ的范围．3．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为57．（1）求盒中2号球的个数；（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金100500变式：某公司生产某种出口商品，为严把质量关，对每件商品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件商品3位专家都认为质量过关，则该商品质量为A 级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位专家都认为质量过关，则该商品质量为B 级，若第二次质量把关这2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该商品质量为C 级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该商品质量为D 级．已知每一次质量把关中一件商品被1位专家认为质量不过关的概率为13，各商品质量是否过关相互独立．（1）对两件商品进行质量把关，求两件商品质量均为D 级的概率；（2）若一件商品质量为,,A B C 级，则该商品可出口外销，且利润分别为1000元，500元，200元，若一件商品质量为D 级，则不能出口外销，利润记为10元．记1件商品的利润为X 元，求X 的分布列与数学期望．4．已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O 为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC 上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R .（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当λ=R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.变式：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．5．已知函数()()2e 0x f x ax a =->．（1）若函数()f x 有3个不同的零点，求a 的取值范围；（2）已知()f x '为函数()f x 的导函数，()f x '在R 上有极小值0，对于某点()()00,P x f x ，()f x 在P 点的切线方程为()y g x =，若对于R x ∀∈，都有()()()00x x f x g x -⋅-≥⎡⎤⎣⎦，则称P 为好点．①求a 的值；②求所有的好点．变式：帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似定义为：011()1mm n n a a x a x R x b x b x+++=+++ ，且满足：(0)(0)f R =，(0)(0)f R ''=，(0)(0)f R ''''=，…，()()(0)(0)m n m n f R ++=．（注：[]()()f x f x '='''，[]()()f x f x ''''''=，[](4)()()f x f x ''''=，(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦，…；()()n f x 为(1)()n f x -的导数）已知()ln(1)f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1ax R x bx =+．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较()f x 与()R x 的大小；（3）若()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上存在极值，求m 的取值范围．2024届大题强化训练及变式训练（6）1．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC 的中点．（1）求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；（2）若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【解析】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM ==，则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1，1DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB AB =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =，显然22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z = ，则120 40MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令z =，得n = ，而DM = ，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||467sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉== ，所以直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值为46767.变式：如图，圆台上底面圆1O 半径为1，下底面圆2OAB 为圆台下底面的一条直径，圆2O 上点C 满足1,AC BC PO =是圆台上底面的一条半径，点,P C 在平面1ABO 的同侧，且1//PO BC.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若圆台的高为2，求直线1AO 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）15【分析】（1）取AC 中点M ，四边形12PO O M 为平行四边形，从而得到12//PM O O ，根据12O O ⊥平面ABC 可得PM ⊥平面ABC ，从而得到需求证的面面垂直.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出1AO 及平面PBC 的法向量后可求线面角的正弦值.【解析】（1）取AC 中点M ，由题意，121,22PO BC AB ===，又1//PO BC ，故1111//,22PO BC PO BC =.又2211//,22O M BC O M BC =，故1212//,PO O M PO O M =，所以四边形12PO O M 为平行四边形，则12//PM O O .由12O O ⊥平面ABC ，故PM ⊥平面ABC ，又PM ⊂面PAC ，故平面PAC ⊥平面ABC .（2）以2O 为坐标原点，2221,,O B O C O O的方向为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则有：())()()1,,,,,2,0,0,222A B C P O ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，故)12.AO = 设平面PBC 的法向量(),,n x y z =而()22,,,222BC CP ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，故0222022n BC n CP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令1z =，得).n = 设所求角的大小为θ，则111230sin cos ,15AO n AO n AO n θ⋅====⋅ .所以直线1AO 与平面PBC所成角的正弦值为15.2．已知数列{}n a 满足，()()1214126n n n n a a na +-++⋅⋅⋅+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意*1212,333n n a a a n m ∈≥++⋅⋅⋅+N ，求m 的最小整数值．【答案】（1）()*21n a n n =-∈N （2）1【分析】（1）作差法，计算得到21n a n =-，验证1n =是否成立，进而得到数列{}n a 的通项公式；（2）令1212333n n n a a a S =++⋅⋅⋅+，利用错位相减法得到113n n n S +=-，即可求得m 的最小整数值．【解析】（1）因为()()1214126n n n n a a na +-++⋅⋅⋅+=，①当2n ≥时，()()()121145216n n n n a a n a ---++⋅⋅⋅+-=，②①-②得()()()()14114566n n n n n n n na +---=-=22n n -，即21n a n =-．当1n =时，11a =也符合上式，所以()*21n a n n =-∈N ．（2）因为21n a n =-，所以2133n n n a n -=，令121223135213333333n n n n a a a n S -=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，所以231411353333213n n n S +=+++⋅⋅⋅+-，两式相减得211121133212221121222133333333313n n n n n n n n n S +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭--+⎢⎥⎣⎦=++⋅⋅⋅+-=--=--，所以()*113n n n S n +=-∈N ．因为103n n +>，所以1n S <，所以m 1≥，故m 的最小整数值为1．变式：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且14391n n S S +=-．(1)求数列{}n a 的通项；(2)设数列{}n b 满足3(4)0n n b n a +-=，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求λ的范围．【答案】(1)33()4n n a =-⋅；(2)31λ-≤≤．【解析】(1)当1n =时，1214()39a a a +=-，229272749,4416a a =-=-∴=-，当2n ≥时，由1439n n S S +=-①，得1439n n S S -=-②，①-②得143n n a a +=122730,0,164n n n a a a a +=-≠∴≠∴=，又213,{}4n a a a =∴是首项为94-，公比为34的等比数列，1933(3()444n n n a -∴=-⋅=-⋅；(2)由3(4)0n nb n a +-=，得43(4)()34n n n n b a n -=-=-，所以234333333210(4)44444n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，2413333333321(5)(4)444444n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯-⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，两式相减得234113333333(4)4444444n n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++++--⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1193116493(4)34414n n n -+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-+-- ⎪⎝⎭-111993334(4)44444n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+---⋅=-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以134(4n n T n +=-⋅，由n n T b λ≤得1334()(4)()44n nn n λ+-⋅≤-⋅恒成立，即(4)30n n λ-+≥恒成立，4n =时不等式恒成立；4n <时，312344n n n λ≤-=----，得1λ≤；4n >时，312344n n n λ≥-=----，得3λ≥-；所以31λ-≤≤．