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第七届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：西北工业大学 满分：120分 时间：3小时一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量m 1=0.3 kg ，杯底座半径R =5 cm ，厚度不计，杯脚高度h =10 cm 。
如果有一个质量1.02=m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。
已知杯子底座与水平面之间的静摩擦因数f s = 0.5。
试分析小球在运动过程中：（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。
二、杂耍圆环(40分)1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。
设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 点的速度大小为0v ，圆环的角速度为0ω，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面间的静摩擦因数为s f ，不计滚动摩阻，试问：（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v 1，圆环平面保持在铅垂平面内。
试分析圆环碰到高为h (h 2r<)的无弹性台阶后， 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。
3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。
又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 f t ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。
试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。
三、趣味单杠(30分)单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。
单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。
第6届周培源全国大学生力学竞赛初赛（样题）时间3小时，满分120分一、奇怪的独木桥（25分）一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。
他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。
他觉得很奇怪，为什么2个人可以过桥而1个人却不能。
等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。
根据事后他的调查，小河宽4米，独木桥长6米，如图1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。
独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为[]600N mM=⋅。
为方便假设每人的体重均为800N，而独木桥的重量不计。
请你分析一下：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果一个人想过桥，最多能走多远？（3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？图1 奇怪的独木桥二、模特儿与新型舞台（35分）2a a 有位模特儿在一种新型舞台上练习走台步。
该舞台类似长方形桌子，长为，宽为，有6条等长的桌腿（图2）。
每条桌腿都与水平地面有接触开关，如果接触处有压力就会使对应的一盏灯亮起来。
该模特儿发现，站到舞台不同的位置会有不同数目的灯亮起来，如图2，她站在舞台右上角附近时，左下角的灯就不亮。
