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牛顿迭代法

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牛顿迭代法

牛顿迭代法
建立迭代公式
xn1
xn
xne xn 1 e xn (1 xn )
xn
xn exn 1 xn
取x0=0.5,逐次计算得 x1=0.57102, x2=0.56716， x3=0.56714
1.5 牛顿下山法
通常,牛顿迭代法的收敛性依赖于初始值 x0 的选取,
如果 x0 偏离所求的根 x* 比较远,则牛顿法可能发散。
由定理2.2知,牛顿迭代法在 x* 附近局部收敛。又由 定理2.3知, 迭代公式至少具有二阶收敛速度。
利用泰勒公式
0
f (x*)
f (xk )
f (xk )(x*
xk )
f ( ) (x*
2
xk )2 ,
xk
x*
f f
(xk ) (xk )来自f 2f( )
(xk )
(x*
xk
)2
x*, xk
为了防止迭代发散,我们对牛顿迭代法的迭代过程再附
加一项要求,即具有单调性
f (xk1) f (xk )
满足这项要求的算法称下山法。 将牛顿迭代法与下山法结合起来使用,即在下山
法保证函数值下降的前提下,用牛顿迭代法加快收敛 速度。把这一算法称为牛顿下山法。即
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
xk
f (xk ) f (xk )
x*
f ( ) (x*
2 f (xk )
xk )2
所以
xk 1
x*
f ( )
2 f (xk )
(x*
xk
)2
lim x* xk1 f (x* ) k x* xk 2 2 f (x* )
证毕
1.3 牛顿迭代法的收敛性

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

z
0.612547 0.641384 0.641186
6 求方程 m重根的Newton法 设 s 是方程 f(x)=0 的 m 重根(m≥2), f(x)
在 s 的某邻域内有m阶连续导数 ,这时
f (s) f (s) f (m1) (s) 0, f (m) (s) 0
由Taylor公式,得
设 f '(x) 0 ，上式解为
x

xk

f (xk ) f ' (xk )
于是方程 f(x)=0的新的近似根xk+1，可由牛顿
迭代公式
xk 1

xk

f (xk ) f ' (xk )
k 0,1, 2,
求出
牛顿迭代公式具有明显的几何意义。 方程 y f (xk ) f '(xk )(x xk ) 是曲线 y=f(x)在点 (xk , f (xk )) 处的切线方程，迭代公式就是切线与x轴 交点的横坐标。因此，牛顿迭代法又称为切线法。
这表明牛顿迭代法用于求单根时至少是二阶收敛的。
（2）若 x* 是方程 f (x) 0 的 m(m 2) 重根，
即
f (x) (x x*)m q(x)
(q(x*) 0)
此时有
g ' (x*) lim g ' (x) lim
x x*
x x*
f (x) f '' (x) [ f ' (x)]2
k
xk
k
xk
4 0.635498 8 0.640964
5 0.643719 9 0.641285
6 0.640061 10 0.641142

牛顿迭代法

牛顿迭代法
10.4 牛顿迭代法
一 牛顿法及其收敛性
牛顿法是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方 程 f ( x) 0逐步归结为某种线性方程来求解. 设已知方程 f ( x) 0 有近似根 xk（假定 f ( xk ) 0)， 将函数 f ( x) 在点 xk 展开，有
f ( x) f ( xk ) f ( xk )( x xk ),
x
表7 5 计算结果 k 0 1 2 3 xk 0.5 0.57102 0.56716 0.56714
5
二 牛顿法应用举例 对于给定的正数 C，应用牛顿法解二次方程
x 2 C 0,
可导出求开方值 C 的计算程序
xk 1 1 C ( xk ). 2 xk
（3.5）
这种迭代公式对于任意初值 x0 0 都是收敛的. 事实上，对（3.5）式施行配方手续，易知
10
在（3.7）中取C
1 ，则称为简化牛顿法，这 f ( x0 )
类方法计算量省，但只有线性收敛，其几何意义是用平行 弦与 x 轴交点作为 x *的近似. 如图7-4所示.
图7-4
11
（2）
牛顿下山法.
牛顿法收敛性依赖初值 x0的选取. 如果x0 偏离所求根 x* 较远，则牛顿法可能发散.
xk 1 xk 1 1 C ( xk 2 xk C 1 ( xk 2 xk C )2 ; C )2 .
6
以上两式相除得
xk 1 xk 1 xk C x C k C . C
2
据此反复递推有
xk 1 xk 1 x0 C x C 0 C C .
14
x1 17.9，它不满足条件（3.10）.

