高三第一次质量检测数学试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷1至2页. 第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
参考公式:
三角函数的和差化积公式
2cos 2sin 2sin sin βαβ
αβα-+=+ 2
sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ 2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 若事件A 在一次试验中发生的概率是P,则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
k n k k n n p p C k p --=)1()( 一组数据n x x x ,...,,21的方差
212)[(1x x n
S -=+22)(x x -+…+2)(x x n -] 其中x 为这组数据的平均数
一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一
个是符合题目要求的。
(1)集合P={
}{}62|,6,5,4,3,2,1≤≤=x x Q ，则Q P ⋂等于 (A) {
}1 (B) {}6,2 (C) {}5,4,3,2 (D) {}6,5,4,3,2 (2)若θ是第一或第四象限角,则有
(A) 0tan sin <θθ (B) 0tan sin >θθ (C) 0tan cos >θθ (D) 0tan cos <θ
θ (3)直线2=y 与直线02=-+y x 的夹角是
(A) 4π (B) 3π (C) 2
π (D) 43π (4)等差数列{}n a 中,若1,164106==+a a a ,则12a 的值是
(A) 64 (B) 31 (C) 30 (D) 15
(5)若P: 2≥x ,Q: 01)2(≥+-x x ,则P 是Q 的
(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件
(C) 充要条件 (D) 即不充分也不必要条件
(6)过曲线23
-+=x x y 上的点P 0的切线平行于直线14-=x y ,则切点P 0的坐标为
(A)(0,－1)或(1,0) (B) (1,0)或(－1, －4)
(C) (－1, －4)或(0,－2) (D) (1,0)或(2,8)
(7)函数x x x f 3
2sin
)232sin()(++=π的图象相邻的两条对称轴之间的距离是 (A) π3 (B) π6 (C) 23π (D) 43π (8) 设),3(...)1(2210Z n n x a x a x a a x n n n ∈≥++++=+且,若3
132=a a ,则n 的值为 (A) 7 (B) 11 (C) 15 (D) 16
(9)已知函数c bx ax x f ++=2)(的图象过点(－1, 3)和(1,1),若0<c<1,则实数a 的取值范围是
(A) [2,3] (B) [1,3] (C)(1,2) (D) (1,3)
(10) 已知直线l :Ax+By+C=0(A 、B 不全为0)及两点P 1（x 1,y 1）,P 2（x 2,y 2）,若（Ax 1+By 1+C ）（Ax 2+By 2+C ）>0，且|Ax 1+By 1+C|>| Ax 2+By 2+C|,则
(A)直线l 与直线P 1P 2不相交 (B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交
(C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交
(11)已知A 、B 、C 三点共线，O 是这条直线外一点，设,=,=,=且存在实数m ，使=+-m 30成立，则点A 分的比为
(A) 31- (B) 2
1- (C) 31 (D) 21 (12)已知双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，若此双曲线的离心率为e ，且|PF 1|=e|PF 2|，则e 的最大值为
(A) 35 (B) 3
7 (C) 2 (D) 12+ 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题：本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(13)设直线01=+-y x 和圆直线4)1(22=+-y x 相交于两点A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程为_________▲_________
(14)已知直线5
3)4sin(=-x π
