用拉氏变换求解线性微分方程

2–5 用拉普拉斯变换方法解微分方程拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1），即可方便地查得相应的微分方程解。

这样就使方程求解问题大为简化。

拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两部分。

有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。

应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。

用古典方法求解微分方程全解时需要利用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。

而应用拉氏变换就可省去这一步。

因为初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。

而且，如果所有初始条件都为零，那么求取微分方程的拉氏变换式就更为方便，只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的dt d ，2s 代替22dtd ，…就可得到。

应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量s 的代数方程（称为变换方程）（2）求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。

（3）将输出的象函数表达式展开成部分分式（部分分式展开法参见附录二）。

（4）对部分分式进行拉氏反变换（可查拉氏变换表），即得微分方程的全解。

举例说明【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关K 闭合之前，电容C 上有初始电压)0(c u 。

试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压c u （网络输出）。

解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压0)(u t u c =·)(1t 输入。

故网络微分方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰idt C u u Ri u c c r 1 消去中间变量i ，得网络微分方程为)(t u u dt du RCr c c =+ （2-44）对上式进行拉氏变换，得变换方程 )()()0()(s U s U RCu s RCsU r c c c =+- 将输入阶跃电压的拉氏变换式su s U r 0)(=代入上式，并整理得电容端电压的拉氏变换式)0()1()1()(0c c u RCs RC RCs s u s U +++= 可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。

目录前言 ...........................................................1拉普拉斯变换以及性质 (1)1.1拉普拉斯变换的定义 .......................................................1.2拉普拉斯变换的性质 .......................................................2用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤.........................3拉普拉斯变换在求解常微分方程中的应用.........................3.1初值问题与边值问题 .......................................................3.2常系数与变系数常微分方程................................................3.3含函数的常微分方程 .....................................................3.4常微分方程组 ..............................................................3.5拉普拉斯变换在求解非齐次微分方程特解中的应用........................3.6拉普拉斯变换在求解高阶微分方程中的推行...............................4拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用.........................4.1齐次与非齐次偏微分方程 ..................................................4.2有界与无界问题 ............................................................5综合比较，概括总结 ...........................................结束语 .........................................................参照文件 .......................................................英文纲要 (21)道谢 ...........................................................拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用物理系 0801 班学生岳艳林指导老师韩新华摘要：拉普拉斯变换在求解微分方程中有特别重要的作用，本文第一介绍拉普拉斯变换的定义及性质；其次给出拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤；而后要点举例拉普拉斯变换在求解常微分方程（初值问题与边值问题、常系数与变系数常微分方程、含函数的常微分方程、常微分方程组、拉普拉斯变换在求解微分方程特解中的应用、拉普拉斯变换在求解高阶微分方程的推行）与典型偏微分方程（齐次与非齐次偏微分方程、有界与无界问题）中的应用举例；最后综合比较、概括总结拉普拉斯变换在求解微分方程中的优势以及限制性。

拉斯变换解微分⽅程§2-3拉普拉斯变换及其应⽤时域的函数可以通过线性变换的⽅法在变换域中表⽰，变换域的表⽰有时更为简捷、⽅便。

例如控制理论中常⽤的拉普拉斯变换，简称拉⽒变换，就是其中的⼀种.⼀、拉⽒变换的定义已知时域函数，如果满⾜相应的收敛条件，可以定义其拉⽒变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表⽰为(2-46)因为是复⾃变量的函数，所以是复变函数。

有时，拉⽒变换还经常写为(2-47)拉⽒变换有其逆运算，称为拉⽒反变换，表⽰为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。

⼆、常⽤信号的拉⽒变换系统分析中常⽤的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。

现复习⼀些基本时域信号拉⽒变换的求取。

(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49) 且(2-50)所以(2-51) 说明：单位脉冲函数可以通过极限⽅法得到。

设单个⽅波脉冲如图2-13所⽰，脉冲的宽度为，脉冲的⾼度为，⾯积为1。

当保持⾯积不变，⽅波脉冲的宽度趋于⽆穷⼩时，⾼度趋于⽆穷⼤，单个⽅波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。

