全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

手拉手模型时间：2021.03.03 创作：欧阳学要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆与∆，连结AE与CD，证明BCE（1）DBC∆≅ABE∆(2)AE与DC之间的夹角为︒60∠(3)HB平分AHC变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆与∆，连结AE与CD，BCE证明（1）DBC≅∆ABE∆60（2）AE与DC之间的夹角为︒∠（3）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆(2）AE 与DC之间的夹角为︒60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,HB 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？例5：如图，点A. B. C 在同一条直线上，分别以AB 、BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

全等三角形重要题型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形或正方形组成，并且顶角的顶点为公共顶点的模型。

模型如下：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明： （1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60 （4）DFB AGB ∆≅∆ （5）CFB EGB ∆≅∆ （6）BH 平分AHC ∠ （7）AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？要点二：截长补短法若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。

证明举例教案（提高）1)等变换中的“旋转”．2)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．3)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）4)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶常见辅助线的作法有以下几种：．手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60(4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

手拉手模子要点一：手拉手模子特色：由两个等顶角的等腰三角形所构成,并且顶角的极点为公共极点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180°（3）OA等分∠BOC变形：ABC的统一侧作两个等边三角形∆,贯穿连接AE与CD,证∆与BCEABD实（1）DBC∆≅ABE∆(2)AE与DC之间的夹角为︒60∠(3)HB等分AHC变式精练1：如图两个等边三角形ABD∆与BCE∆,贯穿连接AE与CD,证实（1）DBC∆ABE∆≅60（2）AE与DC之间的夹角为︒∠（3）AE与DC的交点设为H,BH等分AHC变式精练2：如图两个等边三角形ABD∆,贯穿连接AE与CD,∆与BCE证实（1）DBC∆ABE∆≅(2）AE与DC之间的夹角为︒60∠(3）AE与DC的交点设为H,HB等分AHC例2：如图,两个正方形ABCD 与DEFG ,贯穿连接CE AG ,,二者订交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为若干度？ （4）HD 是否等分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ,贯穿连接CE AG ,,二者订交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为若干度？ （4）HD 是否等分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆,个中穿连接BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,贯AE 与CD ,问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为若干度？ （4）HB 是否等分AHC ∠？例5：如图,点A. B. C 在统一条直线上,分离以AB.BC 为边在直线AC 的同侧作等边三角形△ABD.△BCE.衔接AE.DC,AE 与DC 地点直线订交于F,衔接FB.断定线段FB.FE 与FC 之间的数目关系,并证实你的结论.【练1】如图,三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形,点A,E,D,同在一条直线上,且角EBD=62°,求角AEB 的度数 倍长与中点有关的线段 倍长中线类☞考点解释：凡是消失中线或相似中线的线段,都可以斟酌倍长中线,倍长中线的目标是可以扭转等长度的线段,从而达到将前提进行转化的目标：将题中已知和未知前提分散在一对三角形中.结构全等三角形.平移线段. 【办法精讲】经常运用帮助线添加办法——倍长中线 △ABC 中 方法1：延伸AD 到E,AD 是BC 边中线 使DE=AD,衔接BE方法2：间接倍长作CF⊥AD 于F,延伸MD 到N,作BE⊥AD 的延伸线于 E使DN=MD,衔接BE衔接CD【例1】 已知：ABC ∆中,AM是中线．求证：1()2AM AB AC <+．【练1】在△ABC 中,59AB AC ==，,则BC 边上的中线AD 的长的取值规模是什EDA么？【练2】如图所示,在ABC ∆的AB 边上取两点E .F ,使AE BF =,衔接CE .CF ,求证：AC BC +>EC FC +．