平行线的判定和性质(精选.)
- 格式:doc
- 大小:308.50 KB
- 文档页数:9
平行线的性质及推导方法平行线,是指在同一个平面内,永不相交的两条直线。
平行线的性质与推导方法是几何学中的重要内容,下面我们将详细介绍平行线的性质及推导方法。
一、平行线的性质1. 平行线定理:如果一条直线与两条平行线相交,那么这条直线将被两条平行线所截成的锐角和钝角互补。
证明:设直线l与平行线m和n相交于A点,BC与m、n平行。
由平行线的性质可知∠ABC=∠ACD,又∠ABC+∠ACD=180°(线l与m、n相交,∠ABC和∠ACD互补),所以∠ABC和∠ACD互补。
2. 平行线的性质之间的关系:如果两条平行线被一条交线所截,那么它们与这条交线所构成的内错角、内外错角、对顶角以及同位角是相等的。
证明:设直线l与平行线m和n相交于点O,AB与m平行,CD与n平行。
先证明内错角相等,连接AC、BD。
由三角形的内角和为180°可知∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=180°,∠ACB+∠BCA+∠ADB=180°(∠CDA和∠DAB互补),所以∠ACB+∠BCA+∠CDA+∠DAB=∠ACB+∠BCA+∠ADB,化简得∠CDA=∠ADB。
同理可证∠ACD=∠ABC,∠BAC=∠DCB,∠ADC=∠BCD。
二、平行线的推导方法1. 利用平行线的性质证明线段比例关系。
证明:设AB与CD分别是平行线m和n上的两个点,交线AC与BD相交于E点。
若已知AE:EC=BD:DE,要证明AB:BC=BD:DC(即证明∆ABD∽∆CBD)。
由已知的比例关系可得:AE/EC=BD/DE,即AE/BD=EC/DE。
又因为∠AEB和∠CDE为同位角,根据同位角定理可知∠AEB=∠CDE。
由此可得∆ABE∽∆CDE,进一步得出AB:BE=CD:DE。
同理可证∆CBD∽∆ADE,从而得出BC:BD=DE:DA。
综合上述比例关系,可以得出AB:BC=BD:DC,证明了平行线性质下的线段比例关系。
平行线的性质和判定【知识要点归纳】1.平行线(1)定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a与直线b互相平行,记作a∥b.(2)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.注:点必须在直线外,而不是在直线上.(3)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即“平行于同一条直线的两条直线平行”.2.两条直线的位置关系在同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:(1)相交;(2)平行.注:判断同一平面内两直线的位置关系时,可以根据它们的公共点的个数来确定:①有且只有一个公共点,两直线相交;②无公共点,两直线平行;3.两直线平行的判定方法(1)平行线的定义.(2)平行公理的推论.(3)同位角相等,两直线平行.(4)内错角相等,两直线平行.(5)同旁内角互补,两直线平行.4.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等.(2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.重点讲解:一个定义(平行线),一个位置,五个判定,三个性质.【课堂过关训练】平行线的性质1.选择题:(1)下列说法中,不正确的是()A.同位角相等,两直线平行; B.两直线平行,内错角相等; C.两直线被第三条直线所截,同旁内角互补; D.同旁内角互补,两直线平行(2)如图1所示,AC平分∠BCD,且∠BCA=∠CAD=12∠CAB,∠ABC=75°,则∠BCA等于( • ) A.36° B.35° C.37.5° D.70°(1) (2) (3)(3)如图2所示,AD⊥BC于D,DG∥AB,那么∠B和∠ADG的关系是()A.互余 B.互补 C.相等 D.以上都不对(4)如图3,直线c与直线a、b相交,且a∥b,则下列结论:①∠1=∠2;②∠1=∠3;③∠3=∠2中,正确的个数为()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个(5)如图4,若AB∥CD,则()A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠3-∠2C.∠1+∠2+∠3=180° D.∠1-∠2+∠3=180°(6)如图5,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB互余的角有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个(4) (5) (6) (7)(7)已知两个角的两边分别平行,并且这两个角的差是90°,•则这两个角分别等于() A.60°,150° B.20°,110° C.30°,120° D.45°,135°(8)如图6所示,若AB∥EF,用含α、β、γ的式子表示x,应为()A.α+β+γ B.β+γ-αC.180°-α-γ+β D.180°+α+β-γ4.如图所示,已知AD、BC相交于O,∠A=∠D,试说明一定有∠C=∠B.5.如图所示,已知AB∥CD,AD∥BC,BF平分∠ABC,DE平分∠ADC,则一定有DE∥FB,它的根据是什么?6.如图,AB∥CD,EF分别交AB、CD于M、N,∠EMB=50°,•MG•平分∠BMF,MG交CD于G,求∠1的度数.