三角恒等变换
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin co cos sin )sin(s -=- (2）βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-
(3）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+ ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-
(4）β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
- ⇒ ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+
(7) sin cos a b αα+
=
)αϕ+(其中,辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 所在的象限决
定
,sin tan b
a ϕϕϕ=
== ，该法也叫合一变形). (8)
)4tan(tan 1tan 1θπθθ+=-+ )4
tan(tan 1tan 1θπ
θθ-=+-
2. 二倍角公式
（1）a a a cos sin 22sin = （2）1cos 2sin 21sin cos 2cos 2
2
2
2
-=-=-=a a a a a
（3）
a
a
a 2tan 1tan 22tan -=
3. 降幂公式：
（1）
22cos 1cos 2a a +=
（2） 22cos 1sin 2
a a -=
4. 升幂公式
（1）2
cos 2cos 12
α
α=+ （2）2
sin
2cos 12
α
α=-
（3）2)2
cos 2(sin sin 1α
α
α±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2
cos
2
sin 2sin α
α
α=
5. 半角公式（符号的选择由
2
θ
所在的象限确定） （1）
2cos 12sin
a
a -±=， （2）
2cos 12cos a a +±
= ， （3）a a a a a a a sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12tan
-=+=+-±=
6. 万能公式:
（1）2
tan 12tan
2sin 2
α
α
α+=
, （2）2
tan 12tan 1cos 2
2α
αα+-=
,（3）.2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
7，辅角公式
)sin(cos sin 22ϕθθθ++=
+b a b a 其中222
2sin ,cos b a b
b a a +=
+=
ϕϕ，比如：
x
x y cos 3sin +=
)
cos )
3(13sin )
3(11(
)3(12
2
2
2
22x x ++
++=
)cos 23sin 21(2x x +=
)3
sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x
10.
常见数据：sin15cos75cos15︒=︒=
︒=︒= 3215tan -=︒, 3275tan +=︒,
专题四 三角恒等变形各类题
命题点1 和差公式的直接应用
1．(2015课标1,2) 0000
sin 20cos10cos160sin10-=（ ）
.A
B 1.2
C - 1
.2
D
2．（2017江苏，5）若1
tan()4
6
π
α-
=
，则tan α=_____________ . 3．(2016·杭州模拟)已知sin α＝35，α∈(π
2
，π)，则
cos 2α2sin (α＋π
4
)
＝________.
4．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值为( ) A ．－22 B.22 C.12 D ．－1
2
5．(2016·全国丙卷)若tan α＝3
4，则cos 2α＋2sin 2α等于( )
A.6425
B.4825 C ．1 D.1625
6．(2016·宁波期末考试)已知θ∈(0，π4)，且sin θ－cos θ＝－144，则2cos 2θ－1cos (π
4＋θ)
等于( )
A.23
B.43
C.34
D.32
7．(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四，4)已知4sin
25θ
=-，3
cos 25
θ=，则θ属于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 命题点2 角的变换
8．设α、β都是锐角，且cos α＝
55，sin(α＋β)＝3
5
，则cos β等于( ) A.2525 B.255 C.2525或255 D.55或5
25
9．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π
6)的值是________．
10．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π
12
)的值为________．
11．(2016·浙江五校联考)已知3tan α2＋tan 2α
2＝1，sin β＝3sin(2α＋β)，则tan(α＋β)等于( )
A.43 B ．－43 C ．－2
3 D ．－3 命题点3 三角函数式的化简
12．（2013重庆，9）004cos50tan 40-=（
）
B
C 1 13．化简：(1＋sin θ＋cos θ)(sin θ2－cos θ
2
)
2＋2cos θ (0<θ<π)；化简4cos 2sin 22+-
14．求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°(1
tan 5°－tan 5°)．
15． 化简：2cos 4x －2cos 2x ＋
12
2tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭
⎫π4＋x ＝________.
16．(2017·嘉兴第一中学调研)若sin(π＋α)＝3
5，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos
π＋α
2sin π－α2－cos
π－α
2等于
A.12 B ．－1
2
C ．2
D ．－2 命题点4 给值求值问题
17．（2017课标全国3文，4）已知4
sin cos 3
αα-=
，则sin2α=（ ） 7.9A - 2.9B - 2.9C 7
.9
D
18．(2016·合肥联考)已知α，β为锐角，cos α＝17，sin(α＋β)＝
53
14，则cos β＝________.
19．（2013浙江，6）已知R α∈，sin 2cos αα+=
则tan 2α=（ ） 4.3A 3.4B 3
.4
C - 4
.3D - 20．（2014江苏，15）已知(
,)2
π
απ∈，sin α=
