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信号与系统王明泉第四章习题集解答

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信号与系统课后答案第四章作业答案_第一次

信号与系统课后答案第四章作业答案_第一次

2 Tnω1
j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
2 Tnω1
− j3nω1
e2
sin
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
=
1 T
j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
−
1 T
− j3nω1
e2
Sa
⎛ ⎜⎝
nω1 2
⎞ ⎟⎠
4-5 设 x (t ) 是基本周期为 T0 的周期信号，其傅里叶系数为 ak 。求下列各信号的傅里叶级数
d dt
e jkω1t
∞
=
ak ⋅ jkω1 e jkω1t
k =−∞
故
bk = ak ⋅ jkω1
=
∞
bk e jkω1t
k =−∞
=
x(t )*
=
⎡ ⎢⎣
k
∞ =−∞
ak
e
jkω1t
⎤ ⎥⎦
∗
=
∞
a e∗ − jkω1t k k =−∞
∞
∞
∞
( ) ∑ ∑ ∑ 由于 k 从 −∞ 到 ∞ ，故 y t =
b e jkω1t k
=
a e∗ − jkω1t k
=
a e ∗ jkω1t −k
，所以
k =−∞
2
( ) ( ) = 1 ⋅
1
e− jnω1t − 1 ⋅
1
e− jnω1t
T − jnω1
−2 T − jnω1
1
( ) ( ) = 1
e − e j2nω1
jnω1

信号与系统第四章课后习题答案

信号与系统第四章课后习题答案

其拉氏逆变换为： s3 + s 2 + 1 f (t ) = F [ ] = (-e-2t + 2e -4t )U (t ) ( s + 1)( s + 2)
-1
(8)
s+5 s ( s 2 + 2 s + 5) s+5 A B1s + B2 = = + s[( s + 1)2 + 4] s ( s + 1)2 + 4 A= s+5 gs = 1 s[( s + 1) 2 + 4)] s =0
(3) (2 cos t + sin t )U (t ) 查表得： s s + w2 w sin wtU (t ) « 2 s + w2 \ 根据拉氏变换的线性性质： 2s 1 2s + 1 (2 cos t + sin t )U (t ) « 2 + 2 = 2 s +1 s +1 s +1 cos wtU (t ) «
(9) 2d (t - t0 ) + 3d (t ) 根据时移特性：
d (t - t0 ) « e - st0
\ 2d (t - t0 ) + 3d (t ) « 2e - st0 + 3
(10) (t - 1)U (t - 1) 根据复频域微分特性： (-t ) n f (t ) « F ( n ) ( s ) 1 1 -tU (t ) « ( ) ' = - 2 s s 1 \tU (t ) « 2 s 根据时移特性： e- s (t - 1)U (t - 1) « 2 s
\ cos tU (t ) «

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

(仅供参考)信号与系统第四章习题答案

e −sT
=
−sT
2 − 4e 2
+ 2e −sT
Ts 2
（f） x(t) = sin πt[ε (t)− ε (t − π )]
sin π tε (t ) ↔
π s2 + π 2
L[sin
πtε (t
−π
)]
=
L e jπt
− 2
e− jπt j
ε (t
−π
)
∫ ∫ =
1 2j
∞ π
e
jπt e−st dt
4.3 图 4.2 所示的每一个零极点图，确定满足下述情况的收敛域。
（1） f (t) 的傅里叶变换存在
（2） f (t )e 2t 的傅里叶变换存在
（3） f (t) = 0, t > 0
（4） f (t) = 0, t < 5
【知识点窍】主要考察拉普拉斯变换的零极点分布特性。 【逻辑推理】首先由零极点写出拉普拉斯变换式，再利用反变换求取其原信号，即可求取其收
= cosϕ eω0tj + e−ω0tj − sin ϕ eω0tj − e−ω0tj
2
2j
=
cos 2
ϕ
−
sin 2
ϕ j
e
ω0 t j
+
cosϕ 2
+
sin ϕ 2j
e −ω 0tj
F(s) =
L
cosϕ 2
−
sin ϕ 2j
eω0tj
+
cos 2
ϕ
+
sin ϕ 2j
e
−ω0
t
j
ε
(t
)
∫ ∫ =

信号与系统第四章习题解答

信号与系统第四章习题解答

得E(s) =
L
⎡⎣e(t )⎤⎦
=
1 s +1
rzs
(t)
=
r
(t)
=
1 2
e−t
−
e−2t
+
2e−3t
Rzs ( s) =
L
⎡⎣rzs
(t
)⎤⎦
=
1
2(s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
故
H
(s)
=
Rzs ( s) E(s)
=
⎡ ⎢ ⎣
2
(
1
s +1)
−
s
1 +
2
+
s
2 −
3
⎤ ⎥ ⎦
⋅
(
s
+
1)
= 1 − s +1 + 2(s +1)
2 s+2 s−3
=3+ 1 − 8 2 s+2 s−3
( ) 所以
h(s) =
L
−1
⎡⎣ H
(
s )⎤⎦
=
3 2
δ
(t
)
+
e−2t + 8e3t
u (t )
4-35 解题过程：
k
∏(s − zi )
( ) H (s) = K
i =1 l
∏ s− pj
j =1
− 3e−2t
（7）
L
−1
⎡ ⎢⎣
s
1 2+
1
+
1⎤⎥⎦
= sin t + δ (t)

