课程名称：优化设计
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2011年12月06日
优化设计作业
1. 阐述优化设计数学模型的三要素，写出一般形式的数学模型。
答：机械优化设计建立数学模型的三个基本要素——设计变量、约束条件、目标函
数。
一般形式的数学模型：()X f n
R D X ⊂∈min )n p ,,2,1v 0)X (h )m ,,2,1u (0
)X (g :v u <===≥ D
2. 阐述设计可行域和不可行域的基本概念
答：约束对设计点在设计空间的活动范围有所限制。
凡满足所有约束条件的设计点，
它在设计空间中的可能活动范围，称可行设计区域(可行域)。
不能满足所有约束条件的设计空间便是不可行设计区域(不可行域)。
3.无约束局部最优解的必要条件？
答：若在约束条件限制下极小化，即在可行域D 中寻找 X*= [x 1*, x 2*, …, x n *]T
使满足min f (X )= f (X*)，X ∈D ⊂R n ，其最优点X *、最优值f (X*)则构成约束
最优解。
4．阐述约束优化问题最优解的K-T 条件。
答：K-T 条件可阐述为：
如果X (k)是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度▽f (X (k))可表示成该点诸约
束面梯度为▽g u (X (k))、▽h v (X (k))的如下线性组合：
()()()()()()011=∇-∇-∇∑∑==j
v k
v
v q u k u u k X h X g X f μλ 式中：q —在X (k)点的不等式约束面数；
j —在X (k)点的等式约束面数；
λu (u =1,2,…q )、μv (v =1,2,…j )——非负值的乘子，亦称拉格朗日乘子。
如无等式约束，而全部是
不等式约束，则式(3-20)中j ＝0，第三项全部为零。
5. 给出图中的可行设计点、边界设计点和不可行设计点。
6题图 二维设计空间
答：如图x （1 ）点为可行设计点，x （3）点为边界设计点，x （2）点为不可行设计点。
6、根据逼近思想所构造的优化计算方法的基本规则是什么？
答：
7、数值迭代计算中，通常采用哪三种终止条件？（2、3）
答：在一般情况下，因α(2)是前一次插值函数的极小值点，α(4)是本次插值函数的极小值点，若α(2)和α(4)的距离足够小时，即满足|α(4)―α(2)|≤ε或α(4)和α(2)两者原函数值已很接近，即满足| f 4―f 2|≤ε，则停止迭代，这时，若f 4＜f 2，输出极小值点α(4)→α*，
极小值f 4→f (α*)；否则,即f 2≤f 4时，输出极小值点α(2)→α*,极小值f 2→f (α*)。
如
不满足上述迭代终止条件、则返回步骤(3)，再次缩短搜索区间，直至最后满足终止条件。
8. 对于约束极值问题
()()()()()00
4s.t.3min
132222112221≤-=≤-=≤-+=+-=x g x g x x g x x f x x x x
试运用K-T 条件检验点()T *02=x 是否为约束极值点。
答：
9. 说明函数梯度的性质。
答：
10.将优化问题
()()()222143min -+-=x x X f
()05211≥--=x x X g
()05.2212≥--=x x X g
()013≥=x X g
()024≥=x X g 的目标函数等值线和约束曲线勾画出来，并确定：
（1）可行域的范围(用阴影线画出)。
（2）无约束最优解()1*X 、())*(1X f ，约束最优解()2*X 、())*(2X f 。
（3）若再加入等式约束()021=-=x x X h ，约束最优解()3*X 、())*(3X f 。
答：
11. 如图所示为机床主轴计算简图。
在设计时，有两个重要因素需要考虑，即主轴的自重和伸出端C 点的挠度。
试建立机床主轴以主轴自重最轻为目标的优化设计数学
模型。
其中，C 点的挠度：()EI
a l Fa y 32+=；()4464d D I -=π；E 为弹性模量。
材料的密度为ρ；外力F 给定。
答：
12、 选用优化算法时，一般需考虑哪几个因素？
答：一般认为，评价一种优化方法的好坏，可以从以下三方面来考察：
1、可靠性：方法的可靠性是指在一定精度要求下，求解出各种各样问题的成功率，显然能求解出的问题越多，算法的可靠性越好。
因此也可称通用性。
它是评价优化方法好坏的重要准则。
2、有效性：指的是方法的解题效率。
可从两个方面来衡量：一是对同一个题目，在同一精度要求下，从同一初始点出发，迭代计算所用的机时数；二是在同样条件下计算函数值的次救，包括求目标函数值和求导数值的次数。
3、计算前的准备工作量及占用计算机存贮单元数量。
这三点也可以说是评价优化方法优劣的基本准则。
13.用外点法和用内点法求解()x X f n
R D X =⊂∈min ，()01:≥-=x X g D 最优化问题的惩罚函数。
（6）
答：
14. 优化迭代逼近搜索中是在每一迭代点X (k )上利用函数在该点邻近局部性质的信息，确定一个搜索方向S (k +1)和搜索步长a ，求新的迭代点X (k +1)＝X (k )+αS (k +1)。
其中，最速下降法（梯度法）、共轭梯度法和牛顿法的搜索方向是如何确定？ （5） 答：
15. 什么是共轭梯度法（5）
答：对于n 维二次函数 f (X )=0.5X T AX+B T X+C
若给定任一初始点X (k )，而S (k )， K ＝0，l ，2,…为K 次迭代中要寻求的共
轭方向。
X (k +1)为沿该方向进行一维搜索求得的近似极小点，则有