如果把模特儿的重量认为是集中载荷，把舞台认为是刚体且不计质量，则（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）如果模特儿站在舞台的正中央，会有几盏灯亮起来？（3）模特儿在不同区域时会有不同数目的灯亮起来，请在长方形舞台上确定各区域的边界并画出示意图，然后在该区域内写上亮灯的数目（提示，亮灯的数目有可能为6、5、4、3、2、1）。
aa a a图2 模特儿的新舞台 三、魔术师的表演（25分） 魔术师要表演一个节目。
其中一个道具是边长为的不透明立方体箱子，质量为a 1M；另一个道具是长为L 的均质刚性板AB ，质量为2M ，可绕光滑的A 铰转动；最后一个道具是半径为R 的刚性球，质量为3M ，放在刚性的水平面上。
第十三届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题参考答案及详细解答出题学校：南京航空航天大学（本试卷分为基础题和提高题两部分，满分120分，时间3小时30分）评分总体原则采用扣分制或加分制。
采用扣分制时，建议最终所扣分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
采用加分制时，建议最终所给分数总和不超过题目（或问题）总分的一半。
如果学生的解题方法和参考答案不同，则按以下几种情况分别处理：（1）如果学生给出的最终结果和参考答案相同，建议采用扣分制：侧重检查学生的解题过程有无不严谨的地方或小的概念错误（未影响结果），如果有的话，建议每一处错误可酌情扣1~2分。
（2）如果学生给出的最终结果和参考答案不同：（A）如果学生解答的总体思路合理、清晰，建议采用扣分制：在检查学生的解题过程时侧重区分某错误是概念错误还是计算错误。
建议对于每一处概念错误扣5分或以上，对每一处计算错误酌情扣1~2分。
对于由一处计算错误所引起的后续计算结果错误，只按一次错误扣分，计算错误不累计扣分。
（B）如果学生解答的总体思路不清晰，建议采用加分制：在检查学生的解题过程时侧重寻找其局部正确、合理的部分，酌情给分。
一、参考答案第一部分基础题部分参考答案（共60分）第1题(18分)1）CDE ωω=-，11C DE ωω=（5分）2）2=41)2F ka a+（5分）3）223[+4(28ABC M ka maα=-（8分）第2题(12分)1）1058B B ωω=（3分）2）1min A ω（4分）3）25sin 39[1cos30)]0θθ---≥（（5分）第3题(15分)1）AC BC 7.338kNF F ==（拉）CD CE 10.377kNF F ==（拉）（7分）2）AC BC =33.125kN F F =（拉）CD CE 43.155kN F F ==（压）（8分）第4题(15分)1）31232(1)cos e E D M πβμβ=∆+（5分）2）222(1)sin 2E D F πβμβ=∆+（5分）3）22.5β=︒（5分）第二部分提高题部分参考答案（共60分）第5题(15分)1）当θ=0°或θ=180°时，解不唯一。
周培源力学竞赛2023试题周培源力学竞赛2023试题一、力学基础1. 利用牛顿第二定律，推导物体加速度与作用力、质量的关系，并给出一个具体的计算例子。
2. 如何解答几何体的重心问题？请结合一个具体的例子进行说明。
3. 汽车在行驶过程中，为什么需要通过制动器来减速？请阐述其原理，并简述与摩擦力的关系。
4. 简要描述质点与刚体之间的区别，并说明在力学问题中何时可以近似将一个物体视为质点来处理。
5. 举例说明质点系与刚体平衡的条件，并解释基于这些条件如何判断一个物体是否处于平衡状态。
二、动力学1. 简述匀速直线运动和匀加速直线运动的特点，并通过一个实际问题进行说明。
2. 电梯运动中的垂直运动和水平运动有何不同？请结合物体的重力、加速度和支持力等因素进行分析。
3. 弹性碰撞和完全非弹性碰撞的区别是什么？请列举一个实例并解释其物理背景。
4. 简述胡克定律，并通过一个具体的弹簧问题进行说明。
5. 飞行员进行高速转弯时，为什么需要倾斜飞机？请结合离心力和倾斜角度进行分析。
三、静力学1. 如何解答平衡力的问题？请结合一个具体的平衡木问题进行说明。
2. 用冰块平衡一个玻璃杯，需要考虑哪些因素？请从静力学的角度进行分析，并给出具体的计算或推导过程。
3. 如何判断一个物体受到的摩擦力是否足够防止其滑动？请说明判断依据，并列举一个滑动问题进行计算。
4. 介绍杠杆原理，并给出一个具体的杠杆平衡问题进行解答。
5. 解释悬挂桥的原理，并通过一个现实案例进行说明。