在坐标图上经常将单位脉冲函数表⽰成单位⾼度的带有箭头的线段。

由单位脉冲函数的定义可知，其⾯积积分的上下限是从到的。

因此在求它的拉⽒变换时，拉⽒变换的积分下限也必须是。

由此，特别指明拉⽒变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。

所以，关于拉⽒变换的积分下限根据应⽤的实际情况有，，三种情况。

为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。

(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表⽰为(2-52)⼜经常写为 (2-53)由拉⽒变换的定义式，求得拉⽒变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉⽒变换，其积分下限规定为。

(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表⽰为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表⽰信号的起始时刻，有时也经常写为 ( 2-56) 为了得到单位斜坡信号的拉⽒变换，利⽤分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表⽰为(2-58) 拉⽒变换为 (2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉⽒变换可以利⽤指数信号的拉⽒变换求得。

拉氏变换求解微分方程拉氏变换是求解微分方程的有效方法，它在求解一些比较复杂的微分方程时，发挥了重要作用，因此，在求解微分方程的过程中，拉氏变换也成为必不可少的方式之一。

一、拉氏变换的定义拉氏变换：是指将一阶常系数微分方程的求解通过一次的变换，从原来的形式转变为差分方程的过程，而这种变换被称为拉氏变换。

二、拉氏变换的基本思想拉氏变换有着一般性、简洁性和有效性的特点，它的基本思想就是将一阶常系数微分方程转换为其相应的差分方程，从而可以把原来复杂的、难以求解的微分方程变换到简单的、容易求解的差分方程中。

三、拉氏变换的具体方法1、对于一阶常系数微分方程对于针对一阶常系数的微分方程，我们可以定义拉氏变量$u(x)=y′(x)$，这样可以把原来的微分方程转换成相应的差分方程：$u(x)−f(x)u(x−a)$，在此$a$为常数。

2、对于二阶常系数微分方程同样，对于针对二阶常系数的微分方程，也可以定义若干拉氏变量来完成拉氏变换，即对于二阶常系数微分方程，可以定义$u(x)=y(x)$和$v(x)=y′(x)$，这样可以将原来的微分方程转化成差分方程：$u(x+a)−u(x−a)=av(x+b)−bv(x−b)−c(v(x+b)+v(x−b))$，在此$a$、$b$和$c$均为常数。

四、拉氏变换的优缺点1、优点(1)拉氏变换能够有效地将微分方程转换为差分方程，并且只需要进行一次变化。

(2)拉氏变换使得微分方程的求解更简单，更有效，可以提高求解效率。

2、缺点(1)无法求解高阶常系数微分方程，只适用于一、二阶常系数微分方程。

(2)拉氏变换不能用来求解非线性微分方程。

拉氏变换和反变换拉氏变换的作用： 用拉氏变换求解线性微分方程可将微分运算转化为代数运算；可将系统的微分运动方程转化为传递函数，并由此发展出用传递函数的零点分布、频率特性等间接地分析和设计控制系统的工程方法。

一、 拉氏变换的定义⎰∞-==0)()]([)(dt e t f t f L s F st （0≥t ）其中 ωσj s += 是一复变函数，F(s)称为象函数，f(t)称为原函数。

意义： 在一定条件下把一实数域中的实变函数f(t)转换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。

