16.1二次根式2.PPT课件
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两当县第八中学八年级数学下册第16章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质课件新版沪科版3
〔 x4 y〕4 (x4+y4) x8 y8
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
休息时间到啦
解〔2〕因为 x 为任何实数时都有 x2 ≥ 0. 所以当 x 为一切实数时 , x 2在实数范围内都有意义.
练一练 x 取何值时 , 以下二次根式有意义？
（ 1 ） x 1x≥1 （ 4 ） 1x＞0
x
（ 2 ） 3 xx≤0 （ 5 ） x 3 x≥0
（ 3 ） 4 x 2x实为数全体 （ 6 ） x 1 2 x≠0
a 2 根号 a 的平方
a 2 根号下 a 的平方
2.从运算顺序来看 :
a 2 先开方 , 后平方 a 2 先平方 , 后开方
思 考 ( a)2与 a2的 区 别 有 哪 些 ？
3.从取值范围来看 :
a 2 a≥0
a 2 a 取任何实数
4.从运算结果来看 :
a 2 =a
a (a 0)
a2
解 x24x4x22x2.
当 x = -2 时 , ︱x-2︱=︱-2-2︱= -(-2-2) = 4.
∴当 x = -2 时 , x24x44.
梳理归纳
〔1〕根号内字母的取值范围是如何求的？ 〔2〕二次根式的性质是如何应用的？
随堂练习
1. 求以下二次根式中字母的取值范围 :
1 3x 2
y 22
(1+a)(-1+a)
a b a2-b2
小结 平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
合理加括号
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油!奥利给~
休息时间到啦
解〔2〕因为 x 为任何实数时都有 x2 ≥ 0. 所以当 x 为一切实数时 , x 2在实数范围内都有意义.
练一练 x 取何值时 , 以下二次根式有意义？
（ 1 ） x 1x≥1 （ 4 ） 1x＞0
x
（ 2 ） 3 xx≤0 （ 5 ） x 3 x≥0
（ 3 ） 4 x 2x实为数全体 （ 6 ） x 1 2 x≠0
a 2 根号 a 的平方
a 2 根号下 a 的平方
2.从运算顺序来看 :
a 2 先开方 , 后平方 a 2 先平方 , 后开方
思 考 ( a)2与 a2的 区 别 有 哪 些 ？
3.从取值范围来看 :
a 2 a≥0
a 2 a 取任何实数
4.从运算结果来看 :
a 2 =a
a (a 0)
a2
解 x24x4x22x2.
当 x = -2 时 , ︱x-2︱=︱-2-2︱= -(-2-2) = 4.
∴当 x = -2 时 , x24x44.
梳理归纳
〔1〕根号内字母的取值范围是如何求的？ 〔2〕二次根式的性质是如何应用的？
随堂练习
1. 求以下二次根式中字母的取值范围 :
1 3x 2
y 22
(1+a)(-1+a)
a b a2-b2
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件
（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范 例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意 义的条件和 非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非 负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式 ，必须a满足以下两条：
16.1 二次根式(课件)2024-2025学年度沪科版数学八年级下册
解： x2 2x+2 (x )2 x . 当x4时，x 4 4 . ∴当x4时， x2 2x+2 4 .
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
提示
1 将式子先化成“ a2 ”的形式；
2 利用二次根式的性质化简；
3 代值计算.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
随堂练习 1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
典型例题
【例3】计算：
(1) (5)2；
(2) (1 2)2 .
解：(1) (5)2 52 5 或 (5)2 5 5 .
(2) (1 2)2 1 2 (1 2) 2 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
【例4】先化简再求值： x2 2x+2 ，其中x4.
典型例题
【例2】当x是什么实数时，下列各式有意义？
(1) x 4 ； x2
(2) x2 .
解：(1)由x+4≥0，且 x–2≠0，得x≥– 4，且 x≠2； (2)由–x2≥0，得x=0.
提示 ①被开方数≥0. ②若分母中有字母，保证分母不等于0.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
运算顺序 取值范围 运算结果
( a)2 先开方，后平方
a≥0 a
Байду номын сангаас意义
表示一个非负数a的 算术平方根的平方
a2 先平方，后开方
a取任何实数
a
表示一个实数a的 平方的算术平方根
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
二次根式有意义的条件 被开方数≥0.
【例1】x为何值时，下列式子在实数范围内有意义？
2023-2024学年人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式第2课时 算术平方根及化简
=____=
ቊ
− < 0 .
典例分享
例 实数，，在数轴上的位置如图16.1-1所示，化简：
2 − − +
+ 2.
图16.1-1
[答案] 解 由图16.1-1可知， < −1， > 1，−1 < < 0，所以
+ > 0， − < 0.
所以 2 = −，− − = − ，
2−
2
+
−4
2
= 2，求的取值.