3．某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为1，2，3的空心小球，球内装有难度不同的谜语．每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏．已知标号为1，2，3的小球个数比为1：2：1，且取到异号球的概率为57．（1）求盒中2号球的个数；（2）若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序（猜对谜语的概率相互独立）球号1号球3号球答对概率0.80.5奖金100500【答案】（1）4个（2）推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语【分析】（1）由取到异号球的概率为57，设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，列方程求解；（2）分先回答1号球中的谜语和先回答3号球中的谜语两种情况，分别计算奖金的数学期望，比较后得结论.【解析】（1）由题意可设1，2，3号球的个数分别为n ，2n ，n ，则取到异号球的概率11112242C C C C 5C 7n n n nnP +==，22554(41)7n n n ⋅∴=-，即22n n =．解得2n =．所以盒中2号球的个数为4个．（2）若甲先回答1号球再回答3号球中的谜语，因为猜对谜语的概率相互独立，记X 为甲获得的奖金总额，则X 可能的取值为0元，100元，600元，(0)0.2P X ==，(100)0.8(10.5)0.4P X ==⨯-=，(600)0.80.50.4P X ==⨯=．X 的分布列为X 0100600P0.20.40.4X 的均值为()280E X =，若甲先回答3号球再回答1号球，因为猜对谜语的概率相互独立，记Y 为甲获得的奖金总额，则Y 可能的取值为0元，500元，600元，()00.5P Y ==．()()5000.510.80.1P Y ==⨯-=()6000.80.50.4P Y ==⨯=Y 的分布列为Y 0500600P0.50.10.4Y 的均值为()290E Y =，因为()()E Y E X >，所以推荐甲先回答3号球中的谜语再回答1号球中的谜语．变式：某公司生产某种出口商品，为严把质量关，对每件商品请3位专家进行质量把关，质量把关程序如下：（i）若一件商品3位专家都认为质量过关，则该商品质量为A 级；（ii）若仅有1位专家认为质量不过关，再由另外2位专家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这2位专家都认为质量过关，则该商品质量为B 级，若第二次质量把关这2位专家中有1位或2位认为质量不过关，则该商品质量为C 级；（iii）若有2位或3位专家认为质量不过关，则该商品质量为D 级．已知每一次质量把关中一件商品被1位专家认为质量不过关的概率为13，各商品质量是否过关相互独立．（1）对两件商品进行质量把关，求两件商品质量均为D 级的概率；（2）若一件商品质量为,,A B C 级，则该商品可出口外销，且利润分别为1000元，500元，200元，若一件商品质量为D 级，则不能出口外销，利润记为10元．记1件商品的利润为X 元，求X 的分布列与数学期望．【答案】（1）49729（2）分布列见解析；期望为1207027【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式求得所求概率.（2）根据（1）求得X 的分布列，进而求得数学期望.【解析】（1）由题意，对一件商品进行质量把关，其质量为A 级的概率为318(1)327-=，质量为B 级的概率为122311116C (1)(1)33381⨯⨯-⨯-=，质量为C 级的概率为1212321111120C (1)[C (1)()]3333381⨯⨯-⨯⨯⨯-+=，质量为D 级的概率为816207127818127---=．对两件商品进行质量把关，两件商品质量均为D 级的概率77492727729⨯=．（1）X 的分布列为：X100050020010P82716812081727数学期望为8162073621012070()100050020010278181278127E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．4．已知矩形ABCD 中，,,,AB BC E F G H ==分别是矩形四条边的中点，以矩形中心O为原点，HF 所在直线为x 轴，EG 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.直线,HF BC上的动点,R S 满足(),OR OF CS CF λλλ==∈R.（1）求直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程；（2）当3λ=-时，过点R 的直线m （与x 轴不重合）和点P 轨迹交于,M N 两点，过点N 作直线:3l x =-的垂线，垂足为点Q .设直线MQ 与x 轴交于点K ，求KMN △面积的最大值.【答案】（1）221(62x y +=不含点(0,；（2）34.【分析】（1）根据给定条件，借助向量共线用λ表示点,R S ，再求出直线,ER GS 的方程，联立消去参数λ即得.（2）设出直线m 的方程，与点P 的轨迹方程联立，借助韦达定理求出点K 坐标，再建立三角形面积的函数关系，并求出最大值即得.【解析】（1）依题意，(()0,,0,,,E G FC，设点)(,),(,0),R S P x y R x S y ，由OR OF λ=，得R x =，即,0)R ，由CS CF λ=，得)S y λ=-，即))S λ-，当0λ≠时，直线:ER y x =，直线:GS y x =+，联立消去参数λ得21(3y y x +-=-，即221(0)62x y x +=≠，当0λ=时，得交点P ，满足上述方程，所以直线ER 与直线GS 交点P 的轨迹方程:221(62x y +=不含点(0,.（2）当3λ=-时，点(2,0)R -，过点R 的直线m可设为2(x ty t =-≠，由22236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得：22(2)36ty y -+=，即22(3)420t y ty +--=，设1112)(,,)(,M x y N x y ，则12122242,33t y y y y t t -+==++，依题意，2()3,Q y -，直线1221:(3)3y y MQ y y x x --=++，令0y =，得点K 横坐标()212111212333K y x y x y x y y y y -+--=-=--，又111212)2,2(x ty ty y y y =-=-+，则122112211122112121212155(23(2)32352222)Ky y y y y y y ty y ty y y y x y y y y y y y y ++--+----+-=====-----，因此直线MQ 过定点5(,0)2K -，显然1212||11||||24KMN S KR y y y y =-=- ，而12||y y-===，令21(1)n t n =+≥，12y y -=≤=当且仅当2n =，即1t =±取等号，此时34KMN S = ，所以KMN △面积的最大值为34.变式：已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x轴．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）334【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，求椭圆C 的方程；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由0AF BF k k +=，结合韦达定理得系数间的关系，可得直线所过定点，利用面积公式表示出ABF △的面积，由基本不等式求最大值.【解析】（1）点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴，则有()1,0F 设椭圆C 的焦距为()20c c >，则1c =，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，有()222219191441a b a a +=+=-，解得2a =，则222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（1）（ⅰ）设直线l 的方程为y kx m =+，由22143y y k x x m=+⎧⎪⎨⎪+⎩=，消去y ，整理得()2223484120kxkmx m +++-=，因为l 交椭圆C于,A B 两点，所以()22Δ48430k m =-+>，设()()1122,,,A x y B x y ，所以21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++，因为直线AF 和直线BF 关于PF 对称，所以()()()()12121212121212220111111AF BF kx x m k x x my y kx m kx m k k x x x x x x +-+-+++=+=+==------所以()()()21212224128222203434m kmkx x m k x x m k m k m k k --+-+-=⨯+-⨯-=++所以222282488860km k km k m mk m --+--=解得4m k =-.所以直线l 的方程为()44y kx k k x =-=-，所以直线l 过定点()4,0.（ⅱ）设直线l 的方程为4x ny =+，由224143x ny x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理得()223424360n y ny +++=，因为l 交椭圆C于,A B 两点，所以()()()222Δ241443414440n n n =-+=->，解得24n >，1212222436,3434n y y y y n n +=-=++，所以()222121212222243612444343434n n y y y y y y n n n -⎛⎫-=+-=--⨯= ⎪+++⎝⎭，所以()22122221344318223434ABFn n S y y n n--=⨯-=⨯=⨯++ 令()24,0n t t -=>则()213318182564316996ABC tS t t t==⨯+++ ，当且仅当163t =时取等号，所以ABF △面积的最大值为334.5．已知函数()()2e 0xf x ax a =->．