函数图象
考纲解读 1.考查常见函数的图象的平移变换与对称变换；2.以基本初等函数经过代数运算构成的基本函数的图象辨认；3.利用函数图象解决函数性质的应用．
[基础梳理]
1．利用描点法作函数图象的基本步骤及流程 (1)基本步骤：列表、描点、连线． (2)流程：
①确定函数的定义域； ②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；
④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．
2．平移变换
y ＝f (x )――→a ＞0，右移a 个单位
a ＜0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )； y ＝f (x )――→
b ＞0，上移b 个单位b ＜0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b . 3．伸缩变换
y ＝f (x )―――――――――――→纵坐标不变
各点横坐标变为原来的1
a
(a >0)倍
y ＝f (ax )． y ＝f (x )―――――――――――――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x )． 4．对称变换
y ＝f (x )―――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )； y ＝f (x )―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )． 5．翻折变换
y ＝f (x )―――――――――――――→去掉y 轴左边图，保留y 轴右边图将y 轴右边的图象翻折到左边去y ＝f (|x |)； y ＝f (x )――――――――→留下x 轴上方图
将x 轴下方图翻折上去
y ＝|f (x )|. [三基自测]
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合的最好的图象是( )
答案：C
2．下列图象是函数y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2，x <0，
x －1，x ≥0的图象的是( )
答案：C 3．函数y ＝ln
1
1＋x
的图象大致为( )
答案：B
4. (必修1·习题1.2B 组改编)函数r ＝f (p )的图象如图所示，若只有唯一的p 值与r 对应，则r 的范围为________．
答案：(3,5]∪(0,2)
5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝f (x )的图象如图，其定义域为__________．
答案：[－π，0)∪(0，π]
[考点例题]
考点一 作函数的图象|方法突破
[例1] 作出下列函数的图象： (1)y ＝|x －2|·(x ＋1)； (2)y ＝x ＋2x －1
；
(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.
[解析] (1)先化简，再作图．
y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2－x －2，x ≥2，－x 2＋x ＋2，x ＜2，图象如图实线所示． (2)因为y
＝x ＋2x －1＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上
平移1个单位，即得y ＝x ＋2
x －1
的图象，如图所示．
(3)利用函数y ＝log 2x 的图象进行平移和翻折变换，图象如图实线所示．
[方法提升] 作函数图象的方法 方法 解读
适合题型
直接法 当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出
基本初等函数、“对号”函数
转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象
绝对值函数
图象变换法
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出．对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变
能够准确找到基本函数
换单位及解析式的影响
[母题变式]
将本例(3)变为函数y ＝log 2|x －1|，作其图象．
解析：作y ＝log 2|x |的图象，再将图象向右平移一个单位，如图，即得到y ＝log 2|x －1|的图象．
考点二 函数图象的识别|模型突破
角度1 巧用特殊点识别函数图象
[例2] (1)函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x
在同一直角坐标系下的图象大致是( )
[解析] 因为函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，且其图象必过点(0,1)，故排除选项A ，D.因为f (x )＝1＋log 2x 的图象是由y ＝log 2x 的图象上移1个单位长度得到的，
所以f (x )为增函数，且图象必过点(1,1)，故可排除选项C.选B. [答案] B
(2) (2018·聊城模拟)如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB ＝2，设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列选项中，能表示y 与x 的函数关系的大致图象是( )
[解析] 当P 为的中点时，即OP ⊥AB 时，S △AOP 最大．此时AP ＝x ＝2，不是1，
排除B 、D.
当AP ＝x ＝1时，S △AOP ＝34>1
4
.故排除C ，选A. [答案] A [模型解法]
角度2 巧用函数性质判断函数图象
[例3] (1)在下列图象中，二次函数y ＝ax 2＋bx 与指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x
的图象只可能是( )
[解析] 由选项中的函数图象可知，指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫b a x 是单调递减的，所以0<b
a <1. 因为二次函数y ＝ax 2＋bx 的对称轴为x ＝－
b 2a ，所以－12<－b 2a <0，即二次函数的对称轴
在y 轴的左侧，直线x ＝－1
2
的右侧，显然只有选项A 满足．故选A.
[答案] A
(2)函数f (x )＝cos x
x
的图象大致为( )
[解析] f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 关于原点对称．
f (－x )＝cos (－x )－x
＝－cos x
x ＝－f (x )，
∴函数f (x )为奇函数，则图象关于原点对称，故排除A ，B ， 当x →0＋
，cos x →1，cos x x →＋∞，故选D.
[答案] D [模型解法]
[高考类题]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x
1－cos x
的部分图象大致为( )
解析：由题意，令函数f (x )＝
sin 2x
1－cos x
，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝
sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x
1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除
B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π1－cos π2＝0，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin
3π
21－cos
3π4＝－11＋2
2
<0，所以排除A ；f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，排除D.故选C.
答案：C
2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x
2的部分图象大致为( )
解析：易知函数g (x )＝x ＋sin x
x 2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x
＋sin x
x
2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.