，则直线x 2sin 的值为_______▲_______ (15)某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n 的值为_____▲___
(16)从2005年12月10日零时起，徐州市电话号码由七位升到八位，若升位前与升位后0，1，9均不作为电话号码的首位，则扩容后增加了______▲_____个电话号码。
(17)若函数)1,0)(4(log )(≠>-+=a a x
a x x f a 且的值域为R ，则实数a 的取值范围是_▲
(18)在等比数列{}n a 中，927a a =，且98a a >，则使∑=>-
n i i
i a a 10)1(的最大自然数n 的值为_________▲_________
三、本大题共5小题，共66分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(19)（本小题满分12分，每小问满分4分）
某学生在军训时连续射击6次，每次击中的概率都是3
1，且每次射击是否击中目标相互之间没有影响。
求：
（Ⅰ）这名学生首次击中目标恰为第3次的概率；
（Ⅱ）这名学生在射击过程中，恰好有3次击中目标的概率；
（Ⅲ）这名学生在射击过程中，至少有1次击中目标的概率。
(20) （本小题满分12分，每小问满分6分）
在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ,b ,c ,又1010sin ,21tan ==
B A 。
（Ⅰ）求tanc 的值；
（Ⅱ）若△ABC 最短边的长为5
5，求△ABC 的面积。
(21) （本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分） 已知函数)(22
131)(23R a ax ax x x f ∈-++= （Ⅰ）若函数)(x f 在区间（－∞，+∞）上为单调函数，求实数a 的取值范围；
（Ⅱ）设A(x 1, )(1x f )、B(x 2, )(2x f )是函数)(x f 的两个极值点，若直线AB 的斜率不小于6
5-，求实数a 的取值范围。
(22) （本小题满分14分，第一小问满分6分，第二小问满分8分）
已知向量n =(1,0),O 是坐标原点，动点P 满足：|| 比向量在n 上的投影多2。
（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；
（Ⅱ）设B 、C 是点P 的轨迹上不同的两点，满足),0(R ∈≠=λλλ且，在x 轴上是否存在点A(m,0)，使得⊥?若存在，求出实数m 的取值范围；若存在，说明理由。
(23) （本小题满分14分，第一小问满分2分，第二小问满分3分，第三小问满分9分） 已知函数1),(1
)(2>--=-a a a a a x f x x 。
（Ⅰ）用a 表示f (2)、f (3)并化简；
（Ⅱ）比较f (2)－2与f (1)－1，f (3)－3 与f (2)－2的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论（此结论不要求写出证明过程．．．．．．．．．．．．
）；
（Ⅲ）比较2)2(f 与1)1(f ，3
)3(f 与2)2(f 的大小关系，并由此归纳出一个更一般的结论，并加以证明。
高三数学参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
⑴D ⑵B ⑶A ⑷D ⑸A ⑹B ⑺C ⑻B ⑼C ⑽C ⑾A ⑿D
二、填空题（每小题4分，共24分）
⒀01=-+y x ⒁25
7 ⒂192 ⒃6.3×107 ⒄(0,1)∪]4,1( ⒅8 三、解答题
(19)记“这名学生首次击中目标恰为第3次”为事件A 1,这是一个相互独立事件，则 （Ⅰ）P(A 1)=(1－31)(1－31)×31=27
4. …………………………………………………4分 （Ⅱ）记“这名学生在射击过程中，恰好有3次击中目标” 为事件A 2，相当于做6次独立重复试验，则P(A 2)=C 36×3)31
(×(1－31)3=729
160.…………………………………………8分 （Ⅲ）记“这名学生在射击过程中，至少有1次击中目标” 为事件A 3,则
P(A 3)=1－(1－31)6=729
665 答：这名学生首次击中目标恰为第3次的概率为
27
4；这名学生在射击过程中，恰好有3次击中目标的概率为729160；至少有1次击中目标的概率为729665.………………………12分 (20) （Ⅰ）因为10
10sin =B ，所以B 为锐角或钝角. 当B 为钝角时，31tan ,10103cos -=-
=B B ，又21tan =A ， 所以716
113121tan tan 1tan tan )tan(=+-=-+=+B A B A B A ， 所以7
1tan -=C ,角C 也是钝角，应舍去。
