第二讲 抽样分布与分位数

z0.05 u0.05 =1.64
倒查 0.975
倒查 0.95
3 自由度为n的 c 分布的上分 2 位数 c
2
P304
例如:
c (3) 3.665 2 c 0.95 (6) 1.635
2 0.3
c (10) 15.987
2 0.1
例 已知
X ~ c 2 (8)
，求（1）P{X 2.18} ，P{ X 20.09}
P{X } 0.95
（2）若 P{X } 0.025 求 （3）若
求

解
（1）P{X 2.18}
0.975
P{ X 20.09} 1 P{ X 20.09} 1 0.01 0.99
（2）P{X } 0.025 17.534 （3） P{X } 0.95
2 X ~ N ( 12 , 2 ) 中随机抽取容量为5的样本， 在总体
5 5 5 5 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 2
=0.2628
X1, X 2 ,...,X n 是X的样本, 6设总体 则容量n应取多大,才能使得 P{1.2 X 5.2} 0.95
1
t 分布分布的定义 设随机变量X,Y相互独立，且X ~ N(0,1)
X Y /n
Y ~ c2(n)，令 T
则 T 的概率密度函数为:
n 1 n 1 2 x 2 (1 ( x) ) 2 2 n n 2
( x )
称T服从有n个自由度的 t 分布
P{ X 1.3968 } 1 P{X 1.3968 } 1 0.1 0.9
P{X } 0.01
2.89百度文库5
Z 0.1 U 0.1 1.64 Z 0.05 U 0.05 1.96
2 2 2 2
1 F (n1 , n2 ) F1 (n2 , n1 )
五 单側分位数 1 定义： 设0< <1,对随机变量X，称满足
P ( X x )
的点 x 为X关于
1
的单側分位数.
x

2 标准正态分布的上分位数 z 的求法
问题 ( z ) ? 1
P301
z
的求法是: 倒查1-α
例 z0.025 u0.025 =1.96
二 t 分布(student分布)
P137
t 分布是高塞特 于1908年在一篇以“学生” （student为笔名的论文中首先提到的
高塞特（W、S、Cosset，18761937）美国人，t分布的发现者，年轻时在 美国牛津大学学习数学与化学，1899年在 一家酿酒厂任酿酒技师，从事实验和数据 分析工作。 这项工作中进行的小样本实验 的结果使他怀疑存在一个不属于正态分布 曲线的其它分布,经过研究，终于得到新的 密度曲线,并与1908年以笔名“student”发 表此次结果。故后人称次分布为“学生氏 分布”或“t分布”。 Cosset的t分布打开了人们的思路,开创 了小样本方法的研究。
Y / n2
x0 x0
称F服从第一自由度为n1 ，第二自由度为 n2的F分布 简记为 F~F(n1 , n2)
2 不同自由度的F 分布密度曲线
(1,10)
(5,10)
(10,10 )
F
四 抽样分布五大定理
定理 1 (样本均值的分布) P140
2
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , ) 的样本，则有
X ~ N (3.2,62 )
解
62 X ~ N (3.2, ) n
P{1.2 X 5.2} (
5.2 3.2 1.2 3.2 ) ( ) 6 6 n n
n n ( ) ( ) 3 3
n n n ( ) ( ) 2( ) 1 0.95 3 3 3
三 F 分布
P138
F分布是以统计学家费歇（R.A.Fisher）姓氏的第一 个字母命名的 费歇(R.A.Fisher,1890-1962),英国 统计学家,遗传学家,现代数理统计的主 要奠基人之一。他是使统计成为一门有 坚实理论基础并获得广泛应用的主要统 计学家。对数理统计有众多贡献,内容涉 及估计理论,假设检验,实验设计和方差 分析等重要领域，他还是一位举世闻名 的遗传学家，优生学家，他用统计方法 对这些领域进行研究，作出了许多重要 贡献。由于他的成就，他曾多次获得美 国和许多国家的荣誉。
一 c2 分布(卡方分布)
皮尔逊(K.Person)分别于1875和1900年导出的
(k.Pearson,1857-1933)英国著名统计 学家 1879年毕业于剑桥大学，1901年，他 与高尔顿、韦尔登创办的生物统计学杂志 《biometrika》, 使数理统计有了自己的阵 地。他发展了一系列频率曲线，将复相关 和回归理论扩展到许多领域，并为大样本 理论奠定了基础。皮尔逊的最大贡献是在 1900年发表的一篇文章中引进的拟合优度 的卡方检验。不少人把这视为近代统计学 的开端。
2
2 与 X S 相互独立
定理 3 2 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , )
的样本, X , S 分别为样本均值和样本方差, 则有
X ~ t (n 1) S/ n
2
定理 4 (两总体均值差的分布)
设X ~ N ( 1, )，Y ~ N ( 2 , )， 且X与Y独立, X1,X2,…, X n1 是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是
第二讲 抽样分布与分位数 P135
一 c2 分布(卡方分布) 二 t 分布(student分布) 三 F 分布 四 抽样分布五大定理 五 单侧分位数
统计量g(X1,X2,…,Xn)既然是依赖于样 本的，而后者又是随机变量，故统计量也 是随机变量，因而就有一定的分布，这个 分布叫做统计量的“抽样分布” .
P{X } 0.05 15.507
4 自由度为n1,n2的
P305
F分布的上 分位数 F (n1 , n2 )
1 F (n1 , n2 ) F1 (n2 , n1 )
例如:
F0.05 (8,12) 2.85
1 F0.9 (12,15) F0.1 (15,12) 1 0.476 2 .1
n ( ) 0.975 3
n 1.96 3
n 34.5744
所以 n最小为35
定理 2 (样本方差的分布)
P140
设X1,X2,…,Xn是取自正态总体 N ( , 2 ) 的样本, X , S 2分别为样本均值和样本方差, 则有
(1)
(2)
( n 1) S
2