X (k +1) ＝ X (k )+α(k ) S (k ) 或 X (k +1) - X (k )=α(k ) S (k ) (a)
在X (k +1)，X (k ) 点处的梯度分别为：
g (k +1)＝▽f (X (k +1))＝AX (k +1)+B (b)
g (k )＝▽f (X (k ))＝AX (k )+B (c)
式(b)与(c)相减并把式(a)代入得：
g (k +1) - g (k )＝A (X (k +1)- X (k ))= A α(k ) S (k ) (d)
若有方向S (j )与S (k )是关于A 共轭的，则有
[S (j )]T A S (k ) ＝0 K ,j ＝0,l,2,…K ≠j （e ）
式（d ）两端左乘S (j )]T ，（ α(k )≠0），则得
[S (j )]T ( g (k +1) - g (k ))＝0 K ，j ＝0，l ，2，…K ≠j （f ）
此式即共轭方向与梯度之间的关系式。
它表明,沿S(k)方向进行一维搜索得到的点X(k+1)与始点X(k)处所对应的函数梯度之差(g(k+1)- g(k))向量与S(k)的共轭方向S(j)是正交的。
共轭梯度法就是利用这个性质，不求矩阵A，只利用相应点的梯度构造共轭方向的。
16. 阐述变尺度法的基本思想（5）
答：梯度法和阻尼牛顿法的迭代公式，即
X(k+1)= X(k)−α(k)▽f(X(k)) X(k+1)= X(k)−α(k)[H(X(k))]-1▽f(X(k)) 变尺度法所构成的迭代公式为
X(k+1)= X(k)−α(k) A(k)▽f(X(k)) （1）
变尺度法的搜索方向应为S(k) =−A(k)▽f(X(k))；A(k)是根据需要构造的一个n ×n阶对称矩阵。
若在初始点X(0)取A(0)为单位矩阵I，则式(1)为的梯度法代公式，搜索方向为负梯度方向。
迭代过程不断地修正构造矩阵A(k)，使它在整个迭代过程中逐步地逼近目标函数在极小点处的赫森矩阵的逆矩阵。
当A(k)＝[H(X(k))]-1时，式(5-18)为阻尼牛顿法迭代公式。
这样,当迭代点逼近最优点时,搜索方向趋于牛顿方向。
这种构想,综合了梯度法和牛顿法的优点,不计算[H(X(k))]-1,而用变化的构造矩阵A(k)去逼近它。
构造矩阵A(k)在迭代过程中是变化的,称为变尺度矩阵。
由于变尺度法的迭代形式与牛顿法类似,不同的是在迭代公式中用A(k)来逼近[H(X(k))]-1，所以又称为“拟牛顿法”
变尺度法的搜索方向S(k)=−A(k)▽f(X(k)),最终要逼近牛顿方向
S(k)=− [H(X(k))]-1▽f(X(k))，故又称为拟牛顿方向。
17. 分析比较牛顿法、梯度法和Powell法的特点。
（5）
答：牛顿法特点：具有二次收敛性，在极值点附近收敛速度快。
但要计算函数的
Hessian 矩阵及其逆阵。
准备工作量大，程序复杂，所需贮存量大。
要求迭代点Hessian 矩阵非奇异且为定型（正定或负定），要求初始点靠近极值点。
可靠性较差。
梯度法特点：需计算一阶偏导数。
方法简单，可靠性较好，可稳定地使函数值下降。
对初始点要求不严。
但收敛速度十分缓慢，特别是当迭代点进入最优点邻域时，更为严重。
鲍威尔法特点：属于共轭方向法。
具有直接法的共同优点，且具有二次收敛性，收敛速度较快，可靠性也比较好。
存贮量少。
程序较复杂。
18. 已知约束优化问题的数学模型
()()()43min 2212
---=⊂∈x x X f R D X
s.t. ()05211≥--=x x X g
()05.2212≥+-=x x X g
()013≥=x X g
()024≥=x X g
()021=-=x x X h
试写出混合型罚函数。
（6）
答：
19. 外点法和混合惩罚函数法都可处理同时具有等式和不等式约束的优化问题，两种方法在构造惩罚函数时有何主要区别？（6）
答：
20. 设约束优化问题的数学模型为
()()()0
10ln s.t.min 211111
2=-+=≤-=-=x x h x g x x f x x x
试用混合惩罚函数法构造该问题的惩罚函数。
（6）
答：
21. 确定目标函数、设计变量、约束条件应注意哪些问题？选择优化方法应掌握哪
些原则？
答：（1）确定目标函数应注意：
从使用性能出发，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，测量或运动传递误差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，尽可能满足某动力学参数要求等等。
从结构型式出发，有要求重量最轻，体积最小等等。
从经济性考虑，有要求成本最低，工时最少，生产率最高，产值最大等等。
往往要求同时兼顾几方面的要求。
（2）确定设计变量应注意：
总原则应该在确保优化效果的前提下,尽可能地减少设计变量。
在优化设计中，对某一种参数是否作为设计变量，必须考察这种参数是否能够控制，实行起来是否便利，制造加工成本如何以及允许调整范围等实际问题。
（3）确定约束条件应注意：
在确定设计约束时，一般可以比常规设计考虑更多方面的要求，如工艺、装配、各种失效形式、费用、性能要求等等。
只要某种限制能够用设计变量表示为约束函数(包括经验公式、近似表达式等等)，都可以确定为约束条件。
（4）选择优化方法的原则：
1)通用性。
在合理的精度要求下，在同一的计算时间内，能求解出各种
不同类型的优化问题的成功率。
2)有效性。
对同一问题在同一精度同一初始条件下，求解优化问题所用
计算时间的多少。
3)简便性。
指人们所需要准备的工作量大小，包括学习使用程序，编制
针对具体优化问题的辅助子程序，程序中所需调用参数的多少，调试操。
