江西理工大学《线性代数》考题
一、填空题（每空 3 分，共 15 分）
a1 b1 c1 a1 b1 d1
1. 设矩阵 A a2 b2 c2 , B a2 b2 d 2 且 A 4, B 1则 A B______
a3 b3 c3 a3 b3 d3
2. 二次型 f ( x , x , x ) x 2 x 2 tx x
3 4x 2 是正定的，则 t 的取值范围 __________
1 2 3 1 2 2 3
3. A 为 3 阶方阵，且 A 1 ，则 (3 A) 1 2A* ___________
2
4.设 n 阶矩阵 A 的元素全为 1，则 A 的 n 个特征值是 ___________
5. 设 A 为 n 阶方阵，1 , 2 ,n 为A的n个列向量，若方程组AX 0 只有零解，则向量组 ( 1,2, n )的
秩为 _____
二、选择题（每题 3 分，共 15 分）
bx1ax22ab
6.设线性方程组2cx 2 3bx3 bc ，则下列结论正确的是（）
cx1 ax3 0
(A)当a, b, c 取任意实数时，方程组均有解(B)当a＝ 0 时，方程组无解
(C) 当b＝0 时，方程组无解(D)当c＝0 时，方程组无解
7.同为 n 阶方阵，则（）成立
(A) A B A B (B) AB BA
(C) AB BA (D) ( A B) 1 A 1 B 1
a
11 a
12
a
13
a
21
a
22
a
23 0 1 0
8. 设A a21 a22 a23， B a11 a12 a13 , P11 0 0 ,
a31 a32 a33 a11 a31 a12 a32 a13 a33 0 0 1
1 0 0
P2 0 1 0 则（）成立
1 0 1
(A) AP1P2 (B) AP2P1 (C) P1P2A (D) P2P1A
9. A , B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵( AB) * （）
(A)A* B* (B) AB A 1 B 1 (C) B 1 A 1 (D)B * A*
10. 设A 为n n 矩阵，r (A) r ＜ n ，那么 A 的n 个列向量中（）
（ A）任意 r 个列向量线性无关
(B)必有某 r 个列向量线性无关
(C)任意 r 个列向量均构成极大线性无关组
(D)任意 1 个列向量均可由其余 n－1 个列向量线性表示
三、计算题（每题7 分，共 21 分）
3 0 0
11. 设 A1 4 0 。求 ( A 2E) 1
0 0 3
1 1 1 x 1
12. 计算行列式
1 1 x 1 1
1 x 1 1 1
x 1 1 1 1
2 0 0 1 0 0
13. 已知矩阵 A 2 a 2 与 B 0 2 0 相似，求a和b的值
3 1 1 0 0 b
四、计算题（每题7 分，共 14 分）
2 1 1 1
14. 设方阵A1 2 1 的逆矩阵 A 1的特征向量为k ，求k的值
1 1
2 1
101 1
15. 设 1 , 2 1 , 31 , 1 （1）问为何值时，1 , 2 , 3线性无关（2）当1 , 2 , 3线性无关
1 1 1
时，将表示成它们的线性组合
五、证明题（每题7 分，共 14 分）
x1 2x2 2x3 0
16. 设 3 阶方阵 B 0 ， B 的每一列都是方程组 2 x1 x2 x3 0 的解
3x1 x2 x3 0
（1）求的值（2）证明：B0
17. 已知 1 ,2,3, 4 为n维线性无关向量，设
1 1 ,
2 2 ,
3 3 ,
4 4 ，证明：向量
1 ,
2 ,
3 ,
4 线性无关
1 0 1 0
六、解答题（ 10 分）
(1 ) x1 x2 x3 0
18．方程组x1 (1 )x2 x3 3 ，满足什么条件时，方程组
x1 x2 (1 ) x3
（1）有惟一解（ 2）无解（ 3）有无穷多解，并在此时求出其通解
七、解答题（ 11 分）
19. 已知二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 2x2 2 3x3 2 4x1 x2 4x2 x3，试写出二次型的矩阵，并用正交变换法化二次型为标准型。
（一） 1、2、 4 t 4 3 16 4 1 n, 2 n 0 、n
20 27
（二） ACCDB
1 0 0
（三） 11、 1 1
0 4 ) 、
2 )
2 2 12、( x 1
3 ( a 0, b 0 0 1
（四） 14、 ( k 2 或 k 0 ) 15、(
1 ( 2) 1 1
( 1)
1
3
) 2 2 2
(1) 1 2 （五） 16 ( (1) 1 (2) 略) 17 略
（六） 18、 ( (1) 3 且0 ;(2) 0 ;(3) 3,解略 )
（七） 19、 ( 1, 2,5 ,其余略)
