第四章 一元一次方程 第1课时 从问题到方程（1）
目的与要求 对实际问题的分析，体会方程作为实际问题的数学模型的作用。 知识与技能 会列一元一次方程解决一些简单的实际应用
情感、态度与价值观 初步认识方程与现实世界的密切联系，感受数学的价值。 教学教程 一、情境引入
我国古代民间流传“百僧分百馍”问题：100个和尚分食100个馒头，大和尚1人吃3个，小和尚3人合吃1个馒头，100个和尚恰好分完100个馒头，问大和尚和小和尚各多少人？ 二、新授
阅读课本P148－150试一试
像这样这含有一个末知数（元）且末知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程 （linear equation with one unknown) 例1、下列各式是方程的是（ ）
例2、下列各式是一元一次方程的是（ ）
例3、已知
例4、根据下列条件列出方程 （1）某数的2倍与3的和等于4 （2）用某数去除14得商2，余数为4 （3）某数增加4倍后得20
例5、毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家，有一次有位数学家问他：：“尊敬的毕达哥位斯，请告诉我，有多少学生在你的学校里听你讲课？”毕达哥拉斯回答说：“一共有这么多学生在听课：其中在学习数学，学习音乐，沉默无言，此外还有三名妇女。”（只列方程不必解答）
例6、
买5瓶饮料，4只面包。
共15.8元钱。
每瓶饮料2.2元，每只面包
三、课堂随练
课堂练习
四、课堂作业
作业纸
五、课堂小结
这节课你学会了什么
六、课后反馈
补充：请你编拟一道符合实际生活的应用题，使编拟的应用题所列出的方程为一元一次方程。
第2课时从问题到方程
教学目的同上
知识与技能同上
情感、态度与价值观同上
教学过程
一、情境引入
强强今年12岁，他的爷爷72岁，想一想，几年后强强的年龄是他爷爷年龄的？
二、知识新授
什么是等式？
表示相等关系的式子叫做等式。
什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程？
什么叫做一元一次方程？
含有一个未知数（元），并且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程。
注意：未知数在分母中时，他的次数不能看成是1次。（分式方程）
例1、甲，乙两城市间的铁路经过技术改造，列车在两城市间的运行
速度从80km/h提高到100km/h，运行时间缩短了3h。甲，乙两城市间的
路程是多少？
例2、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，合理利
用水资源，很多城市制定了用水收费标准。A市规定了每户每月的标准
用水量，不超过标准用水量的部分按每立方米1.2元收费，超过标准用水
量的部分按每立方米3元收费。该市张大爷5月份用水9立方米，需交费16.2元，A市规定的每户每月标准用水量是多少立方米？
（只列方程）
例3、某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念。全班共送出2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（）
A.x(x+1)=2550
B.x(x-1)=2550
C.2x(x+1)=2550
D.x(x-1)=2550×2
例4、七年级8个班进行足球友谊赛，比赛采用单循赛制（参加比赛的队每两队之间只进行一场比赛），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某七（4）班积17分，并以不败战绩获得冠军，那么七（4）班共胜几场？
例5、一批树苗按下列方法依次由各班领取；第一班取100棵和余下的，第二班取200棵和
余下的，第三班取300棵和余下的，......最后树苗全部被取完，且各班的树苗数相等。求树苗总数（只列方程）
三、课堂练习
练习纸
四、课堂小结
这节课你学会了什么?
五、课堂作业
作业本
六、课后反馈
补充：若方程(a-1)x b+2=1是关于x的一元一次方程，则a,b必须满足条件是＿＿＿＿＿＿
2、有一些分别标有6,12,18,24，······的卡片，后一张卡片上的数字比前一张卡片上的数字大6，小王拿了相邻的3张卡片，且这些卡片上的数字之和为342。
（1）猜猜小王拿了哪三张卡片？
（2）小王能否拿到相邻的3张卡片，使得这三张卡片上的数之和等于86？若能拿，试求出；若不能拿，说明理由。
第3课时 解一元一次方程
目的与要求 会解一元一次方程，灵活运用解方程的五大步骤 知识与技能 观察天平实验，思考归纳方程的变形，进而灵活运用。 情感、态度与价值观 体会转化思想，将复杂变简单，变未知为已知的作用。 教学过程 一、情境的引入 填写下表
当x=__________时，方程2x+1=5成立
分别把0，1,2，3,4代入下列方程，哪一个值能使方程成立： （1）2x-1=5 (2)3x-2=4x-3 二、新授
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（solution of equation) 求方程的的过程叫做解方程(solving equation).
方程2x+1=5可以变形如下
：
如图3x=3+2x 是怎样变形的。
等式的基本性质：
等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式 等式两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得结果仍是等式。
例1、用适当的数或整式填空，使所得的结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质以及怎样变形的。
（1）若5x=4x+7,则5x_______=7 (2)若2a=15,则6a=_________ （3）若-3y=18，则y=_________
x 1 2 3 4 5 2x+1
（4）若a+8=b+8，则a=________
(5)若-5x=5y，则x=__________
例2、解方程
(1)x+5=2 (2)-2x=4（3）4x-15=9 (4)2x=5x-21
方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项(moving terms) 例3、解下列方程
例4、解方程
（1）-3(x-1)=6
(2)3(2y-1)-2(1-y)=0
(3)2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
三、课堂练习
练习纸
四、课堂小结
这节课你学会了什么？
五、课堂作业
作业纸
六、课后反馈
第4课时解一元一次方程
目的与要求同上
知识与技能同上
情感、态度与价值观同上
教学过程
一、情境引入
关于x的一元一次方程经过变形后都可以化为ax=b的形式，而ax=b这一形式的方程可能有唯一解，也可能有无数解，也可能无解。问a,b满足什么条件时，方程ax=b有唯一解、有无数解、无解？
二、新授
例1、解下列方程
例2、解方程
例3、若方程的解相同，求m的值。
例4、解方程
思考题
若关于x的方程有无穷多个解，m应取何值
三、课堂练习
见练习纸
四、课堂小结
这节课你学会了什么？
五、课堂作业
作业纸
六、课后反馈
1、根据等式的性质，解方程(a-3)x=4
2、k为何值时，2是关于x的方程3|k|-2x=6x+4的解？
3、当a为何值时，方程
4、当a为何值时，方程(a-3)x|a|-2+b=7是关于x的一元一次方程？
第5课时解一元一次方程
目的与要求同上
知识与技能同上
情感、态度与价值观同上
教学过程
一、情境引入
对于方程x+y=2来说，可以变形为y=2-x，也就是说，一旦x的值确定，y的值就随之确定，换句话说，方程x+y=2有无数多组解，如x=1,y=1;x=2,y=0;x=3,y=-1,......当然方程2x-y=3也有无数组解，如x=1,y=-1;x=2,y=1,......你能快速求出x+y=2与2x-y=3的一组完全相同的解吗？试试看。
二、新授
例1、解下列方程
例2、解方程
例3、解方程
例4、解方程
30%x+70%(200-x)=200×30%
例5、若x=1是方程的解
（1）问a,b满足什么样的条件？
（2）当b=2时，求a的值。
三、课堂练习
练习纸
四、课堂小结
这节课你学会了什么？
五、课堂作业
见作业纸
六、课堂反馈
第6课时 用方程解问题
目的与要求:会根据具体实际问题中的数量关系列出一元一次方程并求解,并根据问题的实际意义检验所得结果是否合理.