平行线的判定1.如图1,已知∠1 = 100°,AB∥CD,则∠2 = ,∠3 = ,∠4 = .2.如图2,直线AB、CD被EF所截,若∠1 =∠2,则∠AEF +∠CFE = .3.如图3所示(1)若EF∥AC,则∠A +∠ = 180°,∠F + ∠ = 180°().(2)若∠2 =∠,则AE∥BF.(3)若∠A +∠ = 180°,则AE∥BF.4.如图4,AB∥CD,∠2 = 2∠1,则∠2 = .5.如图5,AB ∥CD ,EG ⊥AB 于G ,∠1 = 50°,则∠ E = .6.如图6,直线l 1∥l 2,AB ⊥l 1于O ,BC 与l 2交于E ,∠1 = 43°,则∠2 = . 7.如图7,AB ∥CD ,AC ⊥BC ,图中与∠CAB 互余的角有 . 8.如图8,AB ∥EF ∥CD ,EG ∥BD ,则图中与∠1相等的角(不包括∠1)共有 个. 二、解答下列各题9.如图9,已知∠ABE +∠DEB = 180°,∠1 =∠2,求证:∠F =∠G .10.如图10,DE ∥BC ,∠D ∶∠DBC = 2∶1,∠1 =∠2,求∠DEB 的度数.11.如图11,已知AB ∥CD ,试再添上一个条件,使∠1 =∠2成立.(要求给出两个以上答案,并选择其中一个加以证明)图51 A B C D E F GH 图7 1 2 D A C B l 1l 2 图81 A BFC DE G 图6C D F E B A 图912 ACB FGED图102 1BCED 图1112 ABEFDC12.如图12,∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ,BE 交CD 于点F ,∠1 +∠2 = 90°.求证:(1)AB ∥CD ; (2)∠2 +∠3 = 90°.综合练习:1.若α和β是同位角,且a =30°,则β的度数是( )A .30°B .150°C .30°或150°D .不能确定2.如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是( )A .30°和150°B .42°和138°C .都等于10°D .42°和138°或都等于10°3.学习了平行线后,小敏想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,她是通过折一张半透明的纸得到的,如图所示.从图中可知,小敏画平行线的依据可能有( )①两直线平行,同位角相等;②两直线平行,内错角相等; ③同位角相等,两直线平行;④内错角相等,两直线平行.A .①②B .②③C .③④D .①④4.如图所示,AB ∥EF ,EF ∥CD ,EG 平分∠BEF ,∠B +∠BED +∠D=192°,∠B -∠D=24°,则C图1212 3AB DF∠GEF=__________.5.在同一平面内有2002条直线a1,a2,…,a2002,如果a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,…,那么a1与a2002的位置关系是__________.6.如图所示,AB∥CD,∠1=∠2,∠3=∠4,试说明:AD∥BE.8.已知,如图所示,∠ABC=∠ADC,BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC,且∠1=∠3.求证:AB ∥DC.9.如图所示,已知∠DBF=∠CAF,CE⊥FE.垂足为E,∠BDA+∠ECA=180°,求证:DA⊥EF10.已知,如图所示,∠1+∠2=180°,∠1+∠EFD=180°,∠3=∠B,试判断∠AED与∠C的关系,并证明你的结论.11.已知,如图所示,AC∥DE,DC∥EF,CD平分∠BCA.求证:EF平分∠BED.。
第2节 平行线的判定与性质∙知识点聚焦1.三线八角(1)同位角:两条直线被第三条直线所截,截线的同旁,被截两直线的同一侧的角,我们把这 样的两个角称为同位角. 如图1∠和5∠,2∠和6∠3∠和7∠,4∠和8∠.(2)内错角:两条平行直线被第三条直线所截, 两个角分别在截线的两侧,且夹在两条被截直线之间,具有这样位置关系的一对角叫做内错角.如图3∠和5∠,4∠和6∠ (3)同旁内角:两条直线被第三条直线所截,在截线同旁,且在被截线之内的两角,叫做同旁内角.如图4∠和5∠,3∠和6∠.2.平行线的判定方法(1)平行线的定义:在同一平面内不相交的两直线平行.(2)平行公理的推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.(3)同位角相等,两直线平行. (4)内错角相等,两直线平行. (5)同旁内角互补,两直线平行. (6)垂直于同一条直线的两直线平行. 3.平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等. (2)两直线平行,内错角相等. (3)两直线平行,同旁内角互补.典型例题 41 2 3 5 876 DCBEAF∙例1.如图,已知直线a ,b 被直线c ,d 所截,直线a ,c ,d 相交于点O ,按要求完成下列各小题.(1)在图中的∠1~∠9这9个角中,同位角共有多少对?请你全部写出来; (2)∠4和∠5是什么位置关系的角?∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗?分析:(1)直接利用两条直线被第三条直线所截成的角中,若两个角都在两直线的同侧,并且在第三条直线的同旁,则这样一对角叫做同位角,进而得出答案. 