（1）若函数()f x 有3个不同的零点，求a 的取值范围；（2）已知()f x '为函数()f x 的导函数，()f x '在R 上有极小值0，对于某点()()00,P x f x ，()f x 在P 点的切线方程为()yg x =，若对于R x ∀∈，都有()()()00x x f x g x -⋅-≥⎡⎤⎣⎦，则称P 为好点．①求a 的值；②求所有的好点．【答案】（1）2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2）①e2a =；②e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）首先讨论当0x ≤时，有1个零点，当0x >时，参变分离为e xa x=存在两个根，再利用导数分析函数()2e xu x x=的图象，即可求解a 的取值范围；（2）①利用二次导数求函数()f x '的极小值，根据极小值为0，即可求解a 的值；②首先求函数在点P 处的切线方程，再根据好点的定义，讨论0x x >和0x x <两种情况，求好点.【解析】（1）当0x ≤，()f x 单调递增，且()01f =，当x →-∞时，()f x ∞→-，因此()f x 在区间(],0-∞上存在唯一零点，当0x >时，只要2e 0xax -=存在两个根即可，即2e xa x=存在两个根，设()2e x u x x =，则()()32e x x u x x-'=，当()0,2x ∈时，()0u x '<，函数()u x 单调递减，当()2,x ∞∈+时，()0u x '>，函数()u x 单调递增，由()2e 24u =，当0x →时，()u x ∞→+，当x →+∞时，()u x ∞→+，所以当2e 4a >时，在区间()0,∞+有2个零点，因此a 得到取值范围是2e ,4∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）①()()2e 0xf x axa =->，()e 2x f x ax ='-，令()()x f x ϕ='，则()e 2xx a ϕ='-，令()0x ϕ'=，得ln 2x a =，当(),ln 2x a ∞∈-时，()0x ϕ'<，()f x '单调递减，当()ln 2,x a ∞∈+时，()0x ϕ'>，()f x '单调递增，故()()ln 2ln 2e2ln 221ln 20af a a a a a =-=-='，得e 2a =，②设()()00,P x f x 为好点，对于任意x ∈R ，都有()()()00x x f x g x ⎡⎤-⋅-≥⎣⎦，当0x x =时，00≥成立，当0x x ≠时，即为当0x x ≥时，()()0f x g x -≥，当0x x <时，()()0f x g x -≤成立，因为()f x 在P 点的切线方程为()()()()000g x f x f x x x '-=-，所以()()()()000g x f x x x f x -'=+，设()()()h x f x g x =-，即()()()()()000h x f x f x x x f x =---'，()()()0h x f x f x ''-'=，又因为()f x '在(),1x ∞∈-上单调递减，()1,x ∞∈+上单调递增，故分情况讨论，（1）当0x x >时，因为P 为好点，所以()()()0h x f x g x =-≥恒成立，1 若01x ≥，()f x '在()0,x x ∞∈+上单调递增，()()0f x f x '>'，()()()00h x f x f x =-''>'，所以()h x 在0x x >时单调递增，()()()()0000h x h x f x g x >=-=，满足条件，故01x ≥时成立；2 若01x <，()f x '在()0,1x x ∈上单调递减，在()1,x ∞∈+上单调递增，当()0,1x x ∈时，()()0f x f x '<'，()()()00h x f x f x =-''<'，所以()h x 在()0,1x x ∈时单调递减，()()()()0000h x h x f x g x <=-=，矛盾，不满足条件；（2）当0x x <时，因为P 为好点，所以()()()0h x f x g x =-≤恒成立，1 若01x ≤，()f x '在()0,x x ∞∈-上单调递减，()()0f x f x '>'，()()()00h x f x f x =-''>'，所以()h x 在0x x <时单调递增，()()()()0000h x h x f x g x <=-=，满足条件，故01x ≤时成立；2 若01x >，()f x '在(),1x ∞∈-上单调递减，在()01,x x ∈上单调递增，当()01,x x ∈时，()()0f x f x '<'，()()()00h x f x f x =-''<'，所以()h x 在()01,x x ∈时单调递减，()()()()0000h x h x f x g x >=-=，矛盾，不满足条件；综上可知，由（1）（2）可得，01x ≥且01x ≤，即01x =，所以只有一个好点e 1,2⎛⎫⎪⎝⎭.变式：帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m ，n ，函数()f x 在0x =处的[,]m n 阶帕德近似定义为：011()1mm nn a a x a x R x b x b x +++=+++ ，且满足：(0)(0)f R =，(0)(0)f R ''=，(0)(0)f R ''''=，…，()()(0)(0)m n m n f R ++=．（注：[]()()f x f x '='''，[]()()f x f x ''''''=，[](4)()()f x f x ''''=，(5)(4)()()f x f x '⎡⎤=⎣⎦，…；()()n f x 为(1)()n f x -的导数）已知()ln(1)f x x =+在0x =处的[]1,1阶帕德近似为()1axR x bx=+．（1）求实数a ，b 的值；（2）比较()f x 与()R x 的大小；（3）若()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上存在极值，求m 的取值范围．【答案】（1）1a =，12b =；（2）答案见解析；（3）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）由(0)(0)f R ''=，(0)(0)f R ''''=，列方程组求实数a ，b 的值；（2）令()()()x f x R x ϕ=-利用导数研究单调性，又(0)(0)(0)0f R ϕ=-=，可比较()f x 与()R x 的大小；（3）由()h x 在(0,)+∞上存在极值，所以()h x '在(0,)+∞上存在变号零点，通过构造函数分类讨论，对()h x '的零点进行分析．【解析】（1）由()ln(1)f x x =+，()1axR x bx=+，有(0)(0)f R =，可知1()1f x x '=+，21()(1)f x x ''=-+，2()(1)a R x bx '=+，32()(1)ab R x bx -''=+，由题意，(0)(0)f R ''=，(0)(0)f R ''''=，所以121a ab =⎧⎨-=-⎩，所以1a =，12b =．（2）由（1）知，2()2x R x x =+，令2()()()ln(1)(1)2xx f x R x x x x ϕ=-=+->-+，则22214()01(2)(1)(2)x x x x x x ϕ'=-=>++++，所以()ϕx 在其定义域(1,)-+∞内为增函数，又(0)(0)(0)0f R ϕ=-=，0x ∴≥时，()()()(0)0x f x R x ϕϕ=-≥=；10x -<<时，()()()(0)0x f x R x ϕϕ=-<=；所以0x ≥时，()()f x R x ≥；10x -<<时，()()f x R x <．（3）由()11()()ln(1)()2f x h x m f x m x R x x ⎛⎫⎛⎫=--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222111(1)ln(1)()ln(1)1(1)mx x x x h x x m x x x x x +-++⎛⎫∴=-+++=+' ⎪+⎝⎭．由()1()()()2f x h x m f x R x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上存在极值，所以()h x '在(0,)+∞上存在变号零点．令2()(1)ln(1)g x mx x x x =+-++，则[]()21ln(1)12ln(1)g x mx x mx x =+-++=-+'，1()21g x m x ''=-+．①0m <时，()0g x ''<，()g x '为减函数，()(0)0g x g ''<=，()g x 在(0,)+∞上为减函数，()(0)0g x g <=，无零点，不满足条件．②当21m >，即12m >时，()0g x ''>，()g x '为增函数，()(0)0g x g ''>=，()g x 在(0,)+∞上为增函数，()(0)0g x g >=，无零点，不满足条件．③当021m <<，即102m <<时，令()0g x ''=即121m x =+，112x m∴=-．当1012x m <<-时，()0g x ''<，()g x '为减函数；112x m>-时，()0g x ''>，()g x '为增函数，min 111()121ln 1112ln 2222g x g m m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝'⎭'；令()1ln H x x x =-+，01x <<，1()1H x x '=-+，1()10H x x '=-+>在01x <<时恒成立，()H x 在()0,1上单调递增，()(1)0H x H <=，11(12)ln 202g m m m ⎛⎫∴-=-+< ⎪⎝⎭'恒成立；0x >，01m <<，(1)0x m ∴-<，则()()221111mx mx mx x x mx ->-+-=+-，2111mx mx x -∴>-+，211ln(1)ln(1)1mx x mx x x -∴+-+>-++；2()(1)ln(1)1mx x g x x x x ⎡⎤+=+-+⎢⎥+⎣⎦，令221()ln(1)1ln(1)ln(1)(1)ln(1)11mx x mx l x x x mx x m x x m x x +-=-+=+-+>-+=+-+-++，令())ln(1)0F x x x =+->，()11011F x x x -=-=++'<，则()F x 在()0,∞+是单调递减，()()02F x F <=-，所以ln(1)x +<，()(1)(1)(1)22m m l x m x m x m x ⎡∴>+-=+-++-⎢⎣，令2161x m =-，则2161x m +=，(1)02m x ∴+-≥，81(1)0022m x m m m m ⎛⎫+-=-><< ⎪⎝⎭．()0l x ∴>，即21610l m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭．由零点存在定理可知，()l x 在11,2m ∞⎛⎫-+⎪⎝⎭上存在唯一零点021161,12x m m ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，又由③知，当1012x m<<-时，()0g x ''<，()g x '为减函数，(0)0g '=，所以此时，()0g x '<，在10,12m ⎛⎫- ⎪⎝⎭内无零点，()g x ∴在(0,)+∞上存在变号零点，综上所述实数m 的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭．。