知识与技能:结合实践与探索,让学生经历“问题情景—建立数学模型—解释.应用与拓展”的过程,提高分析问题.解决问题的能力,提高思维品质,增强学习能力.
情感.态度与价值观:通过列方程解决实际问题的过程,体会教学的价值,增强学习数学的兴趣. 一、教学过程 情境引入
一.比例与倍数问题
例1.一个扶贫小组共有成员45人,根据需要分成甲.乙,丙三组,这三组人数之比为2:3:4,求这三个小组的人数.
分析:相等关系,三个小组的人数和=45
解:没其中一份为x,则甲.乙.丙三组人数分别为2x.3x.4x
根据题意:2x+3x+4x=45 解这个方程得:x=5 ∴2x=10 3x=15 4x=20
答:甲乙丙三组人数分别为10人,15人,20人.
例 2.一张桌子有一张桌面和四条桌腿,做一张
桌面需要木材0.03m3,做一条桌腿需要木材0.002m3,现做一批这样的桌子,恰好用去木材3.8m3,共做多少张桌子?
分析:相等关系做桌面的木材+做桌腿的木材=3.8m 3解:设共做了x 张桌子
根据题意:0.03x+0.008x=3.8解这个方程得: x=100答:共做了100张桌子.
例3、已知甲数与乙数的比是1:3，甲数与丙数的比是2:5,且甲数、乙数、丙数的三数和等于130，求这三个数。
分析：甲数＋乙数＋丙数＝130
解：设甲数是x ，则乙数为3x,丙数为 x 。
25
根据题意：x+3x+ x=130
2
5
解之得：x=20
甲数为20，乙数为60，丙数为50
答：这三个数分别为甲数20，乙数60，丙数50。
例4.把内径为100mm的圆柱形长玻璃杯装满水,倒入一个长
方体铁盒内,这个长方体的内底面是边长为130mm的正方形,内高为80mm,问当铁盒装满水时,玻璃杯中的水的高度约下降了多少?(π取3.14,精确到1mm)
分析:相等关系玻璃杯中空闲部分的容积=铁盒的容积
解:设玻璃杯中水的高度下降了xmm
根据题意:3.14×502?x=1302×80
解这个方程得:x≈172(mm)
答:玻璃杯中水的高度约下降172mm
请大家完成课本第128页练一练
百分百第230页
二.课堂作业
作业纸
三.课堂反馈
一元一次方程简单练习题 1、 2、1－2（2x+3）= －3（2x+1） 3、2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 4、(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 5、11x+64-2x=100 -9x ： 6、15-(8-5x)=7x+(4-3x) 7、3(x-7)-2[9-4(2-x)]=22 { 8、3/2[2/3(1/4x-1)-2]-x=2 9、2(x-2)+2=x+1 10、5x+3x+1=0 * 11、7x+x+12=0 12、2x+4x+4=0 13、8x+3x+1=0 14、5x+3x+2=0 15、45x+3x+100=0 16、89x+335x+1=0 17、5x+3x=8 :
18、3x+1=2x 19、x-7=6x+2 20、5x+1=9 21、9x+8=24 } 22、55x+54=-1 23、23+58x=99 24、29x-66=21 。 25、+= 26、30x-10(10-x)=100x=5 】 27、4(x+2)=5(x-2)x=18 29、120-4(x+5)=25x= ， 30、15x+863-65x=54x=16 31、3(x-2)+1=x-(2x-1)x=3/2
。 32、11x+64-2x=100-9x=2 33、x/3 -5 = (5-x)/2 34、2(x+1) /3=5(x+1) /6 -1 35、(1/5)x +1 =(2x+1)/4 / 36、(5-2)/2 - (4+x)/3 =1 37、x/3 -1 = (1-x)/2 < 38、(6x-3)/2+7=2x+3x 39、9x-6-7-x=2x 1、一只轮船在相距80千米的码头间航行，顺水需4小时，逆水需5小时，则水流速度为多少 …
一元一次方程中考真题 一、选择题 1. （2011山东菏泽，7，3分）某种商品的进价为800元，出售标价为1200元，后来由 于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打 A ．6折 B ．7折 C ．8折 D ．9折 【答案】B 2. （2011山东日照，4，3分）某道路一侧原有路灯106盏，相邻两盏灯的距离为36米，现计划全部更换为新型的节能灯，且相邻两盏灯的距离变为70米，则需更换的新型节能灯有（ ） （A ）54盏 （B ）55盏 （C ）56盏 （D ）57盏 【答案】B 3. （2011甘肃兰州，11，4分）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x 名学生，根据题意，列出方程为 A ．(1)2070x x -= B ．(1)2070x x += C ．2(1)2070x x += D ． (1) 20702 x x -= 【答案】A 4. （ 2011重庆江津， 3，4分）已知3是关于x 的方程2x －a=1的解,则a 的值是( ) A.－5 B.5 C.7 D.2 【答案】B · 5. （2011湖北荆州，6，3分）对于非零的两个实数a 、b ，规定a b b a 1 1-= ?，若1)1(1=+?x ，则x 的值为
A ． 23 B ．31 C ． 21 D ． 2 1 - 【答案】D 二、填空题 1. （2011四川重庆，16，4分）某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景．甲 种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成．乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成．丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了 朵． 【答案】4380 2. （2011福建泉州，10，4分）已知方程||x 2=，那么方程的解是 . 【答案】1222x x ==-，； 3. （2011湖南邵阳，13，3分）请写出一个解为x=2的一元一次方程：_____________。 【答案】2x-2=2.（答案不唯一） 4. （2011重庆市潼南,15,4分）某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规定每月基本 用电量为a 度,超过部分电量的毎度电价比基本用电量的毎度电价增加20%收费,某用户在5月份用电100度,共交 电费56元,则a = 度. 【答案】40 5. （2011广东湛江15,4分）若2x =是关于x 的方程2310x m +-=的解，则的值为 ． 【答案】1- 6. （2011湖南湘潭市，13，3分）湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”.李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为______________.
