Kuhn-Munkres算法(二分图最大权匹配)

Kuhn-Munkres算法（二分图最大权匹配）

二分图如果是没有权值的，求最大匹配。则是用匈牙利算法求最大匹配。如果带了权值，求最大或者最小权匹配，则必须用KM算法。

其实最大和最小权匹配都是一样的问题。只要会求最大匹配，如果要求最小权匹配，则将权值取相反数，再把结果取相反数，那么最小权匹配就求出来了。

KM算法及其难理解。。。看了几天还无头绪。

先拿上一直采用的KM算法模板，按照吉林大学的模板写的。试试了好多次感觉都没有出错。

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二分图最佳匹配（kuhn munkras 算法 O(m*m*n)).

邻接矩阵形式。返回最佳匹配值，传入二分图大小m,n

邻接矩阵 mat ，表示权，match1,match2返回一个最佳匹配,为匹配顶点的match值为-1，

一定注意m<=n，否则循环无法终止，最小权匹配可将全职取相反数。

初始化： for(i=0;i

for(j=0;j

对于存在的边：mat[i][j]=val;//注意不能负值

********************************************************/ #include#define MAXN 310#define inf 1000000000 #define _clr(x) memset(x,-1,sizeof(int)*MAXN)int KM(int m,int n,int mat[][MAXN],int *match1,int *match2)

{

int s[MAXN],t[MAXN],l1[MAXN],l2[MAXN];

int p,q,i,j,k,ret=0;

for(i=0;i

{

l1[i]=-inf;

for(j=0;j

l1[i]=mat[i][j]>l1[i]?mat[i][j]:l1[i];

if(l1[i]==-inf) return -1;

}

for(i=0;i

l2[i]=0;

_clr(match1);

_clr(match2);

for(i=0;i

{

_clr(t);

p=0;q=0;

for(s[0]=i;p<=q&&match1[i]<0;p++)

{

for(k=s[p],j=0;j

if(l1[k]+l2[j]==mat[k][j]&&t[j]<0) {

s[++q]=match2[j];

t[j]=k;

if(s[q]<0)

{

for(p=j;p>=0;j=p)

{

match2[j]=k=t[j];

p=match1[k];

match1[k]=j;

}

}

}

}

}

if(match1[i]<0)

{

i--;

p=inf;

for(k=0;k<=q;k++)

{

for(j=0;j

{

if(t[j]<0&&l1[s[k]]+l2[j]-mat[s[k]][j]

}

}

for(j=0;j

l2[j]+=t[j]<0?0:p;

for(k=0;k<=q;k++)

l1[s[k]]-=p;

}

}

for(i=0;i

ret+=mat[i][match1[i]];

return ret;

}

下面是从网上的博客摘抄的一些零散的总结。。。。。

[二分图带权匹配与最佳匹配]

什么是二分图的带权匹配？二分图的带权匹配就是求出一个匹配集合，使得集合中边的权值之和最大或最小。而二分图的最佳匹配则一定为完备匹配，在此基础上，才要求匹配的边权值之和最大或最小。二分图的带权匹配与最佳匹配不等价，也不互相包含。

这两个的关系比较悬乎。我的理解就是带权匹配是不考虑是不是完备，只求最大或最小权匹配。而最佳匹配则必须在完备匹配的基础上找最大或最小权匹配。

这两个还是结合具体题目比较好理解些。

KM算法是求最大权完备匹配，如果要求最小权完备匹配怎么办？方法很简单，只需将所有的边权值取其相反数，求最大权完备匹配，匹配的值再取相反数即可。

KM算法的运行要求是必须存在一个完备匹配，如果求一个最大权匹配(不一定完备)该如何办？依然很简单，把不存在的边权值赋为0。

KM算法求得的最大权匹配是边权值和最大，如果我想要边权之积最大，又怎样转化？还是不难办到，每条边权取自然对数，然后求最大和权匹配，求得的结果a再算出e^a就是最大积匹配。至于精度问题则没有更好的办法了。

二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负），要求一种完备匹配方案，使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。（特殊的，当所有边的权为1时，就是最大完备匹配问题）

定义设G＝为二部图，|V1|≤|V2|，M为G中一个最大匹配，且|M|＝|V1|，则称M为V1到V2的完备匹配。

在上述定义中，若|V2|＝|V1|，则完备匹配即为完美匹配，若|V1|<|V2|，则完备匹配为G中最大匹配。

KM算法是通过给每个顶点一个标号（叫做顶标）来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问题的。设顶点X i的顶标为A[i]，顶点Y i的顶标为B[i]，顶点X i与Y j之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(i,j)，

A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立，初始A[i]为与xi相连的边的最大边权，B[j]=0。KM算法的正确性基于以下定理：