信号与系统第四章习题参考答案13

信号与系统第四章习题参考答案13

《信号与系统》第四章习题参考答案4-1 解 （1）111()ataL es s a s s a -⎡⎤-=-=⎣⎦++ （2）[]2221221sin 2cos 111s s L t t s s s ++=+++++ （3）()2212tL te s -⎡⎤=⎣⎦+（4）[]21sin(2)4L t s =+，由S 域平移性质，得 ()21s i n (2)14tL e t s -⎡⎤=⎣⎦++ （5）因为1!nn n L t s +⎡⎤=⎣⎦，所以 []2211212s L t s s s++=+= 由S 域平移性质，得 ()()23121ts L t e s -+⎡⎤+=⎣⎦+（6）()2211cos sL at s s a -=-⎡⎤⎣⎦+，由S 域平移性质，得 (){}()2211cos ts L at e s s aβββ-⎡⎤-=-⎣⎦+++ （7）232222L t t s s ⎡⎤+=+⎣⎦ （8）732()327tL t es δ-⎡⎤-=-⎣⎦+ （9）[]22sinh()L t s βββ=-，由S 域平移性质，得()22sinh()atL e t s a βββ-⎡⎤=⎣⎦+-（10）由于()211cos ()cos 222t t Ω=+Ω 所以 222221111c o s ()22424ss L t s s s s ⎛⎫⎡⎤Ω=+∙=+ ⎪⎣⎦+Ω+Ω⎝⎭（11）()()()11111at t L e e a a s a s s a s βββββ--⎡⎤⎛⎫-=-= ⎪⎢⎥--++++⎣⎦⎝⎭ （12）由于()221cos()1ts L e t s ωω-+⎡⎤=⎣⎦++所以 ()()()221cos()1a t a s e L et s ωω--++⎡⎤=⎣⎦++（13）因为(2)(1)(1)(1)(1)(1)t t t te u t e t e e u t ------⎡⎤-=-+-⎣⎦且()(1)(1)2(1)(1)(1)11sst t e e L t eu t L eu t s s ------⎡⎤⎡⎤--=-=⎣⎦⎣⎦++所以 ()(1)(2)2211(2)(1)(1)11s t s s e L teu t e e s s s -----⎡⎤+⎡⎤-=+=⎢⎥⎣⎦+++⎣⎦（14）()(1)tL e f t F s -⎡⎤=+⎣⎦，由尺度变换性质，得(1)ta t L e f aF as a -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦（15）()t L f aF as a ⎡⎤⎛⎫=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由s 域平移性质，得 []2()()at t L e f aF a s a aF as a a -⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（16）31cos(6)cos (3)cos(3)2t t t -=∙13cos(9)cos(3)44t t =+32213cos (3)48149s s L t s s ⎡⎤=+⎣⎦++由s 域微分性质，得()()22322222213181327cos (3)481494819d s s s s L t t ds s s s s ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⎡⎤=-+=+ ⎪⎣⎦⎢⎥++⎝⎭++⎣⎦（17）[]2cos(2)4sL t s =+，连续两次应用s 域微分性质，有 []()2224cos(2)4s L t t s-=+，()3232224cos(2)4s sL t t s-⎡⎤=⎣⎦+（18）111atL es s a -⎡⎤-=-⎣⎦+，由s 域积分性质，得111111(1)at sL e ds t s s a ∞-⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥+⎣⎦⎝⎭⎰ln()ln ln s s a s s a ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭ （19）351135tt L ee s s --⎡⎤-=-⎣⎦++，由s 域积分性质，得 33111115ln 353t t s e e s L ds t s s s --∞⎛⎫⎡⎤-+⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰（20）()22sin aL at s a =⎡⎤⎣⎦+，由s 域积分性质，得()1122211sin 1arctan 21s s at s a s L ds d t s a a a s a π∞∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫===-⎢⎥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎣⎦+ ⎪⎝⎭⎰⎰ 4-2 解（1）因为()()sin ()2T f t t u t u t ω⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()sin ()sin 22T T t u t t u t ωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以可借助延时定理，得()()sin ()sin 22T T L f t L t u t L t u t ωω⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+--⎡⎤⎡⎤⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭222222221sT T s ee S S S ωωωωωω--⎛⎫=+=+ ⎪+++⎝⎭（2）因为()()()sin sin cos cos sin t t t ωϕωϕωϕ+=+ 所以()222222cos sin cos sin sin s s L t s s s ωϕϕωϕϕωϕωωω++=+=⎡⎤⎣⎦+++ 4-3 解此题可巧妙运用延时性质。