直接利用两条直线被第三条直线所截成的角中,若两个角都在两直线之间,并且在第三条直线的同旁,则这样一对角叫做同旁内角,进而得出答案.例2.如图,直线a ,b ,c 被直线l 所截,︒=∠︒=∠︒=∠723,1082,721,说明ba //的理由.分析:由条件可知31∠=∠,c a //;o 18032=∠+∠,c b //,从而有b a //.例3.(1)如图,CD 平分∠ACB,DE ∥BC,∠AED=80∘,求∠EDC 的度数.分析:由角平分线的定义,结合平行线的性质, 易求∠EDC 的度数.labc213(2)已知:如图,1∠=∠C ,2∠和D ∠互余,FD BE ⊥于点G .求证:CD AB //.分析:首先由FD BE ⊥,得1∠和D ∠互余, 再由已知,1∠=∠C ,2∠和D ∠互余, 所以得2∠=∠C ,从而证得CD AB //.例4.探究:(1)如图a ,若CD AB //,则E D B ∠=∠+∠,你能说明为什么吗? (2)反之,若E D B ∠=∠+∠,直线AB 与CD 有什么位置关系?请证明; (3)若将点E 移至图b 所示位置,此时B ∠、D ∠、E ∠之间有什么关系?请证明; (4)若将E 点移至图c 所示位置,情况又如何?(5)在图d 中,CD AB //,G E ∠+∠与D F B ∠+∠+∠又有何关系? (6)在图e 中,若CD AB //,又得到什么结论?分析:对于“折线”,“拐角”型问题,解决这类问题的办法是:经过拐点作平行线来沟通已知角和未知角的关系.例5.已知,如图,CD AB //,AE 平分BAC ∠,CE 平分ACD ∠,求证:CE AE ⊥分析:根据两直线平行,同旁内角互补可得o ACD BAC 180=∠+∠,在根据角平分线可知EAC ∠=21BAC ∠,ACD ACE ∠=∠21,然后求出o ACD BAC ACE EAC 90)(21=∠+∠=∠+∠,得o ACE 90=∠.例6.如图,在ABC ∆中,AB CE ⊥于E ,AB DF ⊥于F ,ED AC //,CE 是ACB ∠的角平分线。
《平行线的判定》的数学知识点《平行线的判定》的数学知识点在我们的学习时代,大家最熟悉的就是知识点吧?知识点就是一些常考的内容,或者考试经常出题的地方。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
下面是店铺为大家收集的《平行线的判定》的'数学知识点,仅供参考,大家一起来看看吧。
1、平行线的概念在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号‖表示,如AB‖CD,读作AB平行于CD。
同一平面内,两条直线的位置关系只有两种:相交或平行。
注意:(1)平行线是无限延伸的,无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时,指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行。
推论:如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
简称:同位角相等,两直线平行。
平行线的两条判定定理:(1)两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行。
简称:内错角相等,两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两直线平行。
简称:同旁内角互补,两直线平行。
补充平行线的判定方法:(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等。
(2)两直线平行,内错角相等。
(3)两直线平行,同旁内角互补。
【《平行线的判定》的数学知识点】。
平行线四大模型平行线的判定与性质l、平行线的判定根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行,但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据定义来判断两条直线是否平行,这就需要更简单易行的判定方法来判定两直线平行.判定方法l:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简称:同位角相等,两直线平行.判定方法2:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简称:内错角相等,两直线平行,判定方法3:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简称:同旁内角互补,两直线平行,如上图:若已知∠1=∠2,则AB∥CD(同位角相等,两直线平行);若已知∠1=∠3,则AB∥CD(内错角相等,两直线平行);若已知∠1+ ∠4= 180°,则AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行).另有平行公理推论也能证明两直线平行:平行公理推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.2、平行线的性质利用同位角相等,或者内错角相等,或者同旁内角互补,可以判定两条直线平行.反过来,如果已知两条直线平行,当它们被第三条直线所截,得到的同位角、内错角、同旁内角也有相应的数量关系,这就是平行线的性质.