【练3】如图,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,D 是AB 上一点,F 是AC 延伸线上的一点,且BD=CF,贯穿连接DF交BC 于E ．求证：DE=EF(倍长中线.截长补短)【例2】 如图,已知在ABC∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延伸BE 交AC 于F ,AF EF =,求证：AC BE =．【练1】如图,已知在ABC ∆中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,延伸BE 交AC 于F ,求证：AF EF =【练2】如图,在△ABC 中,AB>AC,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的等分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F,交CA 的延伸线于G.求证：BF=CG.【练3】如图,在ABC ∆中,AD 交BC 于点D ,点E 是BC 中点,EF AD ∥交CA 的延伸线于点F ,交AB 于点G ,若BG CF =,求证：AD 为ABC ∆的角等分线．【练4】如图所示,已知ABC ∆中,AD 等分BAC ∠,E .F 分离在BD .AD 上．DE CD =,EF AC =．求证：EF ∥AB【例3】已知AM 为ABC ∆的中线,AMB ∠,AMC ∠的等分线分离交AB 于E .交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．【练1】在Rt ABC ∆中,F 是斜边AB 的中点,D .E 分离在边CA .CB 上,知足90DFE ∠=︒．若3AD =,4BE =,则线段DE 的长度为_________．【练2】如图,△ABC 中,AB=2AC,AD 等分BC 且AD⊥AC,则∠BAC=______. 【练3】在ABC ∆中,点D 为BC 的中点,点M .N 分离为AB .AC 上的点,且MD ND ⊥．（1）若90A ∠=︒,以线段BM .MN .CN 为边可否构成一个三角形？若能,该三角形是锐角三角形.直角三角形或钝角三角形？ （2）假如2222BM CN DM DN +=+,求证()22214AD AB AC =+．【例4】如图,等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆,P 为CE 中点,衔接PA .PD .探讨PA .PD 的关系.（证角相等办法） 【练1】如图,两个正方形ABDE 和ACGF ,点P 为BC 的中点,衔接PA 交EF 于点Q .探讨AP 与EF 的数目关系和地位关系.（证角相等办法）【练2】如图,在ABC ∆中,AB CD =,BDA BAD ∠=∠,AE 是BD 边的中线.求证：AE AC 2=【例5】如图所示,在ABC ∆中,AB AC =,延伸AB 到D ,使BD AB =,E 为AB 的中点,衔接CE .CD ,求证2CD EC =．【练1】已知ABC ∆中,AB AC =,BD 为AB 的延伸线,且BD AB =,CE 为ABC ∆的AB 边上的中线．求证：2CD CE =【练2】如图,CB.CD 分离是钝角△AEC 和锐角△ABC 中线,且AC=AB,∠ACB=∠ABC.求证CE=2CD. 【例16】如图,两个正方形ABDE 和ACGF ,点P 为BC 的中点,衔接PA 交EF 于点Q .探讨AP 与EF 的数目关系和地位关系.（倍长中线与手拉手模子分解运用） 【练1】已知：如图,正方形ABCD 和正方形EBGF ,点M 是线段DF 的中点. ⑴试解释线段ME 与MC 数目关系和关系.⑵如图,若将上题中正方形EBGF 绕点B 顺时针扭转α度数（︒<90α）,其他前提不变,上述结论还准确吗？若准确,请你证实;若不准确,请解释来由.★全等之截长补短：人教八年级上册教材中,在全等三角形部分介绍了角的等分线的性质,这一性质在很多问题里都有着普遍的运用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特别办法(把长边截成两个短边或把两个短边放到一路;消失角等分线进行翻折;有具体角的度数解释请求角的度数,进而得到角相等,∆全等)【例10】 如图所示,ABC ∆中,0045,90=∠=∠B C ,AD等分BAC ∠交BC 于D.求证：AB=AC+CD.【练1】如图所示,在ABC ∆中,060=∠B ,ABC ∆的角D CBOEDA BDOECBANMDCBADA等分线AD.CE 订交于点O.求证：AE+CD=AC.【练2】已知ABC ∆中, 60=∠A ,BD .CE 分离等分ABC ∠和ACB ∠,BD .CE 交于点O ,试断定BE .CD .BC 的数目关系,并加以证实．【练2】如图,在四边形ABCD 中,AD∥BC,AE 等分∠BAD 交DC 于点E,衔接BE,且AE⊥BE,求证：AB=AD+BC.【练3】已知：如图,在△ABC 中,∠A=90∘,AB=AC,BD 是∠ABC 的等分线.求证：BC=AB+AD.【练4】点M,N 在等边三角形ABC 的AB 边上活动,BD=DC,∠BDC=120°,∠MDN=60°,求证MN=MB+NC ．【例11】已知如图所示,在△ABC 中,AD 是角等分线,且AC=AB+BD,试解释∠B=2∠C（不只是边,倍角也实用）【练1】如图,在△ABC 中,AB ＝AC,BD⊥AC 交AC 于点D ．求证：∠DBC＝21∠BAC．【例12】如图所示,已知21∠=∠,P 为BN 上一点,且BCPD ⊥于D,AB+BC=2BD,求证：0180=∠+∠BCP BAP .【练1】如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD,BD 等分ABC ∠,求证： 0180=∠+∠C A 【例13】如图所示,在ABCRt ∆21D MCPNA CEDBCA中,AB=AC,090=∠BAC ,CBD ABD ∠=∠,CE 垂直于BD 的延伸线于 E.求证：BD=2CE. 【练1】已知：如图示,在Rt△ABC中,∠A=90°,∠ABC=2∠C,BD 是∠ABC 的等分线．求证：CD=2AD ．