关于RL_C并联谐振特性曲线的讨论

故
| Z| =
R (1 + Q2η2) (1 + Q2)
(7)
(1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2
由式 (7) 可得知 : 1) 当 η= 0 ,即 ω= 0 时 , | Z| = R . 其物理
意义是显而易见的. 因 ω = 0 , 图 1 中的电容 C
支路相当于开路 , 电感 、电阻支路中的 L 相当
式 (1) 中的 R 大为增加 , 从而使整个谐振电路
的品质因数 Q 大为减小 ,导致谐振电路的选择
性下降. 所以 , 在遇到高内阻信号源的情况时 ,
串联谐振电路将不再适宜 , 这时应改用并联谐
振电路.
1 并联谐振电路的谐振态特性
工程上广泛应用的并联谐振电路是由电感 线圈和电容器组成的. 由于实际线圈总是有电 阻的 ,因此 ,由电感线圈和电容器组成的并联谐 振电路 ,实际如同一个电阻 、电感串联后再与电 容并联电路 ,如图 1 所示.
Z0 = L / R C
(5)
式 (5) 表明 :
1) 谐振时 ,电路等效阻抗值仅由电路参数
Ξ 收稿日期 :1997 - 05 - 08
第 5 期 陈水生 :关于 RL - C 并联谐振特性曲线的讨论
19
R 、L 、C 决定.
2) 电感线圈的电阻 R 越小 , 谐振电路等
4 、Q1≈1.
000
2
由以上数据分析可知 , 当 Q ≥C20. 1 时 , 则
在 η≥0. 05足够宽广的 η域内 , 均有9| Z| / 9 Q
> 0. 通常电路的品质因数都在 10 的数量级以
上 ,故可非常近似地认为在整个通频带内 ,均有
9| Z| / 9 Q > 0.
综上所述 ,我们有根据地得出一般文献中
第 17 卷第 5 期 1 9 9 8 年 5 月
大 学 物 理 COLL EGE PH YSICS
Vol. 17 No. 5 May. 1998
关于 RL - C 并联谐振特性曲线的讨论 Ξ
陈水生
(景德镇高等专科学校物理系 ,江西景德镇 333000)
摘 要 从理论上导出了 RL - C 并联谐振电路的阻抗公式 ,由此分析谐振特性曲线性质 ,并得出文献中引用 的 RL - C 谐振特性曲线成立的充分条件.
(η2 + 2η2
1)
2
+
12η即是
4 参考文献
1 蔡元宇. 电路及磁路 上册. 北京 :高等教育出版社 , 1992. 257
ON THE RL - C PARALL EL RESONANCE CHARACTERISTIC CURVE
于短路. 2) 当η→∞,即 ω→∞时 ,| Z| →0. 其物理意
义也是显而易见的 ,因 ω→∞,图 1 中的电感、电
阻支路相当于开路 ,电容 C 支路相当于短路. 3) 当 η= 1 , 即 ω = ω0 (谐振态) , | Z| = R
(1 + Q2) = L / RC. 此式与式 (5) 完全吻合. 且
关键词 品质因数 ;谐振特性曲线 分类号 TM 131. 4
关于 RL C 串联谐振电路 ,一般文献中都进 行过较详尽的讨论. 其电路的品质因数是
Q=
L CR2
(1)
上式表明 , 在信号源内阻较小的情况下 , 应用
RL C 串联谐振电路是合宜的. 但当信号源的内
阻较大时 ,由于其内阻与谐振电路相串联 ,致使
易见 ,谐振时等效阻抗为纯电阻性 ,其值随品质
因数 Q 的增大而急速增大.