甲、乙两车站相距400千米慢车每小时行驶100千米，快车每小时行驶140千米先让慢车行驶100千米，然后快车再出发问多长时间快车能追上慢车？？？ 如果不是快车慢车的那再给你找一些追及应用题吧 1、甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，多少小时候，乙车追上甲车？ 2、甲乙两人相距6千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，3小时甲追上乙。乙每小时行4千米，甲每小时行多少千米？ 3、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，10分钟后两人相距多远？ 4、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，这时，乙离终点还有多远 5、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，甲到达终点后原路返回起跑点，起跑后多少分两人相遇？ 6、一辆货车以每小时60千米的速度前进，一辆客车在它后面30千米，以每小时75千米的速度前进，问客车多长时间能追上货车？ 7、甲车1小时行驶60千米，1小时后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时80千米，几小时后可以追上甲车？ 8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度为每分钟行200米，5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后就又返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米？ 9、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米，客车到达乙站后又以原速度返回甲站，两车在开出几小时后相遇？ 10、甲乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲追上乙，求甲乙各自的速度是多少？ 11.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。两人同时出发，然后在离甲、乙两地的中点1千米的地方相遇，甲、乙两地间的距离是多少 小张从甲地到乙地步行需要36分，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分。他们同时出发，几分后两人相遇？ 12. 一列火车长152米，它的速度是每小时63.36千米。一个人与火车相向而行，全列火车从他身边开过要8秒，这个人的步行速度是每秒多少米？ 兄妹2人在周长30米的圆形水池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 甲、乙两人训练跑步，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒可追上乙。若乙比甲先跑2秒，则甲跑4秒能追上乙。那么甲、乙两人的速度是多少？ 一只狗追赶一只野兔，狗跳5次的时间兔子能跳6次，狗跳4次的距离与兔子跳7次的距离相等。兔子跳出550米后狗才开始追赶，那么狗跳多少米才能追上兔子呢？ 上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立刻回家，到家后又立刻回头去追小明、再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几点几分？ 1.一列客车从甲站开往乙站，每小时行65千米，一列货车从乙站开往甲站，每小时行 60千米，已知货车比客车早开出
方程史话 大约3600年前，古代埃及人写在纸草上的数学问题中，就涉及了含有未 知数的等式。 基本概念 方程：含有未知数的等式，即：⒈方程中一定有一个或一个以上含有未 知数2.方程式是等式，但等式不一定是方程 等式的基本性质1 等式两边同时加(或减)同一个数或同一个代数式，所得的结果仍是等式。 用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式。则： (1)a+c=b+c(2)a-c=b-c 等式的基本性质2 等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数所得的结果仍是等式。
(3)若a=b,则b=a（等式的对称性）。 (4)若a=b,b=c则a=c（等式的传递性）。 用字母表示为：若a=b，c为一个数或一个代数式（不为0）。则： a×c=b×c a÷c=b÷c 思考：mx=my 所以x=y 3x=5x 所以3=5 一元一次方程 合并同类项 移项 ⒈依据：等式的性质一 ⒉含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 ⒊把方程一边某项移到另一边时，一定要变号{例如：移项时将+改为-}。性质
一元一次方程概念及解 一．选择题（共27小题） 1．下列四个式子中，是方程的是（） A．1+2+3+4=10 B．2x﹣3 C．x=1 D．2x﹣3＞0 2．下列四个式子中，是方程的是（） A．π+1=1+πB．|1﹣2|=1 C．2x﹣3 D．x=0 3．下列说法中，正确的是（） A．代数式是方程B．方程是代数式C．等式是方程D．方程是等式 4．已知2+1=1+2，4﹣x=1，y2﹣1=3y+1，x+1，方程有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．（1999?烟台）下列方程，以﹣2为解的方程是（） A．3x﹣2=2x B．4x﹣1=2x+3 C．5x﹣3=6x﹣2 D．3x+1=2x﹣1 6．方程2x+a﹣4=0的解是x=﹣2，则a等于（） A．﹣8 B．0C．2D．8 7．已知x=2是关于x的方程3x+a=0的一个解，则a的值是（） A．﹣6 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5 8．下列方程中，解是x=2的是（） A．2x=4 B． x=4 C．4x=2 D． x=2 9．（2003?无锡）已知2x=3y（x≠0），则下列比例式成立的是（）A．B．C．D． 10．已知xy=mn，则把它改写成比例式后，错误的是（） A． =B． = C． = D． = 11．下列运用等式的性质，变形正确的是（） A．若x=y，则x﹣5=y+5 B．若a=b，则ac=bc C． 若，则2a=3b D． 若x=y，则
