2009年合肥一中数理特长班招生考试数学试题
一、选择题
1．已知二次函数c bx ax y ++=2，且a ＜0，a ＋b ＋c ＞0，则一定有【 A 】
A 、042
>-ac b B 、042
=-ac b C 、042
≥-ac b D 、042
≤-ac b 2．圆内接四边形的边长依次是25，39，52，60，这个圆的直径是【 D 】
A 、62
B 、69
C 、63
D 、65
3．顶点为A （6，6），B （－4,3），C （－1，－7），D （9，－4）的正方形在第一象限的面积是【 B 】 A 、25 B 、36 C 、49 D 、30 4．函数x a y =与a x y +=的图像恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是【 D 】
A 、a ＞1
B 、－1＜a ＜1
C 、a ≥1或a ≤－1
D 、a ＞1或a ＜－1
5．如图所示，单位圆中弧AB 的长为x,函数y 表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数图像是【 D 】
x
x
x
6．
100
9914
312
11++
+++
+ 的整数部分是【 C 】
A 、3
B 、4
C 、5
D 、6
7．在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，P
在△ABC 中，∠PBC ＝10°，∠PCB ＝20°，则∠PAB 的度数为【 B 】
A 、50°
B 、60°
C 、70°
D 、65°
8．二次函数822++-=x x y 的图像与x 轴交于B ，C 两点，点D 平分BC ，若在x 轴上侧的A 点为抛物线上的动点，且∠BAC 为锐角，则AD 的取值范围是【 A 】
A 、3＜AD ≤9
B 、3≤AD ≤9
C 、4＜A
D ≤10 D 、3≤AD ≤8 9．在黑板上从1开始，写出一组相继的正整数，然后擦去一个数，其余数的平均值为3517
7
，擦去的数是【 C 】 A 、5 B 、6 C 、7 D 、8
二、填空题
1．观察下列各式：352535253333++=++，473747373333++=++，495
94
9593
333++=++，请你猜想出一个一般性的结论()()()()()()
11212112123333+++++=+++++n n n n n n n n （n ≥2，且为正整数）
2．聪明一休在9点到10点之间开始解一道数学题，当时的钟面时针与分针正好成一直线，当他解完这道题时，时针与分针又恰好重合，一休解这道题用了___11360___分钟
3．甲、乙、丙三人各有糖若干块，甲从乙处取来一些糖，使原来有糖的块数增加一倍，乙从丙处取来一些糖，使留下的块数增加一倍，丙再从甲处取来一些糖，也使留下的块数增加一倍。这时三人的糖块一样多。开始时，丙有32块糖，则乙原来有____40____块糖。
4．设32+=-b a ，32-=-c b ，则=---++bc ac ab c b a 2
2
2
______15______
5．甲乙两个布袋中各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从甲袋中拿出尽可能少且至少两个颜色一样的球放入乙袋中，再从乙袋中拿出尽可能少的球放入甲袋中，使甲袋中每种颜色的球不少于3个，这时甲袋中有_______19_____个球，乙袋中有____5_____个球（拿出时不能看） 6．已知2362+-=
a a x ，其中实数－4≤a ≤10，则1610145+-+++-+x x x x 的值为
_______1_______
三、解答题
1．若0))((4)(2=----z y y x x z ，证明：2y ＝x ＋z 证明：
z
x y z x y z x z x y y y
z x y z x yz y xy x xz z yz y xz xy x xz z z y y x x z +=∴=+-=+++--+=++-=+++--=+---=-20))(2(0)()(444)(4)()
(42)(42)
)((4)(2222
2
2222222
2．在1到100这个100个数中，任找10个数，使其倒数之和等于1 解：10
11019191818171716161515141413131212111+-+-+-+-+-+-+-+-+-
= 10
1101919181817171616151514141313121211+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 10
19017215614213012011216121+++++++++=
所以这十个数为{}10,90,72,56,42,30,20,12,6,2
3．在实数范围内解下列方程：（1）013
4
=+++x x x （2）0528=--+-x x 解：（1）()1113
3
4
+++=+++x x x x x x
()
()113++=x x
⎩⎨⎧-=-=∴1
1
3x x 解得1-=x
（2）⎩
⎨⎧≤≥⇒=--+-28
0528x x x x 方程无解
4．如图（1），由直角三角形边角关系，可将三角形面积公式变形得到
A bc S ABC sin 2
1
=
∆……① 即三角形的面积等于两边之长与夹角正弦值之积的一半 如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠ACD ＝α，∠DCB ＝β ∵BCD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，由公式①得到