3 | Z| 与 η和 Q 的关系
从式 (7) 出发 ,可以进一步分析并联谐振电 路的阻抗模| Z| 随 η与 Q 的变化规律 , 从而深
入分析谐振邻近态及其全貌 , 据此得出谐振特
性曲线. 3. 1 | Z| 与 η的关系
+
R Q6η2
(η2
-
1) 2
2 (1 + Q2) + 2 Q (1 + Q2η2) ·[ (1 + Q22)L+ Q26ηQη2 (η2 - 1) 2 ]1/ 2 - (1 + Q2) (1 + Q2η2) ·
1 2
- 1/ 2
(1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - ω1) 2
·
4 Q (1 + Q2) + 6 Q5η2 (η2 - 1) 2 ω=
RQη2
3/ 2 2 (1 + Q2) 3 +
(1 + Q2) 2 + Q6η=2 (η2 - 1) 2
(η2 - 1) 2·Q4 η2 Q4 - (η2 + 1) Q2 - 3 η
(9)
令 f 1 ( Q2) = 2 (1 + Q2) 3 + (η2 - 1) 2 Q4 f 2 ( Q2)
f 2 ( Q2) =η2 Q4 - (η2 + 1) Q2 - 3
ω0 =
1 LC
-
R2 L2
=
1 LC
1-
CR2 L
(3)
欲使式 ( 3) 具有实际意义 , 即 ω0 为实数 , 还要
求电路参数 R 、L 、C 满足
R < L/ C
(4)
谐振时 ,电路的等效电阻 Z0 相当于一个等效
电阻 ,其值为
Z0 =
1 G0
=
R2 + ω2 L 2 R
将式 (3) 中 ω0 代入上式 ,即有
见 ,ω= ω0 并非| Z| 取最大值条件.
2) 当η> 1 时, Q4 (η2 - 1)C[ Q2η4 + ( Q2 + 3)η2 - 1 ] > 0 ,且为 η的增函数. 由此可以推知 ,当η us等于某一大于 1 的值η3 时 , 9| Z| / 9η= 0. 此即
证实本文前面部分指出的 :电路的等效阻抗模| Z| 取最大值的条件是电源频率 ω 略高于谐振
式 (6) 表明 :谐振电路的品质因数 Q 越大 , 谐振
等效阻抗 Z0 也越大.
2 并联谐振电路的阻抗公式
以上我们对并联谐振电路的谐振态作了较
详尽的讨论. 下面 ,将对谐振的邻近态及谐振前
后状态全貌进行分析讨论. 为此 ,我们先导出图
1 所示并联电路的阻抗公式.
| Y| =
R R2 +ω2 L 2
效阻抗 Z0 越大 ;当 R →0 时 , Z0 →∞,此时谐振 电路等效电阻呈现极大值. 因此 ,当用电流源供
电时 ,此时电路端口 a 、b 间将呈现高压.
3) 谐振时 , 电路等效阻抗较大 , 但并非最
大 ,因从式 (2) 可知 ,电路的电导是随频率 ω的
增大而减小的. 下面将证明 ,图 1 所示并联电路
20
大 学 物 理 第 17 卷
频率ω0 . 3) η3 >η> 1 时 , 9| Z| / 9η> 0 , 但 9| Z| /
9η值随η的增加而减小. 4) 1 > η > 0 时 , f ( Q ) = Q4 (η2 - 1) ·
Q2η4 + ( Q2 + 3)η2最- 大1 可能大于或等于零 ,也可 能小于零. 但因| f ( Q) | 是 η的单调增函数 ,且只 当η=η3 时才等于 2 (1 + Q2) 2 ,所以 ,1 >η> 0 时 , 仍有 9| Z| / 9η> 0.
这就是说 ,对于图 1 所示并联谐振电路 ,当 其品质因数 Q ≥Q1 时 , 对于同一个确定的 η 值 ,均存在如下关系 : Q 越大 ,| Z| 也越大 , 且此
结论不受电路是否处于谐振态的限制.
值得注意的是 ,
Q
2 1
本身值却是 η的减函
数. 如 :
η= 0. 01 时 , Q21≈104 、Q1≈102
21
调
η
增函
图4
( Q2) 很可能出现负值 ,这时将出现 9| Z| / 9 Q < 0 情况. 如取 Q = Q0 时 , 对于 η = 2 的信号 源 ,则有
Q0 = (η2 + 1) / 2η2 = 5/ 8≈0. 625
f2(
Q
2 0
)
=
-
7 2
η2 +4
+
1 4η2
= - 73/ 16≈ - 4. 56
则可得到函数 f 2 ( Q2) 的图象如图 3. 其中
Q21
η2 =
+
1
+
(η2 + 2η2
1) 2
+
12η2
>
1
Q22
η2 =
+
1
-
(η2 + 2η2
1) 2
+
12η2
<
0
图3
Q
2 0
=
η2 + 2η2
1
=
1 2
+
1 2η2
>
1 2
由式(9) 及图 3 分析 ,我们得到一个重要的结论 :
当 Q2 > Q21 时 ,将确保 f 2 ( Q2) > 0 (当然 , Q2 < Q22 时 ,也有 f 2 ( Q2) > 0 ,但因 Q22 < 0 无实际意 义 ,故无需考虑 ,下同) ,这时必有 9| Z| / 9 Q > 0.