初一数学期末复习练习卷（七）应用题一 二、基础练习： 1、列方程表示下列语句所表示的等量关系：①某校共有学生1049人，女生占男生的 40%，求男生的人数。 ②两个村共有 834人，甲村的人数比乙村的人数的一半还少 111人，两村各有多少人？③某汽车和电动车从相距 298千米的两地同时出发相对而行， 汽车的速度比电动车速度的 6 倍还多15千米，半小时后相遇。求两车的速度。④某人共用142元买了两种水果共20千克，已知甲种水果每千克 8元，乙水果每千克 6元， 问这两种水果各有多少千克？⑤把一些图书分给某班学生，如果每人4本，则剩余 12本，如果每人分 5本，则还缺 30 本，问该班有多少学生？2、列方程解下列应用题：①一台计算机已使用 1700小时，预计每月再使用 150小时，经过多少个月这太计算机的使 用时间达到规定的检修时间 2450小时？ ②用一根长80m 的绳子围出一个矩形，使它的宽是长的3 1，长和宽各应是多少？ 三、典型例题：列方程解下列应用题： 1、有一列数，按一定规律排列成4，8，12，16，20，24，……其中某三 个相邻数的和是 672，求这三个数各是多少？ 2、一轮船航行于两个码头之间， 逆水需10小时，顺水需6小时。已知该船在静水中每小时 航行12千米，求水流速度和两码头间的距离。 3、一商场把彩电按标价的九折出售，仍可获利20%，如果该彩电的进货价是2400元，那么 彩电的标价是多少元？四、巩固练习：列方程解下列应用题：1、四个连续的奇数的和为32，这四 个数分别是什么？2、甲仓库储粮 35吨，乙仓库储粮 19吨，现调粮食 15吨，应分配给两仓库各多少吨，才 能使得甲仓库的粮食数量是乙仓库的两倍？3、学校有电视和幻灯机共90台，已知电视机和幻灯机的台数比为 2 ：3，求学校有电视机和幻灯机各多少台？4、在全国足球甲级 A 组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积 23分，按比赛规则， 胜一场得3分，平一场得 1分，那么该对共胜了多少场？ 5、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身15个，或制盒底 42个，一个盒身与两个盒底配 成一套罐头盒，现有108张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底， 可以正好制成整套罐 头盒？ 6、下面是两种移动电话计费方式表 方式一 方式二月租费50元/月0本地通话费元/分 元/分 （1） 若某人一个月内在本地通话 100分，选择哪一种方式比较合算？
一次方程（组） 【基础知识回顾】 一、等式的概念及性质： 1、等式：用“=”连接表示关系的式子叫做等式 2、等式的性质： ①、性质1：等式两边都加（减）所得结果仍是等式， 即：若a=b,那么a±c= ②、性质2：等式两边都乘以或除以（除数不为0）所得结果仍是等式即： 若a=b,那么a c= ，若a=b（c≠o）那么a c = 【名师提醒：①用等式性质进行等式变形，必须注意“都”，不能漏项 ②等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值】 二、方程的有关概念： 1、含有未知数的叫做方程 2、使方程左右两边相等的的值，叫做方程的组 3、叫做解方程 4、一个方程两边都是关于未知数的，这样的方程叫做整式方程 三、一元一次方程： 1、定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是的方程叫做一元一次方程，一元一次方程一般可以化成的形式。 2、解一元一次方程的一般步骤：
1。 2。 3。 4。 5。 【名师提醒：1、一元一次方程的解法的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则，要注意灵活准确运用；2、特别提醒：去分母时应注意不要漏乘项，移项时要注意。 】 四、二元一次方程组及解法： 1、二元一次方程的一般形式：ax+by+c=0是常数，a≠0,b≠0)； 2、由几个含有相同未知数的 合在一起，叫做二元一次方程组； 3、 二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解； 4、 解二元一次方程组的基本思路是： ； 5、 二元一次方程组的解法：① 消元法 ② 消元法 【名师提醒：1、一个二元一次方程的解有 组，我们通常在实际应用中要求其正整数解 2、二元一次方程组的解应写成 五、列方程（组）解应用题： 一般步骤：1、审：弄清题意，分清题目中的已知量和未知量 2、设：直接或间接设未知数 3、列：根据题意寻找等量关系列方程（组） 4、解：解这个方程（组），求出未知数的值 5、验：检验方程（组）的解是否符合题意 6：答：写出答案（包括单位名称） 【名师提醒：1、列方程（组）解应用题的关键是： 2 、几个常用的等量关系：①x=a y=b 的形式
一元一次方程的基本概念及练习 等式的概念： 用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 观察下面的式子，哪些是等式？哪些不是？ ①m +n =n +m ②x +2x ③3×3+1=2×5 ④3x +1>5y ⑤2+3=5+4 方程的概念： 含有未知数的等式叫做方程。 要点：1、含有未知数；2、是等式。这是判断一个式子是不是方程的两个必要条件，缺一不可。 判断下列各式是不是方程： （1）5x -9=2x （2）x y 322=- （3）1152+x （4）-1-1=-2 （5）4x -2=-x （6） 12 5=-x x 方程的解的概念： 能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 例如，在方程5x -9=2x 中，当x =3时，方程左边=5×3-9=6，方程右边=2×3=6，左边=右边，所以x =3是方程5x -9=2x 的解。 当x =2时，左边=5×2-9=1，右边=2×2=4，左边≠右边，所以x =2不是方程5x -9=2x 的解。 解方程的概念： 求方程的解的过程，叫做解方程。 例1：已知2是关于x 的方程x +a =4的解，求a 的值。 解：因为2是关于x 的方程x +a =4的解，所以2+a =4，所以a =2 例2：求方程x +2=3的解 解：移项得x =3-2，所以x =1 上面这个过程，就叫做解方程。 一元一次方程的概念： 只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程叫做一元一次方程。 方程中的未知数叫做“元”。 只有一个未知数→“一元”，所有含未知数的项都是一次→“一次” 一元一次 要点：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0，期中x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0； （2）一元一次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的次数是1次，三是未知数的系数不为0.
