初中数学教材中“例习题的推广与变式”教学研究
教材中例题是数学问题的精华，而对这些题目的推广与变式对培养学生的创造性思维，创新能力都将起到积极的作用，因此教师在教学中要善于“借题发挥”，进行一题多解，一题多变，引导学生去探索数学问题的规律性和方法，以达到“做一题，通一类，会一片”的教学效果，让学生走出题海战术，真正做到轻负高质。
例题的推广与变式教学是指相对于某种范式（即数学教材中具体的数学思维成果，含基础知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变式形式，就是不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式。变式有多种形式，如“形式变式”、“内容变式”、“方法变式”等。变式是模仿与创新的中介，是创新的重要途径。变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径。通过变式方式进行技能与思维的训练叫做变式训练；采用变式方式进行教学叫做变式教学。变式教学要求在课堂上通过变式展示知识的发生、发展、形成的过程，因此，变式教学有利于培养学生探究问题的能力，是“三”基教学、思维训练和创新能力培养的重要途径。 一．例习题的推广与变式的几种形式：
1.一题多变，适当变式，培养学生思维的探索性和深刻性。
通过变式教学，不是解决一个问题，而是解决一类问题，遏制“题海战术”，开拓学生解题思路，培养学生的探索意识，实现“以少胜多”。 案例：一道中考试题引发的思考：
2012年连云港市中考试题第8题：小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点E 处，还原后，再沿过点E 的直线折叠，使点A 落在BC 上的点F 处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】 A ．3＋1 B ．2＋1 C ．2.5 D ． 5
本题以轴对称的性质为切入点，以矩形翻折问题为背景，以对学生以“动中取静”抓住
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本质特征的数学思想方法考察为突破口。重点考察了学生对图形的直觉判断以及在变化中看到不变实质的洞察力，考察了学生的空间想象能力及逻辑思维能力。
我们可以对此题进行以下几个推广：
推广1：在⊙O 中，AB 为其直径，先将⊙O 沿AB 折叠，再沿过O 的直线折叠，使点B 落在点A 处，（如图所示），求45°角的正切值。
45°角的正切值的求解比较简单，由原题的启发，我们可以试图对不同的图形进行类似的二次折叠，由对圆的二次折叠很容易得出45°角的正切值为1。
推广2：如图，在 ABCD 中，∠A=120°，你能通过上题的启示，用折纸的方法证明“直角三角形斜边中线等于斜边一半吗？进而证明tan30°= 3
3 吗？
通过原题的启示，联想到120°角经过两次折叠就可以出现30°和直角，因此我们将一个角是120°的平行四边形进行与原题一样的两次折叠，从而得出相应的结论。
通过条件变化来变换题目的表现形式,将数学中各种知识点有效地组合起来,在不断变换中层层推进,不断揭示问题的本质,从不断的变化中寻找数学的规律性;可以培养学生的探索能力和联想能力,开拓学生思维的广阔性、深刻性和灵活性,激发学生的求知欲。这有利于提高学生的分析问题、解决问题的能力,逐步养成开拓创新的能力。
纵观历届中考，以课本中的命题为原型，再经过适当的拓展与引申，这样的试题屡见不鲜.教学中，要强调以课本为载体，把学过的内容进行重新组合，有意识、有目的地以课本习题为主线，进行适当地变式、归纳、拓展与延伸，使问题之间存在着“形变质不变”，不
O O
A
B
B
A
A
B
C
D 120° 图
O A
(B)
同层次的问题的解决方法存在着相似性，学生可以运用类比思想进行思考和解答，真正达到做一题会一类的教学效果，从而减轻学生负担，达到“以少胜多”的教学目的和学习目标.^ 2.一题多解，总结规律，培养学生的发散性思维能力，培养学生思维的灵活性。
一题多解的实质是以不同的论证方式，反映条件和结论的必然本质联系。在教学中教师应积极地引导学生从各种途径，用多种方法思考问题。这样，既可暴露学生解题的思维过程，增加教学透明度，又能使学生思路开阔，熟练掌握知识的内在联系。这方面的例子很多，尤其是几何证明题。通过一题多解，让学生从不同角度思考问题、解决问题，可以引起学生强烈的求异欲望，培养学生思维的灵活性。 案例：一道三角形问题的多种解法。
例： 如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，延长AB 到点D ，使BD=AB ，E 是AB 的中点，求证：CD=2CE . 思路1：(相似法）如图1，利用△AEC∽△ACD ，相似比为 1︰2，得EC ︰CD= 1︰2。
思路2：（延长法）如图2，延长CE 至点D ′,使ED ′=CE ，连接AD ′,BD ′，则CD ′=2CE ，然后利用△CBD ′≌△CBD ，得出CD ′=CD 即可。
A B
C
D
E 图1
A
E B
D
C
图2
D'
思路3：（截取法）如图3，取CD 的中点E ′，连接BE ′，利用△CBE ′≌△CBE ，得出CE ′=CE ，而CE ′=1/2CD。
思路4：(利用三角形中位线的性质)如图9，构造△DFG ，使E ，C 分别是DF ，DG 的中点，连接CF ，则FG =2CE ，CG =CD ，只要证FG =CG 即可。
“方法变式”就是把同一个问题的不同解决过程作为变式，将各种不同的解决方法联结起来，即“一题多解”。这有利于开发学生的智力,培养学生的能力,有利于发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性,有利于促进学生思维能力的发展和素质的提高。 3.多题一解，触类旁通，培养学生求同存异的思维能力。
许多数学习题看似不同，但它们的内在本质（或者说是解题的思路、方法是一样的），这就要求教师在教学中重视对这类题目的收集、比较，引导学生寻求通法通解，并让学生自己感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法。 案例:一道课本习题引发的思考。
如图，ABC ∆和CDE ∆都是等边三角形，且点A 、C 、E 在一条直线上，度量并比较AD 与BE 的大小，你能对所得结论说明理由吗？（苏科版教材八年级上册第30页）
A E B
C D
E'
图3
A
E B
D
C
F
G
图4