2
+
ωC - R2 +ω∠ωL2 L 2
2
1/ 2
=
2
R2 + R2
ω0 L ω R ω0
2
+
B
ω0 C
ω ω0
-
Rω0RL ·ωω0
R2 + R2
ω0 L R
·ωω0
2
1/ 2
令 ω/ ω0 =η,并注意到
Q
= ω0 L R
=
L CR2
-
1
则有
| Y| =
R2
(1
1 + Q2η2R) 2
+
CR L
由式 (7) 可得
9G|9ηZ|
=
纳 (1 +
相Q2)R+(1Q+6ηQ22()η2
Γ - 1)
2
(1 + Q2η2)′·
(1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2 -
1 2
(1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2( ′·(1 + Q2η2) (1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2
直接引用 (但未作详尽论证) 的并联电路等效阻
抗模| Z| 的谐振特性曲线 (见图 4) .
最后需指出的是 , 9| Z| / 9 Q > 0 的结论及
其图 4 所示的谐振特性曲线并非总是成立的.
事实上从图 3 容ห้องสมุดไป่ตู้想到 , 当 Q1 > Q > 0 时 , f 1
第 5 期 陈水生 :关于 RL - C 并联谐振特性曲线的讨论
Qη-
Qη R (1 + Q2η2)
2
=
1 R (1 + Q2η2)
1 + Q2η2
CR2 L
(1 +
Q2η2)
-
1
2
=
1 R (1 + Q2η2)
σ1 + Q2η2
1 + Q2η2 1 + Q2
-
1
2
=
(1 + Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2 R (1 + Q2η2) (1 + Q2)
=
总电 α
(1 +
RQ2 (1 + Q2) ·η Q2) 2 + Q6η2 (η2 - 1) 2
3/ 2
2 (11+- QC2) 2 -
Q4 (η2 - 1) · Q2η4 + ( Q2 + 3)η2 - 1 3
(8)
根据式(8) ,可以分析出| Z| 随η的变化规律 : 1) 当 η = 1 , ω = ω0 时 , 9| Z | / 9η > 0. 可
f 1 ( Q20) = 2(1 + Q20) 3 + (η2 - 1) 2 Q40·f 2 ( Q20) ≈ - 7. 46
以上计算表明 ,从理论上讲 ,9| Z| / 9 Q > 0 的结论及
文献[1]所示| Z| ～ω特性曲线是有条件的 ,本文所
得出的 Q > Q1 = 它的充分条件.
η2 + 1 +
电路的复导纳为
Y
=
1 R + jωL
+ jωC
=
R2
R + ω2 L 2
+
∠ j
ωC -
ωL R2 + ω2 L 2
= G + jB = | Y|
φ
(2)
式中 :| Y | = G2 + B 2称导纳模 ;φ= arctg ( B /
图1
G) 为导纳相位角 ;ω 是信号源的圆频率. 由式 (2) 易见 , 当 B = 0 时 ,φ = 0 , 即此时端电压 U 与总电流 I 同相位 ,电路呈电阻性 , 我们说电路 处于谐振态. 由此可见 ,并联谐振条件是 B = 0. 由此可得谐振频率
η= 0. 05 时 , Q21≈404 、Q1≈20. 1
η=
0.
1
时
,
Q
2 1
≈104
、Q 1 ≈10 .
2
η= 1 时 , Q21≈3 、Q1≈1. 73
η= 2 时 , Q21≈1. 69 、Q1≈1. 3
η=
10
时
,
Q
2 1
≈1
.
04
、Q 1 ≈1 .
02
η=
100
时,
Q
2 1
≈1
.
000
5) 当 η>η3 时 , | f ( Q ) | > 2 ( 1 + Q2) 2 , 这 时 9| Z| / 9η< 0.
综合以上对 (7) 、(8) 两式的分析 ,可以得到 如图 2 所示的| Z| ～η曲线.
图2
3. 2 | Z| 与 Q 的关系
由式 (7) 还可得
9| Z| 9Q
=
(1
+
Q2) 2
等效阻抗模| Z| 的最大值发生在电源频率略高
于谐振频率 ω0 时. 并联谐振电路的性能也可用谐振电路的品
质因数 Q 来描述. Q 越大 ,电路的性能越佳.
并联谐振电路的品质因数定义为谐振时容
纳 (或感纳) 与输入电导的比值 ,即
Q
def
ω0 C G0
=
ω0 L R
=
Z0
C· L
1-
CR2 L
(6)