九年级培优二次函数辅导专题训练附详细答案
一、二次函数
1．如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标；
（3）对于（2）中的点B，在此抛物线上是否存在点P，使∠POB=90°？若存在，求出点P 的坐标，并求出△POB的面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2﹣3x。
（2）点B的坐标为：（4，4）。
（3）存在；理由见解析；
【解析】
【分析】
（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，从而求得抛物线的解析式。
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可。
（3）根据B点坐标可求出直线OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P点的坐标特点，代入二次函数解析式可得出P点的坐标．求△POB的面积时，求出OB，OP的长度即可求出△BOP的面积。
【详解】
解：（1）∵函数的图象与x轴相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1。
∴这个二次函数的解析式为y=x2﹣3x。
（2）如图，过点B做BD⊥x轴于点D，
令x 2﹣3x=0，解得：x=0或3。∴AO=3。
∵△AOB 的面积等于6，∴
1
2
AO•BD=6。∴BD=4。 ∵点B 在函数y=x 2﹣3x 的图象上，
∴4=x 2﹣3x ，解得：x=4或x=﹣1（舍去）。
又∵顶点坐标为：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4， ∴x 轴下方不存在B 点。
∴点B 的坐标为：（4，4）。 （3）存在。
∵点B 的坐标为：（4，4），∴∠BOD=45°，22BO 442=+=。
若∠POB=90°，则∠POD=45°。 设P 点坐标为（x ，x 2﹣3x ）。 ∴2
x x 3x =-。
若2x x 3x =-，解得x="4" 或x=0（舍去）。此时不存在点P （与点B 重合）。 若(
)
2
x x 3x =--，解得x="2" 或x=0（舍去）。 当x=2时，x 2﹣3x=﹣2。 ∴点P 的坐标为（2，﹣2）。 ∴22OP 222=
+=
∵∠POB=90°，∴△POB 的面积为：
12PO•BO=1
2
×2×2=8。
2．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ． （1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由． （3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．
【答案】(1) y=﹣234
x +
94x+3；(2) 有最大值,365
;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173
，﹣25
3）．
【解析】
试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）设P （m ，﹣34
m 2+9
4m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解
析式为：y=﹣34
x+3，表示PD=﹣2
334m m +，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应
边的比得：
=PED PD BOC BC V V 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365
，求L 的最大值即可；
（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣
23n 4 +9
4
n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣3
4n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论． 试题解析:
（1）由OC=3OA ，有C （0，3），
将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得： 016403a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
， 解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪
⎪
=⎨⎪=⎪⎪⎩
，
故抛物线的解析式为：y=﹣234
x +9
4
x+3； （2）如图2，设P （m ，﹣
34
m 2+9
4m+3），△PFD 的周长为L ，
∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3）， 设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，
则403k b b +=⎧⎨=⎩
解得：343
k b ⎧
=-⎪⎨⎪=⎩
∴直线BC 的解析式为：y=﹣3
4
x+3， 则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2
334
m m +，
∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ， ∴∠BDE=∠BCO ， ∵∠BDE=∠PDF ， ∴∠PDF=∠BCO ， ∵∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD ∽△BOC ，
∴
=PED PD
BOC BC
V V 的周长的周长，
由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5， 故△BOC 的周长=12，
∴23
34125
m m
L -+=，
即L=﹣95（m ﹣2）2+36
5
，
∴当m=2时，L 最大=
36
5
； （3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3， 当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，
理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ， 当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ， ∴∠PCQ=∠CPD ， ∴∠PCD=∠CPD ， ∴CD=PD ， ∴CD=DP=PQ=QC ， ∴四边形CDPQ 是菱形， 过D 作DG ⊥y 轴于点G ，