2020 年高三文科数学考前大题加强练六1.（本小题满分12 分）a n．已知数列a n知足 a1 1 ， na n 1 n 1 a n n n 1 ，设b nn（1）求数列 b n的通项公式；（2）若 c n 2b n n ，求数列 c n的前 n 项和．2.（本小题满分 12 分）如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面为菱形， AC I BD O ．D1 （ 1）证明： B1C ∥平面 A1 BD ；A1 C1B1 （ 2）设AB AA1 2, BAD ，若 A1O 平面 ABCD ，3求三棱锥 B1 A1 BD 的体积． DA O CB3.（本小题满分12 分）世界互联网大会是由中国倡议并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网嘉会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共鸣、在共识中谋合作、在合作中创双赢．2019 年 10 月 20 日至 22 日，第六届世界互联网大会按期举行，为了大会顺利召开，组委会特招募了 1 000 名志愿者．某部门为了认识志愿者的基本状况，检查了此中100 名志愿者的年纪，获得了他们年纪的中位数为34 岁，年纪在 [40,45) 岁内的人数为15，并依据检查结果画出以下图的频次散布直方图：频次/ 组距2n2mO20 25 30 35 40 45 50年纪/岁（1）求 m ， n 的值并估量出志愿者的均匀年纪（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（2）此次大会志愿者主要经过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名检查．这100位志愿者的报名方式部分数据以下表所示，完美下边的表格，经过计算说明可否在出错误的概率不超出 0.001 的前提下，以为“选择哪一种报名方式与性别相关系”？男性女性总计现场报名50网络报名31总计50参照公式及数据： K 2 n( ad bc)2 ，此中 n a b c d .(a b)( c d )( a c)(b d )P K 2 k0k04.（本小题满分12 分）2已知 f x 2x ln x ax 3 ．x（ 1）当 a 1时，求曲线 y f x 在 x 1 处的切线方程；（ 2）若存在 x0 1，使得 f x0≥ 0 成立，求 a 的取值范围．,ee5.（本小题满分12 分）已知椭圆x2 y2 6，以 C 的短轴为直径的圆与直线 l :3 x 4 y 5 0 C : 2b2 1( a ＞ b ＞ 0 )的离心率为3a相切．（ 1）求C的方程；（ 2）直线 y x m 交椭圆 C 于 M x1 , y1， N x2 , y2两点，且 x1＞ x2 ．已知 l 上存在点P，使得△ PMN 是以PMN 为顶角的等腰直角三角形．若P 在直线MN右下方，求m 的值．（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．假如多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑．6.（本小题满分10 分）选修4 4 ：坐标系与参数方程已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C1x 3 t,的参数方程为y t（ t 为参数）．以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2 1 2 cos ．（ 1）写出 C1的一般方程和C2的直角坐标方程；2上的随意一点，求P 到C1距离的取值范围．（）设点 P为C27.（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲已知 a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0 ，且 a b c 2 ．（ 1）求 a 2 b c 的取值范围； （ 2）求证：149≥18 ．a b c答案分析1.（本小题满分 12 分）1 a n n n 1 ，设 b na n．已知数列 a n 知足 a 11 ， na n 1nn（ 1）求数列 b n 的通项公式；（ 2）若 c n2bnn ，求数列 c n 的前 n 项和．【分析】（ 1）由于 b na n，因此 a n nb n ， ························1 分n又由于 na n 1n 1 a n n n 1 ，因此 n n 1 b n 1 n 1 nb nn n 1 ，即 b n 1 b n 1 ， ··············3 分因此 b n 为等差数列， ········································4 分 其首项为 b 1 a 1 1 ，公差 d1 ． ······························5 分 因此 b n1 n 1 n ． ······································7 分（ 2）由（ 1）及题设得， c n 2n n ， ··························8 分因此数列 c n 的前 n 项和S n2 22 23 L2n1 2 3 L n ························9 分2 2n 2 n 1 n······································11 分1 2 22n 1n 2 n 2 ． ······································12 分2 2.（本小题满分 12 分）如图，四棱柱 ABCD A 1B 1C 1D 1 的底面为菱形， AC I BD O ．1 A 1（ ）证明： B 1C ∥ 平面 A 1 BD ； （ 2）设 AB AA 1 2, BAD ，若 A 1 O 平面 ABCD ，3求三棱锥 B 1 A 1 BD 的体积．DD 1B 1C 1AO 【分析】（ 1）证明：依题意， A 1B 1 // AB ，且 AB // CD ，B∴ A 1 B 1 // CD ， ···········································1 分C∴四边形1 1分A B CD 是平行四边形， ······························2 ∴ B 1C ∥ A 1D ， ·········································3 分∵ B 1C 平面 A 1 BD ， A 1D 平面 A 1BD ，∴ B 1C ∥ 平面 A 1 BD ． ········································5 分（ 2）依题意， AA 1 2, AO 3 ，在 Rt △ AAO 1 中， AOAA 2 AO 2 1 ， ·······················6 分11因此三棱锥 A 1BCD 的体积11 S BCD AO 1 32 213 ． ·······················8 分 V A BCD3 △13431A 1BD ，由（ ）知 B 1C ∥ 平面∴ V B 1 A 1BD V C A 1 BD ········································10 分V A 1 BCD·········································11 分3． ·····································12 分33.（本小题满分 12 分）世界互联网大会是由中国倡议并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网嘉会， 大会旨在 搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台，让各国在争议中求共鸣、在共识中谋合作、在合作中创双赢． 2019 年 10 月 20 日至 22 日，第六届世界互联网大会按期举行，为了大 会顺利召开，组委会特招募了 1 000 名志愿者．某部门为了认识志愿者的基本状况，检查了此中 100 名 志愿者的年纪，获得了他们年纪的中位数为 34 岁，年纪在 [40,45) 岁内的人数为 15，并依据检查结果画出以下图的频次散布直方图：频次/ 组距2n 2mO20 25 30 35 40 45 50年纪/ 岁（ 1）求 m ， n 的值并估量出志愿者的均匀年纪（同一组的数据用该组区间的中点值代表）；（ 2）此次大会志愿者主要经过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方式报名检查． 