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法

研究生数值分析(5)牛顿(Newton)迭代法
(k 0,1, 2,)
称为埃特肯算法。
例７ 用迭代法求方程
f ( x) x 2 x 0 在[0，1]内根 x *
的近似值，精确到
xk 1 xk 104
解：取初始近似根 x0 0.5 xk 1 2 x 1.用简单迭代法 2.用牛顿迭代法 3.用埃特肯算法
1 1 0 m
这表明直接用牛顿迭代法对方程 只有线性收敛速度。
f ( x) 0
求重根
对 x* 是方程 则 x* 是方程
f ( x) 0
重根的情形，如将方程改写成
(其中 F ( x) f ( x) / f ' ( x) ）
F ( x) 0
F ( x) 0
的单根，再对
F ( x) 0
f ' ( x) 0
；
在 [a, b] 上保号，
则当初值 x0 [a, b] ，且 f ( x0 ) f '' ( x0 ) 0 时， 牛顿迭代公式产生的迭代序列 { xk } 收敛于方程
f ( x) 0 在 [a, b] 上的唯一实根 x* 。
定理５的简要几何说明：
条件（1）保证了曲线 y=f (x)的连续性和光滑性； 条件（2）保证了方程y = f (x) 在[a ,b]内至少有 一实根； 条件（3）说明在[a ,b]上恒有
135.607
使其精确至7位有效数字。 解：作函数 f ( x) x2 c ， 则f (x)=0的正根 x* 就是 c
f ( x) 0 的牛顿迭代公式为
2 f ( xk ) xk c 1 c xk 1 xk ' xk ( xk ) f ( xk ) 2 xk 2 xk

牛顿迭代法(Newton‘s Method)

牛顿迭代法(Newton‘s Method)

牛顿迭代法（Newton’s Method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson Method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

与一阶方法相比，二阶方法使用二阶导数改进了优化，其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。

考虑无约束最优化问题：其中 \theta^{\ast} 为目标函数的极小点，假设 f\left( \theta \right) 具有二阶连续偏导数，若第 k 次迭代值为 \theta^{k} ，则可将f\left( \theta \right)在\theta^{k}近进行二阶泰勒展开：这里，g_{k}=x^{\left( \theta^{k} \right)}=∇f\left( \theta^{k} \right)是f\left( \theta \right) 的梯度向量在点 \theta^{k}的值， H\left( \theta^{k} \right) 是 f\left( \theta \right) 的Hessian矩阵：在点 \theta^{\left( k \right)}的值。

函数 f\left( \theta \right) 有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0，特别是当H\left( \theta\right) 是正定矩阵时，函数 f\left( \theta \right) 的极值为极小值。

牛顿法利用极小点的必要条件：这就是牛顿迭代法。

迭代过程可参考下图：在深度学习中，目标函数的表面通常非凸（有很多特征），如鞍点。

因此使用牛顿法是有问题的。

如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的，例如，靠近鞍点处，牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。

这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。

常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数α 。

正则化更新变为：这个正则化策略用于牛顿法的近似，例如Levenberg-Marquardt算，只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零，效果就会很好。

牛顿迭代法及其应用

牛顿迭代法及其应用

牛顿迭代法及其应用牛顿迭代法是一种求解函数零点的迭代方法，具有快速收敛、精度高等优点，被广泛应用于计算机、数学、物理等领域。

本文将从理论和实际应用两方面介绍牛顿迭代法，并对其应用进行探讨。

一、理论基础牛顿迭代法是通过一点处的切线来逼近函数零点的方法。

设$f(x)$在$x_0$点有一个零点，且其导数$f'(x_0)$存在且不为零，那么该零点可以通过一点$(x_0,f(x_0))$处的切线与$x$轴的交点来逐步逼近。

