第3课时角平分线的性质
1．经历角的平分线性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理；(重点)
2．能运用角的平分线性质定理解决简单的几何问题．(难点)
一、情境导入
问题：在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
二、合作探究
探究点一：角平分线的性质
【类型一】利用角平分线的性质证明线段相等
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，∠FDC＝∠BDE.试说明：(1)CF＝EB；(2)AB＝AF＋2EB.
解析：(1)根据角平分线的性质，可得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即DE＝DC.再根据
△CDF ≌△EDB ，得CF ＝EB ；(2)利用角平分线的性质可得△ADC 和△ADE 全等，从而得到AC ＝AE ，然后通过线段之间的相互转化进行求解．
解：(1)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝DC .∵在△CDF 和△EDB 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠C ＝∠DEB ＝90°，
DC ＝DE ，∠FDC ＝∠BDE ，
∴△CDF ≌△EDB (ASA)．∴CF ＝EB ；
(2)∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∠ACD ＝∠AED ＝90°.在△ADC 和△ADE 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠CAD ＝∠EAD ，
∠ACD ＝∠AED ，AD ＝AD ，
∴△ADC ≌
△ADE (AAS)，∴AC ＝AE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋EB ＝AF ＋CF ＋EB ＝AF ＋2EB .
方法总结：角平分线的性质是判定线段相等的一个重要依据，在运用时一定要注意是两条垂线段相等． 【类型二】 角平分线的性质与三角形面积的综合运用
如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，
S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是( )
A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
解析：过点D 作DF ⊥AC 于F .∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DF ＝DE ＝2，∴S △ABC ＝1
2
×4
×2＋1
2
AC ×2＝7，解得AC ＝3.故选D.
方法总结：利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用三角形面积公式求出线段的长度是常用的方法．
【类型三】 角平分线的性质与全等三角形综合
如图所示，D 是△ABC 外角∠ACG 的平分线上的一
点．DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，垂足分别为E ，F .试说明：CE ＝CF .
解析：由△DEC ≌△DFC 得出CD 平分∠EDF ，根据角平分线的性质，得出CE ＝CF .
解：∵CD 是∠ACG 的平分线，∴∠ECD ＝∠FCD .在△DEC 和△DFC 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧∠DEC ＝∠DFC ＝90°，
∠ECD ＝∠FCD ，
DC ＝DC ，
∴△DEC ≌△DFC (AAS)，∠EDC ＝∠FDC .又∵DE ⊥AC ，DF ⊥CG ，∴CE ＝CF .
方法总结：全等三角形的判定离不开边，而角平分线的性质是判定线段相等的主要依据，可作为判定三角形全等的条件．
【类型四】 角平分线的性质与线段垂直平分线性质的综合运用
如图，在四边形ADBC 中，AB 与CD 互相垂直平分，
垂足为点O .
(1)找出图中相等的线段；
(2)OE ，OF 分别是点O 到∠CAD 两边的垂线段，试说明它们的大小有什么关系． 解析：(1)由垂直平分线的性质可得出相等的线段；(2)由条件可得△AOC ≌△AOD ，可得AO 平分∠DAC ，根据角平分线的性质可得OE ＝OF .
解：(1)∵AB 、CD 互相垂直平分，∴OC ＝OD ，AO ＝OB ，AC ＝BC ＝AD ＝BD ；
(2)OE ＝OF ，理由如下：在△AOC 和△AOD 中，∵⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝AD ，
OC ＝OD ，AO ＝AO ，
∴△AOC ≌△AOD (SSS)，∴∠CAO ＝
∠DAO .又∵OE ⊥AC ，OF ⊥AD ，∴OE ＝OF .
方法总结：本题是线段垂直平分线的性质和角平分线的性质的综合，掌握它们的适用条件和表示方法是解题的关键．
【类型五】 角平分线的性质与等腰三角形的性质综合的探究性问题
如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，
BE 是∠ABC 的平分线，DE ⊥BC ，垂足为D .
(1)请你写出图中所有的等腰三角形；
(2)请你判断AD 与BE 垂直吗？并说明理由． (3)如果BC ＝10，求AB ＋AE 的长．
解析：(1)由△ABC 是等腰直角三角形，BE 为角平分线，可得△ABE ≌△DBE ，即AB ＝BD ，AE ＝DE ，所以△ABD 和△ADE 均为等腰三角形．由∠C ＝45°，ED ⊥DC ，可知△EDC 也是等腰三角形；(2)BE 是∠ABC 的平分线，AE ⊥AB ，DE ⊥BC ，根据角平分线定理可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，可得出BE ⊥AD ；(3)根据(2)，可知△ABE 关于BE 与△DBE 对称，且△DEC 为等腰直角三角形，可推出AB ＋AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.
解：(1)△ABC ，△ABD ，△ADE ，△EDC ； (2)AD 与BE 垂直．理由如下：由BE 为∠ABC 的平分线，知∠ABE ＝∠DBE .又∵∠BAE ＝∠BDE ＝90°，BE ＝BE ，∴△ABE 沿BE 折叠，一定与△DBE 重合，∴A 、D 是对称点，∴AD ⊥BE ；
(3)∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠ABE ＝∠DBE ，∵DE ⊥BC ，EA ⊥AB ，∴∠BAE ＝∠BDE .在△ABE 和
△DBE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ABE ＝∠DBE ，
∠BAE ＝∠BDE ，BE ＝BE ，
∴△ABE ≌△DBE (AAS)，∴AB ＝BD ，AE ＝DE .又∵△ABC 是等腰直角三角
形，∠BAC ＝90°，∴∠C ＝45°.又∵ED ⊥BC ，∴△DCE 为等腰直角三角形，∴DE ＝DC ＝AE ，即AB ＋
AE ＝BD ＋DC ＝BC ＝10.
探究点二：角平分线的画法