四、万有引力和浮力1. 描述万有引力定律，并给出一个距离和质量相应的计算例子。
2. 为什么人站在地球上不会从中心被吸向地面？请解释其原理，并说明物体受到重力的条件。
3. 为什么气球可以漂浮在空中？请从浮力和重力的角度进行解释。
4. 在理想气体状态方程中，推导出波义尔定律并给出两个相关的公式。
5. 如何判断一个物体在液体中浮、沉还是部分浮沉？请结合物体的密度、液体的密度和浮力进行分析。
第十一届全国周培源大学生力学竞赛（个人赛）试题出题学校：湖南大学（本试卷分为基础题和提高题两部分 满分120分 时间3小时30分）说明：个人赛奖项分为全国特、一、二、三等奖和优秀奖。
全国特、一、二等奖评选标准是：提高题得分进入全国前5%，并且总得分排在全国前列，根据总得分名次最终确定获奖人。
全国三等奖和优秀奖直接按赛区内总得分排名确定获奖人。
注意：试题请全部在答题纸上作答，否则作答无效。
各题所得结果用分数或小数表示均可。
第一部分 基础题部分（填空题，共60分）第1题（6分）图1所示正方体边长为c ，其上作用四个力F 1、F 2、F 3、F 4，其中各力大小之间的关系为F 1=F 2=F a ，F 3= F 4= F b 。
(1)、（2分）此力系对OA 轴之矩的大小为（____________________________）；(2)、（2分）若此力系可简化为一个力，则F a 与F b 的关系为（________________________）； (3)、（2分）若F a = F b = F ，此力系简化为一力螺旋，则其中的力偶矩大小为(_________________)。
图1第2题（6分）两匀质圆轮A 和B 的质量同为m ，半径同为r 。
如图2所示，轮A 沿着水平面运动，绕于轮B 的细绳通过定滑轮C 后与轮A 的中心相连，其中CA 段绳水平，CB 段绳铅直。
不计定滑轮C 与细绳的AF 1 yOx z F 4F 3F 2质量，且细绳不可伸长。
系统处于铅垂平面内，自静止释放。
(1)、（2分）若轮A 既滚又滑，则系统的自由度为（_________________）； (2)、（4分）若轮A 与水平支承面光滑接触，则轮B 下落的高度与时间的关系为（___________________________________________________________________________）。
第五届全国周培源大学生力学竞赛试题理论力学试题1、（5分）半径为R的刚性圆板受到两根无质量刚性杆的约束，如图1所示，F1在圆盘的边缘沿水平方向，F2沿铅垂方向，若使系统平衡，F1与F2的大小关系为______2、（5分）平面结构如图2 所示，AB在A点固支，并与等腰直角三角形BCD在B点铰接，D点吊一重为W的物块，在作用力P的作用下平衡。
已知力P沿DC 方向，各构件自重不计，则A处的约束力偶矩MA=______。
3、（6分）4根等长的杆质量忽略不计，用铰链连接成如图3机构，在F1，F2和F3的作用下，在图示位置保持平衡。
若不计各处摩擦，则各力之间的关系为______4、（10分）沿长方体不相交且不平行的三条棱边作用三个大小相等的力（图4），则边长a,b,c满足______条件时，该力系才能简化为一个力。
5、（6分）半径为R=0.6m,质量m=800kg的滚子顶在坚硬的障碍物上。
障碍物的高度h可以是各不相同的（图5）。
现在假设h是按高斯分布的随机变量，而且它的数学期望是m h=0.1m,均方差是σh=0.02m.问：当水平力F=5880N时，能克服障碍物的概率α是______（取g=9.8m/s^2）提示：设u是随机变量，已知它的数学期望（均值）mu和均方差σu，于是u满足u<a的概率α由下式确定：α=P{u<a}=F(δ), δ=(a-mu)/ σu并且F（δ）是一特定的分布函数。
对于高斯分布，F（δ）列在下表中。
6、（6分）图6所示三条平行直线I，II，III之间距离分别为m和n。
今有两动点A和B以反向速度V1和V2分别沿直线I和直线II作匀速直线运动，另有第三动点C沿直线III运动。
欲使在运动中任一瞬时三点均在一直线上，则该第三点的速度V3=______7、（6分）试列出平面图形沿轴Ox滚动而不滑动的条件（图7）提示：用基点A的坐标x,y及其导数，图形转角θ及其导数，以及接触点K在Aᵷŋ中的坐标ᵷk, ŋk表出，其中Aᵷŋ固连于图形上。
第二届全国周培源大学生力学竞赛试题理论力学试题一、填空题下列（1）至（5）题为填空题。