性质1:两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.简称:两直线平行,同位角相等性质2:两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.简称:两直线平行,内错角相等性质3:两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.简称:两直线平行,同旁内角互补本讲进阶平行线四大模型模型一“铅笔”模型点P在EF右侧,在AB、CD内部“铅笔”模型结论1:若AB∥CD,则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°;结论2:若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°,则AB∥CD.模型二“猪蹄”模型(M模型)点P在EF左侧,在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP+∠CFP;结论2:若∠P=∠AEP+∠CFP,则AB∥CD.模型三“臭脚”模型点P在EF右侧,在AB、CD外部“臭脚”模型结论1:若AB∥CD,则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP;结论2:若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP,则AB∥CD.模型四“骨折”模型·点P在EF左侧,在AB、CD外部“骨折”模型结论结论2:若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP,则AB∥CD.巩固练习平行线四大模型证明(1)已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°. (2)已知∠P=∠AEP+∠CFP,求证AE∥CF.(3)已知AE∥CF,求证∠P=∠AEP-∠CFP.(4)已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.模块一平行线四大模型应用例1(1)如图,a∥b,M、N分别在a、b上,P为两平行线间一点,那么∠l+∠2+∠3= .(2)如图,AB∥CD,且∠A=25°,∠C=45°,则∠E的度数是.(3)如图,已知AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE =140°,则∠BCD= .(4) 如图,射线AC∥BD,∠A= 70°,∠B= 40°,则∠P= .练(1)如图所示,AB∥CD,∠E=37°,∠C= 20°,则∠EAB的度数为.(2) 如图,AB∥CD,∠B=30°,∠O=∠C.则∠C= .例2如图,已知AB ∥DE ,BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ,求∠C 、 ∠F 的关系.练如图,已知AB ∥DE ,∠FBC =n 1∠ABF ,∠FDC =n1∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ; (2)若n =3,试探宄∠C 、∠F 的关系;(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 (用含n 的等式表示).例3如图,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC.求证:∠E= 2 (∠A+∠C) .练如图,己知AB∥DE,BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE,求∠C、∠F的关系.例4如图,∠3==∠1+∠2,求证:∠A+∠B+∠C+∠D= 180°.练(武昌七校2015-2016 七下期中)如图,AB⊥BC,AE平分∠BAD交BC于E,AE⊥DE,∠l+∠2= 90°,M、N分别是BA、CD的延长线上的点,∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为().A. 120°B. 135°C. 145°D. 150°模块二平行线四大模型构造例5如图,直线AB∥CD,∠EF A= 30°,∠FGH= 90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM= .练如图,直线AB∥CD,∠EFG =100°,∠FGH =140°,则∠AEF+ ∠CHG= .例6 已知∠B =25°,∠BCD=45°,∠CDE =30°,∠E=l0°,求证:AB∥EF.练已知AB∥EF,求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.(1)如图(l),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n,∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系.(2)如图(2),己知MA1∥NA4,探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4,∠B1、∠B2之间的关系.(3)如图(3),已知MA1∥NA n,探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系.如图所示,两直线AB∥CD平行,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6.。