【练2】如图所示,在ABC ∆中,090=∠ABC ,AD 为BAC ∠的等分线,C ∠=300,AD BE ⊥于E 点,求证：AC-AB=2BE. 【练3】正方形ABCD,E 是BC 上一点,AE ⊥EF,交∠DCH 的等分线于点F,求证AE=EF【练4】已知在△ABC 中,AB=AC,D 在AB 上,E 在AC 的延伸线上,DE 交BC 于F,且DF=EF,求证：BD=CE【例14】如图所示,已知AB //CD,BCD ABC ∠∠,的等分线正好交于AD 上一点E,求证：BC=AB+CD.【练1】如图,已知AD∥BC,∠PAB 的等分线与∠CBA 的等分线订交于E,CE 的连线交AP 于D ．求证：AD+BC=AB ．【练2】如图,在正方形ABCD 中,F 是CD 的中点,E 是BC 边上的一点,且AF 等分∠DAE,求证：AE=EC+CD ．【练3】在△ABC 中,AD 是BC 边上的高,∠B=2∠C．求证：CD=AB+BD ．【练4】如图所示,在三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D 为三角形ABC 外一点,且AD ＝PEDCBABD,DE⊥AC 交AC 的延伸线于点E.试寻找ED.AE 和BC 之间有何数目关系 【练5】在四边形ABCD 中,AB∥DC,E 为BC 边的中点,∠BAE=∠EAF,AF 与DC 的延伸线订交于点F.试探讨线段AB 与AF.CF 之间的数目关系,并证实你的结论【例15】如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上随意率性一点,求证：AB-AC ＞PB-PC A12PB C【练1】已知AM 为ABC ∆的中线,AMB ∠,AMC ∠的等分线分离交AB 于E .交AC 于F ．求证：BE CF EF +>．如图,E 是AOB ∠的等分线上一点,OA EC ⊥,OB ED ⊥,垂足为C.D.求证：（1）OC=OD; （2）DF=CF. 结构等边三角形1.如图,已知△ABC 中,AB=AC,D 是CB 延伸线上一点,∠ADB=60∘,E 是AD 上一点,且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.2.在等腰ABC ∆中,AB AC =,顶角20A ∠=︒,在边AB 上取点D ,使AD BC =,求BDC ∠. 演习1.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,BE 等分∠ABC,DE⊥AB 于D,假如AC=3cm,那么AE+DE 等于OA.2cmB.3cmC.4cmD.5cm演习2.在△ABC 和△A'B'C'中,AB=A'B',AC=A'C',点D,D'分离是BC,B'C'的中点,且AD=A'D',证眀：'''C B A ABC ∆≅∆.（倍长中线）演习 3.如图,在△ABC 中,BE 是∠ABC 的角等分线,AD⊥BE,垂足为D,求证：∠2=∠1+∠C演习4.如图（1）,已知△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过A 的一条直线,且B.C 在A.E 的异侧,BD⊥AE 于D,CE⊥AE 于E （1）试解释：BD=DE+CE ．（2）若直线AE 绕A 点扭转到图（2）地位时（BD ＜CE ）,其余前提不变,问BD 与DE.CE 的关系若何？请直接写出成果;（3）若直线AE 绕A 点扭转到图（3）地位时（BD ＞CE ）,其余前提不变,问BD 与DE.CE 的关系若何？请直接写出成果,不需解释来由．如图所示,在Rt△ABC 中,AB ＝AC,∠BAC ＝90°,有过A 的任一条直线AN,BD⊥AN 于D,CE⊥AN 于E,求证：DE ＝BD －CE ．（思绪：截长补短法） 如图,在△ABC 中,AB=AC,D 是三角形外一点,且∠ABD=60∘,BD+DC=AB.求证：∠ACD=60∘.（截长补短）1.如图,等腰直角ABC ∆与等腰直角BDE ∆,P 为CE 中点,衔接PA .PD .探讨PA .PD 的关系.（帮助线的连法都一样） 2.已知：如图,正方形ABCD 和正方形EBGF ,点M 是线段DF 的中点.AB C DA 'B 'C 'D '⑴试解释线段ME与MC数目关系和关系.（帮助线的连法都一样）⑵如图,若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针扭转α度数（︒α）,其他前提不变,上述结论还准确吗？若准确,请你<90证实;若不准确,请解释来由.3.已知AM为ABC∠的等分线分离交AB于E.交AC于F．∆的中线,AMB∠,AMC求证：BE CF EF+>．（帮助线的连法都一样）【浏览懂得】已知：如图1,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是角等分线,交BC边于点D．求证：AC=AB+BD证实：如图1,在AC上截取AE=AB,衔接DE,则由已知前提易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED=∠B=90°,DE=DB又∵∠C=45°,∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE=EC．∴AC=AE+EC=AB+BD．【解决问题】已知,如图2,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AD是∠BAC的等分线,交BC 边于点D,DE⊥AC,垂足为E,若AB=2,则三角形DEC的周长为．【数学思虑】：现将原题中的“AD是内角等分线,交BC边于点D”换成“AD 是外角等分线,交BC边的延伸线于点D如图3”,其他前提不变,请你猜测线段AC.AB.BD之间的数目关系,并证实你的猜测．【类比猜测】随意率性三角形ABC,∠ABC=2∠C,AD是∠BAC的外角等分线,交CB边的延伸线于点D,如图4,请你写出线段AC.AB.BD之间的数目关系．如图,已知∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM等分∠ADC.（1）求证：AM等分∠DAB（2）试解释线段DM与AM有如何的地位关系？（3）线段CD.AB.AD间有如何的关系？直接写出成果.。