这100 位志愿者的报名方式部分数据以下表所示，完美下边的表格，经过计算说明可否在出错误的概率不超出 0.001 的前提下，以为“选择哪一种报名方式与性别相关系”？男性女性总计 现场报名50网络报名 31总计50参照公式及数据： K 2n( ad bc)2，此中 n a bc d .(a b)( c d )( a c)(b d )P K 2 k 0k 0【分析】（ 1）由于志愿者年纪在[40,45) 内的人数为 15 ，因此志愿者年纪在 [40,45) 内的频次为：15 ；··················1 分100由频次散布直方图得：(0.020 2 m 4n 0.010) 5 ，1即 m 2 n 0.07 ，①······································3 分由中位数为34 可得 5 2m 5 2n (34 30) 0.5 ，即 5m 4n 0.2 ，②······································4 分由①②解得m 0.020 ， n .······························5 分志愿者的均匀年纪为0.010) 5 34 （岁）．························································7 分（ 2）依据题意获得列联表：男性女性总计现场报名19 31 50网络报名31 19 50总计5050100 (9)分因此 K 2的观察值100 (19 19 31 31)2 2 19 31 19 31 2＜，······11分k50 50 50 50 50 50 50因此不可以在出错误的概率不超出0.001 的前提下，以为选择哪一种报名方式与性别相关系．12 分说明：第（ 1）小题中，方程①②列对一个给 2 分，两个都列对给 3 分．4.（本小题满分12 分）已知 f x 2x ln x x2 ax 3 ．（ 1）当 a 1时，求曲线 y f x 在 x 1 处的切线方程；（ 2）若存在 x0 1，使得 f x0≥ 0 成立，求 a 的取值范围．,ee【分析】 f x 2 ln x 1 2 x a ．···························1 分（ 1）当 a 1时， f x 2xln x x2 x 3, f x 2 ln x 1 2 x 1 ，因此 f 1 5, f 1 5 ，·······································3 分因此曲线 y f x 在 x 1处的切线方程为y 5 5 x 1 ，即 y 5 x ．·······5 分（ 2）存在 x0 1，使得 f x0≥ 0 成立，,ee等价于不等式 a ≥2x ln x x2 3 1有解．·····················6 分x在,ee设 h x 2xln x x2 3xx2 2x 3 x 3 x 1， ········7分x，则 hx2 x2当1x 1 时， h x0 ， h x 为增函数；当 1 x e 时， h x0 ， h x 为减函数． 8 分e又 h 13e 22e 1， h ee22e 3，故 h 1h e ＜ 0········10 分eeee因此当 x1 ,e 时， h x ＞ h 13e 22e 1 ， ·················11 分e ee因此 a ＞3e 22e 1，即 a 的取值范围为3e 2 2e 1 , ． ········12 分ee5.（本小题满分 12 分）已知椭圆 C :x 2 y 2 1( a ＞ b ＞ 0 )的离心率为6，以 C 的短轴为直径的圆与直线 l :3 x 4 y 5 0a 2b 23相切．（ 1）求 C 的方程；（ 2）直线 y x m 交椭圆 C 于 M x 1 , y 1 ， N x 2 , y 2 两点，且 x 1 ＞ x 2 ．已知 l 上存在点 P ，使得△ PMN 是以 PMN 为顶角的等腰直角三角形．若 P 在直线 MN 右下方，求 m 的值．0 0 5【分析】（ 1）依题意， b 2 21 ， ·························2 分3 4由于离心率 e ca 2b 2 6 ， aa3因此a 2 1 6 ，解得 a3 ， ······························4 分a3x 2因此椭圆 C 的标准方程为 y 2 1 ． ·························5 分（ 2）由于直线 y x3 ，且 △PMN 是以 P 在m 的倾斜角为 45 PMN 为顶角的等腰直角三角形，直线 MN 右下方，因此 NP ∥ x 轴． ·······························6 分过 M 作 NP 的垂线，垂足为 Q ，则 Q 为线段 NP 的中点，因此 Q x 1, y 2 ，故 P 2 x 1x 2 , y 2 ，7分因此 3 2 x 1 x 24 y 25 0 ，即 3 2 x 1 x 2 4 x 2 m 5 0 ，y整理得 6 x 1x 2 4m 50 ．① ··················8 分M223,Oxx3y223 0 .N Q P由y x m 得 4 x6mx 3m因此2248＞ 0 ，解得 2 ＜ m ＜ 2 ， ····················9 分36m 48m因此 x 1 x 2 3m ，②3 2 x x m 2 1 ，③ ······································10 分1 24m由① - ②得， x 1 1，④2将④代入②得 x 2 1 m ，⑤ ································11 分 将④⑤代入③得 m 1 m 1 3 m 1 m 1 ，解得 m 1 ．2 4（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 两题中任选一题作答．假如多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑． 6.（本小题满分 10 分）选修 4 4 ：坐标系与参数方程x 3 t,（ t 为参数）．以 O 为极点， x 轴的正半已知直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为 ty 轴为极轴，成立极坐标系，曲线C 221 2cos．的极坐标方程为（ 1）写出 C 1 的一般方程和 C 2 的直角坐标方程；（ 2）设点 P 为 C 2 上的随意一点，求 P 到 C 1 距离的取值范围．【分析】（ 1） C 1 的一般方程为 x y3 ，即 x y 30 ． ············2 分 曲线 C 2 的直角坐标方程为221 2x ，即 x 2y 22 ． ··········5 分x y 1（ 2）由（ 1）知， C 2 是以 1,0 为圆心，半径 r 2 的圆， ·············6 分圆心 C 2 1,0 到 C 1 的距离 d 1 0 322＞2 ， ···················7 分 2因此直线 C 1 与圆 C 2 相离， P 到曲线 C 1 距离的最小值为 d r2 222 ；最大值 d r 2 223 2 ， ··············································9 分因此 P 到曲线 C 1 距离的取值范围为 2,3 2 ． ······················10 分 7.（本小题满分 10 分）选修 4 5 ：不等式选讲已知 a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0 ，且 a b c 2 ．（ 1）求 a 2 b c 的取值范围；21 4 9（ ）求证：b ≥18 ．a c【分析】（ 1）依题意， 2ab c ＞ 0 ，故 0 ＜ a ＜ 2 ． ·············1 分2因此 a 2 b c22 aa 1 7 ， ························3 分 a24因此 7 ≤ a 2 b c ＜ 22 2 2 4 ，即 a 2 b c 的取值范围为 7 ,4 ． ······5 分 44 （ 2）由于 a ＞ 0,b ＞ 0,c ＞ 0 ，因此 a b 1 4 9 b 4a c 9a 4c 9b分 c b 14 a ba cb ·············7 ac c≥ 14 2 b 4a c 9a 4c 9b 分 a b2 c 2 ·········8 a b c又由于 a b c2 ，14 2 4 2 92 3636 ． ·············9 分因此149≥18 ． ·····································10 分 a b c。

