§1 母函数（生成函数）简介
对于取值非负整数的随机变量，其母函数有极其良好的性质且又便于计算和分析，因此引入母函数是非常必要的。母函数又称生成函数(Generating function)。
母函数的定义
● 定义：对于数列}0,{≥n a n ，称幂级数
)1(0
≤∑∞
=s s
a n n
n 为}0,{≥n a n 的母函数。
● 定义：设X 为取值于非负整数随机变量，分布率为 ,2,1,0,}{===k p x X P k k ，则
称
1)(ˆ)(0
≤==∑∞
=s s p s E s g k k
k X
为随机变量X 的概率母函数，简称母函数。
一些常用分布的母函数
（1） 若).(~p n B X ，则n sp q s g )()(+=
（2） 若)(~λPo X ，则)1()(-=s e s g λ （3） 若)(~p G X ，则qs
ps
s g -=1)(
母函数的基本性质
（1）X 的母函数与其分布率是一一对应的，且有!
)
0()(k g p k k =
（2）设非负整值随机变量n X X X ,,,21 相互独立，而n g g g ,,,21 分别是它们的母函数，则∑==
n
k k
X
Y 1
的母函数为：
)()()()(21s g s g s g s g n Y =
（3）设随机变量X 的母函数为)(s g ，则有：
（a ）)1()(g X E '=
（b ）2)]1([)1()1()()(g g g X Var X D '-'+''==
母函数的应用
（4） 设n X X X ,,,21 独立同分布，且).1(~p B X i ，求∑==
n
k k
X
Y 1
的分布。
（5） 设21,X X 独立，且2,1,).(~=i p n B X i i ，证明),(~2121p n n B X X ++。 （6） 设21,X X 独立，且2,1,)(~=i Po X i i λ，证明)(~2121λλ++Po X X 。
§2 特征函数
1． 特征函数的定义
● 定义：如果Y X ,均为概率空间),,(P ∑Ω上的实值随机变量，则称Y i X +=ξ为一复
随机变量，且定义复随机变量的数学期望为EY i EX E +=ξ。
由以上定义，有}{sin }{cos }sin {cos }{X t iE X t E X t i X t E e E X t i +=+=。 ● 定义：若随机变量X 的分布函数为)(x F X ，则称：
)()sin (cos ˆ)(ˆ)(x dF tx i tx x dF e Ee t X X itx itX ⎰⎰∞
∞
-∞∞
-+===ϕ
为随机变量X 的特征函数（c.f.）
● 特征函数其实就是随机变量函数的数学期望。 ● 特征函数的简单性质
（1）由于1≤itX
e
，所以对任意随机变量，特征函数都有意义
（2）特征函数是一实变量的复值函数
（3）特征函数只与分布函数有关，因此又称为某一分布的特征函数
（4）若X 的特征函数为)(t ϕ，则bX a +的特征函数为)(}exp{
bt ita ϕ函数 （5）1)0(=ϕ
（6）对离散型的随机变量X ，其分布率为 2,1}{===j p x X P j j ，则其特征函数为∑∞
==
1
}exp{)(j j j
itx p
t ϕ，若是连续型随机变量，概率密度为)(x f ，则其特征函数为
⎰∞
∞
-=dx x f itx t )(}exp{)(ϕ。
2．几种常见分布的特征函数
（1） 若),1(~p B X ，则q p it t +=}exp{)(ϕ （2） 若)(~λPo X ，则)}1(exp{)(-=it e t λϕ （3） 若),(~2σμN X ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
-=2221exp )(t t i t σμϕ
2． 特征函数的性质
性质1
1)0()(=≤ϕϕt ，且)()(t t ϕ=-。
性质2 )(t ϕ在),(∞+-∞上一致连续
性质3 若}{k
X E 存在，则对于),(∞+-∞∈t ，)
(t ϕk 阶可导，且
}{)()(itX k k k e X E i t =ϕ 特别有 }{)0()(k k k X E i =ϕ
性质 4 )(t ϕ具有非负定性，即对于任意的正整数n 及任意的实数n t t t ,,,21 与复数
n λλλ,,,21 ，总有：
0)(11
≥-∑∑==n k n
j j k j k
t t
λλϕ
性质 5 设n X X X ,,,21 相互独立，n ϕϕϕ,,,21 分别为它们的特征函数，则
n X X X Y +++= 21的特征函数为 n ϕϕϕ 21
3． 特征函数与分布函数的关系
● 定理1：分布函数)(x F 到特征函数)(t ϕ的变换是一一对应的。 ● 定理2：分布函数序列}1,{≥n F n 与分布函数)(x F 具有关系：
)()(lim x F x F n n =∞
→ （对任意)(x F 的连续点）
当且仅当：
)()(lim t t n n ϕϕ=∞
→
其中)(t ϕ是)(x F 的特征函数，)(t n ϕ是)(x F n 的特征函数。