信号与系统王明泉1-8章完整答案

信号与系统王明泉1-8章完整答案

第1章信号与系统的概述1.1 学习要求（1）了解信号与系统的基本概念与定义，会画信号的波形；（2）了解常用基本信号的时域描述方法、特点与性质，并会灵活应用性质；（3）深刻理解信号的时域分解、运算的方法，会求解；（4）深刻理解线性是不变系统的定义与性质，会应用性质求解系统1.2 本章重点（1）基本的连续时间信号的时域描述和时域特性；（2）单位冲激信号的定义、性质与应用；（3）信号的时域运算及其综合应用；（4）线性时不变系统的性质与应用。

1.3 本章的知识结构1.4 本章的内容摘要1.4.1信息、消息和信号的概念所谓信息，是指存在于客观世界的一种事物形象，一般泛指消息、情报、指令、数据和信号等有关周围环境的知识。

消息是指用来表达信息的某种客观对象，如电报中的电文、电话中的声音、电视中的图像和雷达探测的目标距离等等都是消息。

所谓信号，是指消息的表现形式，是带有信息的某种物理量，如电信号、光信号和声信号等等。

信号代表着消息，消息中又含有信息，因此信号可以看作是信息的载体。

1.4.2信号的分类以信号所具有的时间函数特性来加以分类，可以将信号分为确定信号与随机信号、连续时间信号与离散时间信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号、实信号与复信号等等。

1.4.3 常用信号 （1）正弦型信号)cos()(ϕω+=t A t f (1-3)（2）指数信号st Ae t f =)( (1-8)（3）矩形脉冲⎪⎩⎪⎨⎧><=2/02/1)(ττt t t f（4）三角脉冲⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=2/02/21)(τττt t tt f (1-18)（5）抽样信号ttt sin )Sa(=(1-19)性质：（1）)Sa()Sa(t t =-，偶函数 （2）1)Sa(,0==t t ，即1)Sa(lim 0=→t t（3）π,0)Sa(n t t ±==， 3,2,1=n （4）⎰∞=02πd sin t t t ，⎰∞∞-=πd sin t tt（5）0)Sa(lim =±∞→t t该函数的另一表示式是辛格函数，其表示式为ttsi t c ππn )(sin =(1-20) (6) 斜变信号⎩⎨⎧≥<=000)(t t t t f (1-24)（7）单位阶跃信号⎩⎨⎧><=0100)(t t t u 或⎩⎨⎧><=-0100)(000t t t t u如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用)(t G T)2()2()(Tt u T t u t G T --+=下标T 表示其矩形脉冲宽度。

信号与系统课后习题答案第4章

信号与系统课后习题答案第4章

9
第4章 连续信号与系统的S域分析
10
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.4 求题图4.1所示信号的单边拉氏变换。
题图 4.1
11
第4章 连续信号与系统的S域分析
12
第4章 连续信号与系统的S域分析
13
第4章 连续信号与系统的S域分析
14
第4章 连续信号与系统的S域分析
15
第4章 连续信号与系统的S域分析
输入
80
第4章 连续信号与系统的S域分析
故有
其零状态响应为
81
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.18 题图 4.3 所示RLC系统，us(t)=10ε(t)。求电流i(t)的零 状态响应。
题图 4.3
82
第4章 连续信号与系统的S域分析
解 画出S域零状态电路模型如题解图4.18所示。
题解图 4.18
3
第4章 连续信号与系统的S域分析
4
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.2 求下列象函数的原函数。
5
第4章 连续信号与系统的S域分析
解 本题练习双边拉氏逆变换计算。
因为
所以
6
第4章 连续信号与系统的S域分析
7
第4章 连续信号与系统的S域分析
8
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.3 求下列信号的单边拉氏变换，并注明其收敛域。 (1) ε(t+1); (2) (e2t+e－2t)ε(t); (3) (t－1)ε(t); (4) (1+te－t)ε(t)。
122
第4章 连续信号与系统的S域分析
4.28 已知线性连续系统的系统函数H(s)的零、极点分布如 题图 4.10 所示。图中，“×”号表示极点，“ 。”号表示零 点。 (1) 若H(∞)=1，求图(a)对应系统的H(s)；

信号与系统第四章部分习题解答

信号与系统第四章部分习题解答

第四章部分习题解答4-7求下列各序列的DFT ，已知N=4。

(1))(0n n -δ 300≤≤n解：044300)()]([kn kn n WWn n n n X =-=-∑=δδ(2))(n G N解：∑∑=====344304)(4)()]([n kn knn N k W Wn G n G X δ （利用正交性）或用矩阵法解 j eW j-==-4214π⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004111111111111111111111111111)]([946434644424342414j j j j W W W W W W W W W n G X N (3))(n G a N n , 1≠a 解：1,111)(1)()(43044444≠--=--==∑=a aW a aW aW Wn G a k X kn k k kn n(4)}3,2,1,0{)(=n nG N解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=2222263210111111111111)]([4j j j j j j n nG X(5))(0n G e N n j ω解：kj j k j k j knn nj W e e W e W e Wn G ek X 444444300000111)(1)()(ωωωωω--=--==∑=4-8有限长序列x(n)如题图4-2所示，若题图 4-2)())3(()(441n G n x n x -= )())3(()(442n G n x n x -=给出)(1n x 和)(2n x 序列图形，并计算)(1n x 和)(2n x 的离散傅里叶变换。