专题06：临考强化新高考数学解答题限时提分专练（解析版）一、解答题1．设*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11252,,,n n n S S a a a a +=++成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足()11na nn n b a +=-+，求数列{}n b 的前2n 项的和2n T【答案】（1）()*21n a n n N =-∈；（2）2nT =21222n n ++-.【分析】（1）由已知可得12n n a a +-=，则由等差数列的定义可知数列{}n a 是等差数列，再由已知条件求出首项，进而可得结果.（2）由（1）可得数列{}n b 的通项公式，进而根据分组求和法即可求解. 【详解】解：（1）由12n n n S S a +=++，得()*12n n a a n N +-=∈，所以数列{}n a 是以1a 为首项，2为公差的等差数列.由1a ，2a ，5a 成等比数列可得2215a a a =，即2111(2)(8)a a a +=+，解得11a =，所以()*21n a n n N=-∈.（2）由（1）得21n a n =-，所以()11na n n nb a +=+-()()2121nn n =+--所以()()()222211357434121n nTn n -⎡⎤=+-+-+---+-⎣⎦-21222n n +=+-. 【点睛】方法点睛：当数列的通项公式为等差数列与等比数列的和差时，求数列的前n 项和常用分组求和法求解.2．已知函数()sin f x x =，x ∈R（1）设2()(2)2()2g x x f x π=++，求函数()g x 的值域；（2）在ABC 中，角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()1f A b ==，ABC 的面积求sin C 的值.【答案】（1）[]1,3-；（2）sin 13C =或sinC =. 【分析】（1）根据条件选代入然后运用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简再求值域； （2）先求A ，再由面积得c ，最后根据A 分类讨论求解即可. 【详解】（1）2()(2)2()2g x x f x π=++ 222sin ()2x x π=++222cos x x =+ 2cos 21x x =++ 2sin(2)16x π=++，所以，函数的值域为[]1,3-．（2）由()f A =sin 2A =，()0,A π∈ 3A π∴=或23A π=， 1sin 12ABCSbc A b == 得4c =.①若3A π=，则2222cos 13a b c bc A =+-=，a ∴=sin sin c C A a ∴==；②若23A π=，则2222cos 21a b c bc A =+-=，a ∴=sin sin c C A a ∴==，综上，sin 13C =或sinC =3．如图，四棱锥E -ABCD 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，AD =CD =12AB =1，EC =2，△EAB 为正三角形.（Ⅰ）求证：AD ⊥EB ：（Ⅱ）若在线段EA 上有点F ，使得点F 到平面ABCD 3，求直线CE 与平面FBD 所成角的正弦值. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ330. 【分析】（Ⅰ）取AB 中点O ，连接OC ，OE ，证得EO AB ⊥，再由勾股定理，得出EO OC ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得OC ⊥平面EAB ，进而得到OC EB ⊥，即可得证； （Ⅱ）由（Ⅰ）以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求得平面BDF 的一个法向量和向量CE ，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）取AB 中点O ，连接OC ，OE ，因为//AB CD ，AB AD ⊥，1CD OA ==，则四边形OCDA 为矩形， 又EAB 为正三角形，所以EO AB ⊥，3EO =，又由1OC =，2EC =，可得222EC EO OC =+，所以EO OC ⊥， 又因为⋂=AB EO O ，且,AB EO ⊂平面EAB ，所以OC ⊥平面EAB ， 又由EB ⊂平面EAB ，所以OC EB ⊥， 又因为//OC AD ，所以AD EB ⊥.（Ⅱ）由（Ⅰ）知OE OC ⊥，OE AB ⊥，故OE ⊥平面ABCD ，3OE =F 到平面ABCD 的距离为33，所以13AF AE =，如图，以O 为原点，OB ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系O xyz -. 则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，(1,1,0)D -，()0,0,3E ，由13AF AE =，可得23,0,33F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，53,0,33BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(2,1,0)BD =-， 设平面BDF 的一个法向量为(,,)n x y z =，由00BF n BD n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得53020x z x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1x =，可得532,y z ==，所以531,2,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 又由()0,1,3CE =-，设EC 与平面FBD 所成角为θ，则||330sin ||||4023CE n CE n θ⋅===， 所以直线CE 与平面FBD 所成角的正弦值为330.【点睛】利用空间向量计算二面角的常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.4．某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为12，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响. （1）当15p =时， （i ）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；（ii ）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ；（2）乙答对每道题的概率为23(含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于1536，求甲的亲友团每道题答对的概率p 的最小值.【答案】（1）（i ）56；（ii ）分布列答案见解析，数学期望：125；（2）最小值为23.【分析】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，分别求得(),()P A P AB 的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解； （ii ）求得甲答对某道题的概率为3()5P A =，得到3~4,5X B ⎛⎫⎪⎝⎭，结合独立重复试验的概率计算公式和二项分布的期望公式，即可求解；（2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，求得()()()012,,P A P A B P ， 根据甲答对题数比乙多的概率列出不等式，即可求解.【详解】（1）（i ）记事件A 为“甲答对了某道题”，事件B 为“甲确实会做”，则1111(),()2252P A P AB =+⨯=，所以1()52()111()6225P AB P B A P A ===+⋅∣. （ii ）随机变量X 可取01234、、、、，甲答对某道题的概率为1113()2255P A =+⋅=，则3~4,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则4432()(0,1,2,3,4)55k kkP X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则随机变量X 的分布列为则()455E X =⨯=. （2）记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”，其中甲答对某道题的概率为111(1)222p p +=+， 答错某道题的概率为111(1)(1)22p p -+=-则()()1212111(1)(1)1222P A C p p p =⋅+⋅-=-，()22211(1)(1)24P A p p ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦， ()201139P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()112214339P B C =⋅⋅=，所以甲答对题数比乙多的概率为()()()()102120102120P A B A B A B P A B P A B P A B ⋃⋃=++()()22221114111151(1)(1)31072949493636p p p p p =-⋅++⋅++⋅=⋅++≥ 解得213p ≤<，即甲的亲友团助力的概率P 的最小值为23.【点睛】方法点拨：记事件i A 为“甲答对了i 道题”，事件i B 为“乙答对了i 道题”， 分别求得()1P A ，()()20,P A P B ，根据独立事件的概率计算公式，根据甲答对题数比乙多的概率，列出不等式是解答的关键.5．设函数()2112f x x x ax =--++，a R ∈. （1）若12a =，求不等式()0f x >的解集； （2）若函数()f x 恰有三个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()(),01,-∞⋃+∞；（2）13,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【分析】（1）分1x ≤-、112x -<<、12x ≥三种情况解不等式()0f x >，综合可得出原不等式的解集；（2）分析可知函数()211g x x x =--+与函数()2h x ax =-的图象有三个交点，数形结合可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围. 【详解】（1）若12a=，不等式()0f x>即2110x xx--++>.当1x≤-时，则有12120x x x-+++=>恒成立；当112x-<<时，则有()12120x x x x--++=->，解得0x<，此时10x-<<；当12x≥时，则有()211220x x x x--++=->，解得1x>，此时1x>.综上所述，当12a=时，不等式()0f x>的解集为()(),01,-∞⋃+∞；（2）由()21120f x x x ax=--++=，得2112x x ax--+=-，设()2,112113,1212,2x xg x x x x xx x⎧⎪-≤-⎪⎪=--+=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，()2h x ax=-，在平面直角坐标系中作出()g x的大致图象，如图所示，其中点()1,3A-，直线OA的斜率为3-，结合图象分析，可知当321a-<-<-，即1322a<<时，函数()g x与()h x的图象有三个不同的交点，故当函数()f x 恰有三个零点时，实数a 的取值范围是13,22⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6．已知点F 为椭圆22:12x C y +=的左焦点，记点P 到直线:2l x =-的距离为d ，且||d PF =.（Ӏ）求动点P 的轨迹方程；（ӀӀ）过点P 作椭圆C 的两条切线PA ，PB ，设切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ，连接AF ，BF .（i ）求证：直线PA 方程为11220x x y y +-=； （ii ）求证：AF ⊥FB ．【答案】（Ⅰ）223y x =+；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析. 【分析】（Ⅰ）设出P 点坐标，利用d PF =列方程，化简求得P 的轨迹方程.（Ⅱ）（i ）将A 的坐标代入椭圆方程，由此判断直线11220x x y y +-=经过点A ，联立直线11220x x y y +-=与椭圆C ，计算得0∆=，由此确定直线PA 方程为11220x x y y +-=.（ii ）求得直线PB 的方程，由此求得直线AB 的方程，联立直线AB 的方程和椭圆C 的方程，化简写出根与系数关系，计算0FA FB ⋅=，由此证得AF BF ⊥.注意判断直线AB 斜率不存在的情况也满足AF BF ⊥.【详解】（Ⅰ）设点(,)P x y ，由||d PF =，|2|x +=， 化简得223y x =+，所以点P 轨迹方程为223y x =+；（Ⅱ）（i ）点()11,A x y 在椭圆C 上，得2211220x y +-=，所以直线11220x x y y +-=经过点()11,A x y ，由1122220,220,x x y y x y +-=⎧⎨+-=⎩消去y ，得()2222111124440y x x x x y +-+-=，又2211220x y +-= 得22112420x x x x -+=，由()221144220x x ∆=--⋅⋅=，直线11220x x y y +-=与椭圆只有一个公共点， 所以直线PA 方程为11220x x y y +-=；（ii ）设点()00,P x y ，由（i ）知直线PA 方程为11220x x y y +-=， 同理，直线PB 方程为22220x x y y +-=，得10102020220,220,x x y y x x y y +-=⎧⎨+-=⎩所以直线AB 方程为00220x x y y +-=，当00y ≠时，由0022220,220,x x y y x y +-=⎧⎨+-=⎩得()()2222000024410x y x x x y +-+-=，012220042x x x x y +=+，()2122200412y x x x y -=+，()()()()112212121,1,11FA FB x y x y x x y y ⋅=+⋅+=+++ ()()20012121212211124x x x x x x x x x x y ⎡⎤=++++-++⎢⎥⎣⎦()2001212222000111142x x x x x x y y y ⎛⎫⎛⎫=++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()222220000000222222200000004142414222y x y y x x y y x y y x y y -⎛⎫⎛⎫+-+=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()2222222000000002220001422122y x y x y x y x y y x y -++-+++=+()()2200022202322y y x yxy-+=+又20023y x =+，所以0AF FB ⋅=；当00y =时，直线AB 方程为43x =-，41,33A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1111,,03333FA FB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AF FB ⊥；综上，AF FB ⊥. 【点睛】要证明两条直线垂直，可利用向量计算两条直线的方向向量的数量积为零，由此来证得两条直线垂直.。

