第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析
4.1 学习要求
（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；
（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；
（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；
（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；
（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；
（6）掌握系统的零极点分析。
4.2 本章重点
（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域； （2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；
（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用； （4）线性时不变系统的复频域分析方法；
（5）系统函数与零极点的概念及s 域系统特性分析； （4）)(s H 与系统稳定性；
4.3 本章的内容摘要
4.3.1拉普拉斯变换
（1）单边拉普拉斯变换的定义
正变换 0()()st X s x t e dt -
∞
-==⎰
逆变换 1
()()2j st j x t X s e ds j σσ
π+∞-∞
=⎰
式中，0ωσj s +=。
（2）收敛域
把使信号()x t 的拉氏变换存在的s 值的范围称为()X s 的收敛域（Region of Convergence ），缩写为ROC ，可以用下面极限表示：
0)(lim =-∞
→t t e t x σ 0σσ>
上式表明，极限在0σσ>条件下为零，在S 平面上0σσ>就是收敛域。0σ称为收敛坐标，通过0σ的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。如图4-1所示。
图4.1 s平面中的收敛域
（3）常见函数的拉普拉斯变换
如表4-1所示。
4.3.2 拉普拉斯变换的性质
如表4-2所示。
4.3.3拉普拉斯逆变换
求()X s 的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。但是，实际问题中，()X s 一般为s 的有理分式，可以将()X s 展开部分分式，然后利用单边拉普拉斯变换的性质并结合常用变换对求逆变换。这种方法称为部分分式展开法。
含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成s 的多项式，或变换成两个s 的多项式之比。它们都称为s 的有理式，一般具有如下形式
1110
1
110
()()()m m m m n
n n b s b s b s b B s X s A s s a s a s a ----++++==++++L L 式中，系数(0,1,2,,1)i a i n =-L 、(0,1,2,,)i b i m =L 都为实数，n 和m 是正整数。
要把()X s 展开部分分式，必须先求出()0A s =的根。为了便于分解，将()A s 写作以下形式
12()()()()n A s s p s p s p =---L
式中，12,,,n p p p L 为()0A s =方程式的根，也称为()X s 的极点。
同理，()B s 也可改写为
12()()()()n m B s b s z s z s z =---L
式中，12,,,n z z z L 为()0B s =方程式的根，也称为()X s 的零点。
按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：
1、极点为实数，无重根
112()()
()()()()()n
i i n i
K B s B s X s A s s p s p s p s p ====----∑L
其中()()
i
i i s p K s p X s ==-，所以，1
1
()[()]()i n
p t
i
i x t L X s K e
u t -===
∑
2、包含共轭复数极点
这种情况仍可以采用上述实数极点求分解系数的方法。
12*11
()
()()()K K B s X s s j s j s j s j K K
s j s j αβαβαβαβαβαβ
=
=+
--+++-++=
+
+-++
式中，*
21K K =。令11j K K e ϕ=，则有
11()j j K e K e X s s j s j ϕϕ
αβαβ
-=+
+-++ 3、有多重极点
111121
111()
()()()()()
k k k K K K E s X s s p s p s p D s -=
++++---L 其中，1
1
111
1()(1)!i i s p i d K X s i ds
-=-=-
单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积
分法。
留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数st
e s X )(在围线中所有极点的留数运算，即
[]1()()st
L X s X s e -⎡⎤=⎣⎦∑极点
的留数
1、()
()()
B s X s A s =
为有理真分式，且只有n 个单值极点k p 1
1
()Re [();]()()k
n
n
st
st
k k s p k k x t s X s e p s p F s e =====-∑∑
2、()
()()
B s X s A s =
为n 阶有理真分式，且有r 阶重极点1p 及()n r -阶单值极点 1
1111()()()(1)!r r st
s p r d x t s p X s e r ds
-=-⎡⎤=-⎣⎦-
()()k
n
st
k
s p k n r
s p X s e
==-+
-∑
4.3.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系
双边拉氏变换的积分限是取t 从-∞到+∞，而()x t 所乘因子为复指数st
e
-，s j σω=+，它涉及全部
s 平面。如果不改变积分限，而是将复指数的σ取零值，也即局限于s 平面的虚轴，则得到傅立叶变换。
双边拉氏变换为广义的傅立叶变换。如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子st
e
-，但将积分限限制于
0到+∞就得到单边拉氏变换。在取傅立叶变换时，若当0t <满足函数()0x t =，并将()x t 乘以衰减因子
st e -也就成为单边拉氏变换。
如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数()x t 为有始信号，即当0t <时()0x t =，