一元一次方程练习题(一) 1、2x-3=-2 2、1－（2x+3）= －3 17、2 5211x x =-- 18、9x-6-18-x=2x 19.2（x-2）+2=-4 20.(x-1)+(x-2)=-3 一元一次方程练习题（三） 1.今年母女二人年龄之和53,10年前母女二人年龄之和是 ，已知10年前母亲的年龄是女儿年龄的10倍，如果设10年前女儿的年龄为x ，则可列方程 。
2. 如果21m x -+8=0是一元一次方程，则m= 。 3. 若3x -的倒数等于 12，则x-1= 。 4. 如果方程340x +=与方程3418x k +=是同解方程，则k= 。 5. 若52x +与29x -+是相反数，则x-2的值为 。 6. 一种药品现在售价56．10元，比原来降低了15％，问原售价为__________元． 7. 有两桶水，甲桶有水180升，乙桶有水150升，要使甲桶水的体积是乙桶水的体积的两倍，则应由乙桶向甲桶倒 升水。 8. 小李在解方程5a-x=13（x 为未知数）时，误将-x 看+x ，解得方程的解x=-2，则原方程的解为___________________________． 9.单项式-2x a-1与1 2 x —a+1为同类项则a= . 10. 有一棵树，刚移栽时，树高为2m ，假设以后平均每年长0.3m ，几年后树高为5m ？ 11. 环形跑道一周长400m ，沿跑道跑多少周，可以跑3000m? 12. 国庆期间， “重客隆”綦江店搞促销活动，小军买了一件衣服，按8折销售的售价为88元，问这件衣服的原价是多少元？ 13. 甲种铅笔每枝0.3元，乙种铅笔每枝0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20枝，两种铅笔各买了多少枝？ 14. x 取什么数时,3x-2的是x-4的相反数? 15. 某工厂计划26小时生产一批零件，后因每小时多生产5件，用24小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了60件，问原计划生产多少零件？ 16. 甲、乙两车分别从相距360千米的两地相向开出，已知甲车速度60千米/时，乙车速度40千米/时，若甲车先开1个小时，问乙车开出多少小时后两车相遇?
一元一次方程练习题 基本题型： 一、选择题： 1、下列各式中是一元一次方程的是（ ） A. y x -=-5 4121 B. 835-=-- C. 3+x D. 1465 34+=-+x x x 2、方程x x 23 1=+-的解是（ ） A. 31- B. 3 1 C. 1 D. -1 3、若关于x 的方程m x 342=-的解满足方程m x =+2，则m 的值为（ ） A. 10 B. 8 C. 10- D. 8- 4、下列根据等式的性质正确的是（ ） A. 由y x 3 231=- ，得y x 2= B. 由2223+=-x x ，得4=x C. 由x x 332=-，得3=x D. 由753=-x ，得573-=x 5、解方程16 110312=+-+x x 时，去分母后，正确结果是（ ） A. 111014=+-+x x B. 111024=--+x x C. 611024=--+x x C. 611024=+-+x x 6、电视机售价连续两次降价10％，降价后每台电视机的售价为a 元，则该电视机的原价为（ ） A. 0.81a 元 B. 1.21a 元 C. 21 .1a 元 D. 81.0a 元 8、某商店卖出两件衣服，每件60元，其中一件赚25%，另一件亏25%，那么这两件衣服卖出后，商店是 ( ) A .不赚不亏 B .赚8元 C .亏8元 D . 赚8元 9、下列方程中，是一元一次方程的是（ ） （A ）;342=-x x （B ）;0=x （C ）;12=+y x （D ）.11x x =- 10、方程212= -x 的解是（ ） （A ）;41-=x （B ）;4-=x （C ）;4 1=x （D ）.4-=x 11、已知等式523+=b a ，则下列等式中不一定．．． 成立的是（ ） （A ）;253b a =- （B ）;6213+=+b a （C ）;523+=bc ac （D ）.3 532+=b a 12、方程042=-+a x 的解是2-=x ，则a 等于（ ） （A ）;8- （B ）;0 （C ）;2 （D ）.8
人教版七年级上册一元一次方程的应用-追及相遇问题（含答案） 一、单选题 1．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米．若甲让乙先跑10米，设甲跑x秒后可以追上乙，则下列四个方程中不正确的是() A．7x＝6.5x＋10 B．7x－10＝6.5x C．(7－6.5)x＝10 D．7x＝6.5x－10 2．甲、乙两列火车在平行轨道上相向而行，已知两车自车头相遇到车尾相离共需8 s．若甲、乙两车的速度之比为3∶2，甲车长200 m，乙车长280 m，则甲、乙两车的速度分别为( ) A．30 m/s，20 m/s B．36 m/s，24 m/s C．38 m/s，22 m/s D．60 m/s，40 m/s 3．明月从家里骑车去游乐场，若速度为每小时10km，则可早到8分钟，若速度为每小时8km，则就会迟到5分钟，设她家到游乐场的路程为xkm，根据题意可列出方程为() A． 85 1060860 x x -=-B． 85 1060860 x x -=+ C． 85 1060860 x x +=-D．85 108 x x +=+ 4．如图，甲船从北岸码头A向南行驶，航速为36千米/时；乙船从南岸码头B向北行驶，航速为27千米/时．两船均于7：15出发，两岸平行，水面宽为18.9千米，则两船距离最近时的时刻为() A.7：35 B.7：34 C.7：33 D.7：32 5．甲乙两人练习跑步，甲先让乙跑10米，则甲５秒钟追上乙，若甲让乙先跑２秒，甲跑４秒就追上乙，甲乙两人每秒分别跑（） A.4米、6米 B.2米、4米 C.6米、4米 D.4米、2米
6．甲、乙两人从学校到博物馆去，甲每小时走 4km ，乙每小时走 5km ，甲先出发 0.1h ，结果乙还比甲早到 0.1h ．设学校到博物馆的距离为 xkm ，则以下方程正确的是（ ） A. +0.1=0.145 x x - B. -0.1=0.145 x x + C. =0.145 x x - D.4x ﹣0.1=5x+0.1 7．甲、已两地相距50千米，小明、小刚分别以6?千米/时、4千米/时从甲乙两地同时出发，小明领一只小狗以10千米/时奔向小刚，碰到小刚后奔向小明，碰到小明后奔向小刚…一直到两人相遇，小狗共跑了多少路程？（ ） A.25千米 B.30千米 C.35千米 D.50千米 8．A 、B 两地相距900千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车的速度为110千米/时，乙车的速度为90千米/时，则当两车相距100千米时，甲车行驶的时间是（ ） A ．4小时 B ．4.5小时 C ．5小时 D ．4小时或5小时 二、填空题 9．一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2个小时，从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，则船在静水中的速度是_____千米/时． 10．一个通讯员骑自行车需要在规定时间内把信件送到某地，每小时走15公里早到24分钟，如果每小时走12公里，就要迟到15分钟，原定时间是________分． 11．某人乘船由A 地顺流而下到B 地，然后又逆流而上到C 地，共乘船3小时，已知船在静水中的速度是每小时8千米，水流速度是每小时2千米，若A ，C 两地距离为2千米，则A ，B 两地之间的距离是_____． 12．甲、乙两人练习赛跑，若甲让乙先跑10米，则甲跑5秒种就能追上乙．若甲让乙先跑2秒钟，则甲跑4秒种就能追上乙，则甲每秒跑____米，乙每秒跑____米． 13．在一段双轨铁道上，两人辆火车迎头驶过，A 列车车速为20米/秒，B 列车车速为25米/秒，若A 列车全长200米，B 列车全长160米，两列车错车的时间为____秒。 14．甲、乙两站相距36千米，一列慢车从甲站出发，每小时行52千米，一列快车从乙站出发，每小时行70千米，两车同时开出，同向而行，快车在后，________小时追上慢车。