六、数列(组)
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！姓名：班级：
．已知等差数列{}的前项和为，且＋＝，＝－.
()求数列{}的通项公式；
()若＝＋＋＋…＋，求的值和的表达式．解：()由题知(\\(＋＝＋(×)＝－))，解得(\\(＝－＝))，故＝－(∈*)．
()由＝－<，得<，即≤，
所以当≤时，＝－<，当≥时，＝－>.
易知＝－，＝－，＝－，
所以＝－(＋＋)＋＋＝－＋(－)＝－＝.
当≤时，＝－＝－；
当≥时，＝－＋(－)＝－＝－＋.
故＝(\\(－，≤－＋，≥)).
．已知等差数列{}的公差不为零，其前项和为，＝，且，，成等比数列．
()求数列{}的通项公式；
()记＝＋＋＋…＋－，求.
解：()设数列{}的公差为，由＝得＝，故＝或＝.
由，，成等比数列得＝.
又＝－，＝－，＝＋，
故(－)＝(－)(＋)．
若＝，则＝－，解得＝，不符合题意．
若＝，则(－)＝(－)(＋)，解得＝或＝(不符合题意，舍去)．
因此数列{}的通项公式为＝＋(－)＝－.
()由()知－＝－，
故数列{－}是首项为，公差为的等差数列．
从而＝(＋－)＝(－)＝－.。

