18
利润最大化的投入要素组合
为谋求利润最大，两种投入要素之间的组合，必须同时满足MRPK=PK和MRPL=PL 。这种组合也一定能满足最优组合的条件，即MPK/ PK=MPL/PL 资本K
c
b
30
a
20
10 O
劳动L
19
价格变动对投入要素最优组合的影响
如果投入要素的价格比例发生变化，人们就会更多地使用比以前便宜的投入要 素，少使用比以前贵的投入要素
7
生产的三个阶段
第一个阶段不合理，因为固定要素投入过多，未得到充分利用 第三个阶段不合理，因为可变要素投入过多，其边际产量为负值 第二个阶段是合理的，可变要素和固定要素的边际产量均为正值
产量
总产量曲线
第一阶段 （不合理）
第二阶段 第三阶段 （合理） （不合理）
边际产量曲线 平均产量曲线
O
A
B
总产量曲线
O
x1
x2
劳动力L，资本K
(c)规模收益递减
23
影响规模收益的因素
促使规模收益递增的因素
➢ 工人专业化 ➢ 使用专门化的设备和先进的技术 ➢ 大设备单位能力的费用低 ➢ 生产要素的不可分割性 ➢ 其他因素
促使规模收益不变的因素 促使规模收益递减的因素，主要是管理因素
24
规模收益类型的判定
资本K K2
K1
B
KB
A
KA
Q
O
LB LA L2
劳动L L1
20
生产扩大路线
指随着生产规模的扩大，投入要素最优组合比例发生变化的轨迹 资本K
K1 a
c b
O
L1 L2 L3
劳动L
21
目录
一、什么是生产函数 二、单一可变投入要素的最优利用 三、多种投入要素的最优组合 四、规模和收益的关系 五、柯布-道格拉斯生产函数 六、生产函数和技术进步
9
6 3
O
石油量
24 6
设备（台时）
车架数
3
Q3=3辆
2
Q2=2辆
1
Q1=1辆
O
24 6
车轮数
Q3
Q2 Q1
O
人工（工时）
13
边际技术替代率（MRTS）
指增投1个单位x，能替代多少单位y。边际技术替代率等于等量曲线的斜率，
它总是随着x投入量的增加而递减
MRTS y MPx
投入要素y
x MPy
假定某生产单位的生产函数为： Q=aKαLβ 那么，MPK= aαKα-1Lβ， MPL= aβKαLβ-1 假定在这一期间该单位增加的全部产量为: ΔQ= MPK ·ΔK+ MPL ·ΔL+ ΔQ’ 式中，MPK ·ΔK+ MPL ·ΔL为因增加投入而引起的产量的增加； ΔQ’为由
技术进步引起的产量的增加
ΔQ／Q= αΔK／K+βΔL／L + ΔQ’／Q
如果ΔQ/Q为全部产量增长率，记为GQ；ΔK/ K为资本增长率，记为GK；ΔL/ L 为劳动增长率，记为GL；ΔQ’／ Q为因技术进步引起的产量增长率，记为GA， 则又可写为：
GQ= αGK+ βGL+GA
或
GA= GQ –(αGK+ βGL )
Q=98L-3L2 这里，Q 为每天的产量；L为每天雇用的工人人数。又假定成品布不论生产多
少，都能按每米20元的价格出售，工人每天的工资均为40元，而且工人是该厂 唯一的可变投入要素(其他要素投入量的变化略而不计) 问该厂为谋求利润最大，每天应雇用多少工人?
10
目录
一、什么是生产函数 二、单一可变投入要素的最优利用 三、多种投入要素的最优组合 四、规模和收益的关系 五、柯布-道格拉斯生产函数 六、生产函数和技术进步
某出租汽车公司现有小轿车100辆，大轿车15辆。如再增加一辆小轿车，估计 每月可增加营业收入10 000元；如再增加一辆大轿车，每月可增加营业收入30 000元。假定每增加一辆小轿车每月增加开支1 250元（包括利息支出、折旧、 维修费、司机费用和燃料费用等），每增加一辆大轿车每月增加开支2 500元 。该公司这两种车的比例是否最优?如果不是最优，应如何调整?