二、几种典型函数的拉氏变换1、单位阶跃函数1(t)定义：⎩⎨⎧≥<=)0(1)0(0)(1t t tss e s dt e t t L s F stst 1)1(01)(1)](1[)(0=--=-===∞-∞-⎰2、指数函数at e t f -=)(（a 为常数）as e as dt e dt e e e L s F ta s t a s st at at +=+-====∞+-∞+-∞---⎰⎰11][)(0)(0)(03、正、余弦函数t t f ωsin )(1=，t t f ωcos )(2=⎰∞-⋅==01sin ][sin )(dt e t t L s F st ωω由欧拉公式： je e t tj t j 2sin ωωω--=220)(0)(0)(0)(001)11(21)11(21)(21)(21)(ωωωωωωωωωωωω+=+--=++--=-=-=∞+-∞--∞+-∞--∞--∞-⎰⎰⎰⎰s j s j s j e j s e j s j dt e dt e j dt e e dt e e j s F tj s t j s t j s t j s st t j st t j同理： 222][cos )(ωω+==s st L s F4、单位脉冲函数)(t δ的拉氏变换定义： ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤><=→)0(1lim ),0(0)(0εεεδεt t t t1)!2(1lim )]!21(1[1lim )1(1lim 1lim 1lim1lim)]([)(2202200000=+-=-+--=-=-⋅====∆→→-→-→-→-∞→⎰⎰ s s s s s s e ss e dt e dt et L s s st st stεεεεεεεεεεδεεεεεεεεε5、单位速度函数的拉氏变换定义： ⎩⎨⎧<≥=)0(0)0()(t t t t ff(t)ε1200001101][)(s dt e s dt e s e s tde s t dt te t L s F st st stst st =+=+-=-===⎰⎰⎰⎰∞-∞∞-∞--∞-6、单位加速度函数的拉氏变换定义：⎪⎩⎪⎨⎧≥<=)(21)0(0)(2t t t t f321]21[)(st L s F ==通常用查表法求解象函数和原函数三、拉氏变换的主要定理对于标准函数可用拉氏变换定义或查表法进行拉氏变换和反变换；而对于一般的函数可以利用以下定理使运算简化。

非零初始条件拉氏变换求解微分方程拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化求解过程。

在实际应用中，我们经常会遇到非零初始条件的微分方程，这时候就需要用到非零初始条件拉普拉斯变换来求解。

首先，我们需要了解什么是非零初始条件。

在微分方程中，初始条件是指在某个时刻或某个状态下，未知函数及其导数的值。

如果初始条件中存在非零项，即未知函数或其导数在初始时刻不为零，那么我们就需要用到非零初始条件拉普拉斯变换。

接下来，我们以一阶线性微分方程为例，来介绍如何使用非零初始条件拉普拉斯变换求解微分方程。

假设我们有一个一阶线性微分方程：y' + ay = f(t)其中，a为常数，f(t)为已知函数，y为未知函数。

我们可以将其转化为拉普拉斯域中的代数方程：sY(s) - y(0) + aY(s) = F(s)其中，Y(s)为y(t)的拉普拉斯变换，y(0)为初始条件，F(s)为f(t)的拉普拉斯变换。