答案：D
考点三 函数图象的应用|方法突破
[例4] (1)函数f (x )＝⎩⎨⎧
ln x (x >0)，
－－x (x ≤0)
与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的
点，则实数a 的取值范围是( )
A ．R
B ．(－∞，－e]
C ．[e ，＋∞)
D ．∅
[解析] (定性分析)设y ＝h (x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，
则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧
ln (－x )，x <0，
－x ，x ≥0，
作出y ＝h (x )与y ＝g (x )的函数图象如图所示． ∵f (x )与g (x )图象上存在关于y 轴对称的点，
∴y ＝h (x )与y ＝g (x )的图象有交点，∴－a ≤－e ，即a ≥e.故选C. [答案] C
(2)如图，|OA |＝2(单位：m)，|OB |＝1(单位：m)，OA 与OB 的夹角为π
6，
以A 为圆心，AB 为半径作圆弧
与线段OA 延长线交于点C .甲、乙两质点同时从点O
出发，甲先以速率1(单位：m/s)沿线段OB 行至点B ，再以速率3(单位：m/s)沿圆弧
行
至点C 后停止；乙以速率2(单位：m/s)沿线段OA 行至点A 后停止．设t 时刻甲、乙所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S (t )(S (0)＝0)，则函数y ＝S (t )的图象大致是( )
[解析] (函数模型)当0≤t ≤1时，甲从O 点行往B 点，乙从O 点行往A 点，故所围图形为三角形，所以S ＝12×2t ×t ×sin π6＝1
2
t 2(0≤t ≤1)；当甲从B 点沿圆弧
行往C 点时，
乙则停在A 点，故所围图形为三角形加扇形，其面积为S ＝S △AOB ＋S 扇形＝12＋1
2|AB |×3(t －1)
＝12＋325－23t －3
2
5－23(t >1)． 设t ＝t 0时，甲行至C 点，S 达到最大值S 0，所以S ＝
⎩⎪⎨⎪
⎧
12
t 2
，0≤t ≤1，325－23t ＋12－
325－23，1<t <t 0，
S 0
，t >t 0
，
显然选项A 符合，故选A.
[答案] A
(3)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋1(0≤x ＜1)2x －12(x ≥1)，
设a ＞b ≥0，若f (a )＝f (b )，则b ·f (a )的取值范围是________．
[解析] (定量计算) 画出函数图象如图所示，由图象可知要使a ＞b ≥0，f (a )＝f (b )同时成立，12
≤b ＜1，bf (a )＝b ·f (b )＝b (b ＋1)＝b 2＋b ＝⎝⎛⎭⎫b ＋122－1
4，
所以3
4
≤b ·f (a )＜2.
[答案] ⎣⎡⎭⎫
34，2
[方法提升]
解决函数应用问题的常用方法
[跟踪训练]
1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2－x ＋a
2与y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的图象不可
能的是( )
解析：分两种情况讨论：
当a ＝0时，函数为y ＝－x 与y ＝x ，图象为D ，故D 有可能；当a ≠0时，函数y ＝ax 2
－x ＋a 2的对称轴为x ＝1
2a ，对函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a 求导得
y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －
1)(ax －1)，令y ′＝0，则x 1＝
13a ，x 2＝1a ，所以对称轴x ＝12a 介于两个极值点x 1＝13a ，x 2＝1
a
之
间，A ，C 满足，B 不满足，所以B 不可能．
答案：B
2．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别是棱A 1B 1，CD 的中点，点M 是EF 上的动点(不与E ，F 重合)，FM ＝x ，过点M 、直线AB 的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为V (x )，则函数V (x )的大致图象是( )
解析：当x ∈⎝
⎛⎦⎤0，
22时，V (x )增长的速度越来越快，即变化率越来越大；当x ∈⎣⎡⎭
⎫2
2，2时，V (x )增长的速度越来越慢，即变化率越来越小，故选C.
答案：C
[真题感悟]
1.[考点二](2016·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )
解析：当x ＝2时，y ＝8－e 2∈(0,1)，排除A ，B ；易知函数y ＝2x 2－e |x |为偶函数，当x ∈[0,2]时，y ＝2x 2－e x ，求导得y ′＝4x －e x ，当x ＝0时，y ′<0，当x ＝2时，y ′>0，所以存在x 0∈(0,2)，使得y ′＝0，故选D.
答案：D
2.[考点一、三](2015·高考全国卷Ⅰ)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x
＋a
的图象关于直线y ＝
－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
解析：法一：设平面上一点(x 0，y 0)关于直线y ＝－x 的对称点为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＋y 12＝－x 0＋x 12，y 1
－y 0x 1－x 0＝1，
所以x 1＝－y 0，y 1＝－x 0，故点(－2，f (－2))，(－4，f (－4))关于直线y ＝－x 的对称点分别为(－f (－2)，2)，(－f (－4)，4)．
由题意有⎩⎪⎨⎪⎧
2＝2－f (－2)＋a ，4＝2－f (－4)＋a ， 所以8＝2－[f (－2)＋f (－4)]＋2a ，故由题设知22a －
1＝8， 解得a ＝2.
法二：在y ＝f (x )的图象上任取一点P (x 0，y 0)，则P (x 0，y 0)关于直线y ＝－x 对称的点为P ′(－y 0，－x 0)，所以P ′必在y ＝2x ＋a 的图象上，即－x 0＝2－y 0＋a ，所以－y 0＋a ＝log 2(－x 0)，所以y 0＝a －log 2(－x 0)，所以f (x )＝a －log 2(－x )，又f (－2)＋f (－4)＝1，所以2a －log 22－log 24＝1，所以2a －1－2＝1，解得a ＝2，故选C.
答案：C
3.[考点一、二](2015·高考全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )
解析：当点P 与C 、D 重合时，易求得P A ＋PB ＝1＋5；当点P 为DC 的中点时，P A
＋PB ＝2P A ＝2 2.显然，1＋5>22，故当x ＝π2
时，f (x )不取最大值，故C 、D 选项错误．当
x ∈⎣⎡⎭
⎫0，π4时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，不是一次函数，排除A.故选B. 答案：B
4.[考点一、三](2016·高考山东卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|x |， x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ， x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是__________．
解析：f (x )的大致图象如图所示，
要满足存在b ∈R ，使得方程f (x )＝b 有三个不同的根，只需4m －m 2<m ，又m >0，所以m >3.
答案：(3，＋∞)。