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考前强化练6 解答题组合练(B）1。

已知a，b，c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,b=。

(1）若C=,△ABC的面积为，求c；（2)若B=，求2a-c的取值范围。

2。

（2018山西太原一模，文17)△ABC中的内角A，B,C的对边分别为a,b，c,已知.(1)求角B;(2）若b=,求△ABC面积的最大值.3.某高校在2018年的自主招生笔试成绩（满分200分）中,随机抽取100名考生的成绩,按此成绩分成五组,得到如下的频率分布表：(1)求频率分布表中a,b，c的值，并估计全体考生的平均成绩；(2)用分层抽样的方法从第三、四、五组中共抽取n名考生，已知从第五组中恰好抽取了两名考生.①求n的值;②若该高校的三位考官每人都独立地从这n名考生中随机抽取2名考生进行面试，记考生甲被抽到的次数为X,求X的分布列与数学期望.4。

（2018河北石家庄一模，理19）小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案。

甲方案：底薪100元,每派送一单奖励1元;乙方案:底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元。

（1)请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪y（单位：元）与送货单数n的函数关系式；（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录,发现派送员的日平均派送单数满足以下条件：在这100天中的派送量指标满足如图所示的直方图，其中当某天的派送量指标在（n=1,2，3，4,5)时,日平均派送量为50+2n单.若将频率视为概率,回答下列问题:①根据以上数据,设每名派送员的日薪为X(单位：元)，试分别求出甲、乙两种方案的日薪X 的分布列，数学期望及方差;②结合①中的数据,根据统计学的思想,帮助小明分析,他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.(参考数据:0。

姓名，年级：时间：阶段强化练（六)一、选择题1．(2019·四川诊断)已知直线l和平面α,若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（)A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内答案B解析假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l,由平行公理得m∥n,这与两条直线m与n相交与点P相矛盾,故过点P且平行于l的直线只有一条，又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．故选B.2．(2019·化州模拟)设m，n为两条不同的直线，α为平面，则下列结论正确的是( ）A．m⊥n，m∥α⇒n⊥αB．m⊥n,m⊥α⇒n∥αC．m∥n，m⊥α⇒n⊥αD．m∥n，m∥α⇒n∥α答案C解析对于A，若m⊥n,m∥α时，可能n⊂α或斜交，故错误；对于B，m⊥n,m⊥α⇒n∥α或n⊂α，故错误;对于C，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于D，m∥n,m∥α⇒n∥α或n⊂α，故错误．故选C.3．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题:①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β;④l⊥m⇒α∥β。

其中正确的命题是（)A．①②B．③④C．②④D．①③答案D解析∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β,∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m,l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β,故③正确．4。

如图所示,在四面体D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE答案C解析因为AB＝BC,且E是AC的中点，所以BE⊥AC。

同理,DE⊥AC.又BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE。

因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE。