展开与折叠
【学习目标】
1．经历展开与折叠、模型制作等活动，发展学生的空间观念，积累数学活动经验．2．在操作活动中认识棱柱的某些特性．
3．了解棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，并能根据展开图判断和制作简单的立体模型．
【基础知识精讲】
1．棱柱的分类
我们已经了解了棱柱，那么棱柱之间是否还有区别呢？
通常根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……长方体和正方体都是四棱柱．
2．棱柱的特点
若有若干几何体，你能立刻找到棱柱吗？棱柱有什么与众不同的特征呢？
(1)棱柱的上、下底面是完全相同且互相平行的多边形．
(2)棱柱的侧面都是矩形．
(3)棱柱的侧棱长都相等．
3．部分几何体的平面展开图．
将一个几何体的外表面展开，就像打开一件礼物的包装纸．礼物外形不同，包装纸的形状也各不相同．那么我们熟悉的一些几何体，如圆柱、圆锥、棱柱的表面展开图是什么形状呢？
(1)圆柱的表面展开图是两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面)．
图1—9
(2)圆锥的表面展开图是一个圆(作底面)和一个扇形(作侧面)．
图1—10
(3)棱柱的表面展开图是两个完全相同的多边形(作底面)和几个长方形(作侧面)
图1—11
4．能折成棱柱的平面图形的特征
我们已经见过很多平面图形了，但并不是所有的平面图形都能折成几何体．比如：棱柱．若能折成棱柱，一定要符合以下特点：
(1)棱柱的底面边数＝侧面数．
(2)棱柱的两个底面要分别在侧面展开图的两端．
(3)四棱柱的平面展开图中只有5条相连的棱．
5．正方体的平面展开图
在课本中、习题中会经常遇到让大家辨认正方体表面展开图的题目．为了查阅方便，在此列出正方体的十一种展开图，供大家参考．
图1—12
【学习方法指导】
［例1］三棱柱有_______条棱，_______个面，其中侧面是_______形，_______面的形状一定完全相同．
点拨：n棱柱的数量特征如下：它有3n条棱，(n＋2)个面，侧面一定是长方形．对于完全相同的面则需注意．棱柱的侧棱都是相等的但底面边长不一定相等，因此以底面边长和侧棱为长和宽的侧面的大小不一定相同．如：
图1—13
易错点：
(1)“三棱柱的侧面是三角形．”是常出现的错误，一定要记住：棱柱的侧面是长方形．
(2)“侧面都相等．”这也是易犯的错误．侧棱长都相等，易使学生误认为侧面也全都相同．
解答：95长方上、下底
［例2］一个棱柱有12个顶点，所有侧棱长和为36 cm，求每条侧棱的长．
点拨：先根据棱柱的数量特征，由顶点数求出是几棱柱，则相应有几条侧棱，再由侧棱
长相等，求出结果．
解：有12个顶点的棱柱是六棱柱，有6条侧棱．则每条侧棱长36÷6＝6 cm．
答：每条侧棱长6 cm．
［例3］图1—14所示的平面图形是由哪几种几何体的表面展开的？
(1)(2)(3)
图1—14
点拨：找几何体的表面展开图，关键是看侧面和底面的形状．
底面是圆的几何体有圆柱、圆锥、圆台．
侧面是扇形的几何体是圆锥．
侧面是长方形的几何体是棱柱、圆柱．
解答：(1)圆锥；(2)圆柱；(3)圆台．
［例4］下面图形经过折叠能否围成棱柱？
图1—15
点拨：看能否围成棱柱，可参考“内容全解4”中的几条内容，如有不符合，就不能围成棱柱．
解答：(1)侧面数(4个)≠底面边数(3条)，不能围成棱柱．
(2)两底面在侧面展开图的同一端，不在两端，所以也不能围成棱柱．
(3)可以折成棱柱．
［例5］一个正方体纸盒沿棱剪开，最多剪几条棱？最少呢？
点拨：正方体是四棱柱，共有12条棱，要剪开纸盒使每个面相连，必须剪开部分棱，棱的总数不变(即12)，若知道剩下未被剪开的棱数，就可以得到剪开的棱数了．解答：由正方体平面展开图知正方体的所有展开图中都只有5条相连的棱，而正方体共有12条棱，那么需要剪开的棱数就是12－5＝7条了．
【拓展训练】
1．矩形、长方形和正方形都可称为矩形．
2．圆台与棱锥的展开图．
(1)圆台：圆台的展开图是由大小两个圆(作底)和部分扇形(作侧面)组成的．
图1—16
(2)棱锥：棱锥的展开图是由一个多边形(作底)和几个三角形(作侧面)组成的．
图1—17图1—18
