第十一讲二项式定理
课程类型：□复习□预习□习题针对学员基础：□基础□中等□优秀授课班级授课日期学员
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本章主要内容：
1.二项式定理的定义；
2.二项式定理的通项公式；
3.二项式定理的应用.
本章教学目标：
1.能用计数原理证明二项式定理(重点 )；
2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点 )；
3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点 ).
课外拓展
北宋人贾宪约
杨辉三角历史
1050 年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。
13 世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11 世纪
前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。
元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303 年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。
意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16 世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。
在欧洲直到1623 年以后，法国数学家帕斯卡在13 岁时发现了“帕斯卡三角”。
布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithm é tique （1655 年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集
了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort（1708 年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730 年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” （Chinese triangle）。
【知识与方法】
一．二项式定理的定义
在 (a b)n (a b)( a b) ( a b) 中，每个括号都能拿出 a 或b，所以每个括号有 2 种选择，n 个括号
n个
就是 2 n种情况 . a 2b n 2这一项，表达的意思是_________________________ ；所以， a 2b n 2共有 ________个 .
例如： ( x y)7 中 x 3 y 4 表示的就是，有
3 个括号拿 x ，剩下的
4 个括号拿
y ，所以 x 3 y 4 共有 C 73 C 44 项，
即 C 73 项.
(a ＋ b)n 的二项展开式本来共有 _______项，合并之后共有 _______项，其中各项的系数 ______________
叫做二项式系数．
二．二项展开式的通项
(a ＋ b)n 的二项展开式的通项公式为 __________.. 注意： 1.
T r 1与 C n r 的关系，例如第 5 项，应该是 C n 4 ；
2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如
(x 1) 10 与 (1 x)10 中的第 4 项是不同的；
3. a 的指数从 n 逐项减到 0，是降幂排列。 b 的指数从 0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等 于 n ；
4.注意正确区分二项式系数与项的系数
.
三．二项式系数的基本性质
四．展开式的二项式系数和
1.(a ＋ b)n 展开式的各二项式系数和： C n 0＋ C n 1＋ C n 2＋ ＋ C n n ＝_______.
2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
0 2 4 1 3
5 ＋ ＝
C
＋ C
＋ C
＋ ＝C ＋C
＋ C
n n
n
n
n
n
_______.
五．展开式的系数和
若 f(x) ＝ a
2
＋ ＋ a n
，则 f(x)展开式中各项系数之和为 _______，奇数项系数之和为
a
0 ＋a 1x ＋ a 2x
n x 0＋ a 2
＋a 4 f (1) f ( 1)
，偶数项系数之和为 a 1 3 5
＋ = 2
＋ a ＋ a ＋ =________________.
【例题与变式】
题型一 通项公式及其应用
类型一 二项式定理的原理应用
全 国卷
2 5 的展开式中， 5 2
的系数为（
）
【例 1】 (2015 ·
Ⅰ )(x ＋x ＋ y) x y A ．10 B ． 20
C ． 30
D ．60
【例 2】（ 2018?滨州二模） ( x2 2 x 3)5的展开式中， x 的系数为 ________.
【变式1】（2018?濮阳一模） (x
x 1 1)8的展开式中， x3的系数为 ________.
2017
【变式2】（2018?龙岩模拟）已知二项式(1 1 2 x) 4，则展开式的常数项为（）
x
A．-1 B． 1 C． -47 D．49 类型二单括号型
【例 4】（ 2018?内江三模） ( x 2 )4 展开式中的常数项为（）
x
A ． 6 B． -6 C． 24 D．-24
【例 5】设 (x－ 2)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为1
，则含 x2的项是 ________．2
a 3
【例 6】（ 2018?成都模拟）若 (x )6的展开式中含 x2 项的系数为160，则实数 a 的值为（）
x
A ．2 B．2 C．2 2 D ． 2 2
东北四校联考
)若 ( x 6 1
)
n
的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于（）
【例 7】 (2017 ·x x
A ． 3 B． 4 C． 5 D ． 6
【变式3】（2018?河北区二模）二项式 ( x 2 ) 6的展开式的第二项为（）
x
A ． 6x4 B．6x4 C．12x4 D ．12x4
【变式4】（2018? 四川模拟） (x 1 )6展开式中的常数项为（）
x
A．-20 B． -15 C． 15 D．20
【变式
全国卷
Ⅰ )(2x＋
5
的展开式中，
3
5】 (2016 ·x) x 的系数是 ________．(用数字填写答案 )
【变式6】（2018?上海二模）(x 1 )n的展开式中的第 3 项为常数项，则正整数 n=_______ ．
x 【变式7】（ 2018? 普陀区二模）若 (x3 1
) n的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为x 2
_______．
类型三双括号型
【例 8】（2018?肇庆三模）已知 (1 ax)(1 x)5的展开式中 x2的系数为 5，则 a= （）
A ． 1 B． 2 C． -1 D．-2
【例 9】（2018 ?信阳二模） (x2 1)( 1 2)5的展开式的常数项是（）
x
A ． 5 B． -10 C． -32 D．-42
