必修 5 第一章《解三角形》练习题
1．△ ABC 中， D 在边 BC 上，且 BD ＝ 2， DC＝ 1，∠ B＝ 60o，∠ ADC ＝ 150o，求 AC 的长及△ ABC 的面积．
A ，
B ，
C 的对边分别为a，b， c，且bcosB＋ ccosC＝acosA，试判2．在△ ABC 中，已知角
断△ ABC 的形状．
3. 如图，海中有一小岛，周围 3.8 海里内有暗礁。一军舰从 A 地出发由西向东航行，望见
小岛 B 在北偏东 75°，航行 8 海里到达 C 处，望见小岛 B 在北端东 60°。若此舰不改变舰行的
方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？
4．如图，货轮在海上以35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水
平角 )为 152o的方向航行．为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为122o．半小
时后，货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为32o．求此时货轮与灯塔之间的距离．
北
o
152o 122
B
北
A
32 o
C
5.航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10000m,速度为
180km（千米） /h （小时）飞机先看到山顶的俯角为150，经过 4 秒）后又看到山顶的俯角为450，求山顶的海拔高度（取 2 ＝1.4, 3 ＝1.7）．
B D
1545A
C
图1图2
6．在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南2
(cos)方向 300km 的海面 P 处，并以 /h 的速度向西偏北45°方向移动，台风
侵袭的范围为圆形区域，当前半径为 60km，并以 10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
西
北
东O
θ
东45
°
P
参考答案
1．在△ ABC 中，∠ BAD ＝ 150o － 60o ＝ 90o ，∴ AD ＝ 2sin60o ＝ 3 ． A
在△ ACD 中， AD 2＝ ( 3 )2＋ 12 －2× 3 ×1×cos150o ＝ 7，∴ AC ＝ 7 ．
∴AB ＝ 2cos60o ＝ 1． S △ ABC ＝
1
B
2D1C
×1×3×sin60o
＝ 3
3 ．
2
4
2．∵ bcosB ＋ ccosC ＝ acosA ，由正弦定理得：
sinBcosB ＋ sinCcosC ＝ sinAcosA ，
即 sin2B ＋ sin2C ＝2sinAcosA ，∴ 2sin(B ＋ C)cos(B － C)＝ 2sinAcosA ．∵ A ＋ B ＋C ＝ π， ∴sin(B ＋C)＝ sinA ．而 sinA ≠0，∴ cos(B －C)＝ cosA ，即 cos(B －C)＋ cos(B ＋ C)＝ 0，
∴2cosBcosC ＝ 0．∵ 0＜ B ＜ π ， 0＜C ＜ π，∴ B ＝
或 C ＝ ，即△ ABC 是直角三角形．
2
2
3、解：如 ， 点 B 作 BD ⊥ AE 交 AE 于 D
由已知， AC=8 ，∠ ABD=75 °，∠ CBD=60 °
在 Rt △ ABD 中，
AD=BD · tan ∠ABD=BD · tan 75° 在 Rt △ CBD 中，
CD=BD · tan ∠ CBD=BD ·tan60°
∴ AD － CD=BD （ tan75°－ tan60°）=AC=8, ⋯9 分∴ BD
8 4 3.8
tan750
tan600
∴ 没有触礁的危 。
4．在△ ABC 中，∠ B ＝ 152o － 122o ＝ 30o ，∠ C ＝ 180o － 152o ＋ 32o ＝ 60o ，∠ A ＝180o － 30o － 60o ＝90o
， BC ＝
35
，∴ AC ＝
35
sin30o
＝
35
．
2
2
4
答：船与灯塔 的距离
35 n mile ． 4
5. 解：如
∵A 150 DBC
450 ∴ ACB
300，
AB= 180km （千米） /h （小 ）
4 秒）
= 21000(m )
∴在
ABC 中
∴ BC
AB
sin A
sin ACB
∴ BC
21000 sin150
10500( 6
2)
1
2 A
B D
∵ CD AD ，
∴ CD
BC sin CBD
BC sin 450
2 ＝ 10500( 6
2)
2
C
＝ 10500 ( 3 1) ＝ 10500(1.7 1)
＝7350
山顶的海拔高度＝10000-7350=2650( 米 )
6．解：设经过 t 小时台风中心移动到Q 点时，台风边沿恰经过O 城，
北由题意可得： OP=300， PQ=OQ=r(t)=60+10t
2724东
因为 cos，α=θ -45° ,所以sin， cos O
10105
东
222
θ由余弦定理可得： OQ =OP +PQ -2·OP·PQ·cos
即 (60+10t) 2=3002+(2 -2· 300·
4
5
即 t 236t 288 0 ，
解得 t112 ,t224
t2t112西
45°
P
答： 12 小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12 小时？