手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD≌△AEC（2）∠α+∠BOC=180°（3）OA平分∠BOC变形：例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD∆，连结AE与CD，证明∆与BCE（1）DBC∆ABE∆≅(2)AE与DC之间的夹角为︒60(3)HB平分AHC∠变式精练1：如图两个等边三角形∆，连结AE与CD，ABD∆与BCE证明（1）DBC∆ABE∆≅（2）AE与DC之间的夹角为︒60（3）AE与DC的交点设为H,BH平分AHC∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD∆，连结∆与BCEAE与CD，证明（1）DBC∆≅ABE∆(2）AE与DC之间的夹角为︒60(3）AE与DC的交点设为H,HB平分AHC∠例2：如图，两个正方形ABCD与DEFG,连结CEAG,,二者相交于点H问：（1）CDE∆是否成立？≅ADG∆（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,,二者相交于点HCE问：（1）CDE≅∆是否成立？ADG∆（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分AHE∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？例5：△ABD 、△BCE.连接AE 、DC ，AE 与DC 所在直线相交于F ，连接FB.判断线段FB 、FE 与FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

【练1】如图，三角形ABC 和三角形CDE 都是等边三角形，点A,E,D,同在一条直线上，且角EBD=62°，求角AEB 的度倍长与中点有关的线段倍长中线类考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全三角形、平移线段。

i n ga re与，连结与，证BCE ∆AE CDosrofdoogeragnii rb ei n ga re go od fo r二、倍长与中点有关的线段考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