假设切线的方程为$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$，则其中$x$轴上的交点为$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，这是零点的一个更好的近似值。

用$x_1$代替$x_0$，再利用同样的方法得到$x_2$，不断重复这个过程，即可逐步逼近零点。

这个过程可以用下面的公式表示：$$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$这就是牛顿迭代法的基本公式。

从初始值$x_0$开始迭代，不断利用公式进行逼近，直到找到满足$f(x_n)=0$的解。

二、实际应用牛顿迭代法在实际应用中广泛存在，比如在计算机图形学中，通过牛顿迭代法可以精确计算出圆的周长、面积等参数，也可以实现快速的路径追踪和光线追踪。

在金融领域中，牛顿迭代法可以用来计算隐含波动率，即在期权定价模型中，寻找满足期权定价公式的波动率。

由于这个过程中往往要用到反函数，所以牛顿迭代法可以快速找到隐含波动率。

另外，在机器学习、神经网络中，多次用到牛顿迭代法进行梯度下降，智能化运用牛顿迭代法可以提高计算效率，降低误差。

三、应用探讨牛顿迭代法的应用范围较广，但在实际应用中也存在一些问题。

如何避免迭代过程中出现抖动、越界、阻尼等现象，可以通过设置收敛条件、调整步长等方式进行优化。

此外，当函数的导数存在零点或迭代公式不存在时，牛顿迭代法也会失效。

因此，在选择牛顿迭代法时，需要了解函数特性，根据情况选择适合的迭代方法。

牛顿迭代法获奖课件


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牛顿迭代法旳优缺陷
1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛旳速度，所以在迭代 过程中只要迭代几次就会得到很精确旳解。这是牛顿迭代 法比简朴迭代法优越旳地方。 2、缺陷：选定旳初值要接近方程旳解，不然有可能旳不 到收敛旳成果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次 迭代除计算函数值外还要计算微商值。
设 f (xk ) 0 ,令其解为 xk1 ,得
xk 1
xk
f (xk ) f (xk )
这称为f(x)=0旳牛顿迭代格式。
（1) 下一页
它相应旳迭代方程为 x x f (x) 显然是f(x)=0旳同解方程， f (x)
故其迭代函数为
(x) x f (x) f (x)
( f (x) 0)
m 1 0 m
此时，Newton 法具有线性敛速。
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2)修正Newton法求m重根迭代公式
xk 1
xk
m
f (xk ) f (xk )
注：若 x* 是方程 f (x) 0 旳m重根，而 f (m)(x)在 x* 旳
某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛旳，并具
有至少二阶旳收敛速度。
f ( x*) hf ( x*) h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1 m h
h m f (m) ( x*) O(h m1 ) m! h m1 f (m) ( x*) O(h m )
(m 1)!
1
m h
h m
(1
O(h))
O( h)
0
(h 0)
所以 (x*) 0 由定理2知至少是二阶收敛
由（1）式知 xk1 是点 (xk , f (xk )) 处 y f (x) 旳切线

牛顿迭代法

有一种迭代方法叫牛顿迭代法，是用于求方程或方程组近似根的一种常用的算法设计方法。

设方程为f(x)=0，用某种数学方法导出等价的形式x(n+1) = g(x(n)) = x (n)–f(x(n))/f‘(x(n)).然后按以下步骤执行：(1) 选一个方程的近似根，赋给变量x1;(2) 将x0的值保存于变量x1，然后计算g(x1)，并将结果存于变量x0;(3) 当x0与x1的差的绝对值还小于指定的精度要求时，重复步骤(2)的计算。