解：原式= − 2 + − 4 ，
当 < 2时，原式= 2 − + 4 − = 6 − 2 = 2，解得 = 2
（舍去）；
当2 ≤ < 4时，原式= − 2 + 4 − = 2，等式恒成立；
当 ≥ 4时，原式= − 2 + − 4 = 2 − 6 = 2，解得 = 4.
8.计算：
6
（1） 36 =___.
（2）
5
2
5
=___.
（3） −
2
0.5
=____.
1
−
=____.
3
（5）
（6）
（7）
（8）
2
3
2
−5
2
=__.
9
2
5
=___.
2−3
2− 3
2
3− 2
=_______.
2 023
2+ 3
2 024
− 2− 3
=__________.
人教版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
初中数学 人教版八年级下册16.1二次根式(2)二次根式性质课件(共16张PPT)
双色笔、练习本、课本、 典题本、试卷
二次根式的概念
式子 a a 0 叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a 0 时， a 有意义。
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到
结论的依据．
（ 4 ）2 = ___4__；（ 2 ）2 = ___2__；
7 出自己的疑难。
重点讨论：1.观察二次根式当a>0 a2 _其_a_结_ 果与根
号内幂底数的关系？
2.探讨当a<0时，a2 ____
3. ( a)2与 a2有区别吗?
讨论要求：
1.针对问题，积极参与，热烈讨论，动手动脑。
2.注意及时完善自己小组展示的内容。
展示题目 展示地点 点评小组
（
1 3
）2 =
1 ___3__；
（
0）2 =___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
（ a ）2 =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
二次根式性质
1、掌握二次根式的基本性质：a 0(a 0) 和 ( a )2 a(a 0) ；
2、能利用二次根式的性质进行计算和化 简；
t 特征？
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得 到的式子叫代数式．
性质1：
2
a a (a≥0)
性质2： a2 a
a a
(a 0) (a 0)
( a )2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
2 a 先开方,后平方
2.从取值范围来看,
二次根式的概念
式子 a a 0 叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a 0 时， a 有意义。
问题1 根据算术平方根的意义填空，并说出得到
结论的依据．
（ 4 ）2 = ___4__；（ 2 ）2 = ___2__；
7 出自己的疑难。
重点讨论：1.观察二次根式当a>0 a2 _其_a_结_ 果与根
号内幂底数的关系？
2.探讨当a<0时，a2 ____
3. ( a)2与 a2有区别吗?
讨论要求：
1.针对问题，积极参与，热烈讨论，动手动脑。
2.注意及时完善自己小组展示的内容。
展示题目 展示地点 点评小组
（
1 3
）2 =
1 ___3__；
（
0）2 =___0__．
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
（ a ）2 =a（a≥0）．
你能说说依据吗？
二次根式性质
1、掌握二次根式的基本性质：a 0(a 0) 和 ( a )2 a(a 0) ；
2、能利用二次根式的性质进行计算和化 简；
t 特征？
（1）含有表示数的字母； （2）用基本运算符号连接数或表示数的字母．
用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得 到的式子叫代数式．
性质1：
2
a a (a≥0)
性质2： a2 a
a a
(a 0) (a 0)
( a )2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看,
2 a 先开方,后平方
2.从取值范围来看,
人教版《16.1二次根式》课件第一课时
已知
1 a
有意义,那么A(a,
a)
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
结束语
谢谢大家聆听！！！
23
定义：式子 a(a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
掌握二次根式有意义的条件
二次根式 a 有意义的条件: ____ａ__≥_０_____
例1.x是怎样的实数时，下列式子在实数范 围内有意义？
(1) x 1
(2) x2 2
(3) x2
(4) 1 3 2x
①被开方数大于或等于零；
②分母中有字母时，要保证分母不为零。
第十六章二次根式
16.1 二次根式
二次根式
(a≥0)表示非负数a的算术平方根，
形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
例1.下列各式是二次根式吗？
(1)32, (2)6, (3)9,
(4)12, (5)m m0 ,
(6) xyx,y异号 , (7)a2,(8)3 5.
切入点：从字母的取值范围入手。 l2.已知 x 2y 9与 x y 3互为相反数，
求 x 、y 的值.
切入点：从代数式的非负性入手。
l3.已知 x 1 ，你能求出 x的取值范围吗？
3 x
切入点：分类讨论思想。
l4.若 1 0 a为一个非负整数，求非负整数 a 的值
若a.b为实数,且| 2a| b20 求 a2 b2 2b1的值。
又 ∵ a+2 +|3b-9|+(4-c) 2=0, ∴ a+2=0 , 3b-9=0 ,4-c=0 。 ∴ a= -2 , b= 3 ,c= 4。 ∴ 2a-b+c=2× (-2) -3+4 = -3。
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____
《二次根式》PPT课件 (共31张PPT)
练习：
x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1
x 1 (2) 3x
x0
(3) 4 x
2 x为全体实数
(5) x
3
x0
1 a< 2
1 (4) x
x0
1 (7) 1 2a
1 (6) x0 2 x 3 x (8) | x | 4
求二次根式中字母的取值范围的基本依据： ①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
2 2
x=5，y=11
(2 x - y)
2011
=- 1
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
1、（ a） ＝a （a 0）
2
2、（ a ）＝|a| =
2
a (a>0) 0 (a=0)
-a (a＜0)
( a ) 与 a 有区别吗?