将答案填在答题纸上相应题号的答案栏内。
每栏填对得3分，填错或不填不得分。
（1）对牛顿万有引力定律和开普勒行星运动定律有两种说法。
第一种说法是：牛顿从开普勒行星运动定律导出万有引力定律；第二种说法是：开普勒从牛顿的万有引力定律和运动定律导出行星运动定律。
根据历史事实，第（）种说法是正确的。
（2）中国科学院力学研究所是我国规模最大的综合性力学研究单位。
它是1956年由著名科学家（）创建的，他于1991年10月被授予“国家杰出贡献科学家”荣誉称号。
（3）图1所示曲线为一旋轮线，其参数R为已知，图中M点处的曲率半径为（）（4）图2所示均质细杆AB，A端借助无重滑轮可沿倾角为θ的轨道滑动。
如不计摩擦，杆在自重情况下，从静止进入运动。
为使杆的运动为平动，则初瞬时杆与铅垂线的夹角α必须等于（）（5）如图3所示，AB是半径为R的一段均质细圆弧，可绕其中点的水平轴O转动。
此圆弧绕转轴微幅摆动的周期应为（）二、是非判断题下面（6）至（16）题为是非判断题。
根据每题的正确与错误在答题纸相应的题号的答案栏内填“是”或“非”。
每栏填对得3分，不填得1分，错填得0分。
（6）一均质球在重力作用下沿粗糙斜面纯滚动，则质心的轨迹或为直线或为抛物线。
（）（7）一个非平衡的空间力系总可简化为一个合力或者两个不相交的力。
（）（8）图4所示细直杆AB，重为P，其一段A靠在光滑的铅直墙上，同时又被一光滑棱C支承于图示位置（OA⊥墙面，OC⊥AB，且它们同时与重力P的作用线交于O点），则此时杆处于稳定平衡位置。
（）（9）六棱四面体受空间任意力系作用而平衡，则该力系分别对其六个棱边之主矩为零必是六个独立的平衡方程。
（）（10）如点的切向加速度和法向加速度的大小均为常值，则该点的运动方向在时间t内转过的角度为Aln(1+Bt²)，其中A、B为常数。
（）（11）半径为R的圆轮在铅直面内沿水平直线轨道纯滚动。
第三届全国周培源大学生力学竞赛理论力学试题一、是非题（共5题，每题3分，请在答案纸的相应题号括弧内填“是”或“非”）（1）一空间力系，若各力作用线与某一固定直线相平行，则其独立的平衡方程只有5个。
（）（2）牵连运动为定轴转动时，不一定有科氏加速度。
（）（3）平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和可以用作用于质心的刚体动量对该轴的动量矩表示。
（）（4）平面运动刚体上的惯性力系的合力必作用在刚体的质心上。
（）（5）拉氏二类方程的适用范围是完整、理想约束，而动力学普遍方程则没有这些限制。
（）二、选择题（共5题，每题3分，请将答案的序号填入答题纸的相应题号括弧内）（6）已知一正方体，各边长a,沿对角线BH作一个力F，则该力在x1轴上的投影为（）263A、0B、F/C、F/D、—F/(7)三角形楔块B置于楔块A的斜面上，若A块以V A=3m/s的速度向左运动，α=30°，则B块的速度V B=（）m/s.（8）在图示系统中，滑块A以匀速度VA=1m/s向下运动，杆CD长1m,当α=45°且杆水平时，AB杆的角速度ωAB=（）rad/s，CD的角速度ωCD=（）rad/s.（9）一弹簧系数为k的弹簧下挂一质量为m的物体，若物体从静平衡位置δ（设静伸长为）下降△距离，则弹性力所作的功为（）A、k△²/2B、k(δ+△)²/2C、k ((δ+△)²-δ²)/2D、k (δ²- (δ+△) ²) /2（10）图示系统中主动力作用点C、D、B的虚位移大小的比值为（）A、1:1:1B、1:1:2C、1:2:2D、1:2:1三、填空题（共6题，第11~14题每题5分，第15、16题每题10分，请将答案的序号填入答题纸的相应题号括弧内）（11）半径r，重为量W的均质圆柱体置于半径为R的圆槽底部，接触面间的摩擦系数为u。
在圆柱体边缘缠绕一不计重量的柔绳，端部悬挂重量P，则平衡时圆柱体的中心可以升高，OC连线的最大偏角θ可达（）（12）重物A的质量为m，悬挂在刚度为k的铅垂弹簧上。
物理竞赛辅导力学部分（三）1. 如图所示，若在A 点挂重物G ，在B 点分别用不同方向的三个力F1、F2、F3都能使杠杆静止在如图所示的位置，那么最省力的是＿＿＿＿。
2. 如图，吊篮的重为400牛顿，动滑轮总重为50牛顿，定滑轮总重为40牛顿，人重为600牛顿，人在吊篮里拉起绳子不动时，人需要用＿＿＿＿＿牛顿的力（不计摩擦力和绳重）。