若方程有根，并且用上述方法计算出来的近似根序列收敛，则按上述方法求得的x0就认为是方程的根。

例1：已知f(x) = cos(x) - x。

x的初值为3.14159/4,用牛顿法求解方程f(x) =0的近似值，要求精确到10E－6。

算法分析：f(x)的Newton代法构造方程为：x(n+1) = xn - (cos(xn)-xn) / (-sin(xn)-1)。

#include<stdio.h>double F1(double x); //要求解的函数double F2(double x); //要求解的函数的一阶导数函数double Newton(double x0, double e);//通用Newton迭代子程序int main(){double x0 = 3.14159/4;double e = 10E-6;printf("x = %f\n", Newton(x0, e));getchar();return 0;}double F1(double x) //要求解的函数{return cos(x) - x;}double F2(double x) //要求解的函数的一阶导数函数{return -sin(x) - 1;}double Newton(double x0, double e)//通用Newton迭代子程序{double x1;do{x1 = x0;x0 = x1 - F1(x1) / F2(x1);} while (fabs(x0 - x1) > e);return x0; //若返回x0和x1的平均值则更佳}例2：用牛顿迭代法求方程x^2 - 5x + 6 = 0，要求精确到10E－6。

牛顿迭代法


一后逐步向某个位置逼近的方法称为迭代法。 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递 推新值的过程，跟迭代法相对应的就是直接法（或 称为一次解法） ，即一次性解决问题。迭代算法是用 计算机解决问题的一种基本方法。它利用计算机运 算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对 一组指令（或一定步骤）重复执行，在每次执行这 组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出他 的一个新值。 利用迭代法解决问题，需要做好以下三个方面的 工作： 一、确定迭代变量 在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个 可直接或间接的不断由旧值递推出新值的变量， 这个变量就是迭代变量； 二、建立迭代关系式 所谓的迭代关系式，指如何从变量的前一个值递 推出其下一个值得公式（或关系） 。迭代关系式的 建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推 或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制 在什么时候结束迭代过程？这时编写迭代程序必
欧几里德算法（辗转相除法）
最经典的迭代算法是欧几里德算法，用于计算两 个整数 a,b 的最大公约数。 其计算原理依赖于下面 的定理： 定理：gcd(a,b)=gcd(b,a mod b) 证明：a 可以表示成 a=kb+r,则 r=a mod b. 假设 d 是 a,b 的一个公约数， 则有 a%d==0,b%d==0, 而 r=a-kb,因此 r%d==0,因此 d 是(b,a mod b)的公约 数 同理，假设 d 是(b,a mod b)的公约数，则 b%d==0, r%d==0， 但是 a=kb+r， 因此 d 也是(a,b)的公约数； 因此(a,b)和(b, a mod b)的公约数是一样的， 其最大 公约数也必然相等，得证。
牛顿迭代法
牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优 点是在方程 f(x)=0 的单根附近具有平方收敛， 而且该 法还可以用来求方程的重根、 复根， 此时线性收敛， 但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法 广泛用于计算机编程中。

牛顿迭代法


4.优缺点 • 优点：收敛速度快，稳定性好，精度高
• 缺点：在重根附近收敛速度会降阶；每次都要计算函
数及其导数值，计算量大。
• 注解：牛顿法是局部收敛的，所以要求初值选在解的 附近，实际计算时，常先用简单迭代法算几步，估计 出一个质量较好的初值！！
5.牛顿迭代法的改进——弦割法
基本思想：牛顿迭代法每一步要计算 f 和 f ，为了避免计算 导数值，现用 f 的差商近似代替微商 f ，从而得到弦割法。
( x) x
1 f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 1 | ( x*) | 1 2 n f ( x*)
f ( x) f ( x )
，则
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 根的重数已知，可将 f 的重根转化为另一函数的单根。
从而可构造出相应的迭代法格式为
xk 1
f ( xk ) f ( xk ) xk [ f ( xk )]2 f ( xk ) f ( xk )
f ( xk ) f ( xk )
若已知根的重数为 n，可将迭代格式改为，
xk 1 xk n k 0,1, 2,
* 则 ( x ) 0 ，所以上述格式是平方收敛的。
割线 切线 收敛比牛顿迭代法慢，且对 初值要求同样高。 x2 x1 x0
切线斜率