将上式整理可得：Y(s) = [y(0) + F(s)] / (s + a)这就是非零初始条件下的一阶线性微分方程的拉普拉斯变换解。

我们可以通过反演拉普拉斯变换，得到y(t)的解析式。

需要注意的是，在实际应用中，我们需要先对f(t)和y(0)进行拉普拉斯变换，然后再代入上式中求解Y(s)，最后再反演拉普拉斯变换得到y(t)的解析式。

总之，非零初始条件拉普拉斯变换是求解微分方程的重要工具之一。

通过将微分方程转化为代数方程，我们可以简化求解过程，得到更加精确的解析式。

在实际应用中，我们需要注意对初始条件和已知函数进行拉普拉斯变换，并正确代入求解。

u(-t)的拉氏变换拉氏变换是一种数学工具，用于求解带有微分方程的线性系统。

它可以将微分方程转换为简单的算术问题，从而解决复杂的微分方程。

拉氏变换的最初方法是由法国数学家拉斯穆森提出的，他在1822年提出了这一概念，此后这一概念受到了数学家的广泛应用。

拉氏变换可以用来求解以下形式的线性微分方程：du/dt + au(t) = f(t)其中a(t)是一个常数，f(t)是一个已知函数。

拉氏变换的基本步骤是，把上述方程变换为以下形式：U(s) = F(s)/(s + a)其中s是一个复数参数，F(s)是一个已知的函数。

拉氏变换的关键是，它可以将复杂的微分方程转换为一个简单的算术问题，使得解决这一问题变得容易。

拉氏变换也可以用来求解u(-t)的问题。

u(-t)是一个函数，它的定义为：u(-t) = u(t)这表明u(-t)是u(t)的反函数，即在每个时刻t，它们的值是反着的。

用拉氏变换求解u(-t)的问题，首先需要将上述方程转换为以下形式：U(s) = F(s)/(s - a)其中a是一个常数，F(s)是一个已知函数。

接下来，需要使用拉氏变换来求解上述方程。

为了求解u(-t)，需要将上述方程进行积分，得到：u(-t) = -∫F(s) ds/(s - a)这就是拉氏变换的一个应用，用来求解u(-t)的问题。

拉氏变换是一种有效的数学工具，可以用来求解复杂的微分方程。

它的最初发展是由法国数学家拉斯穆森提出的，因此也称为拉氏变换。

它可以将复杂的微分方程转换为简单的算术问题，从而解决复杂的微分方程。

拉氏变换还可以用来求解u(-t)的问题，这对于解决复杂的微分方程是很有用的。

用拉氏变换法解线性微分方程一 基本定义若函数f(t)，t 为实变量，线积分∫ f(t)e -st dt (s 为复变量)存在，则称其为f(t)的拉氏变换，记为F(s)或£[f(t)]，即F(s)=£[f(t)]=∫ f(t)e -st dt常称：F(s)→f(t)的象函数；f(t) →F(s)的原函数。

二 基本思路用拉氏变换解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化成代数运算三10 F(s)=£[f(t)]= ∫ f(t)e -st dt =∫ 1 e -st dt =1/s2、单位斜坡函数 f(t)=t1(t)= t t ≥00 t<0F(s)=£[f(t)]=∫ t e -st dt =1/s ²3、等加速度函数∞∞0 ∞0 ∞0 ∞tf(t)= 1/2 t ² t ≥0 0t<0F(s)=∫1/2 t²e -st dt =1/s ³ 4、指数函数t ≥0t<0F(s)=∫1/2 t ²e -st dt =1/(s-α) 5、正弦函数f(t)= sinwt t ≥0 0 t<0F(s)=∫sinwte -st dt=w/(s ²+w ²) 四 拉氏变换的几个法则对于一些简单原函数，可根据拉氏变换定义求象，但对于较复杂的原函数，必须用到下面几个定理求取其象函数：1、线性定理若：£[f 1(t)]=F 1(s) ，£[f 2(t)]=F 2(s)(a 、b 为常数) 则 £[a f 1(t)+bf 2(t)]=aF 1(s)+bF 2(s)2、微分定理 若：£[f(t)]=F(s)则 £[d ⁿf(t)/dt ⁿ]=sⁿF(s) - ∑s n-i-1 f (i) (0)t∞0 t∞∞ 0n-1i=0式中f (i) (0)为f(t)及其各阶导数在t=0时的值 若 f (i) (0) = 0 （a=1，2，…n ）则 £[dⁿf(t)/dtⁿ] =sⁿF(s)3、积分定理若：£[f(t)]=F(s) ， 在零初始条件下： 则 £[∫…∫f(t)dtⁿ]=1/sⁿF(s)4、位移定理（延时定理） 若：£[f(t)]=F(s)则 时域：£[f(t-t 0)1(t-t 0)]=F(s)eS 域：£[f(t)e ] = F(s+α)5、初值与终值定理若：£[f(t)]=F(s) ，且f(t)的拉氏变换存在， 则 f(0)=limf(t)=lim sF(s) f(∞)=limf(t)=lim sF(s) 例：求阶跃函数 f(t)=A 1(t) 的象函数 解：F(s)=£[A1(t)]= A £[1(t)]=A1/s 例：求脉冲函数δ(t) 的象函数 解： ∵δ(t) = d1(t)/dt ∴应用微分定理（初零）得：F （s ）=£[d1(t)/dt]=sF(s)=s 1/s=1-αt-st o-αtt →0 t →∞s →∞ s →0例：求f(t) = e sinwt 的拉氏变换 解：应用位移定理，F （s ）=£ [e sinwt] =w/[(s+α)²+w ²] 五 拉普拉斯反变换定义：若£-¹[F(s)]=f(t)=1/（2πj ）∫F(s)edt ，则称上式为F(s)的拉氏反变换。