2
2
( a) 与 a
1:从运算顺序来看,
2
2
a
a
2
2
先开方,后平方
先平方,后开方
2.从取值范围来看, 2 a≥0 a
a
2
a取任何实数
3.从运算结果来看:
①被开方数大于等于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。 ③多个条件组合时，应用不等式组求解
二次根式的双重非负性
a 吵0, a 0.
二次根式的性质
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件
求此三角形的周长．
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
3 a≥0，
解：由题意得
2a 6≥0，
∴a=3，
∴b=4.
当a为腰长时，三角形的周长为3+3+4=10；
当b为腰长时，三角形的周长为4+4+3=11．
课堂检测
拓 广 探 索 题
先阅读，后回答问题：
当x为何值时， x x 1 有意义？
解：由题意得x(x-1)≥0
解得 m≥2且m≠-1，m≠2， ∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式
x2 6x m 都有意义，求
m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0，即(x+3)2+m-9≥0.
∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
课堂检测
能 力 提 升 题
已知a，b为等腰三角形两条边长，且a，b满足b 3 a 2a 6 4，
双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
a ≥0.
探究新知
考 点 1 利用二次根式的双重非负性求字母的值
若 a 3 b 2 (c 1)2 0 ，求2a -b+3c的值.
提示：多个非负数的和为零，则可得每个非负数均为零.
初中阶段学过的非负数主要有绝对值、偶次幂及二次根式.
人教版 数学 八年级 下册
16.1 二次根式
第1课时
导入新知
电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传播得越远，从而能收
看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节
目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系r= Rh ，
其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的高分别是h1 km、
八年级下册数学教学课件《16.1 二次根式第2课时 二次根式的性质》
2
1
3
. ________
( a )2 (a 0) 的性质：
一般地，( a )2 ＝a (a ≥0).
即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略a≥0这一限制条件.这是使二次根 式 a 有意义的前提条件.
例1 计算： (1) ( 1.5)2;
(2) (2 5)2；
解：(1) ( 1.5)2 1.5.
练习
1.化简 36 得（ C ） A. ±6 B. ±4 C. 6
2.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.-6
D.
3.若,
则a的取值范围是：
4.化简：
（1） 9 ＝ 3 ; （2） (4)2 ＝ 4 ;
（3） 72 7
2
; （4） 81 81 .
5.计算
6.三角形ABC 的面积为12，AB边上的高是AB 边长的4倍，求AB的长。
思考：当a＜0时， a2 = ？ -a
2.试一试
32 9 = 3
2
2
3
4 2 93
0.52 0.25 0.5
由此可以看出，
a2 -a (a 0)
知识总结
如果a是任意有理数，则
a2
a a
(a≥0) (a<0)
？ 当a 0时，a2 = ( a )2.
练一练 计算：
(1) ( 5 )2 ；
( 2 ) ( 2 2 )2 .
解: ( 1) ( 5 )2 5 .
( 2 ) ( 2 2 )2= 22 ( 2 )2 = 42 =8 .
例3 化简：
(1) 16;
(2) (5)2；
解：(1) 16 42 4. (2) (5)2 52 5.
课件4：16.1二次根式(2)
本第4页的练习1和学案自主学习的4、5题。时间
5分钟。
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抢
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5
答
3
______, 2
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______, 3
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1
2 ________,
3
−
2
-5
.
________, 5
________
3
2
2
2
2
63
=
；
(
3
7
)
（6）
（7）( x 7 ) = 7x .
1
2
1 ?
自 学 指 导
?
自学课本例3的内容，完成学案自主学习的1、2、3
题，和合作探究。时间6分钟。
探 究 知 识
2
2 2 ___,
2
5
5 ___,
2
| 2 | ___;
通过这节课的学习，说说你学到了什么？
布 置 作 业
作业：
教科书第4页练习第1，2题；
习题16.1第2，4题．
本节内容结束
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∣a∣
2
( a )2
课 堂 练 习
1、判断题
1 2
2
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×
2
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3 2 2Leabharlann 4 2 2
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（6）
（7）( x 7 ) = 7x .