割Hale Waihona Puke 斜率f ( xk )( xk xk 1 ) f ( xk ) f ( xk 1 )

f ( x1 )
f ( x1 ) f ( x0 ) x1 x0
xk 1 xk
需要2个初值 x0 和 x1。
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实验内容： 1）牛顿迭代法的编程实现。 2）进行初值和误差限的比较和讨论。 编程要求： 1）根的容许误差限EPS、|f(x)|的容许误差限DELTA用输入语句输入。 2）根的初始式：如
float Newton(float x0, float EPS, float DELTA, int N)。(*) 实验步骤： 1）完成牛顿迭代法的程序设计及录入； 2）完成程序的编译和链接，并进行修改； 3）用书上的例子对程序进行验证，并进行修改； 4）分别输入两组不同的根的误差限，观察运算次数的变化； 5）分别取不同的初时值x0，观察运算结果的变化； 6）完成实验报告。
printf("我可以帮你找到这个方程的解\n"); do{ x1=x; y1=f(x); y2=f1(x1); x=x1-y1/y2; } while (fabs(x-x1)>=1e-5); printf("A root is %f\n",x1);
#include<stdio.h> #include<math.h> #include<conio.h> float f(float x)...{ return 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; } float fd(float x) ...{ return 6*x*x-8*x+3; } int main(void) ...{ float x0=1.5,x=1.5; do...{ x0=x; x=x0-f(x0)/fd(x0);//迭代公式求近似根； }while(fabs(x-x0)>1e-4); printf("the asymtomatic root is %f ",x0); getch(); return 0; } /**//*2.000005*/ 二分法： #include <stdio.h> #include <math.h> #include <conio.h> float f(float x) ...{ return 2*x*x*x-4*x*x+3*x-6; } int main(void) ...{ float l=-10,r=10,root,mid;
while(fabs(l-r)>1e-4)...{ mid=(l+r)/2; if(!f(mid))...{ root=mid; break; }if(f(l)*f(mid)<0) r=mid; else l=mid; } root=mid; printf("the only one root is %f ",root); getch(); return 0; 算法： 用迭代法的结构，增设4个工作单元F0, F0’, F1, F1’，并把用作终止迭代 的误差控制改为两个|x1-x0|<EPS或|f(x1)|<DELTA。 1. 准备：选定初始值x0, 计算F0=f(x0); F0’=f’(x0), 如果F0’=0，则输 出“方法失败”并结束。 2. 迭代：对k=1,2,…,N，做： 1) x1=x0-F0/F0’ ， 2) 计算F1=f(x1); F1’=f’(x1) 3) 若F1’=0，则输出“方法失败”并结束。 3. 控制：若|x1-x0|<EPS或|F1|<DELTA，则输出近似解x1和迭代次数k并 结束；否则，x0=x1; F0=F1; F0’=F1’。 4. k>N时输出“经N次迭代无满足要求的近似解”结束。
用牛顿迭代法求下面方程y=x^3-5x^2+16x-80的实根的过程是： 1.你想在谁附近求解，这个范围或者这个数值大多是题目已经给定 了的（本例是根据输入的数值来计算的） 2.令f(x)=x*x*x-5*x*x+16*x-80 3.x1=X 4.求f(x1) 5.对f(x)求导，得到f1(x),求f1(x1) 6.调整x,使x=x1-f(x1)/f1(x1) 7.符合条件x-x1>1e-5,转到第3步 8.不符合条件x-x1>1e-5，则x1就是我们要求的实根 #include <stdio.h> #include <math.h> //y=x^3-5x^2+16x-80 float f(float x) { return (pow(x,3)-5*pow(x,2)+16*x-80); } float f1(float x) { return (3*pow(x,2)-10*x+16); void main() { float x,x1,y1,y2; printf("请输入一个任意实数:X="); scanf("%f",&x);