…………………………………………3分 当B 为锐角时，31tan ,10103cos ==
B B ， 又2
1tan =A ，同理1)tan(=+B A ，所以1tan -=C …………………………6分 （Ⅱ）由1tan -=C ，0°<C<180°，所以C=135°，又tanA>tanB>0,
所以b 边最短，即55=b ，因为C c B b sin sin =，所以10
10
2255sin sin ⋅==B C b c =1 …………………………………………10分 又2
1tan =A ，所以55sin =A 所以△ABC 的面积S=
1015515521sin 21=⨯⨯⨯=A bc …………………………12分 (21) （Ⅰ）因为函数)(x f 在（－∞，+∞）上为单调递增函数，
所以0)(2
>++=a ax x x f 在（－∞，+∞）上恒成立。
由△=042<-a a ，解得0<a <4 …………………………………………4分 又当a =0时，23
1)(3-=
x x f （－∞，+∞）上为单调递增函数， 又当a =4时，314)2(3124231)(323-+=-++=x x x x x f 在（－∞，+∞）上为单调递增函数，所以0≤a ≤4 …………………………………………6分 （Ⅱ）依题意，方程)('x f =0有两个不同的实数根x 1,、x 2，
由△=042>-a a ，解得a <0，或a >4,且x 1＋x 2=－a ，x 1x 2= a …………………8分 所以-)(1x f )]()(21)(31[)(21212221212x x a x x a x x x x x f -+++
++=， 所以=--2121)()(x x x f x f a x x a x x x x +++-+)(2
1])[(312121221 =6
53261)(21)(31
22-≥+-=+-+-a a a a a a a . ………………………………12分 解之得－1≤a ≤5, 所以实数a 的取值范围是－1≤a <0,或4<a ≤5. ……………14分
(22)(Ⅰ)设P 点的坐标为(x ,y ),则22||y x +=, 向量在n x ,y ) (1,0)= x ………………………………2分
所以22y x += x +2 ………………………………4分 化简得)1(42+=x y ,所以动点P 的轨迹方程是)1(42
+=x y .………………6分 (Ⅱ)若两点B 、C 满足λ=,得B 、O 、C 三点共线，
设直线BC 的方程为x =k y , B 、C 两点的坐标为（x 1,y 1）,（x 2,y 2） 由⎩⎨⎧=+=ky
x x y )1(42，得442--ky y =0
△=016162
>+k ，y 1＋y 2=4k ，y 1y 2=－4 …………………………………………8分 又⊥，所以⋅=0，即(x 1－m)(x 2－m )+ y 1y 2=0 ………………………10分 x 1x 2－m(x 1＋x 2)+m 2+ y 1y 2=0,所以(k 2+1) y 1y 2－mk( y 1＋y 2) +m 2=0
化简得，（4m+4）k 2= m 2－4,当m=－1时不成立， ………………………12分 当m ≠－1时，有44422
+-=m m k ≥0，解之得2,12≥-<≤-m m 或 …………14分 （23）（Ⅰ）,1)2(a a f +=,11)3(22++=a a f ………………………2分 （Ⅱ）,1)1(0212)2(-=>-+=-f a
a f 0)1)(1(]2)2([3)3(23>--=---a
a a f f , 一般地,f (n+1) －(n+1)> f (n) －n(n ∈N*) …………………………………………5分
(Ⅲ)
,01)1(211)1(2)2(>-+=-a a f f 所以1
)1(2)2(f f > ……………………………6分 判断2
)2(3)3(f f >,证明如下: )1(3)1(22
)2(3)3(224+>++⇔>a a a a f f ,)2
31)(1()1(23)1(2222222a a a a a a a a >-++⇔+>-+⇔(*) 因为0212>>+a a ,0212312>>-+a a a ,所以(*)式显然成立,所以2
)2(3)3(f f >.…8分 一般地n
n f n n f )(1)1(>++(n ∈N*) …………………………………………9分 证明如下: a a a a n n f n n nf n n f n n f n n ->+-⇔+>+⇔>++++1212)1)(1()()1()1()(1)1(
)1(1)1()1(121
12212+--⇔-->+⇔+-=++∑i i n n i n n n a a a a a a a
n >0 )1)(1(121--⇔+-=∑i i n n i a a ,此式显然成立,故
n n f n n f )(1)1(>++(n ∈N*)…………………14分。