解：由圆周移位特性知：}1,4,3,2{)(1=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101432111111111111][1 }1,2,3,4{)(2↑=n x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=j j j j j j k X 22222101234111111111111][2 4-9两有限长序列x(n)和h(n)如题图4-3所示，求)()(n h n x *。

信号与系统 第四章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布

信号与系统 第四章习题 王老师经典解法(青岛大学)小白发布

3
E1(s)
∑
1 s
-2 -1
（a）
1 s
2
∑
Y 1( s )
E2(s)
−2 t
Vo ( s ) ； E ( s)
U (t ) ，求零状态响应 vo (t ) ；
（3）若 e(t ) = 10 cos(5t ) ，求正弦稳态响应 voss (t ) 。
0.25F + e(t) -
2:1
1F
2:1
2F +
C1
C2
C3
R
vo(t
-
题图 4-17-1
4-18 题图 4-18-1 所示电路 （1）若初始无储能，信号源为 is (t ) ，为求 i1 (t ) （零状态响应） ，列写转移函数 H ( s ) ，并给 出对应于 is (t ) = 10 cos(2t )U (t ) 的零状态响应 i1 (t ) ； （2）若初始状态以 i1 (0) ， v 2 (0) 表示（都不等于零） ，但
is(t
)
1Ω + 1F
-
1H
i1(t
is (t ) = 0 ，求 i1 (t ) （零输入响应） 。
v 2( t )
1Ω
题图 4-18-1
4-19 求题图 4-19 中电路的电压传输函数，如果要求响应中不出现 强迫响应分量，激励函数应有怎样的模式？
C
R1
+ +
-)
e(t R2
vo(t)
-
题图 4-19
4-11 用拉氏变换分析法，求下列系统的响应。
d 2 r (t ) dr (t ) （1） +3 + 2r (t ) = 0 ， r (0 − ) = 1 ， r ' (0 − ) = 2 2 dt dt

信号系统第四章答案(1)

信号系统第四章答案(1)

所以 b1
（3）利用连续时间傅立叶级数的相乘性质，求 z (t ) 的傅立叶级数系数 ck 。
FS ak bk ck 解： z (t ) x(t ) y(t )
4
①
k 1 1
即 k<-2 时， al bk l 0 ， al bk l 0
l
方法二：构造一个标准方波信号 P(t),T=2,T1=0.5 2T 1 1 那么频谱系数为 1 Sa(kw0T1 ) Sa(k ) T 2 2 将 P(t)向右平移 0.5 个单位长度记为 p1 (t 0.5) 将 P(t)向右平移 1.5 个单位长度记为 p2 (t 1.5)
x(t ) p1 (t 0.5) p2 (t 1.5) 1.5
对应的 bk (a k ak )e jkw1
w2 w1
4.5 x(t ) 是一个基波周期为 T 2 的周期信号，傅里叶级数为 ak ，在一个周期内定 义为
t x(t ) 2 t
X(t)
0 t 1 1 t 2
1
0 -1
1
2
t
(1) 求 a0 解： a0
x1 (t ) p1 (t 1.5) p2 (t 1.5)
1 k 由于 p(t ) 的傅里叶级数系数为 Sa( ) 2 2
所以 x(t)的傅里叶级数系数为 ak
3 jkw0 3 k jkw0 1 2 2 Sa( )(e e ) 4 2
4.4 设 x1 (t ) 为一个连续时间周期信号，其基波频率为 1 ，傅里叶级数系数为 ak ， 另一个连续时间信号信号 x2 (t ) x1 (1 t ) x1 (t 1) ，求 x2 (t ) 的基波频率 2 与傅里叶 级数系数 bk （分别用 1 与 ak 表示） 。

信号与系统第4章习题和重点

信号与系统第4章习题和重点
(A)(A) (A)(A) (A) (A)
……
T 2T 3T 4T 5T
t
F31 ( s) A F3 ( s) Ts Ts 1 e 1 e
第9页
信号与系统 · 习题解答 4-5 求下列函数的拉氏变换，已知 f (t ) F (s) 。
（2） e
at
t f( ) a
t 解： 由比例性： f ( ) aF (as) a
1 j0t t e e j0t e st dt 0 2 1 ( j0 s )t 1 ( j0 s )t te dt te dt 2 0 2 0 1 1 ( j 0 s ) t ] 0 td[e 2 j 0 s
第5页
0 0 收敛域为σ＞0
信号与系统 · 习题解答 4-2 求图示信号的拉氏变换。
解： 【解法一】
f (t ) t[ (t ) (t 1)]
f (t )
1
由定义式：
st 1 st
0
1
t
1 1 F ( s) f (t ) e dt te dt td(e st ) 0 0 s 0 st 1 s st 1 分部积分 te 1 1 st e e e dt t dt 0

