导数与不等式有关的问题

导数与不等式有关的问题

1．已知函数f (x )＝ax ＋x ln x 在x ＝e －2(e 为自然对数的底数)处取得极小值．

(1)求实数a 的值；

(2)当x >1时，求证：f (x )>3(x －1)．

解：(1)因为f (x )＝ax ＋x ln x ，所以f ′(x )＝a ＋ln x ＋1，

因为函数f (x )在x ＝e

－2处取得极小值，所以f ′(e －2)＝0， 即a ＋ln e －2＋1＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝ln x ＋2.

当f ′(x )>0时，x >e －2；当f ′(x )<0时，0

所以f (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增，

所以f (x )在x ＝e －2处取得极小值，符合题意，所以a ＝1.

(2)证明：由(1)知a ＝1，所以f (x )＝x ＋x ln x .

令g (x )＝f (x )－3(x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x >0)．

g ′(x )＝ln x －1，由g ′(x )＝0，得x ＝e.

由g ′(x )>0，得x >e ；由g ′(x )<0，得0

所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，

所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值为g (e)＝3－e>0.

于是在(1，＋∞)上，都有g (x )≥g (e)>0，所以f (x )>3(x －1)．

2．已知函数f (x )＝ln x ＋a x

. (1)求f (x )的最小值；

(2)若方程f (x )＝a 有两个根x 1，x 2(x 12a .

解：(1)因为f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2(x >0)，所以当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，函数f (x )无最小值．

当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．

函数f (x )在x ＝a 处取最小值f (a )＝ln a ＋1.

(2)证明：若函数y ＝f (x )的两个零点为x 1，x 2(x 1

由(1)可得0

则g ′(x )＝(x －a )⎣⎡⎦⎤1x 2－1(2a －x )2＝－4a (x －a )2

x 2(2a －x )2<0， 所以g (x )在(0，a )上单调递减，g (x )>g (a )＝0，

即f (x )>f (2a －x )．令x ＝x 1f (2a －x 1)，所以f (x 2)＝f (x 1)>f (2a －x 1)，由(1)可得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以x 2>2a －x 1，故x 1＋x 2>2a .

3．已知函数f (x )＝kx －ln x －1(k >0)．

(1)若函数f (x )有且只有一个零点，求实数k 的值；

(2)求证：当n ∈N *时，1＋12＋13＋ (1)

>ln(n ＋1)． 解：(1)∵f (x )＝kx －ln x －1，∴f ′(x )＝k －1x ＝kx －1x (x >0，k >0)．当0

时，f ′(x )<0；当x >1k

时，f ′(x )>0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1k 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1k ，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1k ＝ln k ，

∵f (x )有且只有一个零点，∴ln k ＝0，∴k ＝1.

(2)证明：由(1)知x －ln x －1≥0，即x －1≥ln x ，当且仅当x ＝1时取等号，∵n ∈N *，令x ＝n ＋1n ，得1n >ln n ＋1n

， ∴1＋12＋13＋...＋1n >ln 21＋ln 32＋...＋ln n ＋1n ＝ln(n ＋1)，故1＋12＋13＋ (1)

>ln(n ＋1)． 4．已知三次函数f (x )的导函数f ′(x )＝－3x 2＋3且f (0)＝－1，g (x )＝x ln x ＋a x

(a ≥1)． (1)求f (x )的极值；

(2)求证：对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)≤g (x 2)．

解：(1)依题意得f (x )＝－x 3＋3x －1，f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x ＋1)(x －1)，知f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是减函数，在(－1,1)上是增函数，

所以f (x )极小值＝f (－1)＝－3，f (x )极大值＝f (1)＝1.

(2)证明：易得x >0时，f (x )最大值＝1，由a ≥1知，g (x )≥x ln x ＋1x (x >0)，令h (x )＝x ln x ＋1x

(x >0)，则h ′(x )＝ln x ＋1－1x 2＝ln x ＋x 2－1x 2，注意到h ′(1)＝0，当x >1时，h ′(x )>0；当0

5．(2020·武汉质检)已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2.

(1)求函数f (x )的单调区间；

(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．

解：(1)∵函数f (x )＝x ln x 的定义域是(0，＋∞)，

∴f ′(x )＝ln x ＋1.令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，

解得0

， ∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e

， ∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞.综上，f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭

⎫0，1e ，单调递增区间