初中数学-《一元一次方程》全章复习知识讲解 【学习目标】 1．理解方程，等式及一元一次方程的概念，并掌握它们的区别和联系； 2．会解一元一次方程，并理解每步变形的依据； 3．会根据实际问题列方程解应用题． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、一元一次方程的概念 1．方程：含有未知数的等式叫做方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 要点诠释： （1）一元一次方程变形后总可以化为ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方
程的标准形式． （2）判断是否为一元一次方程，应看是否满足：①只含有一个未知数，未知数的次数为1； ②未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数． 3．方程的解：使方程的左、右两边相等的未知数的值叫做这个方程的解．4．解方程：求方程的解的过程叫做解方程． 要点二、等式的性质与去括号法则 1．等式的性质： 等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等． 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 2．合并法则：合并时，把系数相加(减)作为结果的系数，字母的指数不变．3．去括号法则： （1）括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同． （2）括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相反． 要点三、一元一次方程的解法 解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数． (2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号． (3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边． (4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式． (5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解 b x a (a≠0)． (6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解． 要点四、用一元一次方程解决实际问题的常见类型
(1) 3.5X ＋1.8＝12.3 (5) X ＋ 52X ＝21 (6) 54X ＋52X ＝2 1 (7) 3.6X ÷2＝2.16 (8) X ＋ 72X ＝4 3 (2) 0.8X －4＝1.6 (3) 5X ÷2＝10 (4) X －0.25X ＝3 (9) X － 52X ＝10 3 (10) X －52＝103 (11) 2X ＋7X ＝109 (12) 83＋X ＝5 2 (13) 10 7X ＝ 2514 (14) 21X ＝43 (15) 9 5 X ＝10 (16) 180＋6X ＝330 (17) 2.2X －1＝10 (18) X －0.8X ＝10 (19) 15X ÷2＝60 (20) 4X ＋X ＝3.15 （21）3.4X ＋1.8＝8.6
(22) 5X －X ＝2.4 (23) 1.5X －X ＝1 (24) 6.6X －6X ＝1.8 25、12-3(9-x)=5(x-4)-7(7-x) 26、6x-17=13 27、9-10x=10-9x 28、2(x －1)=4． 29、13x-26=13 30、－5x=70 31、2（6x-2）=8 32、25x （12-6）=300 33、24x+12=132 34、56=12x+8 35、2x+4=30 36、12x=11x －79 37、2432+-=-x x 38、2（2x+3）= 46 39、2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)
40、(x-2)-3(4x-1)=9(1-x) 41、11x+64-2x=100-9x 42、15-(8-5x)=7x+(4-3x) 43、3(x-7)=34 44、2(x-2)+2=x+1 45、5x+3x+1=0 46、7x+x+12=44 47、2x+4x+4=0 48、8x+3x+1=13 49、5x+3x+2=0 50、45x+3x+100=196 51、4 -x x = 4 3+ 5 52、5x+3x=8 53、3x+1=2x 54、 7x-7=6x+2 55、5x+1=9 56、9x+8=24 57、55x+54=-1
一元一次方程组知识要点Last revision on 21 December 2020
一元一次方程知识要点 一、知识框架 二、知识梳理 知识点一：一元一次方程及解的概念 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。 2、一元一次方程：在方程中，只含有一个未知数x （元），并且未知数的次数是1（次），这样的方程叫一元一次方程。 一元一次方程的标准形式：0=+b ax （其中x 是未知数，b a ,是已知数，且0≠a ） 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： （1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1次；（3）整式方程。 3、解方程与方程的解：求出使该方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解。 判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等。 知识点二：一元一次方程的解法 1、等式的基本性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。 即：如果b a =，那么c b c a ±=±。（c 为一个数或一个式子） 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为0的数，结果仍相等。 即：如果b a =，那么bc ac =；如果b a =（0≠c ），那么 c b c a =。 要点诠释： 分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。 即：）其中0(≠÷÷==m m b m a bm am b a 特别注意：分数的基本性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化