1 1 1 e ( j0 s ) t 0 2 j 0 s j 0 s 1 1 1 e ( j0 s ) t 0 2 j 0 s j 0 s



信号与系统 · 习题解答
2( s 5) A B 设 Y ( s) 2 2 ( s 2) ( s 2) ( s 2)

信号与系统 第4章-作业参考答案

信号与系统 第4章-作业参考答案

题图 4-3-1 解：
11
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4-3-7
1）x(t)是实周期信号，且周期为 6； 3）x(t) = −x(t − 3)
1 3
设某信号x(t)满足下述条件：
2）x(t)的傅里叶系数为ak ，且当k = 0 和 k > 2时，有ak = 0；
1
4） ∫−3 |x(t)|2dt = 6 2 5）a1是正实数。
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
第 4 章 习题参考答案
4-1 思考题 答案暂略 4-1 练习题 4-2-2 已知三个离散时间序列分别为 x1 ( n) = cos
2πn 2πn , x3 (n) = e , x 2 (n) = sin 25 10
π x (t ) = sin 4π t + cos 6π t + 时，试求系统输出 y (t ) 的傅立叶级数。 4
解：
3
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4因果系统： y(t) + 4y(t) = x(t)
式中x(t) 为系统输入，y(t)是系统输出。在下面两种输入条件下，求输出y(t)的傅里叶级数 展开： 1）x(t) = cos2πt ；
2
2
= 3 ） f ( t ) Sa (100t ) + Sa
解：
( 60t ) 4）
sin(4π t ) , −∞ < t < ∞ πt
9
第四章 傅立叶分析
第 4 章 习题参考答案
4）T=1/4 4-2-27 设 x(t ) 是一实值信号，在采样频率 ω s = 10000π 时， x(t ) 可用其样本值唯一确定

信号与系统王明泉第四章习题解答

信号与系统王明泉第四章习题解答

第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.1 学习要求（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；（6）掌握系统的零极点分析。

4.2 本章重点（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域； （2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用； （4）线性时不变系统的复频域分析方法；（5）系统函数与零极点的概念及s 域系统特性分析； （4）)(s H 与系统稳定性；4.3 本章的内容摘要4.3.1拉普拉斯变换（1）单边拉普拉斯变换的定义正变换 0()()st X s x t e dt -∞-==⎰逆变换 1()()2j st j x t X s e ds j σσπ+∞-∞=⎰式中，0ωσj s +=。

（2）收敛域把使信号()x t 的拉氏变换存在的s 值的范围称为()X s 的收敛域（Region of Convergence ），缩写为ROC ，可以用下面极限表示：0)(lim =-∞→t t e t x σ 0σσ>上式表明，极限在0σσ>条件下为零，在S 平面上0σσ>就是收敛域。

0σ称为收敛坐标，通过0σ的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。

如图4-1所示。

图4.1 s平面中的收敛域（3）常见函数的拉普拉斯变换如表4-1所示。

表4. 1 常用函数的拉氏变换4.3.2 拉普拉斯变换的性质如表4-2所示。

表4.2 拉普拉斯变换性质（定理）4.3.3拉普拉斯逆变换求()X s 的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。

信号与系统课后答案第四章作业答案_第二次

信号与系统课后答案第四章作业答案_第二次

1ω
0
e−3
jω
e
jωt
dω
⎤ ⎥⎦
0
=
−1 2π
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
ω
j(t −
3)
e jω(t−3)
−
⎡⎣ j(t
1
− 3)⎤⎦2
e jω(t−3)
⎫⎪ ⎬ ⎪⎭
−1
+
1 2π
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
ω
j(t −
3)
e jω(t−3)
−
⎡⎣ j(t
1
− 3)⎤⎦2
e jω(t−3)
⎫⎪ 1 ⎬ ⎪⎭ 0
=
−1 2π
Fn
=
−2
4π (n −1)
−
−2
4π (n +1)
=
1 2
⎡ ⎢ ⎣
1
π (n +1)
−
1⎤
π
(n
−1)
⎥ ⎦
⎧0
, n is odd
( ) 所以，
Fn
=
⎪
⎨1
⎪ ⎩
2
⎡1
⎢ ⎣
π
(n
+
1)
−
1⎤
π
(
n
−1)
⎥ ⎦
=
−
1 n2 −1
, π
n is even
其频谱图如下图所示：
Fn 1 π
−6ω1 −4ω1 −2ω1
)
↔
2πSa
⎛ ⎜⎝
2πω 2
⎞ ⎟⎠
，cos(ω0t)
↔
π
[δ(ω
+
ω0
)
+
δ(ω

信号与系统王明泉科学出版社第四章习题解答

信号与系统王明泉科学出版社第四章习题解答

第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.6本章习题全解4.1 求下列函数的拉普拉斯变换（注意：t 为变量，其它参数为常量）。