平行线的判定和性质
1、平行线的判定方法:
同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行;
另:平行于同一条直线的两条直线相互平行;垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
2、平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补。
3、注意区别平行线的性质和判定方法:
(1)叙述方式不同:尽管叙述平行线的性质与判定方法的文字相同,个数相同,但条件和结论的顺序是不同的;
(2)意义不同:平行线的判定方法是根据三种角(同位角、内错角、同旁内角)的数量关系,来识别两直线是否平行;而平行线的性质,是已知两直线平行,得到三种角的数量关系。
(3)作用不同:一个是作为平行线的识别,一个是平行线的特征。
本文由101教育整理发布。
平行线的判定及性质一、【基础知识精讲】1、平行线的判定(1)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行. (2)平行公理的推论:平行于同一条直线的两条直线. (3)在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线. (4)同位角相等,两直线平行. (5)内错角相等,两直线平行.(6)同旁内角互补,两直线平行.3、平行线的性质(1)两直线平行,同位角相等. (2)两直线平行,内错角相等.(3)两直线平行,同旁内角互补.二、【例题精讲】专题一:余角、补角、对顶角与三线八角例题1:∠A的余角与∠A的补角互为补角,那么2∠A是()A.直角 B.锐角 C.钝角 D.以上三种都有可能【活学活用1】如图2-79中,下列判断正确的是()A.4对同位角,2对内错角,4对同旁内角B.4对同位角,2对内错角,2对同旁内角C.6对同位角,4对内错角,4对同旁内角D.6对同位角,4对内错角,2对同旁内角【活学活用2】如图2-82,下列说法中错误的是( )A.∠3和∠5是同位角B.∠4和∠5是同旁内角C.∠2和∠4是对顶角D.∠1和∠2是同位角【活学活用3】如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图中∠1与∠2的关系是()A.对顶角B.互余C.互补D相等例题2:如果两个角的两边分别平行,而其中一个角比另一个角的4倍少30°,那么这两个角分别是_______.【活学活用4】如图,∠AOC +∠DOE +∠BOF = .专题二:平行线的判定例题3:如图,已知∠EFB+∠ADC=180°,且∠1=∠2,试说明DG ∥AB.1 2A BCDF E G【活学活用】1、长方体的每一对棱相互平行,那么这样的平行棱共有 ( )A .9对B .16对 C.18对 D .以上答案都不对2、已知:如图2-96,DE ⊥AO 于E,BO ⊥AO,FC ⊥AB 于C ,∠1=∠2,求证:DO ⊥AB.3、如图2-97,已知:∠1=∠2=,∠3=∠4,∠5=∠6.求证:AD ∥BC.4、如图2—101,若要能使AB ∥ED ,∠B 、∠C 、∠D 应满足什么条件?ABCDOE F5、同一平面内有四条直线a 、b 、c 、d ,若a ∥b ,a ⊥c ,b ⊥d ,则c 、d 的位置关系为( ) A.互相垂直 B .互相平行 C.相交 D .没有确定关系专题三:平行线的性质1、如图,110,ABC ACB BO ∠+∠=、CO 分别平分ABC ∠和,ACB EF ∠过点O 与BC 平行,则BOC ∠= . 2、如图,AB //CD ,BC //DE ,则∠B+∠D = .3、如图,直线AB 与CD 相交于点O ,OB 平分∠DOE .若60DOE ∠=,则∠AOC 的度数是 .4、 如图,175,2120,375∠=∠=∠=,则4∠= .13 425、如图,//AB CD ,直线EF 分别交AB 、CD 于E 、F ,ED 平分BEF ∠,若172∠=,则2∠= .【例题讲解】例1:如图,已知:AD ∥BC, ∠AEF=∠B,求证:AD ∥EF 。
平行线的判定及性质一、知识概述1、在“三线八角”中,同位角、内错角、同旁内角的识别角的名称位置特征图形结构特征同位角在截线同侧在被截线同一方形如字母“F”(或倒置)内错角在截线两侧(交错)夹在两条被截线之间形如字母“Z”(或反置)同旁内角在截线同侧夹在两条被截线之间形如字母“U”2、平行线的判定方法平行线的判定定理:定理1:同位角相等,两直线平行.定理2:内错角相等,两直线平行.定理3:同旁内角互补,两直线平行.另外:1、平行于同一直线的两条直线相互平行(平行线的传递性)2、在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线相互平行(经常出现在图中有3条平行线的题目中)3、平行线的性质性质1:两直线平行,同位角相等性质2:两直线平行,内错角相等性质3:两直线平行,同旁内角互补二、例题讲解例1、如图,直线AB、CD、EF相交,①指出∠3与其它角(带标号的),是什么关系的角;②图中共有多少对同位角、内错角和同旁内角.变式:如图,AB、CD被EF、EG所截,在∠1~∠6的6个角中,同位角、内错角、同旁内角的对数分别是()A.8、12、8B.8、2、8 C.3、3、2D.12、12、8例2、已知平面内四条直线共有三个交点,则这四条直线中有几条平行?