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自 学 指 导
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自学课本例3的内容，完成学案自主学习的1、2、3
题，和合作探究。时间6分钟。
探 究 知 识
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| 2 | ___;
通过这节课的学习，说说你学到了什么？
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1、判断题
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1 a 1
3 a 32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1
x0
x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x 1,且x 2
x3
(8) x 2 x 0
x
隋堂练习 1
练习1：求下列二次根式中字母的取值范围：
(1) a 1 (2) 1
1 2a
(3) (a 3)2
4 2 5x 5 2x 12
6 x 5 3 2x
7 2x 1
1 x
（8）
例2、下列各式是二次根式，求 式子中的字母所满足的条件：
为了方便起见，我们把一个数的算术平方 根也叫二次根式。
例如： 5
2 也叫二次根式。
3
1.二次根式的概念
定义:
式子 a a 0 叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a 0 时， a有意义。
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 104 , 0.04; 49
观察： 上的被面特开几点方个 ？数式是子非中负，数被开方数
合作学习
根据下图所示的直角三角形、正方形和等边 三角形的条件，完成以下填空：
a cm
2cm （b – 3）cm²
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知： x 4 + 2x y =0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 x-4=0 且 2x+y=0 解得 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12
5.已知x,y为实数,且
x 1 +3(y-2)2 =0,则x-y的值为( D )
3 Scm2 2
直角三角形的边长是： a2 4
正方形的边长是：
b3
等边三角形的的边长是： 2s
。Hale Waihona Puke 。。你认为所得的各代数式的共同特点是什么？
概念 学习
a2 4, b 3, 2S
各代数式的共同特点：
1。表示的是算术平方根
2。根号内含有字母的代数式
像 a2 4, b 3, 2S 这样表示的是算术平方根， 且根号内含有字母的代数式叫二次根式。
21.1 二次根式
1、平方根的性质： 1、16的平方根是? 算术平方根是？ 2、0的平方根是？算术平方根是？ 3、－7的平方根是？算术平方根是？
正数有两个平方根且互为相反数；
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
正数和0有算术平方根 负数没有算术平方根
复习 回顾
正数有两个平方根且互为相反数
1、平方根的性质：
1. 当 X ≤__3___时，
3 x 有意义。
2.
a 4 + 4 a 有意义的条件是 a=4
3.求下列二次根式中字母的取值范围
x 5 1 3x
解： x 5 0 ① 3- x 0 ②
说明：二次根式被开方数 不小于0，所以求二次根 式中字母的取值范围常转 化为不等式（组）
解得 - 5≤x＜3
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴1
2
⑵ 16
⑶ a2 2a 2 ⑷
⑸ m 32 ⑹
x (x 0)
a9
a 1 (a 3)
例1、当a为实数时，下列各式中 哪些是二次根式？
解：因为a是实数时，a+10、a2-1不能 保证是非负数，
即a+10、a2-1可以是负数 (如当a＜-10时，a+10＜0；又如当0＜
a＜1时，a2-1＜0 ）
隋堂练习 1
1、判断，下列各式中那些是二次根式？
8. 7，
1，
2
x 2 y ( y 0)， x 2 y 2
3
2、思考：如 3 ， a（a＜0） 是不是二次根式？ 为什么？
二次根式根号内字母的取值范围必须满足
被开方数大于或等于零
a2 1
3 -2
2a 1
a
a 12
你能用魔法师变出的这些代数式 作为被开方数构造二次根式吗？
2.当X= –2时，求二次根式
2 1 x 的值。
2
已知 1 有意义,那A(a,
在
二
a
象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A(－,＋)
a )
?
例．下列各式中那些是二次根式？ 那些不是？为什么？
① 15
② 3a
③ x 100
④ a2 b2 ⑤ a2 1 ⑥ 144
⑦ a2 2a 1 ⑧ 3 5
题型1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
判断，下列各式中那些是二次根式？
a 10, 0.044,, aa22 ,
5,
aa ,, 3 8.
定义：式子 a (a 0) 叫做二次根式.
其中a叫做被开方式。
不要忽略
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 12 , (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
解 由 x 3 0，得 x 3。 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5 ； （3） 3 x 。
求下列二次根式中字母的取值范围：
0有一个平方根就是0； 负数没有平方根。
2.试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 10; 49
观察： 上面几个式子中，被开方数 的特点？ 被开方数是非负数
3、 a （a≥0）表示什么？
表示非负数a的算术平方根
想一想：
正数有两个平方根且互为相反数；
1、平方根的性质： 0有一个平方根就是它0；
练习
求出下列二次根式中字母a的取值范围：
a 1 ，
1 a ，
1 1 a ，
(1 a)2 ， a2 2a 3 ，
3 2a a 1
练习 2
1、求下列二次根式中字母x的取值范围：
(1) x 1 (2) 4 x 2 (3) 1
x (4) 3x
例题学习 2
例2、1.当X= –4时，求二次根式 1 2x 的值。