（1）1(1)()at e u t a-- （2）(2)t e u t -- （3）[]()(2)t e u t u t --- （4）()1212121()s t s t s e s e u t s s ---- （5）()1()t t e e u t αββα---- （6）()t te u t - （7）()341()t t e e u t t --- （8）()11()at e u t t-- （9）sin 2()te tu t - （10）()sin 2cos ()t t u t + （11）1sin ()atu t t（12）2cos 2()t tu t （13）()1cos ()tt eu t βα-- （14）2(2)t e u t -+-（15）sin (2)tu t - （16）sin()()te t u t αβθ-+（17）3cos 3()t tu t （18）t at ex a -⎛⎫ ⎪⎝⎭（19）att e x a -⎛⎫⎪⎝⎭（20）()()ta e x at u t -（21）()0cos ()t a etu t ω-+ （22）72()3()t t e u t δ--（23）02()3()t t t δδ-+ （24）()321()t t t u t +++ 解：)(1 u(t)] )e -(1 1[)1(at -a s s a L +=（2）)1(21s 1)}2({+--+=-s te t u e L （3） 11)]2()([{)1(2+-=--+--s e t u t u e L s t（4） ))(()}()(s 1{21212121s s s s st u e s e s s L t s t s ++=----（5） ))((1)}(e 1{βααββα++=----s s t u e L t t ）（ （6） 2)1(1)}({+=-s t u te L t（7） 43ln)}()(1{43++-=---s s t u e et L t t （8） as s t u e L at+-=--ln )}()1(t 1{（9） 5)1(2)}(2sin {2++=-s t tu e L t（10） 112)}()cos 2{(sin 2++=+s s t u t t L （11） ast atu t L arctan 2)}(sin 1{-=π（12） 3222)4()12(2)}(2cos {+-=s s s t tu t L （13） 22)(1)}(cos 1{a s s s t u e t L t+++-+=--βββαβ）（（14） 1)}2({22+=--+-s e t u eL st(15) )2cos 2sin (1)}2({sin 22++=--s s e t tu L s(16) 22)(sin )(cos )}()sin({βθθβθβ++++=+-a s a s t u t eL at(17) ])81(81s 99[41)}(3cos {2222223+-++-=s s s t tu t L ）（ (18) )1()}({+=-as aX atx e L at()()}(x {s X t L =) (19) )]([)}(e{a s a aX atx L at+=- (20) )1(1)}()({2as a X a t u at x eL at+=-(21) 2020t)(a -)1(1)}(cos e{w s s e t tu w L a+++=-+ （22） 732)}(3)(2{7+-=--s t u e t L tδ （23） 32)}(3)(2{00+=+--st e t t t L δδ（24） ss s s t u t t t L 1126)}()1{(23423+++=+++ 4.2 已知[]21()25L x t s s =++，求下列信号的拉普拉斯变换。

信号与系统教材课后答案、参考用第四章作业参考答案36页PPT

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x(t)F1
X()
c 2
sincct
/2ejct/2ej/2
2c sincct
/2ejct/2ej/2
c sinc
2
t/2 e e j(ct/2/2) j(ct/2/2)
c
c 2
2
ct
sinct
/2cos(ct
/2/2)
2t sin2ct /2
例1、某低频信号f(t)的最高频率分量为fm=1kHz，该信号经
1
1
2
(e
j t
e
jt ) e
jk t / 2 dt
40
4 2j 0
1
2
(e
j ( 2 t ) / 2
e j ( 2 t ) ) dt
8j 0
1 8j
2 j (2
e j ( 2 t ) / 2 k)
|
2 0
j
2 (2
k)
e j ( 2 t ) / 2
|
2 0
1 2 (( 1 ) k 1 )
T0 x2(t)ejk0tdt
1 1 2(t1)ejktdtejk (1)k 2 1
从而：
c k c 1 k c 2 k1 2 ( 1 )k,k 0 , 1 , 2
l ) 0/2,T04
c k
1 T0
x ( t ) e jk 0 t dt
T0
1
2
sin
te jk t / 2 dt
1
/
2
)
je j sin(( (
) T 1 / 2 ) sin((
)T1 / 2 ) )
2
( )T1 / 2
( )T1 / 2

信号与系统第4章作业参考解答

信号与系统第4章作业参考解答
先
t T 4
（1） f (t) f (t)
f (t) f (t T ) 2
：
得 ( T 4
f (t)
T
T
3T
Tt
4
4
4
（2） f ( t) f ( t) f (t)
只含奇次谐波 f ( t) f ( tT ) 2
T 4
3） f ( t) f ( t)
t
T
3Tห้องสมุดไป่ตู้
T
4
4
含奇偶 最, 简单的为[ ( 1 ) + ( 2 ) ] 2
2
f
(t
/ 2)
2
1 1/ 2
F (2
j )
4F (2
j )
f4 (t) f (t 1) F ( j)e j f5 (t) f (t 1) F ( j)e j f6 (t) 2 f (t 1) 2F ( j )e j
P171 4.9 解：（1）
f
(t,
a)
1 a
[1
t a
]
0
t
a
1 a
2a
(t)
t a
1 a
2a
(t)
1 a
aSa2
(a 2
)
Sa2
(a 2
)
lim Sa2 (a ) 1
a0
2
由唯一性且(t) 1
lim a0
f
(t, a)
lim
a0
1 a
2a
(t)
(t)
（2）
f
(t, a)
1 a
Ga (t)
1 a
Ga
(t)
1 a
aSa(a ) 2
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第4章 拉普拉斯变换与连续系统复频域分析4.1 学习要求（1）深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域及基本性质；会根据定义和性质求常用信号的拉普拉斯变换；（2）正确理解拉普拉斯变换的时移、频移、时域微分、频域积分、初值定理、终值定理等性质及其应用条件；（3）能应用部分分式法和常用的拉普拉斯变换对求解拉普拉斯反变换；（4）掌握复频域方法分析线性时不变系统，求解系统的全响应、零输入响应、零状态响应和单位冲激响应；（5）正确理解复频域法中，输入、系统状态与响应的关系，理解复频域方法与频域方法的异同点和各自的优缺点；（6）掌握系统的零极点分析。