例3、如图,CD⊥AB,EF⊥AB,∠1=∠2,则∠AGD与∠ACB相等吗?请说明理由.解: ∠AGD= ∠ACB.理由如下:∵CD⊥AB,EF⊥AB(已知),∴∠EFB=∠CDF=90°(垂直的意义),∴CD//EF( )∴∠2=( ) ( )∵∠1= ∠2(已知).∴∠1= ∠BCD( )∴DG//BC( )∴∠AGD= ∠ACB( )例4、如图,已知∠B=110°∠BCG=110°∠BCD=150°∠D=100°,求证:DE∥AB 证明:∵∠B=∠BCG=110°()∴AB∥FG()∴∠BCF+ ∠B =180°()即∠BCF= 180°—∠B = 180°—110°= 70°∵∠BCD=150°∴∠FCD= ∠BCD—∠BCF= 150°—70°= 80°又∵∠D=100°∴(∠+∠)=100°+80°=180°∴FG∥ED()∴AB∥ED()变式1:如图,已知∠1+∠2=∠APC,试说明AB∥CD的理由.变式2:如下图,已知∠ABE +∠DEB = 180°,∠1 =∠2,求证:∠F =∠G.课外拓展:例1、如图,B 处在A 处的南偏西450方向,C 处在B 处的北偏东800方向.(1)求∠ABC.(2)要使CD ∥AB ,D 处应在C 处的什么方向?例2、在小学我们就知道“三角形三个内角的和等于1800”,现在你能用学过的知识说明理由吗?例3、如图(1),线段AB//CD ,点P 是AB 、CD 间的-个点. (1)试判断∠A 、∠C 与∠APC 的数量关系;(2)如果点P 移动到线段AC 的左侧,那你发现的上述结论还成立吗?说明理由;(3)如果点P 移到两平行线的同侧,那么你发现的上述结论还成立吗?说明理由.12ACB FG E DAB 北 南DABC练习:1、如图1,已知直线a∥b,c∥d,∠1=115°,则∠2=_____,∠3=_____.2、如图2,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4的度数为_____.3、如图3,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α=_____.图1 图2 图34、如图,AB∥CD,AD∥BC,则图中与∠A相等的角有_____个.5、如图,标有角号的7个角中共有_____对内错角,_____对同位角,_____对同旁内角.6、下列结论中,正确的个数是多少个()(1)在同一平面内不相交的两条线段必平行;(2)在同一平面内不相交的两条直线必平行;(3)在同一平面内不平行的两条线段必相交;(4)在同一平面内不平行的两条直线必相交.A.1 B.2 C.3 D.4 7、如图,下列能判定AB∥CD的条件有()个.(1)∠B+∠BCD=180°;(2)∠1=∠2;(3)∠3=∠4;(4)∠B=∠5.A、1B、2C、3D、48、下列四个图中若∠1=∠2,能够判定AB∥CD的是()A .B .C .D .9、如图15,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠AED=80°,求∠EDC的度数.10、如图已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10°.试证AB∥EF.。
平行线判定定理与性质一、引言平行线是几何学中常见的概念之一。
在平面几何中,平行线是指在同一平面上永远不会相交的直线。
平行线的判定和性质是几何学中的重要内容之一,对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍平行线的判定定理和其相关的一些性质。
二、平行线判定定理2.1 垂线判定定理垂线是与给定直线相交,且与该直线的两个点之间的线段垂直的直线。
我们有如下垂线判定定理:定理 1:如果两条直线同时与第三条直线垂直,那么这两条直线是平行的。
2.2 反证法判定定理反证法是一种常用的证明方法,可以用来证明平行线的存在性。
对于两条直线平行的问题,我们有如下反证法判定定理:定理 2:如果一条直线与一组既离开它又不相交的直线相交(点 O),但却不是这组直线上所有直线的交点,则这条直线与这组直线平行。
三、平行线的性质3.1 平行线的对应角性质当一条直线与两条平行线相交时,所形成的相应角是相等的。
这是平行线的一个重要性质,我们有如下定理:定理 3:在一对平行线所切割出的两组对应角中,任一组对应角都是相等的。
3.2 平行线的转角性质当两条平行线被一条横截线切割时,所形成的转角之和为180度。
这是平行线的另一个重要性质,我们有如下定理:定理 4:当两条平行线分别与一条横截线相交时,相交角之和为180度。
3.3 平行线的平行截线性质平行线上的平行截线与被平行线所截的线段成等比例关系。
我们有如下定理:定理 5:如果一条直线平行于一个已知直线,那么它与这个已知直线所截取的那些其他直线段与已知直线所截取的那些线段之间有着相同的比例关系。
3.4 平行线的倾斜性质如果两条直线都平行于同一直线,那么它们互相平行。
我们有如下定理:定理 6:如果直线 l // 直线 m,并且直线 n // 直线 m,那么直线 l // 直线 n。
四、总结平行线在几何学中有着重要的地位,平行线的判定定理和性质也为解决几何问题提供了有力的工具。
通过垂线判定定理和反证法判定定理,我们可以判定两条直线是否平行。