为整数，如方程：6.12 .045.03=+--x x ，将其化为：6.12401053010=+=-x x 。方程的右边没有变化，这要与“去分母”区别开。 2、解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。 ⑴去分母时：①不含有分母的项也要乘以最小公分母；②区别于利用分数的性质将方程简化，此时不含分母的项不用扩大和缩小；③分数线相当于括号，去掉分母要将分子用括号括起来。 ⑵去括号时：与整式中去括号法则相同，注意括号外面的符号。 ⑶移项时：①区别于去括号，不论正负移项都要变号；②没有移项时不要误以为有移项，如x =-5得到5=x ，是错误的。 ⑷合并同类项时：把方程化成()0≠=a b ax 的形式。 ⑸系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解a b x =。 要点诠释： 理解方程b ax =在不同条件下解的各种情况，并进行简单应用： ①0≠a 时，方程有唯一解a b x =； ②0,0==b a 时，方程有无数个解； ③0,0≠=b a 时，方程无解。 知识点三：列一元一次方程解应用题 1、列方程解应用题的步骤： （1）审题：认真审题，理解题意，弄清题目中的数量关系，找出其中的等量关系。 （2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系。
一元一次方程——行程问题（追及问题） 【基本关系式】 （1）行程问题中的三个基本量及其关系： 路程=速度X时间时间=路程十速度速度=路程十时间 （2）基本类型 ①相遇问题：快行距+慢行距=原距 ②追及问题：快行距-慢行距二原距 速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。 追及时间：快车追上慢车所用的时间。路程差：快车开始和慢车相差的路程。 熟悉追及问题的三个基本公式： 路程差=速度差X追及时间； 速度差=路程差十追及时间；追及时间=路程差*速度差追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。 ①同时不同地：甲的时间=乙的时间 甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 ②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程 ③环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。 解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。 【经典例题】 例题1. 甲、乙两站相距480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行140 公里。 （1）慢车先开出1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？ （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600 公里？ （3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600 公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。
一元一次方程的概念及解法 等式的性质 例题： 1. 已知2x-3y=1，用含x的代数式表示y正确的是（C ） 2. 下列等式变形正确的是（A） A、如果x=y，那么x-2=y-2 C、女口果mx=my，那么x=y 3. 运用等式性质进行的变形，正确的 是 1 B、如果丄x 8，那么x=-4 2 D如果|x|=|y| ，那么x=y —④⑥⑧⑨ _____ （填序号 ①如果a=b,那么a+c=b-c；②如果a2=3a,那么a=3；③如果a=b,那么ac bc ； ④如果ac bc，那么a=b；⑤如果a+c=b-d，那么a-b=c+d；⑥如果a=b,那 么ac=bc； ⑦如果ac=bc，那么a=b；⑧如果a=b，那么一 c 1 那么a=b 习题: 2；⑨如 果 a c2 1
1?若a 二b,则下列变形中不一定成立的是（C ） A 、a-1=b-1 3. 利用等式的性质，在括号内填上适当的数或式子 （1）如果 2x-3=-5，贝U 2x= ________ , x= __________ (2)如果 5x+2=2x-4，贝U 3x= __________ , x= __________ (3)如果丄x 2x -3，则-5x = ，x= 3 3 答案:(1)-2 ; -1 (2)-6;-2 (3)-3; 一元一次方程 例题: 1?下列式子是方程的个数有（B ） 2 ① 32+13=45,②2x+3<9,③4-2x=9，④ 2-3 2，⑤3x-2 x A 、 C 、 3 b - 2 3 a - 2 □ a b C 、1 - -1 D 3 3 2. 下列等式变形正确的是（A ） A 如果x=y,那么x - 2=y - 2 C 、 如果mx=my ,那么x=y 、-5a-1=-1-5b B 如果中8 ，那么x =-4 D 如果|x|=|y|，那么x=y
七年级（上）中考试题---一元一次方程应用题 1. (02河南)某种收音机,原来每台售价48元，降价后每台售价42元,则降价的百分数为 . 2.(02杭州)在时刻 8：30，时钟上的时针和分针之间的夹角为（ ） （A ）85° （B ）75° （C ）70° （D ）60° 3.（01荆州）某商品的进价是1000元.售价为1500元.由于销售情况不好，商店决定降价出售.但又要保证利润率不低于5％.那么,商店最多降_________元出售此商品. 4.(08广东)已知某种商品的售价为204元，即使促销降价20％仍有20％的利润，则该商品的成本价是（ ） A ．133 B ．134 C ．135 D ．136 5.（06仙桃）小龙和小刚两人玩“打弹珠”游戏，小龙对小刚说：“把你珠子的一半给我，我就有10颗珠子”.小刚却说：“只要把你的 3 1 给我，我就有10颗”，那么小刚的弹珠颗数是 . 6.（06陕西）一件商品按成本价提高40%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为 240元，设这件商品的成本价为x 元，根据题意，下面所列的方程正确的是（ ） A 、x ·40%×80%=240 B 、x （1+40%）×80%=240 C 、240×40%×80%=x D 、x ·40%=240×80% 7．