习题6-1
1． 利用定积分的几何意义求定积分：
(1)
1
2xdx ⎰
； (2)
220
a
a x dx -⎰
(0)a >．
解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 10
2xdx ⎰表示由直线2,1y x x ==及x 轴所围的三角
形的面积,而此三角形面积为1,所以
1
21xdx =⎰．
(2) 根据定积分的几何意义知,
220
a
a x dx -⎰
表示由曲线22,0,y a x x x a =-==及
x 轴所围成的14圆的面积,而此14圆面积为214πa ,所以22201
4
a a x dx a -=⎰π.
2． 根据定积分的性质，比较积分值的大小：
(1)
1
2
x dx ⎰
与1
3
x dx ⎰； (2)
1
x
e dx ⎰与1
(1)x dx +⎰．
解 (1) ∵当[0,1]x ∈时,2
3
2
(1)0x x x x -=-≥,即23
x x ≥,
又2
x
3x ,所以1
1
230
x dx x dx >⎰⎰．
(2) 令()1,()1x x
f x e x f x e '=--=-,因01x ≤≤,所以()0f x '>,
从而()(0)0f x f ≥=,说明1x
e x ≥+，所以1
1
0(1)x e dx x dx >+⎰
⎰.
3． 估计下列各积分值的范围：
(1)
4
2
1
(1)x dx +⎰
； (2) 33
arctan xdx ⎰
；
(3)
2
a
x a
e dx --⎰
（0a >)； (4)
2
2
x
x
e dx -⎰
．
解 (1) 在区间[]1,4上，函数2
()1f x x =+是增函数，故在[1,4]上的最大值(4)17M f ==,最小值(1)2m f ==,所以4
21
2(41)(1)17(41)d x x -≤
+≤-⎰
,
即 42
1
6(1)51x dx ≤+≤⎰．
(2) 令()arctan f x x x =,则2
()arctan 1x
f x x x '=+
+,当[3]3
x ∈时,()0f x '>,从而()f x 在[3]3上是增函数,从而f (x )在3]3上的最大值(3)3πM f ==,最小值(363
πm f ==所以 33
23arctan 3)9363333xdx =≤≤=⎰ππππ
即
2arctan 93x xdx ≤≤ππ
．
(3) 令2()x f x e -=,则2
()2x f x xe -'=-,令()0f x '=得驻点0x =，又(0)1f =，
2
()()a f a f a e -=-=,a >0时, 2
1a e -<,故()f x 在[],a a -上的最大值1M =，最小值
2
e a m -=,所以
2
2
22a
a x a
a dx a ---≤≤⎰e e .
(4) 令2()x x
f x e
-=,则2
()(21)x x f x x e -'=-,令()0f x '=得驻点1
2
x =
,又(0)1,f = 124
1(),(2)2
f e f e -==,从而()f x 在[]0,2上的最大值2M e =,最小值14m e -=,所以 2
12
24
2x
x
e
e dx e -
-≤≤⎰．
习题6-2
1． 求下列导数：
(1)
0d dx ⎰; (2) 5ln 2x t d t e dt dx
-⎰； (3) cos 2
0cos()x d t dt dx π⎰; (4) sin x d t dt dx t
π⎰ (0x >)． 解 (1)
d dx =⎰. (2) 55ln 2x t x
d t
e dt x e dx
--=⎰. (3) cos 222
0cos()cos(cos )(cos )sin cos(cos )x d t dt x x x x dx
πππ'=⋅=-⎰. (4) sin sin sin x x d t d t x dt dt dx t dx t x
ππ=-=-
⎰⎰. 2． 求下列极限：
(1) 0
2
arctan lim
x
x tdt x →⎰； (2)
()22
2
20
e lim
e x t x
x t dt t dt
→⎰⎰
．
解 (1) ()0
22000021arctan arctan arctan 11(1)lim
lim lim lim 222x x
x x x x tdt tdt x x x x x →→→→'⎡⎤--⎣⎦+====-'
⎰⎰．