4.2 本章重点（1）单边拉普拉斯变换的定义和收敛域； （2）单边拉普拉斯变换及逆变换的计算；（3）单边拉普拉斯变换的性质及常用变换对的综合应用； （4）线性时不变系统的复频域分析方法；（5）系统函数与零极点的概念及s 域系统特性分析； （4）)(s H 与系统稳定性；4.3 本章的内容摘要4.3.1拉普拉斯变换（1）单边拉普拉斯变换的定义正变换 0()()st X s x t e dt -∞-==⎰逆变换 1()()2j st j x t X s e ds j σσπ+∞-∞=⎰式中，0ωσj s +=。

（2）收敛域把使信号()x t 的拉氏变换存在的s 值的范围称为()X s 的收敛域（Region of Convergence ），缩写为ROC ，可以用下面极限表示：0)(lim =-∞→t t e t x σ 0σσ>上式表明，极限在0σσ>条件下为零，在S 平面上0σσ>就是收敛域。

0σ称为收敛坐标，通过0σ的垂直线是收敛域的边界，称为收敛轴。

如图4-1所示。

图4.1 s平面中的收敛域（3）常见函数的拉普拉斯变换如表4-1所示。

4.3.2 拉普拉斯变换的性质如表4-2所示。

4.3.3拉普拉斯逆变换求()X s 的逆变换就是求一个复变函数积分，直接积分要熟悉复变函数理论，一般是比较困难的。

但是，实际问题中，()X s 一般为s 的有理分式，可以将()X s 展开部分分式，然后利用单边拉普拉斯变换的性质并结合常用变换对求逆变换。

这种方法称为部分分式展开法。

含有高阶导数的线性、常系数微分（或积分）方程式将变换成s 的多项式，或变换成两个s 的多项式之比。

它们都称为s 的有理式，一般具有如下形式11101110()()()m m m m nn n b s b s b s b B s X s A s s a s a s a ----++++==++++L L 式中，系数(0,1,2,,1)i a i n =-L 、(0,1,2,,)i b i m =L 都为实数，n 和m 是正整数。

要把()X s 展开部分分式，必须先求出()0A s =的根。

为了便于分解，将()A s 写作以下形式12()()()()n A s s p s p s p =---L式中，12,,,n p p p L 为()0A s =方程式的根，也称为()X s 的极点。

同理，()B s 也可改写为12()()()()n m B s b s z s z s z =---L式中，12,,,n z z z L 为()0B s =方程式的根，也称为()X s 的零点。

按照极点的不同特点，部分分式展开方法由以下几种情况：1、极点为实数，无重根112()()()()()()()ni i n iK B s B s X s A s s p s p s p s p ====----∑L其中()()ii i s p K s p X s ==-，所以，11()[()]()i np tii x t L X s K eu t -===∑2、包含共轭复数极点这种情况仍可以采用上述实数极点求分解系数的方法。

12*11()()()()K K B s X s s j s j s j s j K Ks j s j αβαβαβαβαβαβ==+--+++-++=++-++式中，*21K K =。

令11j K K e ϕ=，则有11()j j K e K e X s s j s j ϕϕαβαβ-=++-++ 3、有多重极点111121111()()()()()()k k k K K K E s X s s p s p s p D s -=++++---L 其中，111111()(1)!i i s p i d K X s i ds-=-=-单边拉普拉斯逆变换也可以用单边拉普拉斯逆变换的定义式求，这种方法称为留数法，也称为反演积分法。

留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数ste s X )(在围线中所有极点的留数运算，即[]1()()stL X s X s e -⎡⎤=⎣⎦∑极点的留数1、()()()B s X s A s =为有理真分式，且只有n 个单值极点k p 11()Re [();]()()knnststk k s p k k x t s X s e p s p F s e =====-∑∑2、()()()B s X s A s =为n 阶有理真分式，且有r 阶重极点1p 及()n r -阶单值极点 11111()()()(1)!r r sts p r d x t s p X s e r ds-=-⎡⎤=-⎣⎦-()()knstks p k n rs p X s e==-+-∑4.3.4拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系双边拉氏变换的积分限是取t 从-∞到+∞，而()x t 所乘因子为复指数ste-，s j σω=+，它涉及全部s 平面。