直线平行的条件知识精点通过本节的学习,要了解两条直线被第三条直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角的定义,掌握平行线的识别方法,理解由角的关系得到两条直线的平行关系.本节的主要概念:1.同位角、内错角、同旁内角的概念——两条直线被第三条直线所截,构成八个角,俗称“三线八角”.其中分别在两条直线的同一侧,并且在第三条直线的同旁的一对角叫同位角;在两条直线之间.但分别在第三条直线的两旁的一对角叫内错角.在两条直线之间,并且在第三条直线的同旁的一对角,叫同旁内角.2.平行线的判定方法:方法1:同位角相等,两直线平行; 方法2:内错角相等,两直线平行. 方法3:同旁内角互补,两直线平行.重、难、疑点:重点:同位角、内错角、同旁内角的定义及平行线的判定方法. 难点:1.同位角、内错角、同旁内角的正确识别; 2.平行线判定方法的运用.疑点:1.在不同的图形中,识别同位角、内错角、同旁内角容易出现混淆; 2.平行线的判定与性质在运用过程中易出现错误.典例精讲例1 根据右图,回答下列问题:(1)由∠C=∠1,可以判断哪两条直线平行?说明理由? (2)由∠1=∠2,可以判断哪两条直线平行?说明理由?(3)由∠D+∠C=180°,可以判断哪两条直线平行?说明理由?举一反三 (贵阳市中考题)如图,已知同一平面内的直线1l 、2l 、3l ,如果3221,l l l l ⊥⊥,那么1l 与3l 的位置关系是 ( )A .平行B .相交C .垂直D .以上全不对例2如图,写出所有能够推得直线AB∥CD的条件.举一反三如图,直线c与a、b相交,形成∠1、∠2、…、∠8,请你填上适合的一个条件:____________,使得a∥b.例3 (黄冈市中考题)如图,已知∠1=∠2,问:再添加什么条件可使AB∥CD?举一反三如图,已知∠C=100°,若增加一个条件,使得AB∥CD,试写出所有符合要求的条件.例4 如图,已知点O在直线AB上,OF平分∠BOC,OE平分∠AOC,CF⊥OF于点F,求证:FC∥OE.举一反三如图,已知CD⊥DA,DA⊥AB,∠1=∠2,求证:DF∥AE.例5 一个裁缝师傅随意地剪了一块六边形的布料,如图所示,经测量他发现∠ABC、∠BCD、∠CDE三角之和等于360°,他然后就说布料的两个边AB和ED是平行的.你知道为什么吗?举一反三如图,已知∠B+∠E+∠D=360°,求证:AB∥CD.知识网络学法点津1.识别同位角、内错角、同旁内角是本节的重点之一,掌握这项技能,首先要牢记“三线八角”的基本特征,抓住同位角、内错角、同旁内角的特征,找出哪条直线是截线,哪两条直线是被截直线,再得出正确的判断.同时,要善于用比较法来理解三种角的特征,培养自己在较复杂的图形中识别三种角的能力.2.在学习平行线的三种判定方法时,要结合实际条件,观察图形,通过同学间的合作、交流,将方法1、2、3融合贯通,培养自己会根据实际情况灵活选用判定方法的能力.强化练习1.具有下列关系的两角中,一定有公共顶点的是().A.互为余角B.同位角C.邻补角D.内错角2.已知a,b,c是同一平面内的三条直线,下列说法不正确的是().A.若a⊥b,b⊥c,则a⊥cB.若a⊥b,b∥c,则a⊥cC.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若a⊥b,b⊥c,则a∥c3.如图5-2-11,由A测B的方向是().A.南偏东30°B.南偏东60°C.北偏西30°D.北偏西60°4.一辆汽车在公路上行驶,两次拐弯后,仍按原来的方向行驶,那么两次拐弯的角度可能是().A.先右转50°,再右转40°B.先左转50°,再左转40°C.先右转50°,再左转130°D.先右转50°,再左转50°5.如图5-2-12,直线l截直线a,b,得到8个角,其中(1)对顶角有__________对,它们是___________;(2)邻补角有______________对,它们是_____________;(3)同位角有______________对,它们是_____________;(4)内错角有______________对,它们是______________;(5)同旁内角有______________对,它们是_____________.6.在同一平面内,与已知直线a平行的直线有___________条,而经过直线a外一点P,与已知直线a平行的直线有且只有_____________条.7.如图5-2-13所示,长方体ABCD—A′B′C′D′中与棱AB平行的棱有____________条,它们是___________.8.如图5-2-14,若∠1=∠2,则_________∥____________;若∠3=∠4,则________∥_________;若∠5=∠6,则__________∥____________;若∠7=∠8,则___________∥_____________;若∠BAD+∠ABC=180°,则___________∥__________;若∠ABC+∠BCD=180°,则_________∥___________.9.如图5-2-15,因为∠1=∠3,∠2=∠3(已知),所以∠1=∠2(),所以AB∥__________().10.如图5-2-16,(1)如果∠B=∠1,那么根据______________,可得AD∥BC;(2)如果∠D=∠1,那么根据____________,可得AB∥CD.11.图5-2-17所示的6个角中,有多少对同位角?写出每对这样的角.有多少对内错角?写出每对这样的角.有多少对同旁内角?写出每对这样的角.12.如图5-2-18,已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°.AC与BD平行吗?AE与BF平行吗?为什么?13.读下列语句,并在图5-2-19上画出图形.