22
规模收益的三种类型
假定：L+K=Q(系数已经内化), aL+aK=bQ
➢ b>a 规模收益递增；b<a 规模收益递减；b=a 规模收益不变
产量Q
产量Q
Q2
总产量曲线
Q2
Q1
Q1
总产量曲线
O
x1 x2 劳动力L，资本K
(a)规模收益递增
O
x1
x2 劳动力L，资本K
(b)规模收益不变
产量Q
Q2 Q1
可变要素 投入量
8
单一可变投入要素最优投入量的确定
边际产量收入：指可变投入要素增加1个单位，能使销售收入增加最多
TR TR Q
MRPy
y
Q
g y
MRgMPy
单一可变投入要素最优投入量的条件：
MRPy MEy or MRPy Py
9
例题
假定某印染厂进行来料加工，其产量随工人人数的变化而变化。两者之间的关 系可用下列方程表示：
资本K C’
C
E’
E
K K’
Q期末
O
L’
L
Q期初 劳动L
31
资本节约型技术进步
劳动的边际产量比资本的边际产量增加更快
资本K
C
E
C’
K
E’
Q期初 K’
Q期末
O L’ L
劳动L
32
中立型技术进步
劳动的边际产量比资本的边际产量的增长率相等 资本K C C’ K
K’ Q期初
Q期末
O
L’
L
劳动L
33
技术进步在产量增长中所作贡献的测定
20 平均产量 0 边际产量
50
40
30
20
B
总产量曲线
A
7
8 9 10 11 11 12
工人人数L
A
边际产量曲线
平均产量曲线
B’
10 0 123 5
10 11 12
工人人数L 6
边际收益递减规律
如果技术不变， 增加生产要素中某个要素的投入量，而其他要素的投入量不变， 增加的投入量起初会使该要素的边际产量增加， 增加到一定点之后，再增加投入量就会使边际产量递减
27
柯布-道格拉斯生产函数
形式：Q=aKbLc 优点：
1. 其对数形式为线性函数 2. 边际产量的变化，取决于所有的要素投入，符合边际收益递减规律 3. 属于齐次生产函数，便于判断规模收益类型 4. 指数b、c，恰好是K、L的产量弹性
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目录
一、什么是生产函数 二、单一可变投入要素的最优利用 三、多种投入要素的最优组合 四、规模和收益的关系 五、柯布-道格拉斯生产函数 六、生产函数和技术进步
5
总产量、平均产量和边际产量图
总产量Q
边际产量=dQ/dL =总产
180
量曲线上该点切线的斜
160
率
140
平均产量= Q/L =总产
120 100
量曲线上该点与原点之
80
间连接线的斜率
60
40
边际产量>平均产量， 平均产量↑
边际产量<平均产量， 平均产量↓
边际产量=平均产量， 平均产量最大
34
例题
假定某企业期初的生产函数为： Q=5K0.4L0.6 在这期间，该企业资本投入增加了10 %，劳动力投入增加了15%，到期末总产
量增加了20%。（1）在此期间该企业因技术进步引起的产量增长率是多少? （ 2）在此期间，技术进步在全部产量增长中做出的贡献是多大?
35
36
36
4
总产量、平均产量和边际产量的相互关系
固定投入要素：4台印刷机
工人人数
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
总产量
0 13 30 60 104 134 156 168 176 180 180 176
边际产量
13 17 30 44 30 22 12
8 4 0 -4
平均产量
13 15 20 26 26.8 26 24 22 20 18 16
y1
P1
y2
△y
P2
△x
O
x1 x2
投入要素x
14
等成本曲线
等成本曲线反映总成本不变的各种投入要素组合
等成本曲线的方程式：
E Px gx Py gy
or
y E Px x Py Py
这里，E/Py 代表等成本曲线在 y轴上的截距，说明越在外面的等成本曲线代 表越高的成本； - Px/Py代表等成本曲线的斜率
25
例题
生产函数：Q=x0.4y0.2z0.8，如果所有的投入要素都增加k倍，求规模收益？ Q=10K+8L-0.2KL,如果K=10，L=20,和K=20,L=40的时候，其规模收益如何？
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技术进步导致生产函数的改变
技术进步，指技术知识及其在生产中的应用有了进展。它表现为以更少的投入 ，得到与以前同样的产出
技术进步导致生产函数的改变，表现为等产量曲线的位移
资本K
Q期初= Q期末
Q期初 Q期末
OБайду номын сангаас
劳动L
生产函数的位移
30
劳动节约型技术进步
资本的边际产量比劳动的边际产量增加更快
Q=f(x,y,z)，假如 hQ=f(kx,ky,kz) ，那么
➢ h<k 规模效益递减 ➢ h=k 规模效益不变 ➢ h>k 规模效益递增
如果生产函数为齐次生产函数： hQ=f(kx,ky,kz) =knf(x,y,z) ，那么，
➢ n=1 规模效益不变（h=k） ➢ n>1 规模效益递增（h > k ,假定k>1） ➢ n<1 规模效益递减（h < k ,假定k>1）
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最优组合的一般原理
多种投入要素最优组合的条件是：
MPx1 MPx2 L L MPxn
Px1
Px2
Pxn
投入要素y
等产量曲线
y1 O
等成本曲线 A
Q
投入要素x x1
17
例题
假设等产量曲线的方程为：Q= Ka Lb ,其中K为资本数量，L为劳动力数量，a和 b为常数。又假定K的价格为PK, L 的价格（工资）为PL。试求这两种投入要素 的最优组合比例
11
等产量曲线
等产量曲线反映能生产一定产量的各种投入要素组合 较高位置的等产量曲线总是代表较大的产量
投入要素y
投入要素y
A(3,8)
·
y1,y2
·B(4,6)
O
C(6,4)
· D(8,3) · 等产量曲线20件
Q2
投入要素x O
x1 x2
Q3 Q2 Q1 投入要素x
12
等产量曲线的类型
要素之间能够相互替代的程度 煤气量
投入要素y 8
C2:2000=500x+250y
C3:2000=500x+500y 4
C1:1000=500x+250y 2
O 246
投入要素x
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多种投入要素最优组合的确定
图解法：等产量曲线与等成本曲线的切点代表最优组合
投入要素y x1
·D C·
B·
A
O
y1
等产量曲线
Q3 Q2
Q1
等成本曲线E 投入要素x
管理经济学
Managerial Economics
生产决策分析
郝继涛
gscskku@126.com 成均馆大学中国大学院
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一、什么是生产函数 二、单一可变投入要素的最优利用 三、多种投入要素的最优组合 四、规模和收益的关系 五、柯布-道格拉斯生产函数 六、生产函数和技术进步
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生产函数的概念
生产函数反映在生产过程中，一定的投入要素组合所能生产的最大产量。其数 学表达式为：
Q f (x1, x2 ,......xn )
不同的生产函数代表不同的技术水平 短期生产函数——至少有一种投入要素的投入量是固定的；长期生产函数——
所有投入要素的投入量都是可变的
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目录
一、什么是生产函数 二、单一可变投入要素的最优利用 三、多种投入要素的最优组合 四、规模和收益的关系 五、柯布-道格拉斯生产函数 六、生产函数和技术进步