如果不改变积分限，而是将复指数的σ取零值，也即局限于s 平面的虚轴，则得到傅立叶变换。

双边拉氏变换为广义的傅立叶变换。

如果不改变双边拉氏变换式中的复指数因子ste-，但将积分限限制于0到+∞就得到单边拉氏变换。

在取傅立叶变换时，若当0t <满足函数()0x t =，并将()x t 乘以衰减因子st e -也就成为单边拉氏变换。

如果要从已知的单边拉氏变换求傅氏变换，首先应判明函数()x t 为有始信号，即当0t <时()0x t =，然后根据收敛边界的不同，按以下三种情况计算：（1）当00σ>时，只存在拉氏变换，不存在傅氏变换；（2）当00σ<时，既存在拉氏变换又存在傅氏变换。

而且以s j ω=代换，就可以由()X s 求()X j ω，即()j (j )s X X s ωω==；（3）当00σ=时，这时同时存在拉氏变换和傅氏变换，但不是简单的s j ω=代换关系。

这时由()X s 求()X j ω，除把()X s 中的s 以j ω代换外，还必须另外加上冲激函数及其各阶导数项。

4.3.5 线性系统复频域分析 （1）零状态响应系统的零状态响应可按以下步骤求解：(1) 求系统输入()x t 的单边拉普拉斯变换()X s ； (2) 求系统单位冲激响应的拉氏变换()H s ；(3) 求零状态响应的单边拉普拉斯变换()zs Y s ，()()()zs Y s X s H s =； (4) 求()zs Y s 的拉普拉斯逆变换()zs y t 。

（2）系统常系数微分方程的拉氏变换解拉氏变换是分析线性连续系统的有力工具，它将描述系统的时域微积分方程变换为s 域的代数方程，便于运算和求解；同时，它将系统的起始状态自然地含于拉普拉斯变换方程中，既可分别求得零输入响应、零状态响应，并可求得系统的全响应。

具体步骤如下：（1）对微分方程逐项求拉普拉斯变换；（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求得系统的全响应的拉氏变换；（3）对响应的拉氏变换进行逆变换，得到系统的全响应，还可以得出系统的零状态响应和零输入响应。

4.3.6 系统函数与系统特性（1）系统函数的定义系统零状态响应的拉氏变换与激励信号的拉氏变换之比称为系统函数，即：()()()zs Y s H s X s =（2）由系统函数确定系统的单位冲激响应由于()()()zs Y s H s X s =，当系统的激励为()t δ时，零状态响应为()h t ，故[()}()[()]()L h t H s L t H s δ==即系统的冲激响应()h t 与系统函数()H s 构成了一对拉普拉斯变换对，()h t 和()H s 分别从时域和复频域两个角度表征了同一系统的特性。

（3）系统的s 域方框图表示根据拉普拉斯变换的性质，可以方便的得到时域中各运算符号在s 域中的模型。

1、加法器，如图4. 1所示。

2、标量乘法器，有两种表示形式，如图4. 2所示。

3、积分器为了模拟微分方程表述的系统还需要积分器。

在理论上积分器和微分器都可以用模拟动态连续系统，但是由于积分器抗干扰的性能比微分器好（特别是对脉冲式的工业干扰），所以在实现上往往使用积分器。

图4. 1 加法器的s 域模型 图4. 2标量乘法器的s 域模型因为(1)0_(0)1()()()tx y t x d X s s sττ--=↔+⎰所以积分器的s 域模型如图4. 3（a ）所示。

当输入信号()x t 为因果信号时，因为(1)(0)0x--=，所以积分器如图4. 3（b ）所示。

两者物理系统相同，但含义各有区别。

本章只讨论零状态的情形，因此用1s表示积分器，且认为系统起始状态为零。

（a ）起始状态为非零时的积分器s 域模型（b ）起始状态为零时的积分器s 域模型图4. 3 积分器的s 域模型一个系统的s 域框图就是由上述各部件按一定的关系组合而成。

在系统的框图表示中，若加法器输入端箭头旁是“＋”号，也可以省略不标。

（4） 系统函数零点、极点分布与系统时域特性的关系1212()()()()()()()()()m m s z s z s z N s H s K D s s p s p s p ---==---L L 式中，式中，12,,,m z z z L 为系统函数的零点；12,,,n p p p L 是系统函数的极点；mnb K a =为一常数。

把系统函数的零点、极点都表示在s 复平面上，则称为系统函数的零、极点分布图。

其中零点用“○”表示，极点用“×”表示。

2()X s a()X s ()()Y s aX s =)()aX s =()H s极点分布与时域函数的对应关系如表4.3和4.4所示，表4.3列出一阶极点的情况，表4.4列出二阶极点的情况。

表4.3 极点分布与原函数波形对应（1）表4.4 极点分布与原函数波形对应（2）（5）系统函数零点、极点分布与系统频响特性的关系假设系统函数()H s 的表示式为11()()()mjj nii s z H s Ks p ==-=-∏∏，令s j ω=，也即，在s 平面中令s 只沿虚轴移动，得到11()()()mjj ni i j z H j Kj p ωωω==-=-∏∏。