3. 如图所示，用滑轮装置将A 、B 两个物体悬挂，如果不计滑轮质量、绳重和摩擦，要使整个装置达到平衡，则GA ＝＿＿＿GB 。
4. 某同学自制了一架天平，由于制作粗糙，天平两侧长度不同。
当将一物体放在天平的左盘时，右侧砝码的质量为m1，恰好平衡；当将该物体放在天平的右盘时，左侧砝码的质量为m2，天平才平衡。
则该物体的质量应为：A 、21m m 。
B 、2m m 21+。
C 、2121m m m m +。
D 、无法确定。
5. 为保证市场的公平交易，我国已有不少地区禁止在市场中使用杆秤。
杆秤确实容易为不法商贩坑骗顾客提供可乘之机。
请看下例。
秤砣质量为1千克，秤杆和秤盘总质量为0.5千克，定盘星到提纽的距离为2厘米，秤盘到提纽的距离为10厘米。
若有人换了一个质量为0.8千克的秤驼，售出2.5千克的物品，物品的实际质量是多少？6. 如图所示，一根长为L 的木头重1000牛，其重心O 在离木头左端L/3处，甲、乙二人同时各扛一端将木头扛起，此后丙又在木头的中点N 处向上扛，用力f 丙=300牛，由于丙的参加，乙的负重减轻了多少？7. 如图所示，天平左盘放一支长蜡烛A ，右盘放两支长度均为A 长度一半的两支蜡烛B 、C ，天平恰可平衡。
如果使它们同时燃烧，且它们的燃烧速度相同，则在它们燃烧的过程中天平是否平衡？8. 把一长为2米的平板的中点支在水平面上的一不高的支点上，在平板上放有两个小球，如图所示。
已知m 甲=3千克，位于板的中点，m 乙=2千克，位板的右端，现使两球均以0.1米/秒的速度沿板同时向左运动，经多少秒平板开始转动？9. 一根质量均匀的直尺放在水平桌面上，全长1/4伸出桌外，在伸出端挂一重5牛的物体G 时，直尺仅对桌面O 点有压力，如图所示，则此直尺重为多少？10. 如图所示，物体G 重力为100N ，在不计摩擦和滑轮重的情况下，拉力F 应该为多大？如果考虑滑轮重力，拉力F 的实际大小为28N ，则每个滑轮重为多大？11. 如图所示，有一重为600牛的人，立于重为300牛的吊篮上，竖直向下拉一绕过滑轮的绳子，如果滑轮的物重、摩擦不计，此人要匀素提起吊篮，需要用多大的拉力？12如图所示为一均匀圆薄板，半径R=30厘米，现从圆板上挖出一个半径为r=15厘米的内切圆，试求剩余部分的重心到大圆圆心的距离多大？13. “一个和尚挑水吃，两个和尚抬水吃，三个和尚没水吃”，这是民间流传的一个故事。
第四届全国周培源大学生力学竞赛材料力学试题题一(25分)如图所示，狭长矩形截面直杆单侧作用有轴向均布剪切荷载，其单位长度上的大小为q.1、（5分）任意截面上的轴力N（x）= ______ 与弯矩M(x)=______2、（5分）如果平面假设与胡克定律成立，任意截面上正应力σ（x,y）=______3、（5分）q、N与M之间的平衡微分关系为______4、（10分）任意横截面上剪应力t(x,y)=______题二（20分）今有两个相同的L型元件，用螺栓连接，以传递拉力P。
几何尺寸如图所示，L型元件是刚体，螺栓是线性弹性体，其拉压弹性模量为E，许用应力为[σ]设两L型元件间无初始间隙，也无预应力，并设在变形过程中两个螺母与L 型元件始终贴合，螺栓与L型元件在孔壁间无相互作用力，则1、（5分）在L型元件孔内一段螺栓的轴力N=______2、（5分）在L型元件孔内一段螺栓的弯矩M=______3、（5分）两个L型元件相对转角△θ=______4、（5分）许用应力[P]题三（20分）矩形等截面悬臂梁高h,宽b,长l。
重Q的重物从高H=60Ql^3/(EI)处落到自由端并附着于它。
梁的质量不计，E为材料的弹性模量，I为截面轴惯性矩。
1、（5分）梁内最大冲击正应力σd,max将梁设计成两段等长的阶梯梁（两段各长L/2），梁高h保持不变，各段梁宽度可按要求设计。
在梁内最大冲击正应力不变的条件下，按最省材料原则，阶梯梁在靠自由端一段宽b1，靠固定端一段宽b2，，则2、（5分）b1/b2=______3、（5分）阶梯梁比等截面梁节省材料（分数或百分数表示）题四（15分）如图所示，简支梁AB承受均布荷载q，在C，D两点的两个相等的集中力P，在B点的集中力偶M的作用。
U是梁的应变余能（线弹性情形下等于应变能）1、（5分）的几何意义为______2、（5分）的几何意义为______3、（5分）的几何意义为______题五（20分）曲杆AB的轴线是半径为R的四分之一圆弧，杆的横截面是直径为d的实心圆，d<<D，杆的A端固定，B端自由，并在B端作用有垂直于杆轴线所在平面的集中力P。