2
~ c ( n 1)
P135
由阿贝(Abbe) 于1863年首先给出,海尔墨特(Hermert)和
1
c2 分布的定义
设
X 1 ~ N (0,1) X 2 ~ N (0,1)
X 1 , X 2 ,... X n
...
X n ~ N (0,1)
相互独立
令 Y X 12 X 22 ... X n2 则 Y的概率密度函数为
1 F 分布的定义 设X ~ c2(n1) , Y ~ c2(n2) ,X与Y独立 F X / n1 则 F的概率密度函数为:
n1 n2 n1 n1 n n 2 1 1 2 n n 2 1 x 2 (1 1 x) 2 ( x) n1 n1 n n2 2 2 2 0
6 t 分布的上分位数 例 t (10) 1.812 0.05
P303
t0.025 (13) 2.16 t0.15 (7) 1.119
} 例 已知 X ~ t (8) ,求(1) P{X 2.306} P{X 1.3968 （2）若 P{X } 0.01 求
解
P{ X 2.306 } 0.025
n x 1 1 x2 e 2 n n ( x) 2 2 2 0
x0 x0
称Y服从自由度为n的c2 分布 记为: Y~c 2 (n)
2 不同自由度的c2-分布密度曲线
( x)
n=1 n=4 n=10
n=20
c2
分布的形状取决于其自由度n的大小，通常 为不对称的正偏分布，但随着自由度的增大逐 渐趋于对称
2 2
取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的样本
2 均值, S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
X Y ( 1 2 )
2 ( n1 1) S12 ( n2 1) S2 n1 n2 2
1 1 n1 n2
~ t ( n1 n2 2)
定理 5 (两总体方差比的分布)
记为: T~t(n)
2 不同自由度的t 分布密度曲线
标准正态分布
标准正态分布
t (n= 13)
t 分布
t (n = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
不同自由度的t分布
t
t 分布是类似正态分布的一种对称分布， 通常要比正态分布平坦和分散。一个特定的 分布依赖于称之为自由度的参数。随着自由 度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
X ~ N ( ,

2
n
)
X 即 ~ N (0,1) n
3 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率 解
22 X ~ N (12, ) 5
P{| X 12 | 1} 1 P{11 X 13} 1 [ (
13 12 11 12 ) ( )] 2 2 5 5
2 1 2 2
P140
且X与Y独立, 设X ~ N ( 1, ), Y ~ N ( 2 , )， X1, X2,…, X n1是取自X的样本, Y1,Y2,…, Yn2 是 取自Y的样本, X和Y 分别是这两个样本的样本
2 均值，S12和S2 分别是这两个样本的样本方差,
则有
S12 12 ~ F ( n1 1, n2 1) 2 2 S2 2