（06黑龙江）A 、B 两地相距450千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为120千米/时，乙车速度为80千米/时，经过t 小时两车相距50千米，则t 的值是（ ） A 、2或2.5 B 、2或10 C 、10或12.5 D 、2或12.5 8．（06绵阳）我市某县城为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过7立方米，则按每立方米1元收费；若每月用水超过7立方米，则超过部分按每立方米2元收费，如果某居民户今年5月缴纳了17元水费，那么这户居民今年5月的用水量为________立方米。 9．（06荆门）在一次主题为“学会生存”的中学生社会实践生活中，春华同学为了锻炼自己，他通过了解市场行情，以每件6元的价格从批发市场购进若干件印有2008北京奥运标志的文化衫到自由市场去推销，当销售完30件之后，销售金额达到300元，余下的每件降价2元，很快推销完毕，此时销售金额达到380元，春华同学在这次活动中获得纯收入__________元。 10. (06枣庄)某原料供应商对购买其原料的顾客实行如下优惠：（1）一次购买金额不超过1万元，不予优惠；（2）一次购买金额超过1万元，但不超过3万元给九折优惠；（3）一次购买超过3万元，其中3万元九折优惠，超过3万元的部分八折优惠.某厂因库容原因，第一次在供应商购买原料付款7800元，第二次购买付款26100元，如果他是一次购买同样数量的原料，可少付金额为（ ）元. A.1460 B.1540 C.1560 D.2000
七年级一元一次方程应用 一、行程问题 基本关系式：路程=时间×速度 时间= 速度路程 速度=时间 路程 1）相遇问题：相遇路程=相遇时间×（乙甲V V +）（速度和） 相遇时间=相遇路程÷（乙甲V V +）（速度和） 速度和（乙甲V V +）=相遇路程÷相遇时间 2）追及路程（速度快比速度慢多走的路程）=追及时间×（慢快V V -）（速度差） 追及时间=追及路程÷（慢快V V -）（速度差） 速度差（慢快V V -）=追及路程÷追及时间 3）行船/航行问题： ()()???÷+=÷-=????-=+=22逆流顺水静水逆流顺流水流水流静水逆流水流静水顺流V V V V V V V V V V V V 4）环形跑道问题 例1、A 、B 两地相距450千米，甲，乙两车分别从A ,B 两地同时出发，相向而行。已知甲车的速度为120 km/h, 乙车的 速度为80 km/h, 经过x 小时两车相距50km,则x 的值为多少？ 例4、甲乙两人在一条长400m 的环形跑道上跑步，甲的速度为360 m/min ，乙的速度为240m/min （1）两人同时同地同向跑，问第一次相遇时，两人共跑了几圈？ （2）两人同时同地反向跑，问多长时间两人第一次相遇？ 行程问题汇总 1.甲、乙两辆火车相向而行，甲车的速度是乙车速度的5倍还快20km/h ，两地相距298km ，两车同时出发，半小时后相遇。两车的速度各是多少？
13. 一艘船在两个码头之间航行，水流速度是12千米每小时，顺水航行需要4小时，逆水航行需要6小时，求两码头的之间的距离？ 二、工程问题 工程问题中的三个量及其关系为: 1） 工作总量=工作效率×工作时间 工作效率＝工作量÷工作时间 工作时间＝工作量÷工作效率 2） 经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1；如果一件工作分成几个阶段完成,那么各阶段的工作总量的和=工作总量＝1 例1、一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合做8天后，余下的工程再由甲队单独做还需几天完成？ （提示：相等关系：甲乙两队合做8天的工作量＋甲队又单独做的工作量＝1） 变式1：一项工程，甲队独做10小时完成，乙队独做要15小时完成，丙队独做要20小时完成，开始时三队一起做，中途甲队有任务离开，由乙、丙完成，从开始到结束共用了6小时，问甲队实际做了多少小时？ 变式2：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成。若甲先单独做4小时,剩下的部分由甲、乙合做,还需几小时完成? 变式3：某工程由甲、乙两队完成，甲队单独完成需16天，乙队单独完成需12天。如先由甲队做4天，然后两队合做，问再做几天后可完成工程的6 5？ 变式4：一件工作,甲单独做20小时完成,乙单独做12小时完成,丙单独做15小时完成,若先由甲、丙合做5小时,然后由甲、乙合做,问还需几天完成? 变式5：甲乙打字员完成一份稿件，甲先工作2小时完成了101，乙又单独工作了3小时，此时共完成了2 1，
一元一次方程的基本概念及练习 1 等式的概念： 2 用“=”来表示相等关系的式子，叫做等式。 3 观察下面的式子，哪些是等式？哪些不是？ 4 ①m +n =n +m ②x +2x ③3×3+1=2×5 ④3x +1>5y ⑤2+3=5+4 5 方程的概念： 6 含有未知数的等式叫做方程。 7 要点：1、含有未知数；2、是等式。这是判断一个式子是不是方程的两个必要条件，缺一不可。 8 判断下列各式是不是方程： 9 （1）5x -9=2x （2）x y 322=- （3）1152+x 10 （4）-1-1=-2 （5）4x -2=-x （6）125=-x x 11 方程的解的概念： 12 能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 13 例如，在方程5x -9=2x 中，当x =3时，方程左边=5×3-9=6，方程右边=2×3=6，左边=右边，所14 以x =3是方程5x -9=2x 的解。 15 当x =2时，左边=5×2-9=1，右边=2×2=4，左边≠右边，所以x =2不是方程5x -9=2x 的解。 16 解方程的概念： 17 求方程的解的过程，叫做解方程。 18 例1：已知2是关于x 的方程x +a =4的解，求a 的值。 19
解：因为2是关于x 的方程x +a =4的解，所以2+a =4，所以a =2 20 例2：求方程x +2=3的解 21 解：移项得x =3-2，所以x =1 22 上面这个过程，就叫做解方程。 23 一元一次方程的概念： 24 只含有一个未知数，并且含有未知数的项的次数都是一次，这样的方程叫做一元一次方程。 25 方程中的未知数叫做“元”。 26 只有一个未知数→“一元”，所有含未知数的项都是一次→“一次” 一元一次 27 要点：（1）一元一次方程的标准形式是ax+b=0，期中x 是未知数，a 、b 是已知数，且a ≠0； 28 （2）一元一次方程必须满足三个条件：一是只含有一个未知数，二是未知数的次数是1次，三29 是未知数的系数不为0. 30 例3：031=+-m x 是关于x 的一元一次方程，求m 的值。 31 解：11=-m ，m -1=±1，所以m =2或m =0 32 例4：031=+-m mx 是关于x 的一元一次方程，求m 的值。 33 解：11=-m ，m -1=±1，所以m =2或m =0，但由于m 是未知数的系数，所以m 不能为0，所以34 m =2。 35 练习： 36 1、勾选出下列各题中的一元一次方程 37 （1）A 、x 2-4x =3 B 、x =0 C 、x +2y =1 D 、x x 11=- 38