(1)过△ABC的顶点C,画MN∥AB;(2)过△ABC的边AB的中点D,画平行于AC的直线,交BC于点E.14.如图5-2-20,(1)要判定AB∥CD,只需知道什么条件?(2)要判定AD∥BC,只需知道什么条件?(3)要判定AE∥CF,只需知道什么条件?15.如图5-2-21,已知∠1=∠2,∠3=∠4,说明AB∥EF.16.图5-2-22所示为一条街道的两个拐角∠ABC和∠BCD,若已知∠ABC=150°,要使街道AB与CD平行,∠BCD应为多少度?为什么?17.如图5-2-23,已知∠BED=∠B+∠D.试问:AB与CD平行吗?若平行,请说明理由.abc 1234d探索直线平行的性质一、学习目标1.掌握平行线的三个性质,并能解决一些问题. 2.理解平行线的判定与性质的区别与应用二、学习重点会用“两直线平行,同位角相等”、“ 两直线平行,内错角相等”和“两直线平行,同旁内角互补”来解决问题.三、学习难点探索平行线性质和平行线性质的运用四、学习过程交流合作、探索发现合作交流一:如图,猜一猜∠1和∠2相等吗?为什么?图中还有其它同位角吗?它们的大小有什么关系?是不是任意一条直线去截平行线a 、b 所得的同位角都相等呢? [结论] 两条平行线被第三条直线所截,___________________. 简单说成:_____________________.符号语言:_________________________. 合作交流二:如图:已知a//b,那么∠2与∠ 3相等吗?为什么?[结论]两条平行线被第三条直线所截,____________________. 简单说成:________________________. 符号语言:_______________________________. 合作交流三:如图,已知a//b , 那么 ∠2与∠4有什么关系呢?[结论]两条平行线被第三条直线所截,______________________. 简单说成:_________________________________. 符号语言:______________________________. 五、例题讲解例1.如图1,已知直线a ∥b,∠1 = 500,求∠2的度数. 变式1.已知条件不变,求∠3,∠4的度数?变式2.如图2,已知∠3 =∠4, ∠1=47°, 求∠2的度数?13 241 21324图1图2ab 1 3 2例2如图3,AD ∥BC ,∠A =∠C.试说明AB ∥CD.例3.如图4,在四边形ABCD 中,已知AB ∥CD ,∠B = 600。
①求∠C 的度数;②由已知条件能否求得∠A 的度数?六.强化练习1、如图1,如果DE ∥AB,那么∠A+______=180°,或∠B+_____=180°,根据是__ ____; 如果∠CED=∠FDE,那么________∥_________.根据是__ ______.2、如图2,一条公路两次拐弯后和原来的方向相同,即拐弯前、•后的两条路平行,若第一次拐角是150°,则第二次拐角为________. 3、如图3,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=•_______.(1) (2) (3)七、巩固练习1、下列说法:①两条直线平行,同旁内角互补;②同位角相等,两直线平行;•③内错角相等,两直线平行;④垂直于同一直线的两直线平行,其中是平行线的性质的是 ( ) A.① B.②和③ C.④ D.①和④2、如图1,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于O ,∠BAD=35°,∠BOD=76°,则∠C 的度数是( ) A .31° B .35° C .41° D .76°3、如图2,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有 ( )• A.6个 B.5个 C.4个 D.3个4、如图3,在四边形ABCD 中,AB ∥CD, AD ∥BC 下列各式不一定正确的是 ( ) A .∠1+∠2=180° B .∠2+∠3=180° C .∠3+∠4=180° D .∠2+∠4=180°(1) (2) (3) 5、完成下列推理过程.(1)如图4-1,∵DA ∥BC ,AE ∥BC (已知),B ADCCB F ED A 图3图4FE DCB A DCBAGFED CB A 1∴D 、A 、E 在同一条直线上( )(2)∵AB ∥CD ,CD ∥EF (已知),∴______∥_______( ).4-1 4-3(3)如图4-3,DE ∥BC ,点D 、A 、E 在同一条直线上,求证:∠BAC+∠B+∠C=180°, 证明:∵DE ∥BC ( )∴∠1=∠B ,∠2=∠C ( ). ∵D 、A 、E 在同一直线上(已知), ∴∠1+∠BAC+∠2=180°( ), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°( ).6、如图,∠1=72°,∠2=72°,∠3=60°,求∠4的度数.7、如图,AB ∥CD ,∠A=60°,∠1=2∠2,求∠2的度数.8、如图,已知DC 平分∠ACB ,∠B=70°,∠ACB=50°,DE ∥BC ,求∠EDC•与∠BDC 的度数.9、如图,已知AB ∥EF ,DE ∥BC ,问∠B 与∠DEF 有什么样的数量关系?为什么?10、如图,EB ∥DC ,∠C=∠E ,求证:∠A=∠ADE .11、如图,AB ∥CD ,BF ∥CE ,则∠B 与∠C 有什么关系?请说明理由.ba3412最新文件仅供参考已改成word文本。