初中数学竞赛题 勾股定理
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初中
勾股定理
甲内容提要
1. 勾股定理及逆定理:△ABC 中 ∠C =Rt ∠⇔a 2+b 2=c
2 2. 勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a 的2,3, 5……倍
② 计算图形的长度,面积,并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等。
3. 勾股数的定义:如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2+b 2=c 2,那么这三个正整数a,b,c
叫做一组勾股数.
4. 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则(罗士琳是我国清代的数学家1789――1853)
任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2,2mn, m 2+n 2是一组勾股数。
② 如果k 是大于1的奇数,那么k, 212-k ,2
12+k 是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于2的偶数,那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭
⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。
④ 如果a,b,c 是勾股数,那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。
5. 熟悉勾股数可提高计算速度,顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有:3,4,5;
5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 9,40,41。
乙例题
例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5a 求作线段5a a
分析一:5a =25a =224a a + 2a
∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。
分析二:5a =2492
a a - ∴5a 是以3a 为斜边,以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。
作图(略)
例2.四边形ABCD 中∠DAB =60 ,∠B =∠D =Rt ∠,BC =1,CD =2
求对角线AC 的长
解:延长BC 和AD 相交于E ,则∠E =30
∴CE =2CD
=4,
在Rt △ABE 中
设AB 为x,则AE =2x
根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=325
在Rt △ABC 中,AC =221+x =1325
+=2132
例3.已知△ABC 中,AB =AC ,∠B =2∠A
求证:AB 2-BC 2=AB ×BC 证明:作∠B 的平分线交AC 于D , 则∠A =∠ABD , ∠BDC =2∠A =∠C
∴AD =BD =BC
作BM ⊥AC 于M ,则CM =DM AB 2-BC 2=(BM 2+AM 2)-(BM 2+CM 2)
=AM 2-CM 2=(AM +CM )(AM -CM )
=AC ×AD =AB ×BC
例4.如图已知△ABC 中,AD ⊥BC ,AB +CD =AC +BD
求证:AB =AC
证明:设AB ,AC ,BD ,CD 分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD ⊥BC ,根据勾股定理,得
AD 2=c 2-m 2=b 2-n
2 ∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n) (c+b)(c-b) =(m+n)((c-b)
(c+b)(c-b) -(m+n)(c-b)=0
(c-b){(c+b)-(m+n)}=0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB =AC
例5.已知梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AD >BC
求证:AC >BD
证明:作DE ∥AC ,DF ∥BC ,交BA 或延长线于点E 、F
ACDE 和BCDF 都是平行四边形
∴DE =AC ,DF =BC ,AE =CD =BF
作DH ⊥AB 于H ,根据勾股定理 AH =22-DH AD ,FH =
∵AD
>BC ,AD >DF
∴AH >FH ,EH >BH DE =22EH DH +,BD =2BH DH +
∴DE >BD
即AC >BD
例6.已知:正方形ABCD 的边长为1,正方形EFGH 内接于ABCD ,AE =a ,AF =b,
且S EFGH =32
求:a b -的值
(2001年希望杯数学邀请赛,初二)
解:根据勾股定理 a 2+b 2=EF 2=S EFGH =32
;①
∵4S △AEF =S ABCD -S EFGH ∴ 2ab=
31
② ① -②得 (a-b )2=31
∴a b -=33
丙练习31
1. 以下列数字为一边,写出一组勾股数:
① 7,__,__ ②8,__,__ ③9,__,__
④10,__,__ ⑤11,__,__ ⑥12,__,__
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值:
① 252-242=__, ②52+122=__,
③22158+=___,④2215-25=___
3. △ABC 中,AB =25,BC =20,CA =15,CM 和CH 分别是中线和高。那么S △ABC
=__,CH =__,MH =___
4. 梯形两底长分别是3和7,两对角线长分别是6和8,则S 梯形=___
5.已知:△ABC 中,AD 是高,BE ⊥AB ,BE =CD ,CF ⊥AC ,CF =BD
H G
求证:AE=AF
6.已知:M是△ABC内的一点,MD⊥BC,ME⊥AC,MF⊥AB,且BD=BF,CD=CE
求证:AE=AF
7.在△ABC中,∠C是钝角,a2-b2=bc 求证∠A=2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。(用反证法)
9.已知直角三角形三边长均为整数,且周长和面积的数值相等,求各边长
10等腰直角三角形ABC斜边上一点P,求证:AP2+BP2=2CP2
11.已知△ABC中,∠A=Rt∠,M是BC的中点,E,F分别在AB,AC
ME⊥MF
求证:EF2=BE2+CF2
12.Rt△ABC中,∠ABC=90 ,∠C=600,BC=2,D是AC的中点,从D作DE⊥
AC与CB的延长线交于点E,以AB、BE为邻边作矩形ABEF,连结DF,则DF的长是____。(2002年希望杯数学邀请赛,初二试题)
13.△ABC中,AB=AC=2,BC边上有100个不同的点p1,p2,p3, (100)
记m i=AP i2+BP i×P i C (I=1,2……,100),则m1+m2+…+m100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
C B
B
E
D