．1()2AB AC <+Aean dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go 三、截长补短问题1：垂直平分线（性质）定理是_______________________________________________________问题2：角平分线（性质）定理是__________________________________________________________问题3：等腰三角形的两个底角________，简称______________；如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也______，简称____________．问题4：当见到线段的______________考虑截长补短，构造全等或等腰转移____、转移____，然后和_________重新组合解决问题．三角形全等之截长补短（一）一、单选题(共4道，每道25分)1.已知，如图，BM 平分∠ABC，P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+CD ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①；②∵∠1=∠2；③∠A=∠BEP；④AP=PE；⑤；⑥；⑦；⑧．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①③⑥⑦B.①③⑤⑧C.②③⑥⑦D.②④⑤⑧2.已知，如图，BM 平分∠ABC，点P 为BM 上一点，PD⊥BC 于点D ，BD=AB+DC ．求证：∠BAP+∠BCP=180°．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长BA ，过点P 作PE⊥BA 于点E ；②延长BA 到E ，使AE=DC ，连接PE ；③延长BA 到E ，使DC=AE ；④；⑤；⑥；⑦．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.②④⑦B.①⑤⑥C.③④⑥D.①⑤⑦3.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，AD 平分∠CDE，∠BAE=2∠CAD，求证：BC+DE=CD ．e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o 请你仔细观察下列序号所代表的内容：①在CD 上截取CF=CB ，连接AF ；②在DC 上截取DF=DE ，连接AF ；③在DC 上截取DF=DE ；④AE=AF；⑤AF=AE，∠4=∠3；⑥∠4=∠3；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.①④⑨ B.③⑤⑧ C.①⑥⑦ D.②⑤⑨4.已知，如图，在五边形ABCDE 中，AB=AE ，∠BAE=2∠CAD，∠ABC+∠AED=180°，求证：BC+DE=CD ．请你仔细观察下列序号所代表的内容：①延长DE 到F ，使EF=BC ，连接AF ；②延长DE 到F ，使BC=EF ；e an dAl l t h i ng si nt he i rb ei n ga re go od fo rs o ③延长DE 到F ，连接AF ；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨．以上空缺处依次所填最恰当的是( )A.③⑤⑥⑧B.①④⑥⑨C.①⑤⑥⑨D.②④⑦⑧r四、三角形全等旋转与截长补短专题问题一：题中出现什么的时候，我们应该想到旋转？(构造旋转的条件)问题二：旋转都有哪些模型？【例1】如图，P 是正△ABC 内的一点，若将△PBC 绕点B 旋转到△P ＇BA ，则∠PBP ＇的度数是( ) A ．45°B ．60° C ．90° D ．120°【例2】如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD ＝CF 并求出∠DOH 的度数。

全等三角形之手拉手模型、倍长中线-截长补短法(西城专用)手拉手模型是由两个等腰三角形组成的，它们共享一个顶点，并且顶角是等于的。

根据这个模型，可以得出结论：(1)△ABD≌△AEC，(2) ∠α+∠BOC=180°，(3) OA平分∠BOC。

举例来说，对于图中的直线ABC的同一侧，作两个等边三角形△ABD与△BCE，并连接AE与CD，可以证明(1)△ABE≅△DBC，(2) AE=DC，(3) AE与DC之间的夹角为60度，(4) △AGB≅△DFB，(5) △EGB≅△CFB，(6) BH平分∠AHC，(7) XXX。

除了手拉手模型，倍长中线也是一个常见的几何模型，它可以用来旋转等长度的线段，从而转化条件。

例如，在△ABC中，如果已知AM是中线，可以证明AMXXX。

例2】如图所示，已知在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，且AF=EF，证明AC=BE。

已知AD是BC边上的中线，所以AD=DC。

又因为AE=ED，所以AD=DC=CE。

又因为BE=AC，所以XXX。

而因为AF=EF，所以AE=EF，所以CE=CF。

因此，AC+CD=CE+BE=2CE=2AC，所以AC=BE，证毕。

练2】如图所示，在三角形ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，若BG=CF，证明AD为三角形ABC的角平分线。

因为E是BC的中点，所以AD是BC边上的中线，所以AD=DC。

又因为EF∥AD，所以AF=FD。

因为BG=CF，所以AG=AB-BG=AB-CF=AF。

所以AG=AF，所以AD是角A 的平分线，证毕。

练3】如图所示，已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在BD、AD上，DE=CD，EF=AC，证明EF∥AB。

因为AD平分∠BAC，所以∠EAD=∠FAD，所以∠XXX∠XXX。

因为DE=CD，所以∠XXX∠XXX，所以∠AED=∠XXX。

一、手拉手模型要点一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形：例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2)DC AE =(3)AE 与DC 之间的夹角为︒60 (4)DFB AGB ∆≅∆ (5)CFB EGB ∆≅∆ (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF //变式精练1：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ∆≅∆ （2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠变式精练2：如图两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，证明（1）DBC ABE ∆≅∆ (2）DC AE =(3）AE 与DC 之间的夹角为︒60(4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？例4：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？二、倍长与中点有关的线段倍长中线类☞考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。